111 年 國立清華大學計量財務金融研究所財務金融組《統計學》

此題考驗對 Bernoulli 分布的期望值與變異數的理解，以及樣本比例的性質。

首先，我們知道 $X_i$ 服從 Bernoulli($\pi$) 分布，因此：
$E[X_i] = \pi$
$Var(X_i) = \pi(1-\pi)$

樣本比例 $p$ 的期望值為：
$E[p] = E\left[\frac{\sum_{i=1}^{n} X_i}{n}\right] = \frac{1}{n} E\left[\sum_{i=1}^{n} X_i\right]$
由於 $X_i$ 是獨立同分布的，$\sum_{i=1}^{n} X_i$ 的期望值是 $n$ 倍的 $E[X_i]$。
$E[p] = \frac{1}{n} (n \cdot E[X_i]) = \frac{1}{n} (n \cdot \pi) = \pi$

樣本比例 $p$ 的變異數為：
$Var(p) = Var\left(\frac{\sum_{i=1}^{n} X_i}{n}\right) = \frac{1}{n^2} Var\left(\sum_{i=1}^{n} X_i\right)$
由於 $X_i$ 是獨立的，$\sum_{i=1}^{n} X_i$ 的變異數是 $n$ 倍的 $Var(X_i)$。
$Var(p) = \frac{1}{n^2} (n \cdot Var(X_i)) = \frac{1}{n^2} (n \cdot \pi(1-\pi)) = \frac{\pi(1-\pi)}{n}$

題目要求計算 $\frac{p(1-p)}{n}$ 的期望值。
$E\left[\frac{p(1-p)}{n}\right] = \frac{1}{n} E[p(1-p)]$
$E[p(1-p)] = E[p - p^2]$

核心觀念

• 抽樣分配 (sampling distribution)：在固定樣本大小且抽樣方式已確定的情況下，所有可能樣本統計量(如樣本均值)所形成的分布。
• 樣本均值的期望：若抽樣方式為「不放回抽樣」且樣本來自有限母體，樣本均值的期望等於母體均值，此性質稱為 無偏性 (unbiasedness)。
• 組合計算：從 $N=8$ 個觀測值中抽取 $n=3$ 個不放回樣本的總樣本數為 $\binom{8}{3}=56$，利用組合式計算不同組成的樣本數。

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解題方法

1. 列舉樣本組成
   原始資料只有兩種取值：$0$ (4 個) 與 $1$ (4 個)。樣本大小 $n=3$，因此樣本內 $1$ 的個數 $k$ 只能是 $0,1,2,3$。

   • $k=0$：全為 $0$ → 樣本均值 $\bar X =0$。
   • $k=1$：1 個 $1$、2 個 $0$ → $\bar X =\dfrac13$。
   • $k=2$：2 個 $1$、1 個 $0$ → $\bar X =\dfrac23$。
   • $k=3$：全為 $1$ → $\bar X =1$。

2. 計算每種組成的樣本數（利用組合）

$\text{樣本數}(k)=\binom{4}{k}\binom{4}{3-k}$

• $k=0$: $\binom{4}{0}\binom{4}{3}=1\times4=4$
• $k=1$: $\binom{4}{1}\binom{4}{2}=4\times6=24$
• $k=2$: $\binom{4}{2}\binom{4}{1}=6\times4=24$
• $k=3$: $\binom{4}{3}\binom{4}{0}=4\times1=4$

總計 $4+24+24+4=56$，與 $\binom{8}{3}=56$ 相符。

3. 構成抽樣分配

核心觀念

本題考查以「非樣本平均數」估計母體平均數時，利用

$$\hat{\sigma}^2 = \frac{\sum_{i=1}^{n}(X_i-\hat{\mu}_1)^2}{n-1}$$

估計母體變異數的期望值。

已知

$$\hat{\mu}_1=\frac14(X_1+2X_2+X_3) =\frac14X_1+\frac12X_2+\frac14X_3,$$

其權重總和為 $1$，因此

$$E(\hat{\mu}_1)=\mu.$$

但由於 $\hat{\mu}_1$ 並非一般樣本平均數 $\bar X$，分母仍使用 $n-1$ 不會使估計量保持對 $\sigma^2$ 的不偏性。

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解題方法

令

$$a_1=\frac14,\qquad a_2=\frac12,\qquad a_3=\frac14,\qquad a_4=\cdots=a_n=0.$$

則

$$\hat{\mu}_1=\sum_{j=1}^{n}a_jX_j.$$

因為 $X_i$ 彼此獨立且皆服從 $N(\mu,\sigma^2)$，有

$$E(X_i-\hat{\mu}_1)=0.$$

先計算每一項的變異數：

$$\begin{aligned} \operatorname{Var}(X_i-\hat{\mu}_1) &=\operatorname{Var}\left(X_i-\sum_{j=1}^{n}a_jX_j\right)\\ &=\sigma^2\left(1-2a_i+\sum_{j=1}^{n}a_j^2\right). \end{aligned}$$

其中

$$\sum_{j=1}^{n}a_j^2 = \left(\frac14\right)^2 +\left(\frac12\right)^2 +\left(\frac14\right)^2 = \frac1{16}+\frac4{16}+\frac1{16} = \frac38.$$

因此

$$E\left[(X_i-\hat{\mu}_1)^2\right] = \sigma^2\left(1-2a_i+\frac38\right).$$

將 $i=1,\dots,n$ 加總：

核心觀念

• 卡方適配度檢定 (Goodness‑of‑Fit Test)：檢驗觀察頻率是否與理論分配（此處為二項分配）相符。
• 檢定假設：
  • $H_{0}$：樣本的每日銷售次數服從參數已知的二項分配 $B(n=4,\pi=0.30)$。
  • $H_{1}$：樣本的每日銷售次數不服從此二項分配。
• 卡方統計量：
  $\chi^{2}= \sum_{i=1}^{k}\frac{(O_{i}-E_{i})^{2}}{E_{i}}$
  其中 $O_{i}$ 為觀測次數，$E_{i}=N\cdot P(X=i)$ 為期望次數（$N=200$ 為樣本天數），$k$ 為分類數。
• 自由度：$\displaystyle df = k-1-m$，$m$ 為在檢定中估計的參數個數。此題 $n$、$\pi$ 均已給定，$m=0$。
• 合併類別：若某類別 $E_i<5$，須與相鄰類別合併，使每個期望頻率 $\ge5$，以符合卡方近似的前提。

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解題方法

1. 計算二項分配的理論機率
   $P(X=x)=\binom{4}{x}\pi^{x}(1-\pi)^{4-x},\quad \pi=0.30$

$$\begin{aligned} P(0)&=\binom{4}{0}(0.30)^{0}(0.70)^{4}=0.70^{4}=0.2401,\\ P(1)&=\binom{4}{1}(0.30)^{1}(0.70)^{3}=4\cdot0.30\cdot0.70^{3}=0.4116,\\ P(2)&=\binom{4}{2}(0.30)^{2}(0.70)^{2}=6\cdot0.09\cdot0.49=0.2646,\\ P(3)&=\binom{4}{3}(0.30)^{3}(0.70)^{1}=4\cdot0.027\cdot0.70=0.0756,\\ P(4)&=\binom{4}{4}(0.30)^{4}=0.30^{4}=0.0081 . \end{aligned}$$

2. 求期望次數 $E_i = N\cdot P_i$（$N=200$）

$$\begin{array}{c|c|c} x & P(X=x) & E_i =200\cdot P(X=x)\\ \hline 0 & 0.2401 & 48.02\\ 1 & 0.4116 & 82.32\\ 2 & 0.2646 & 52.92\\ 3 & 0.0756 & 15.12\\ 4 & 0.0081 & 1.62 \end{array}$$

3. 合併期望值 < 5 的類別
   $x=4$ 的期望次數 $E=1.62<5$，同時 $x=3$ 只剩 $15.12$，仍可保留，但為了保證所有 $E_i\ge5$，將 $x=3$ 與 $x=4$ 合併：

此題考驗獨立性檢定 (Test of Independence)，通常使用卡方檢定。我們需要判斷「購買意願」與「汽車品牌」這兩個分類變數之間是否顯著相關。

1. 設定假設檢定

• 虛無假設 ($H_0$)：購買意願與汽車品牌之間是獨立的。
• 對立假設 ($H_1$)：購買意願與汽車品牌之間不是獨立的 (即存在關聯性)。

2. 計算期望頻率 (Expected Frequencies)

根據虛無假設，購買意願與汽車品牌是獨立的，因此期望頻率 $E_{ij}$ 可以根據邊際總計計算：
$E_{ij} = \frac{(\text{Row } i \text{ Total}) \times (\text{Column } j \text{ Total})}{\text{Grand Total}}$

首先，計算總計：

• 總計購買意願為「Yes」的受訪者：$49 + 45 + 60 + 46 = 200$
• 總計購買意願為「No」的受訪者：$37 + 27 + 18 + 18 = 100$
• Chevrolet Impala 的總計：$49 + 37 = 86$
• Ford Taurus 的總計：$45 + 27 = 72$
• Honda Accord 的總計：$60 + 18 = 78$
• Toyota Camry 的總計：$46 + 18 = 64$
• 總樣本數 (Grand Total) = $200 + 100 = 300$ (或 $86+72+78+64 = 300$)

現在計算各儲存格的期望頻率：

• $E_{\text{Yes, Impala}} = \frac{200 \times 86}{300} = \frac{17200}{300} \approx 57.33$

• $E_{\text{Yes, Taurus}} = \frac{200 \times 72}{300} = \frac{14400}{300} = 48.00$

• $E_{\text{Yes, Accord}} = \frac{200 \times 78}{300} = \frac{15600}{300} = 52.00$

• $E_{\text{Yes, Camry}} = \frac{200 \times 64}{300} = \frac{12800}{300} \approx 42.67$

• $E_{\text{No, Impala}} = \frac{100 \times 86}{300} = \frac{8600}{300} \approx 28.67$

• $E_{\text{No, Taurus}} = \frac{100 \times 72}{300} = \frac{7200}{300} = 24.00$

• $E_{\text{No, Accord}} = \frac{100 \times 78}{300} = \frac{7800}{300} = 26.00$

• $E_{\text{No, Camry}} = \frac{100 \times 64}{300} = \frac{6400}{300} \approx 21.33$

3. 計算卡方檢定統計量 ($X^2$)

卡方檢定統計量為：
$X^2 = \sum_{i,j} \frac{(O_{ij} - E_{ij})^2}{E_{ij}}$

此題考驗單因子 Z 檢定 (One-sample Z-test) 的假設設定以及第二類錯誤 (Type II error) 的機率計算。

1. 設定假設檢定

公司假設平均每日工時為 75 分鐘或更少。這是我們想要檢定的情況。

• 虛無假設 ($H_0$)：母體平均每日工時 $\mu \le 75$ 分鐘。
• 對立假設 ($H_1$)：母體平均每日工時 $\mu > 75$ 分鐘。

這個檢定是右尾檢定，因為我們想找出平均工時是否超過 75 分鐘。

2. 計算 Z 檢定統計量

樣本大小 $n = 36$。
母體標準差 $\sigma = 24$ 分鐘。
虛無假設的參數值 $\mu_0 = 75$ 分鐘。

Z 檢定統計量公式為：
$Z = \frac{\bar{X} - \mu_0}{\sigma/\sqrt{n}}$

3. 計算第二類錯誤 (Type II error) 的機率

第二類錯誤是指當對立假設 ($H_1$) 為真時，我們未能拒絕虛無假設 ($H_0$)。
題目給定一個對立假設為真的具體情況：母體平均每日工時為 $\mu_a = 80$ 分鐘。
我們需要計算在 $\mu = 80$ 時，我們未能拒絕 $H_0$ 的機率。

未能拒絕 $H_0$ 的條件是 Z 檢定統計量落在拒絕區域的左邊。
首先，我們需要確定拒絕區域。由於題目沒有給定顯著水準 $\alpha$，但通常情況下，若未明確給定，會使用 $\alpha = 0.05$。
對於右尾檢定，當 $Z > Z_{\alpha}$ 時，我們拒絕 $H_0$。
若 $\alpha = 0.05$，則 $Z_{0.05}$ 是標準常態分布右尾機率為 0.05 的值，從 Z 表查得 $Z_{0.05} \approx 1.645$。
所以，拒絕域是 $Z > 1.645$。

第二類錯誤發生的條件是：
$Z \le Z_{\alpha}$
$\frac{\bar{X} - \mu_0}{\sigma/\sqrt{n}} \le Z_{\alpha}$

當真實的母體均值是 $\mu_a = 80$ 時，我們計算 $\bar{X}$ 的值。
$\frac{\bar{X} - 75}{24/\sqrt{36}} \le 1.645$
$\frac{\bar{X} - 75}{24/6} \le 1.645$
$\frac{\bar{X} - 75}{4} \le 1.645$
$\bar{X} - 75 \le 1.645 \times 4$
$\bar{X} - 75 \le 6.58$
$\bar{X} \le 75 + 6.58$
$\bar{X} \le 81.58$

現在，我們計算當真實母體均值為 $\mu_a = 80$ 時，樣本均值 $\bar{X} \le 81.58$ 的機率。
我們需要將 $\bar{X} = 81.58$ 轉換成 Z 分數，但這次是基於真實的母體均值 $\mu_a = 80$。