112 年 國立清華大學計量財務金融研究所財務金融組《統計學》

此題考驗貝氏定理(Bayes' Theorem)的應用，主要在於計算後驗機率。

設 D 為該人患有此疾病的事件，D' 為該人未患有此疾病的事件。
設 T 為醫學診斷測試結果為陽性的事件。

根據題目敘述，我們有以下機率：
P(D) = 0.05 (患有此疾病的先驗機率)
P(D') = 1 - P(D) = 1 - 0.05 = 0.95 (未患有此疾病的先驗機率)

P(T|D) = 0.85 (若疾病存在，測試結果為陽性的機率，即靈敏度)
P(T|D') = 0.03 (若疾病不存在，測試結果為陽性的機率，即假陽性率)

題目要求計算的是，在測試結果為陽性的條件下，該人實際上患有此疾病的機率，即 P(D|T)。

根據貝氏定理：
$P(D|T) = \frac{P(T|D) P(D)}{P(T)}$

此題考驗假設檢定中第一類錯誤與第二類錯誤的機率計算，特別是第二類錯誤的機率 $\beta$。

首先，我們需要設定虛無假設 $H_0$ 和對立假設 $H_1$。
題目提到機器設計為「至少 8 盎司」(at least 8 ounces)，這表示我們檢定的目標是平均量是否達到 8 盎司。
所以，虛無假設應設定為平均量等於或大於 8 盎司，而對立假設為平均量小於 8 盎司。
$H_0: \mu \ge 8$ (或寫成 $\mu = 8$，因為檢定時通常以等號為界)
$H_1: \mu < 8$

這是一個左尾檢定(left-tailed test)。

已知資訊：
母體標準差 $\sigma = 0.16$ 盎司 (題目未明確說明是母體標準差還是樣本標準差，但通常在這種情境下，若未提及樣本標準差，且樣本數較大，常 Assume 為母體標準差，或者題目可能意指母體標準差已知。若為樣本標準差，則應使用 t-test。但由於題目給了 $\alpha$ 且要求計算 Type II error，通常涉及 Z-score，暗示 $\sigma$ 已知或可用樣本標準差近似。)
樣本大小 $n = 36$
第一類錯誤的機率 $\alpha = 0.05$
在實際情況下，母體平均值 $\mu_{actual} = 7.9$ 盎司。

第一步：確定拒絕域 (Rejection Region)
我們進行左尾檢定，顯著水準為 $\alpha = 0.05$。
由於樣本數 $n=36 \ge 30$，我們可以根據中央極限定理使用 Z-檢定。
拒絕域為 $Z < -z_{\alpha}$。
查標準常態分配表，當 $\alpha = 0.05$ 時，$-z_{\alpha} = -1.645$。
因此，若檢定統計量 $Z < -1.645$，則拒絕 $H_0$。

檢定統計量公式為：
$Z = \frac{\bar{X} - \mu_0}{\sigma/\sqrt{n}}$
其中 $\mu_0$ 是虛無假設下的母體平均值，在此為 8。
$Z = \frac{\bar{X} - 8}{0.16/\sqrt{36}} = \frac{\bar{X} - 8}{0.16/6} = \frac{\bar{X} - 8}{0.02667}$

拒絕域的條件 $\bar{X}$ 值：
$\frac{\bar{X}_{crit} - 8}{0.16/\sqrt{36}} = -1.645$

此題考驗計算兩個離散隨機變數相關係數的能力，並涉及變數的線性轉換。

相關係數 $\rho_{XY}$ 的定義為：
$\rho_{XY} = \frac{Cov(X, Y)}{\sigma_X \sigma_Y}$
其中 $Cov(X, Y)$ 是 X 和 Y 的共變異數，$\sigma_X$ 和 $\sigma_Y$ 分別是 X 和 Y 的標準差。

題目要求計算的是 $X+100$ 和 $Y+2$ 這兩個新變數之間的相關係數。
設 $X' = X+100$ 且 $Y' = Y+2$。
我們需要計算 $\rho_{X'Y'}$。

一個重要的性質是，對變數進行線性轉換，並不會改變它們之間的相關性。
也就是說，對於任意常數 $a, b, c, d$，其中 $a \ne 0, c \ne 0$，隨機變數 $aX+b$ 與 $cY+d$ 的相關係數為：
$\rho_{(aX+b)(cY+d)} = \frac{a \cdot c}{|a \cdot c|} \rho_{XY}$
如果 $a$ 和 $c$ 同號 (都為正或都為負)，則 $\frac{a \cdot c}{|a \cdot c|} = 1$，所以 $\rho_{(aX+b)(cY+d)} = \rho_{XY}$。
如果 $a$ 和 $c$ 異號，則 $\frac{a \cdot c}{|a \cdot c|} = -1$，所以 $\rho_{(aX+b)(cY+d)} = -\rho_{XY}$。

在本題中，$X' = X+100$ ($a=1$)，$Y' = Y+2$ ($c=1$)。因為 $a$ 和 $c$ 都是正數，所以：
$\rho_{(X+100)(Y+2)} = \rho_{XY}$
因此，我們只需要計算 X 和 Y 的相關係數 $\rho_{XY}$。

要計算 $\rho_{XY}$，我們需要計算 $Cov(X, Y)$、$\sigma_X$ 和 $\sigma_Y$。

1. 計算邊際機率分佈 (Marginal Probability Distributions)

X 的邊際機率分佈：
$P(X=-1) = P(X=-1, Y=-2) + P(X=-1, Y=0) + P(X=-1, Y=2) = 0 + 0.1 + 0.2 = 0.3$
$P(X=0) = P(X=0, Y=-2) + P(X=0, Y=0) + P(X=0, Y=2) = 0 + 0.2 + 0.1 = 0.3$
$P(X=3) = P(X=3, Y=-2) + P(X=3, Y=0) + P(X=3, Y=2) = 0.3 + 0.1 + 0 = 0.4$
(檢查總和：0.3 + 0.3 + 0.4 = 1.0)

Y 的邊際機率分佈：
$P(Y=-2) = P(X=-1, Y=-2) + P(X=0, Y=-2) + P(X=3, Y=-2) = 0 + 0 + 0.3 = 0.3$
$P(Y=0) = P(X=-1, Y=0) + P(X=0, Y=0) + P(X=3, Y=0) = 0.1 + 0.2 + 0.1 = 0.4$
$P(Y=2) = P(X=-1, Y=2) + P(X=0, Y=2) + P(X=3, Y=2) = 0.2 + 0.1 + 0 = 0.3$
(檢查總和：0.3 + 0.4 + 0.3 = 1.0)

2. 計算期望值 E(X) 和 E(Y)

$E(X) = \sum x \cdot P(X=x) = (-1)(0.3) + (0)(0.3) + (3)(0.4) = -0.3 + 0 + 1.2 = 0.9$

核心觀念

• 本題檢驗的是兩個獨立樣本的中位數是否相同，屬於 Wilcoxon (Mann‑Whitney) 排名和檢定。
• 當兩樣本皆 > 10 時，可用 大樣本 Z 近似：

$Z=\frac{U-\mu_U+\frac{1}{2}\operatorname{sgn}(U-\mu_U)}{\sigma_U}$

其中

$$\mu_U=\frac{n_1n_2}{2},\qquad \sigma_U^2=\frac{n_1n_2\,(n_1+n_2+1)}{12}$$

解題方法

1. 合併樣本並排序（最小值 rank = 1，最大值 rank = $n=n_1+n_2$）。
2. 計算樣本 1 的秩和 $R_1$，再求其 Mann‑Whitney $U_1$。
3. 用 $U_1$ 計算 Z 值，與標準正態臨界值 $z_{0.025}=1.96$ 比較（雙側檢定），決定是否拒絕原假設 $H_0:$ 兩樣本中位數相等。

以下列出完整步驟與計算。

---

1. 排名 (Rank)

級別	原始值	所屬樣本	Rank
1	2	Sample 2	1
2	3	Sample 1	2
3	4	Sample 1	3
4	5	Sample 1	4
5	6	Sample 1	5
6	6.3	Sample 2	6
7	7	Sample 1	7
8	8.2	Sample 1	8
9	9	Sample 2	9
10	9.1	Sample 1	10
11	10.3	Sample 2	11
12	11	Sample 1	12
13	11.5	Sample 2	13
14	12	Sample 1	14
15	12.4	Sample 2	15
16	12.5	Sample 2	16
17	14	Sample 1	17
18	14.5	Sample 1	18
19	16.7	Sample 2	19
20	18	Sample 2	20
21	19.3	Sample 2	21

此題包含兩個部分：(a) 計算全體樣本的變異數，(b) 進行獨立樣本 t 檢定，並判斷應使用合併變異數 t 檢定或獨立變異數 t 檢定。

a. 計算全體樣本的變異數 (Whole Sample Variation)

全體樣本的變異數 (pooled variance) 是指將兩個樣本合併視為一個大樣本後計算出的變異數。通常在進行合併變異數 t 檢定時會用到。

我們有兩個樣本的資訊：
樣本 A: $n_A = 9$, $\bar{x}_A = 23.23$, $s_A = 2.23$
樣本 B: $n_B = 13$, $\bar{x}_B = 21.12$, $s_B = 1.54$

首先，計算兩個樣本的平方和 (sum of squares)：
$SS_A = (n_A - 1) s_A^2 = (9-1) (2.23)^2 = 8 \times 4.9729 = 39.7832$
$SS_B = (n_B - 1) s_B^2 = (13-1) (1.54)^2 = 12 \times 2.3716 = 28.4592$

合併後的樣本數 $N = n_A + n_B = 9 + 13 = 22$。
合併後的總平方和 $SS_{total} = SS_A + SS_B = 39.7832 + 28.4592 = 68.2424$。

全體樣本的變異數 (pooled variance, $s_p^2$) 是總平方和除以合併後的自由度：
自由度 $df_{total} = N - 1 = 22 - 1 = 21$。
$s_p^2 = \frac{SS_{total}}{df_{total}} = \frac{68.2424}{21} \approx 3.2496$

另一種計算全體樣本變異數的觀點：
題目問的是 "whole sample variation"，這通常是指合併兩個樣本後的變異數。
合併變異數 $s_p^2$ 的公式為：
$s_p^2 = \frac{(n_A-1)s_A^2 + (n_B-1)s_B^2}{n_A + n_B - 2}$
$s_p^2 = \frac{(9-1)(2.23)^2 + (13-1)(1.54)^2}{9 + 13 - 2}$
$s_p^2 = \frac{8 \times 4.9729 + 12 \times 2.3716}{20}$
$s_p^2 = \frac{39.7832 + 28.4592}{20} = \frac{68.2424}{20} = 3.41212$

解釋為何有兩種結果：
第一種計算方式 (3.2496) 是將兩個樣本的變異數加總後，除以總自由度 $N-1$。這更像是描述整個數據集的總離散度。
第二種計算方式 (3.41212) 是計算合併變異數 $s_p^2$ 的標準公式，用於合併變異數 t 檢定。

題目要求 "whole sample variation"，這比較模糊。在統計學中，"variation" 通常指平方和 (SS) 或變異數 (variance)。如果指變異數，則 $s_p^2$ 是最常見的「合併樣本變異數」。如果指「全體樣本的變異數」，那麼 $SS_{total} / (N-1)$ 也是一種解釋。
然而，在進行 t 檢定時，我們使用的是 $s_p^2 = \frac{(n_A-1)s_A^2 + (n_B-1)s_B^2}{n_A + n_B - 2}$。
我將採用這個公式的結果作為答案。

a. 計算結果：
全體樣本變異數 (合併變異數) $s_p^2 \approx 3.4121$。

b. 判斷應使用哪種 t 檢定，並進行檢定

判斷依據：
當我們比較兩個獨立樣本的平均數時，有兩種主要的 t 檢定：

1. 合併變異數 t 檢定 (Pooled-variance t test): 假設兩個母體的變異數相等 ($\sigma_A^2 = \sigma_B^2$)。如果這個假設成立，合併變異數 $s_p^2$ 的估計會更有效率。
2. 獨立變異數 t 檢定 (Separate-variance t test, Welch's t-test): 不假設兩個母體變異數相等。這個檢定更為穩健，因為它不需要變異數相等的假設，並且在變異數不相等時，其自由度會被調整。

如何判斷？
通常，我們會先對變異數是否相等進行檢定 (例如 F 檢定)。但題目要求我們「最適合」使用哪一種。
觀察樣本變異數的估計值：
$s_A^2 = (2.23)^2 = 4.9729$
$s_B^2 = (1.54)^2 = 2.3716$
樣本 A 的變異數 $s_A^2$ 約為樣本 B 的變異數 $s_B^2$ 的兩倍。
雖然 $s_A^2$ 比 $s_B^2$ 大，但由於樣本數不同 ($n_A=9, n_B=13$)，我們需要更嚴謹的檢定來判斷母體變異數是否相等。
然而，在沒有進行變異數相等檢定的情況下，如果兩者變異數差異較大，或者樣本數差異較大，獨立變異數 t 檢定 (Welch's t-test) 通常被認為是更安全的選擇，因為它對變異數不相等的假設不敏感。
但題目問「最適合」，這可能意味著要考慮兩種檢定的優勢。如果變異數相等，合併變異數 t 檢定有較高的檢定力。

這裡的關鍵在於題目給的數據：
$s_A = 2.23$, $s_B = 1.54$。
$s_A^2 \approx 4.97$, $s_B^2 \approx 2.37$。
$s_A^2 / s_B^2 \approx 2.1$。
這個比例並不算極大。