112 年 國立清華大學計量財務金融研究所財務工程組《統計學》

這題考驗貝氏定理 (Bayes' Theorem) 的應用。我們需要計算在已知檢測結果為陽性 (Positive Test Result, PT) 的條件下，該病患實際上罹患該疾病 (Disease Present, DP) 的機率 P(DP|PT)。

我們定義以下事件：
DP: 該病患實際上罹患該疾病
NDP: 該病患實際上未罹患該疾病 (Not Disease Present)
PT: 醫療診斷檢測結果為陽性
NT: 醫療診斷檢測結果為陰性 (Negative Test Result)

根據題目給予的資訊，我們可以列出以下機率：

1. 罹患疾病的先驗機率 (Prior probability of having the disease): $P(DP) = 0.05$
2. 未罹患疾病的先驗機率: $P(NDP) = 1 - P(DP) = 1 - 0.05 = 0.95$
3. 檢測的靈敏度 (Sensitivity)，即若確診有病，檢測為陽性的機率: $P(PT|DP) = 0.85$
4. 檢測的偽陽性率 (False Positive Rate)，即若確診無病，檢測卻為陽性的機率: $P(PT|NDP) = 0.03$

這題考驗假設檢定中 Type I 和 Type II 錯誤的計算。題目要求計算 Type II 錯誤的機率 ($\beta$)，同時給定了 Type I 錯誤的機率 ($\alpha$) 以及檢定中的相關參數。

首先，我們需要建立假設檢定的虛無假設 ($H_0$) 和對立假設 ($H_1$)。
根據題目描述，機器設計是為了「至少」排放 8 盎司，所以我們將此設定為虛無假設。
$H_0: \mu \ge 8$ 盎司
$H_1: \mu < 8$ 盎司

題目給予的資訊：

• 母體標準差 $\sigma = 0.16$ 盎司 (由於題目給了標準差，且樣本數較大，我們可以假設母體標準差已知，或在此視為母體標準差)
• 樣本數 $n = 36$
• Type I 錯誤的機率 $\alpha = 0.05$
• 實際的母體平均值 $\mu_{actual} = 7.9$ 盎司 (這是當 $H_0$ 為 false 時的真實情況)

由於樣本數 $n=36 \ge 30$，我們可以使用 Z 檢定。
我們需要計算檢定統計量 (test statistic) 的臨界值 (critical value) 或拒絕域 (rejection region)。由於對立假設是 $\mu < 8$，這是一個左尾檢定 (left-tailed test)。

在 $\alpha = 0.05$ 的顯著水準下，對於左尾檢定，臨界值 $z_\alpha$ 是使得 $P(Z < z_\alpha) = 0.05$ 的值。查標準常態分配表可知，$z_{0.05} \approx -1.645$。
因此，拒絕域為 $Z < -1.645$。

檢定統計量為：
$Z = \frac{\bar{X} - \mu_0}{\sigma/\sqrt{n}}$
其中 $\mu_0$ 是虛無假設下的母體平均值，在此為 8。
$Z = \frac{\bar{X} - 8}{0.16/\sqrt{36}} = \frac{\bar{X} - 8}{0.16/6} = \frac{\bar{X} - 8}{0.02667}$

這題要求計算兩個轉換後隨機變數的相關係數。題目給出了隨機變數 X 和 Y 的聯合機率分佈表。

首先，我們需要計算隨機變數 X 和 Y 的期望值 $E(X)$, $E(Y)$ 以及它們的變異數 $Var(X)$, $Var(Y)$，以及共變異數 $Cov(X, Y)$。
然後，我們可以使用相關係數的公式：
$\rho_{X,Y} = \frac{Cov(X, Y)}{\sqrt{Var(X) Var(Y)}}$
對於轉換後的隨機變數 $U = X+100$ 和 $V = Y+2$，相關係數為：
$\rho_{U,V} = \frac{Cov(U, V)}{\sqrt{Var(U) Var(V)}}$
然而，我們知道對於線性轉換：
$Cov(aX+b, cY+d) = ac \cdot Cov(X, Y)$
$Var(aX+b) = a^2 Var(X)$
因此，
$Cov(X+100, Y+2) = 1 \cdot 1 \cdot Cov(X, Y) = Cov(X, Y)$
$Var(X+100) = 1^2 Var(X) = Var(X)$
$Var(Y+2) = 1^2 Var(Y) = Var(Y)$
所以，
$\rho_{X+100, Y+2} = \frac{Cov(X, Y)}{\sqrt{Var(X) Var(Y)}} = \rho_{X,Y}$
也就是說，對隨機變數進行線性轉換，並不會改變它們之間的相關係數。我們只需要計算 $\rho_{X,Y}$ 即可。

步驟 1：計算 X 的邊際機率分佈

X	P(X)
-1	0 + 0.1 + 0.2 = 0.3
0	0 + 0.2 + 0.1 = 0.3
3	0.3 + 0.1 + 0 = 0.4
總計	1.0

步驟 2：計算 Y 的邊際機率分佈

Y	P(Y)
-2	0 + 0 + 0.3 = 0.3
0	0.1 + 0.2 + 0.1 = 0.4
2	0.2 + 0.1 + 0 = 0.3
總計	1.0

步驟 3：計算 $E(X)$ 和 $E(Y)$
$E(X) = (-1)(0.3) + (0)(0.3) + (3)(0.4) = -0.3 + 0 + 1.2 = 0.9$

這題考驗對兩個獨立樣本進行中位數差異檢定，並要求使用 Mann-Whitney U 檢定 (也稱為 Wilcoxon rank-sum test) 的大樣本 Z 近似公式。

首先，我們需要合併兩個樣本的數據，並進行排序，然後給予等級 (rank)。
樣本 1 ($n_1 = 11$): 4, 3, 5, 6, 11, 7, 8.2, 9.1, 12, 14, 14.5
樣本 2 ($n_2 = 11$): 9, 10.3, 12.5, 16.7, 18, 6.3, 11.5, 2, 12.4, 19.3, 21.5

總樣本數 $n = n_1 + n_2 = 11 + 11 = 22$。

步驟 1：合併數據並排序，給予等級
我們將所有數據合併，並從最小到最大排序，然後給予等級 (1 到 22)。
數據列表：
2 (S2), 3 (S1), 4 (S1), 5 (S1), 6 (S1), 6.3 (S2), 7 (S1), 8.2 (S1), 9 (S2), 9.1 (S1), 10.3 (S2), 11 (S1), 11.5 (S2), 12 (S1), 12.4 (S2), 12.5 (S2), 14 (S1), 14.5 (S1), 16.7 (S2), 18 (S2), 19.3 (S2), 21.5 (S2)

等級分配：

值	來源	等級 (Rank)
2	S2	1
3	S1	2
4	S1	3
5	S1	4
6	S1	5
6.3	S2	6
7	S1	7
8.2	S1	8
9	S2	9
9.1	S1	10
10.3	S2	11
11	S1	12
11.5	S2	13
12	S1	14
12.4	S2	15
12.5	S2	16
14	S1	17
14.5	S1	18
16.7	S2	19
18	S2	20
19.3	S2	21
21.5	S2	22

步驟 2：計算樣本 1 的等級總和 ($R_1$)
$R_1 = 2 + 3 + 4 + 5 + 12 + 7 + 8 + 10 + 14 + 17 + 18 = 100$

核心觀念

本題考查兩獨立樣本平均數比較，以及合併變異數與整體樣本變異數的計算。

設：

• 學校 A：$n_A=9,\ \bar{x}_A=23.23,\ s_A=2.23$
• 學校 B：$n_B=13,\ \bar{x}_B=21.12,\ s_B=1.54$

題目後半將比較變數寫成「平均使用試算表年數」，但表格提供的是學生年齡資料。因此以下依表格資料，檢定兩校學生的平均年齡差異。

---

解題方法

一、整體樣本平均數

總樣本數為

$$n=n_A+n_B=9+13=22$$

整體平均數為

$$\bar{x} = \frac{n_A\bar{x}_A+n_B\bar{x}_B}{n_A+n_B} = \frac{9(23.23)+13(21.12)}{22} = 21.983$$

二、整體樣本變異

整體離差平方和可分解為：

$$SS_T = \sum_{i=1}^{k}(n_i-1)s_i^2 + \sum_{i=1}^{k}n_i(\bar{x}_i-\bar{x})^2$$

第一部分為組內離差平方和：

$$SS_W = (9-1)(2.23)^2+(13-1)(1.54)^2$$ $$SS_W = 8(4.9729)+12(2.3716) = 68.2424$$

第二部分為組間離差平方和：

$$SS_B = 9(23.23-21.983)^2 + 13(21.12-21.983)^2$$ $$SS_B\approx 23.677$$

因此整體離差平方和為

$$SS_T=SS_W+SS_B =68.2424+23.677 \approx91.919$$

整體樣本變異數為

$$s^2 = \frac{SS_T}{n-1} = \frac{91.919}{21} \approx4.377$$

所以整體樣本標準差為

$$s=\sqrt{4.377}\approx2.092$$

---

(a) 答案

若「whole sample variation」指整體樣本變異數：

$$\boxed{s^2\approx4.377}$$

相對應的整體離差平方和為

$$\boxed{SS_T\approx91.919}$$

---

(b) pooled-variance t test 或 separate-variance t test

一、判斷兩母體變異數是否可視為相等

兩組樣本變異數為

$$s_A^2=(2.23)^2=4.9729$$ $$s_B^2=(1.54)^2=2.3716$$

以較大變異數除以較小變異數：

$$F=\frac{s_A^2}{s_B^2} = \frac{4.9729}{2.3716} \approx2.096$$

在顯著水準 $0.05$ 下，分子自由度為 $8$、分母自由度為 $12$。查 $F$ 分配表可知，$F=2.096$ 未達拒絕虛無假設的臨界值，因此沒有充分證據認定兩母體變異數不同。

故採用 pooled-variance t test。

---

二、建立假設