114 年 國立清華大學計量財務金融研究所財務金融組《財務管理》

本題主要考查資本結構變動對每股盈餘(EPS)的影響，包含不同經濟情境下的EPS計算、EBIT-EPS圖的繪製、無差異點(Breakeven Point)的計算，以及如何透過圖表呈現公司的資本結構。

核心觀念：

• 營運槓桿 (Operating Leverage)： EBIT 的變動幅度。
• 財務槓桿 (Financial Leverage)： 負債比率的變動幅度，會放大 EPS 的變動。
• 無差異點 (Breakeven EBIT)： 兩種資本結構下 EPS 相等的 EBIT 水準。
• 資本結構圖表呈現： 圓餅圖 (Pie Chart) 與圓餅的圓餅圖 (Pie of Pie Chart)。

計算與分析：

已知資訊：

• 公司總資產 (Assets) = $40 million
• 目前股價 (Current Stock Price) = $25/share
• 目前流通股數 (Current Shares Outstanding) = 1,600,000 shares
• 預期經濟情境下的 EBIT (Expected EBIT) = $3 million
• 衰退經濟情境下的 EBIT (Recession EBIT) = $1.8 million
• 擴張經濟情境下的 EBIT (Expansion EBIT) = $4.3 million
• 新資本結構目標：負債權益比 (Debt-to-Equity Ratio) = 1
• 債務結構：短期債務/長期債務 (Short-term Debt / Long-term Debt) = 0.20
• 短期債務利率 (Short-term Debt Interest Rate) = 3%
• 長期債務利率 (Long-term Debt Interest Rate) = 8%

步驟一：計算目前資本結構下的相關數據

1. 目前總權益價值 (Current Total Equity Value)：
   總資產 = 總負債 + 總權益。由於目前公司無負債，故總權益等於總資產。
   總權益 = $40 million (驗證：權益總價值 = 股價 × 股數 =$25/share × 1,600,000 shares = $40,000,000)

2. 目前總負債 (Current Total Debt)：
   由於目前無負債，故為 $0。

3. 目前資本結構：
   負債權益比 = $0 /$40 million = 0
   總資本 = 總負債 + 總權益 = $0 +$40 million = $40 million

步驟二：計算預計新資本結構下的相關數據

1. 新資本結構目標：負債權益比 = 1
   假設新資本結構下，總資產仍為 $40 million。 負債權益比 = 總負債 / 總權益 = 1 則：總負債 = 總權益 又：總資產 = 總負債 + 總權益$40 million = 總權益 + 總權益 = 2 × 總權益
   所以，新總權益 (New Total Equity) = $40 million / 2 =$20 million
   新總負債 (New Total Debt) = $40 million -$20 million = $20 million

2. 分配短期與長期債務：
   設短期債務為 $D_S$，長期債務為 $D_L$。
   $D_S / D_L = 0.20 \implies D_S = 0.20 \times D_L$
   $D_S + D_L = \text{New Total Debt} =$20 million$$0.20 \times D_L + D_L = $20 million$
   $1.20 \times D_L =$20 million$$D_L = $20 million / 1.20 =$16.6667 million$(約$16,666,667$)$D_S = 0.20 \times D_L = 0.20 \times $16.6667 million$ = $3.3333 million$ (約 $3,333,333$)
   驗證：$D_S + D_L = 3.3333 + 16.6667 = 20 million$

3. 計算總利息費用 (Total Interest Expense) under the new structure：
   短期債務利息 = $D_S \times \text{Short-term Rate} =$3.3333 million$× 3$100,000$長期債務利息 =$D_L \times \text{Long-term Rate} = $16.6667 million$ × 8% = $1,333,336$
   總利息費用 = $100,000 + 1,333,336 =$1,433,336$(約$1.4333 million$)

A. 計算目前及建議的 EPS 在三個情境下

EPS (Earnings Per Share) 的計算公式為：
$EPS = (EBIT - \text{Interest Expense}) \times (1 - \text{Tax Rate}) / \text{Shares Outstanding}$

題目未給稅率，我們暫時假設稅率為 0 (或題目預設我們用稅前 EPS 比較，這在某些情境下是可以接受的，但嚴謹來說應考慮稅率)。若題目有要求，通常會給定。在此，我們假設稅率為 0 進行計算，並指出此假設。

目前資本結構 (無負債)：

• 利息費用 = $0
• 股數 = 1,600,000 shares

建議資本結構 (負債權益比=1)：

• 利息費用 = $1,433,336
• 權益價值 = $20 million 新股數 (New Shares Outstanding) = 新權益價值 / 股價 =$20 million / $25/share = 800,000 shares (這是假設股價不變，公司用$20 million 買回 $20 million /$25 = 800,000 股)

情境一：預期經濟情境 (EBIT = $3 million)

• 目前 EPS：
  $EPS_{current} = ($3,000,000 - $0) / 1,600,000 =$1.875$
• 建議 EPS：
  $EPS_{proposed} = ($3,000,000 - $1,433,336) / 800,000 =$1,566,664 / 800,000 = $1.95833$

情境二：衰退經濟情境 (EBIT = $1.8 million)

• 目前 EPS：
  $EPS_{current} = ($1,800,000 - $0) / 1,600,000 =$1.125$
• 建議 EPS：
  $EPS_{proposed} = ($1,800,000 - $1,433,336) / 800,000 =$366,664 / 800,000 = $0.45833$

情境三：擴張經濟情境 (EBIT = $4.3 million)

• 目前 EPS：
  $EPS_{current} = ($4,300,000 - $0) / 1,600,000 =$2.6875$
• 建議 EPS：

本題考查選擇權評價，特別是具備多重到期日和額外現金流的選擇權。由於題目要求使用 6 個月為步驟，並有兩個可能的執行時點 (6 個月與 1 年)，這暗示我們需要使用二元樹 (Binomial Tree) 或類似的時序評價方法。

核心觀念：

• 選擇權評價 (Option Pricing)： 確定選擇權的公允價值。
• 二元樹模型 (Binomial Tree Model)： 模擬資產價格的隨機游走，並從到期日反向推算至今日的選擇權價格。
• 多重到期日與現金流： 處理選項可在多個時間點執行，以及執行時點可能伴隨的額外現金流。
• 風險中性評價 (Risk-Neutral Valuation)： 在二元樹模型中，通常假設投資者是風險中性的，並使用風險中性機率進行評價。

已知資訊：

• 標的資產：辦公大樓
• 目前資產價值 ($S_0$) = $60 million
• 履約價格 (Strike Price, $K$) = $67 million
• 選項可執行時間點：6 個月後 (t=0.5 年) 或 1 年後 (t=1.0 年)。
• 第一次應計租金收入 (Accrued Rent 1) = $1,000,000 (在 6 個月後支付)
• 第二次應計租金收入 (Accrued Rent 2) = $1,000,000 (在 1 年後支付)
• 租金歸屬：若在 6 個月時執行，買方獲得租金；否則，賣方獲得租金。
• 標的資產價值年標準差 ($\sigma$) = 30% = 0.30
• 年風險無風險利率 ($r$) = 6% = 0.06

步驟一：建立二元樹模型

我們需要建立一個資產價格的二元樹，時間步長為 6 個月 ($\Delta t = 0.5$ 年)。

1. 計算向上和向下移動因子 ($u$ 和 $d$)：
   在標準的 Black-Scholes 模型與二元樹模型中，常使用以下公式來校準 $u$ 和 $d$ 以匹配標準差：
   $u = e^{\sigma \sqrt{\Delta t}}$
   $d = e^{-\sigma \sqrt{\Delta t}} = 1/u$
   $\sigma \sqrt{\Delta t} = 0.30 \times \sqrt{0.5} \approx 0.30 \times 0.7071 \approx 0.21213$
   $u = e^{0.21213} \approx 1.23607$
   $d = e^{-0.21213} \approx 0.80902$

2. 計算風險中性機率 ($p$)：
   $p = \frac{e^{r \Delta t} - d}{u - d}$
   $e^{r \Delta t} = e^{0.06 \times 0.5} = e^{0.03} \approx 1.03045$
   $p = \frac{1.03045 - 0.80902}{1.23607 - 0.80902} = \frac{0.22143}{0.42705} \approx 0.51853$
   風險中性機率為 $p \approx 0.51853$。
   向下移動的風險中性機率為 $1-p \approx 1 - 0.51853 = 0.48147$。

3. 建立資產價格樹 (Building the Asset Price Tree)：

   • 目前價格 ($S_0$) = $60 million$
   • 6 個月後價格 ($S_{0.5}$)：
     • 向上移動 ($S_u$) = $S_0 \times u = 60 \times 1.23607 \approx 74.1642$ million
     • 向下移動 ($S_d$) = $S_0 \times d = 60 \times 0.80902 \approx 48.5412$ million
   • 1 年後價格 ($S_{1.0}$)：
     • 從 $S_u$ 向上移動 ($S_{uu}$) = $S_u \times u = 74.1642 \times 1.23607 \approx 91.625$ million
     • 從 $S_u$ 向下移動 / 從 $S_d$ 向上移動 ($S_{ud} = S_{du}$) = $S_u \times d = 74.1642 \times 0.80902 \approx 60.000$ million (這是期望值，應等於 $S_0$ 乘以 $e^{r \Delta t \times 2}$ 才能保證無套利，但由於我們是校準到標準差，這裡的 $S_{ud}$ 可能是 $S_0 \times u \times d = 60 \times 1.23607 \times 0.80902 \approx 60$ million，剛好等於 $S_0$)。
     • 從 $S_d$ 向下移動 ($S_{dd}$) = $S_d \times d = 48.5412 \times 0.80902 \approx 39.270$ million

步驟二：計算選擇權在各節點的價值 (Option Value at Each Node)

這個選項是可在 6 個月或 1 年後執行的，所以我們需要考慮兩種情況：

1. 如果選擇權只能在 1 年後執行 (Plain Vanilla Call Option)：
   在 1 年後節點：

   • $C_{uu} = \max(S_{uu} - K, 0) = \max(91.625 - 67, 0) = 24.625$ million
   • $C_{ud} = \max(S_{ud} - K, 0) = \max(60.000 - 67, 0) = 0$ million
   • $C_{dd} = \max(S_{dd} - K, 0) = \max(39.270 - 67, 0) = 0$ million

   在 6 個月節點 (使用風險中性機率反向推算)：

   • $C_u = e^{-r \Delta t} [p \times C_{uu} + (1-p) \times C_{ud}]$
     $C_u = e^{-0.03} [0.51853 \times 24.625 + 0.48147 \times 0] \approx 0.97045 \times 12.756 \approx 12.400$ million
   • $C_d = e^{-r \Delta t} [p \times C_{ud} + (1-p) \times C_{dd}]$
     $C_d = e^{-0.03} [0.51853 \times 0 + 0.48147 \times 0] = 0$ million

   在今日節點 (使用風險中性機率反向推算)：

   • $C_0 = e^{-r \Delta t} [p \times C_u + (1-p) \times C_d]$
     $C_0 = e^{-0.03} [0.51853 \times 12.400 + 0.48147 \times 0] \approx 0.97045 \times 6.429 \approx 6.239$ million

   但是，這個選項不是 plain vanilla。它可以在 6 個月或 1 年執行，且有租金收入。

2. 考慮多重執行點與租金收入：

   我們需要從最後一步 (1 年後) 開始，逐級向前推算。

   步驟 2.1：計算 1 年後節點的選擇權價值 (t=1.0 年)

   • 節點 $S_{uu}$ (91.625 million):

     • 執行權價值：$\max(S_{uu} - K, 0) = \max(91.625 - 67, 0) = 24.625$ million
     • 租金收入：第二次應計租金為 $1 million。
     • 若在 1 年後執行，買方將獲得此租金。
     • 所以，在 $S_{uu}$ 節點的選擇權價值 = 執行權價值 + 租金收入 = $24.625 + 1 = 25.625$ million。

   • 節點 $S_{ud}$ (60.000 million):

     • 執行權價值：$\max(S_{ud} - K, 0) = \max(60.000 - 67, 0) = 0$ million
     • 租金收入：第二次應計租金為 $1 million。
     • 若在 1 年後執行，買方將獲得此租金。
     • 所以，在 $S_{ud}$ 節點的選擇權價值 = 執行權價值 + 租金收入 = $0 + 1 = 1$ million。

   • 節點 $S_{dd}$ (39.270 million):

     • 執行權價值：$\max(S_{dd} - K, 0) = \max(39.270 - 67, 0) = 0$ million
     • 租金收入：第二次應計租金為 $1 million。
     • 若在 1 年後執行，買方將獲得此租金。
     • 所以，在 $S_{dd}$ 節點的選擇權價值 = 執行權價值 + 租金收入 = $0 + 1 = 1$ million。

   1 年後節點的選擇權價值 (從右往左計算)：

   • $C_{uu}(1) = 25.625$ million
   • $C_{ud}(1) = 1$ million
   • $C_{dd}(1) = 1$ million

   步驟 2.2：計算 6 個月後節點的選擇權價值 (t=0.5 年)

   在 6 個月後的節點，我們需要考慮兩個因素：

   1. 期權價值 (Option Value)： 這是從未來節點 (1 年後) 的期權價值，使用風險中性機率折現回來。
   2. 執行價值 (Exercise Value)： 如果在 6 個月時執行，選擇權的價值是 $\max(S - K, 0)$。
   3. 租金收入 (Accrued Rent)： 如果在 6 個月時執行，買方可以獲得 $1 million 的租金。

   在節點 $S_u$ (74.1642 million) 處：

   • 期權價值 (Discounted Future Option Value)：
     $C_u(0.5) = e^{-r \Delta t} [p \times C_{uu}(1) + (1-p) \times C_{ud}(1)]$
     $C_u(0.5) = e^{-0.03} [0.51853 \times 25.625 + 0.48147 \times 1]$
     $C_u(0.5) = 0.97045 \times (13.275 + 0.481) = 0.97045 \times 13.756 \approx 13.350$ million

   • 執行價值 (Exercise Value at 6 months)：
     $E_u = \max(S_u - K, 0) = \max(74.1642 - 67, 0) = 7.1642$ million

   • 租金收入 (Accrued Rent at 6 months)： $1 million$

   • 總價值 (Total Value) 在 $S_u$ 節點：
     因為選項持有人可以在 6 個月時執行，所以其價值是：
     (執行時的價值 + 租金收入) 與 (繼續持有到 1 年後的期權價值) 的較大者。
     價值 = $\max(E_u + \text{Rent}_1, C_u(0.5))$
     價值 = $\max(7.1642 + 1, 13.350) = \max(8.1642, 13.350) = 13.350$ million

核心觀念

• 回收期（Payback Period）：不考慮時間價值，累計現金流與初始投資相等時的時間。
• 內部報酬率（IRR）：使所有現金流的 淨現值 (NPV) 為 0 的折現率。
• 修正內部報酬率（MIRR）：考慮資金成本與正向現金流再投資之收益率
  $\text{MIRR}= \left(\frac{FV_{\text{正現金流}}}{|PV_{\text{負現金流}}|}\right)^{1/n}-1$
• 盈餘指數（Profitability Index, PI）：
  $\text{PI}= \frac{PV_{\text{未來現金流}}}{|CF_0|}= \frac{NPV+|CF_0|}{|CF_0|}$
• 淨現值（NPV）：以公司要求報酬率 $r$ 折現所有現金流之總和
  $NPV=\sum_{t=0}^{n}\frac{CF_t}{(1+r)^t}$

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A. 計算結果

指標	計算步驟	數值
回收期	累計未折現現金流：<br> $-825,\,-665,\,-480,\,-265,\,-20,\,+190$ （第 5 年正）<br> 於第 4 年末尚差 20，年 5 現金流 210，回收比例 $20/210=0.095$ 年	4.10 年
內部報酬率 (IRR)	解方程式 $\displaystyle\sum_{t=0}^{9}\frac{CF_t}{(1+IRR)^t}=0$。<br> 以 12%、15%、16%、16.2% 試算，得到 NPV 分別為 +120.4、+30.9、+4.0、≈‑1.2（百萬美元）。線性插值得 IRR ≈ 16.1 %	≈ 16.1 %

本題考查外部性 (Externality) 的概念，包括其定義、正負面影響，以及外部性如何影響公司價值，並探討外部性衡量。

核心觀念：

• 外部性 (Externality)： 指某經濟主體的行為對其他經濟主體產生了影響，但這種影響沒有在市場價格中得到反映。它是一種市場失靈。
• 正面外部性 (Positive Externality)： 某主體的行為對他人產生了有利影響，但受益者無需支付。
• 負面外部性 (Negative Externality)： 某主體的行為對他人產生了不利影響，但行為者無需賠償。
• 公司價值與外部性： 外部性會影響公司的生產成本、收入、風險、聲譽，進而影響其總體價值。
• 外部性衡量： 試圖量化外部性對公司或社會的影響。

A. 描述外部性，以及正面與負面外部性

外部性 (Externality)：
外部性是指一個經濟個體（個人或企業）的活動對另一個經濟個體產生了非市場化的影響。這種影響可能是正面的（好處）或負面的（壞處），而且這種影響沒有通過市場機制（如價格）得到補償或收取。換句話說，外部性是經濟活動的副產品，其成本或效益被轉嫁給了第三方，而未在交易雙方之間進行內部化。

正面外部性 (Positive Externality)：
當一個經濟個體的行為對他人產生了額外的、未被支付的利益時，就產生了正面外部性。

• 例子：
  • 個人： 一個家庭精心維護其花園，美化了整個社區的景觀，鄰居們因此受益。
  • 企業： 一家製藥公司投入巨資研發新藥，不僅為公司帶來利潤，也為社會大眾帶來健康福音。一家公司進行的基礎研究（如開發新技術），可能被其他公司學習和應用，推動整個行業的進步。公司在某個區域進行環境綠化，不僅美化了環境，也可能改善了當地的空氣品質。
• 特點： 社會收益（Social Benefit）大於私人收益（Private Benefit）。

負面外部性 (Negative Externality)：
當一個經濟個體的行為對他人造成了額外的、未被補償的損害時，就產生了負面外部性。

• 例子：
  • 個人： 一個工廠排放污染的廢水，污染了河流，影響了下游居民的用水和漁業。
  • 企業： 一家工廠排放空氣污染物，導致附近居民的健康問題和環境破壞。一棟建築物阻擋了鄰近區域的陽光。一家公司過度開採地下水，導致地區性地下水位下降。
• 特點： 社會成本（Social Cost）大於私人成本（Private Cost）。

B. 公司價值為何與外部性連結？您是否聽過公司的外部性衡量？

公司價值為何與外部性連結？

公司價值（通常指股東價值）是其未來預期現金流量的現值。外部性通過多種方式影響這些現金流量和價值：

1. 成本與收入的影響：

   • 負面外部性： 如果公司產生負面外部性（如污染），它可能面臨政府的懲罰性稅收、罰款、訴訟費用、清理成本，或者面臨消費者抵制、聲譽受損等，這些都會增加公司的成本，減少現金流入，從而降低公司價值。
   • 正面外部性： 如果公司產生正面外部性（如創新技術、社區貢獻），它可能獲得政府補貼、稅收優惠，或者因為良好的聲譽而吸引更多客戶、人才，甚至獲得更低的融資成本。這些都會增加公司的收入或減少成本，從而提升公司價值。

2. 風險與機會：

   • 負面外部性： 產生負面外部性可能使公司面臨更大的監管風險、法律風險、聲譽風險和市場風險。例如，因環境污染被罰款或關閉，或因社會責任問題而失去消費者信任。
   • 正面外部性： 產生正面外部性（如積極的 ESG 表現）可能降低公司的風險，提升其在投資者（特別是 ESG 導向的投資者）心中的吸引力，從而可能獲得更低的資金成本和更高的市場估值。

3. 聲譽與品牌價值：

   • 公司的外部性行為（正面或負面）直接影響其公眾形象和品牌價值。良好的聲譽可以吸引客戶、人才，並建立忠誠度，對公司長期價值至關重要。反之，負面外部性會嚴重損害品牌聲譽。