108 年 國立臺北大學國際企業研究所《統計學》

本題考驗離散型隨機變數的機率質量函數 (pmf) 與期望值 (Expected Value) 的計算。

首先，我們需要根據給定的 pmf 計算出 $x=-1, 0, 1$ 各自的機率值。
當 $x = -1$ 時，$f(-1) = \frac{(|-1+1|)^2}{9} = \frac{0^2}{9} = 0$。
當 $x = 0$ 時，$f(0) = \frac{(|0+1|)^2}{9} = \frac{1^2}{9} = \frac{1}{9}$。
當 $x = 1$ 時，$f(1) = \frac{(|1+1|)^2}{9} = \frac{2^2}{9} = \frac{4}{9}$。
檢查總機率是否為 1：$0 + \frac{1}{9} + \frac{4}{9} = \frac{5}{9} \neq 1$。
這表示題目給定的 pmf 有誤，或者題目意圖是給定一個與此形式類似的函數，但需要自行調整常數以滿足機率總和為 1 的條件。
假設題目是想給定一個形式為 $f(x) = c \cdot (|x+1|)^2$，其中 $c$ 是一個常數，使得總機率為 1。
$f(-1) = c \cdot (|-1+1|)^2 = 0$
$f(0) = c \cdot (|0+1|)^2 = c \cdot 1^2 = c$
$f(1) = c \cdot (|1+1|)^2 = c \cdot 2^2 = 4c$
總機率為 $0 + c + 4c = 5c = 1$，所以 $c = \frac{1}{5}$。
那麼實際的 pmf 應該是 $f(x) = \frac{(|x+1|)^2}{5}$，對應的機率為 $f(-1)=0$, $f(0)=\frac{1}{5}$, $f(1)=\frac{4}{5}$。

然而，如果我們嚴格按照題目給定的 $f(x) = \frac{(|x+1|)^2}{9}$ 來計算，並假設這是一個不完整的 pmf，但我們仍需基於此計算，這在學術考試中較少見。
由於題目明確給出 $f(x) = \frac{(|x+1|)^2}{9}$ 且 $x = -1,0,1$，我們必須先確認這是否為一個有效的 PMF。
$P(X=-1) = \frac{(|-1+1|)^2}{9} = \frac{0}{9} = 0$
$P(X=0) = \frac{(|0+1|)^2}{9} = \frac{1}{9}$
$P(X=1) = \frac{(|1+1|)^2}{9} = \frac{4}{9}$
總機率為 $0 + \frac{1}{9} + \frac{4}{9} = \frac{5}{9}$。
這不是一個有效的機率質量函數，因為總機率不為 1。
在考試中遇到此類情況，有幾種可能的處理方式：

1. 假設題目有印刷錯誤，並嘗試修正。
2. 假設題目意圖給定一個相對頻率分佈，並基於此進行計算。
3. 直接使用題目給定的函數進行計算，即使它不是一個嚴格意義上的 pmf。

為了完成解答，我們將假設題目意圖提供一個有效的 PMF，並且該 PMF 與給定的形式成比例，且值域為 {-1, 0, 1}。
令 $P(X=x) = k \cdot \frac{(|x+1|)^2}{9}$。
$P(X=-1) = k \cdot \frac{(|-1+1|)^2}{9} = k \cdot 0 = 0$
$P(X=0) = k \cdot \frac{(|0+1|)^2}{9} = k \cdot \frac{1}{9}$
$P(X=1) = k \cdot \frac{(|1+1|)^2}{9} = k \cdot \frac{4}{9}$
總機率為 $0 + k \cdot \frac{1}{9} + k \cdot \frac{4}{9} = k \cdot \frac{5}{9} = 1$。
因此，$k = \frac{9}{5}$。
修正後的機率為：
$P(X=-1) = 0$

本題考驗二項分佈 (Binomial Distribution) 的應用。
題目描述了一個典型的二項分佈場景：

1. 有固定數目的試驗次數 (n=7, 選擇七隻鴨子)。
2. 每次試驗只有兩種可能結果 (感染或未感染)。
3. 每次試驗成功的機率是固定的 (p=0.15, 鴨子感染的機率)。
4. 各次試驗是獨立的。

隨機變數 X 代表七隻鴨子中被感染的數量。因此，X 服從二項分佈 $B(n=7, p=0.15)$。
二項分佈的機率質量函數 (pmf) 為：
$P(X=k) = \binom{n}{k} p^k (1-p)^{n-k}$
其中 $n=7$, $p=0.15$, $1-p = 1 - 0.15 = 0.85$。

(a) Find $P(X = 1)$.
我們需要計算當 k=1 時的機率。
$P(X=1) = \binom{7}{1} (0.15)^1 (0.85)^{7-1}$
$P(X=1) = \binom{7}{1} (0.15)^1 (0.85)^6$
$\binom{7}{1} = \frac{7!}{1!(7-1)!} = \frac{7!}{1!6!} = 7$
$P(X=1) = 7 \times 0.15 \times (0.85)^6$
計算 $(0.85)^6$:
$(0.85)^6 \approx 0.377149515625$

本題考驗中央極限定理 (Central Limit Theorem) 以及常態分佈 (Normal Distribution) 的應用。

題目給定母體 X 服從常態分佈，其平均數 $\mu = 77$，變異數 $\sigma^2 = 25$。
從此母體抽取樣本大小為 $n=16$ 的隨機樣本，並令 $\bar{X}$ 為樣本平均數。

根據中央極限定理，即使母體本身不是常態分佈，當樣本大小足夠大時 (通常 $n \ge 30$ 即可)，樣本平均數 $\bar{X}$ 的抽樣分佈會近似於常態分佈。
然而，在本題中，母體 X 本身就是常態分佈，因此，不論樣本大小 $n$ 如何，樣本平均數 $\bar{X}$ 的抽樣分佈都會是精確的常態分佈。

樣本平均數 $\bar{X}$ 的抽樣分佈具有以下性質：
平均數：$E(\bar{X}) = \mu = 77$
變異數：$Var(\bar{X}) = \frac{\sigma^2}{n} = \frac{25}{16}$
標準差：$SD(\bar{X}) = \sqrt{Var(\bar{X})} = \sqrt{\frac{25}{16}} = \frac{5}{4} = 1.25$

所以，$\bar{X} \sim N(\mu_{\bar{X}} = 77, \sigma^2_{\bar{X}} = \frac{25}{16})$，即 $\bar{X} \sim N(77, 1.25^2)$。

本題考驗樣本統計量估計母體參數，特別是樣本標準差估計母體標準差，以及母體平均數的信賴區間 (Confidence Interval) 計算。由於母體標準差 $\sigma$ 未知，我們需要使用 t 分佈來建構信賴區間。

首先，我們需要計算樣本的平均數 $\bar{x}$ 和樣本標準差 $s$。
樣本數據：25, 47, 32, 56。樣本大小 $n=4$。

計算樣本平均數 $\bar{x}$：
$\bar{x} = \frac{25 + 47 + 32 + 56}{4} = \frac{160}{4} = 40$。

計算樣本變異數 $s^2$ (使用 $n-1$ 作為分母)：
首先計算平方和 $\sum_{i=1}^n (x_i - \bar{x})^2$：
$(25-40)^2 = (-15)^2 = 225$
$(47-40)^2 = (7)^2 = 49$
$(32-40)^2 = (-8)^2 = 64$
$(56-40)^2 = (16)^2 = 256$
$\sum_{i=1}^4 (x_i - \bar{x})^2 = 225 + 49 + 64 + 256 = 594$。

樣本變異數 $s^2 = \frac{\sum_{i=1}^n (x_i - \bar{x})^2}{n-1} = \frac{594}{4-1} = \frac{594}{3} = 198$。

(a) Find a point estimate of $\sigma$.
母體標準差 $\sigma$ 的點估計量是樣本標準差 $s$。
$s = \sqrt{s^2} = \sqrt{198}$。
$\sqrt{198} = \sqrt{9 \times 22} = 3\sqrt{22}$。
計算近似值：$\sqrt{22} \approx 4.6904$。
$s \approx 3 \times 4.6904 \approx 14.0712$。

本題考驗兩獨立樣本平均數的假設檢定 (Hypothesis Testing for the Difference Between Two Independent Means)。由於假設兩母體變異數相等 (equal variances)，我們將使用合併變異數 (pooled variance) 的 t 檢定。

已知資訊：
男性組 (X)：樣本大小 $n_X = 25$，樣本平均數 $\bar{x} = 35.5$，樣本標準差 $s_X = 3.0$。
女性組 (Y)：樣本大小 $n_Y = 25$，樣本平均數 $\bar{y} = 33.0$，樣本標準差 $s_Y = 4.0$。
母體假設：兩母體服從常態分佈，且母體變異數相等 ($\sigma_X^2 = \sigma_Y^2$)。
檢定水準：$\alpha = 0.05$。

(a) Write the null and alternative hypotheses with symbols.
檢定的目的是測試男女平均跗骨長是否相等，以及男性是否比女性長。
虛無假設 ($H_0$) 是兩種平均跗骨長相等。
對立假設 ($H_1$) 是男性的平均跗骨長大於女性的平均跗骨長。

$H_0: \mu_X = \mu_Y$ (或 $\mu_X - \mu_Y = 0$)
$H_1: \mu_X > \mu_Y$ (或 $\mu_X - \mu_Y > 0$)
這是一個單尾檢定 (right-tailed test)。

(b) Compute the test statistics.
由於假設母體變異數相等，我們需要計算合併變異數 (pooled variance, $s_p^2$)。
$s_p^2 = \frac{(n_X-1)s_X^2 + (n_Y-1)s_Y^2}{n_X + n_Y - 2}$
$s_p^2 = \frac{(25-1)(3.0)^2 + (25-1)(4.0)^2}{25 + 25 - 2}$
$s_p^2 = \frac{24 \cdot 9 + 24 \cdot 16}{48}$
$s_p^2 = \frac{24 \cdot (9 + 16)}{48}$
$s_p^2 = \frac{24 \cdot 25}{48}$
$s_p^2 = \frac{600}{48} = 12.5$

合併標準差 $s_p = \sqrt{12.5}$。

t 檢定的統計量公式為：

本部分為選擇題，主要測試課堂基礎觀念。

1. Goodness of fit test (卡方適配度檢定)
   卡方適配度檢定用於檢驗觀察到的頻率分佈是否與理論上的預期頻率分佈一致。為了確保卡方檢定的近似性有效，要求每個預期頻率 (expected frequency) 必須滿足一定的條件。
   常見的規則是，每個預期頻率應至少為 5。有些教科書或軟體可能會稍微放寬，例如允許一些預期頻率低於 5，但不能太少，也不能有預期頻率為 0。
   選項 (a) "at least 5" 是最常見且嚴謹的要求。
   【答案】(a) at least 5

2. Goodness of fit test (卡方適配度檢定) 的抽樣分佈
   卡方適配度檢定是基於卡方統計量 ($\chi^2$ statistic) 的。在虛無假設為真時，該統計量服從卡方分佈。
   $\chi^2 = \sum \frac{(O_i - E_i)^2}{E_i}$
   其中 $O_i$ 是觀察頻率，$E_i$ 是預期頻率。
   【答案】(d) chi-square distribution

3. ANOVA (變異數分析) 的自由度
   ANOVA 用於比較多個組別的平均數。在此題中，有 6 個獨立樣本 (組別)，每個樣本有 20 個觀察值。
   總觀察數 $N = 6 \times 20 = 120$。
   組間自由度 (numerator degrees of freedom, df1) 等於組別數量減 1：$df_1 = 6 - 1 = 5$。
   組內自由度 (denominator degrees of freedom, df2) 等於總觀察數減組別數量：$df_2 = N - 6 = 120 - 6 = 114$。
   或者，每個組別的組內自由度是 $n_i - 1$，總組內自由度是 $\sum (n_i - 1) = 6 \times (20-1) = 6 \times 19 = 114$。
   F 檢定的自由度是 (組間自由度, 組內自由度)。
   【答案】(c) 5 numerator and 114 denominator degrees of freedom

4. ANOVA (變異數分析) 中的 MSE
   MSE (Mean Square Error) 是組內變異數的估計量，也稱為殘差均方 (Mean Squared Residual)。
   MSE 的計算公式是 SSE (Sum of Squared Errors) 除以其對應的自由度 (dfE)。
   SSE 是總平方和 (SST) 減去 SSR (Sum of Squares Regression)。在 ANOVA 中，SSE 也常稱為 SSW (Sum of Squares Within) 或 SSB (Sum of Squares Between Treatments)。
   這裡的 SSE 代表組內誤差平方和。
   題目給定 3 個處理 (treatments)，每個處理有 10 個觀察值。
   總觀察數 $N = 3 \times 10 = 30$。
   組間自由度 (Treatments) $df_{Tr} = 3 - 1 = 2$。

本部分為選擇題的續篇。

7. Regression and correlation analysis ($r^2 = 1$)
   在迴歸分析中，決定係數 $R^2$ (或 $r^2$ 在簡單線性迴歸中) 表示因變數總變異量 (SST) 中，有多少比例可以被自變數解釋。
   $R^2 = \frac{SSR}{SST}$，其中 SSR 是迴歸平方和 (Sum of Squares Regression)，SST 是總平方和 (Total Sum of Squares)。
   SSE (Sum of Squares Error) 是殘差平方和，與 SST 和 SSR 的關係是：$SST = SSR + SSE$。
   如果 $r^2 = 1$，表示所有的變異量都可以被迴歸模型解釋，即 $SSR = SST$。
   這意味著殘差平方和 SSE 必須為 0。
   選項分析：
   a. $SSE = SST$：若 SSE=SST，則 SSR=0，表示迴歸線是水平的，這與 $r^2=1$ 相矛盾。
   b. $SSE = 1$：沒有理由 SSE 會等於 1。
   c. $SSR = SSE$：若 SSR=SSE，則 $SST = SSR + SSE = 2 \times SSR$。$R^2 = SSR/SST = SSR/(2 \times SSR) = 0.5$，這與 $r^2=1$ 相矛盾。
   d. $SSR = SST$：當 $r^2 = 1$ 時，代表模型完美解釋了所有變異，所以迴歸平方和等於總平方和。這也意味著 SSE = 0。
   【答案】(d) SSR = SST

8. Comparing means of two populations
   比較兩個母體的平均數是否相等：
   a. t test：用於比較兩個母體平均數。
   b. Analysis of variance (ANOVA)：用於比較三個或更多母體的平均數。雖然也可以用於兩個母體，但 t 檢定更直接。
   c. Either a t test or an analysis of variance can be performed：對於比較兩個母體，t 檢定是最標準的方法。ANOVA 也可以，但它是 t 檢定的推廣。

本題考驗獨立性檢定 (Test of Independence)，屬於卡方檢定的一種應用。我們需要檢定管理職位 (Position) 是否與專業領域 (Major) 獨立。

給定的數據是一個列聯表 (contingency table)：

Major	Top Management	Middle Management	TOTAL
Management	28	22	50
Marketing	12	8	20
Accounting	10	20	30
TOTAL	50	50	100

(a) State the null and alternative hypotheses.
虛無假設 ($H_0$) 是兩個變數是獨立的。
對立假設 ($H_1$) 是兩個變數不是獨立的 (即存在關聯性)。

$H_0$: 管理職位 (Position) 與專業領域 (Major) 是獨立的。
$H_1$: 管理職位 (Position) 與專業領域 (Major) 不是獨立的。

(b) At 95% confidence using the p-value approach, test the hypotheses. What is your conclusion?
檢定步驟：

1. 計算預期頻率 (Expected Frequencies)
   在虛無假設 (獨立性) 為真的情況下，預期頻率 $E_{ij}$ 的計算公式為：
   $E_{ij} = \frac{(\text{Row Total}) \times (\text{Column Total})}{\text{Grand Total}}$
   我們需要計算每個單元格的預期頻率。

   • $E_{\text{Mgmt, Top}} = \frac{50 \times 50}{100} = 25$
   • $E_{\text{Mgmt, Middle}} = \frac{50 \times 50}{100} = 25$
   • $E_{\text{Mktg, Top}} = \frac{20 \times 50}{100} = 10$
   • $E_{\text{Mktg, Middle}} = \frac{20 \times 50}{100} = 10$
   • $E_{\text{Acct, Top}} = \frac{30 \times 50}{100} = 15$
   • $E_{\text{Acct, Middle}} = \frac{30 \times 50}{100} = 15$

   預期頻率表：

   Major	Top Management	Middle Management
   Management	25	25
   Marketing	10	10
   Accounting	15	15

2. 計算卡方檢定統計量 ($\chi^2$ statistic)
   檢定統計量的公式為：
   $\chi^2 = \sum_{i,j} \frac{(O_{ij} - E_{ij})^2}{E_{ij}}$
   其中 $O_{ij}$ 是觀察到的頻率，$E_{ij}$ 是預期頻率。

本題考驗雙因子變異數分析 (Two-Way ANOVA) 的應用。實驗目的是比較三種訓練計畫 (Factor A: Program) 的效果，並考慮性別 (Factor B: Sex) 是否會影響效果。這是一個包含交互作用 (Interaction) 的因子實驗設計。

數據整理：
Factor A (Program): A, B, C (3 levels)
Factor B (Sex): 1, 2 (2 levels)
每個組合 (cell) 有 4 個觀察值。
總觀察數 $N = 3 \times 2 \times 4 = 24$。

給定的平方和：
SSA (Sum of Squares for Factor A, Program) = 184.33
SSB (Sum of Squares for Factor B, Sex) = 28.17
SSAB (Sum of Squares for Interaction A*B) = 8.33
SST (Total Sum of Squares) = 405.83

(a) Set up the ANOVA table.
ANOVA 表需要計算各項的自由度 (df) 和均方 (MS)，以及 F 統計量。
首先計算各項的自由度：

• dfA (Program) = (A 的層數) - 1 = 3 - 1 = 2
• dfB (Sex) = (B 的層數) - 1 = 2 - 1 = 1
• dfAB (Interaction A*B) = dfA * dfB = 2 * 1 = 2
• dfE (Error) = N - (A 的層數) * (B 的層數) = 24 - (3 * 2) = 24 - 6 = 18
  或者，dfE = N - 1 - dfA - dfB - dfAB = 24 - 1 - 2 - 1 - 2 = 18。
• dfT (Total) = N - 1 = 24 - 1 = 23。檢查：dfA + dfB + dfAB + dfE = 2 + 1 + 2 + 18 = 23 = dfT。

接下來計算平方和 (SS) 和均方 (MS)：

• SSA = 184.33
• SSB = 28.17
• SSAB = 8.33
• SSE (Error SS) = SST - SSA - SSB - SSAB
  SSE = 405.83 - 184.33 - 28.17 - 8.33 = 184.90

計算均方 (MS = SS / df)：

• MSA = SSA / dfA = 184.33 / 2 = 92.165
• MSB = SSB / dfB = 28.17 / 1 = 28.17
• MSAB = SSAB / dfAB = 8.33 / 2 = 4.165
• MSE = SSE / dfE = 184.90 / 18 $\approx$ 10.2722

最後計算 F 統計量 (F = MS / MSE)：

• F_A = MSA / MSE = 92.165 / 10.2722 $\approx$ 8.9725
• F_B = MSB / MSE = 28.17 / 10.2722 $\approx$ 2.7425
• F_AB = MSAB / MSE = 4.165 / 10.2722 $\approx$ 0.4054

ANOVA Table:

Source of Variation	SS	df	MS	F
Program (A)	184.33	2	92.165	8.9725
Sex (B)	28.17	1	28.17	2.7425
Interaction (A*B)	8.33	2	4.165	0.4054
Error (E)	184.90	18	10.2722
Total	405.83	23

(b) What advice would you give AAA Corporation? (Hint: Test for any significant differences due to programs, sex, and interactio

本題考驗複迴歸分析 (Multiple Regression Analysis) 的相關概念與應用，包括迴歸方程式、決定係數、個別自變數的顯著性檢定、整體迴歸模型的顯著性檢定，以及預測。

給定的資訊：
樣本大小 $n=20$。
自變數：$X_1$ (年齡), $X_2$ (教育程度), $X_3$ (性別)。
應變數：Y (收入，千美元)。
ANOVA 表部分資訊：
Regression SS = 84
Residual SS (SSE) = 112
迴歸係數 (Coefficients) 和標準誤 (Standard Error of Coefficient)：
Constant ($\hat{\beta}_0$) = 21.00, SE($\hat{\beta}_0$) = 0.70
$\hat{\beta}_1$ (for $X_1$) = 0.62, SE($\hat{\beta}_1$) = 0.10
$\hat{\beta}_2$ (for $X_2$) = 0.92, SE($\hat{\beta}_2$) = 0.19
$\hat{\beta}_3$ (for $X_3$) = -0.51, SE($\hat{\beta}_3$) = 0.92

(a) Present the estimated regression equation and compute the coefficient of determination. Explain it.
Estimated Regression Equation:
根據給定的係數，估計的迴歸方程式為：
$\hat{Y} = \hat{\beta}_0 + \hat{\beta}_1 X_1 + \hat{\beta}_2 X_2 + \hat{\beta}_3 X_3$
$\hat{Y} = 21.00 + 0.62 X_1 + 0.92 X_2 - 0.51 X_3$

Coefficient of Determination ($R^2$):
$R^2 = \frac{\text{Regression SS}}{\text{Total SS}}$
首先計算 Total SS：
Total SS = Regression SS + Residual SS (SSE)
Total SS = 84 + 112 = 196
$R^2 = \frac{84}{196}$
$R^2 = \frac{84}{196} = \frac{21}{49} = \frac{3}{7} \approx 0.4286$

Explanation of $R^2$:
$R^2 \approx 0.4286$ 表示模型中包含的自變數 ($X_1, X_2, X_3$) 總共解釋了因變數 Y (收入) 總變異的約 42.86%。換句話說，有約 57.14% 的收入變異無法被這個模型解釋。

(b) Use the t test to determine the significance of each independent variable. Let $\alpha = 0.05$. (For each test, give the null and alternative hypotheses, test statistic, and conclusion.)
對每個自變數，我們進行 t 檢定來判斷其迴歸係數是否顯著不為零。
檢定統計量 $t = \frac{\hat{\beta}_i}{SE(\hat{\beta}_i)}$。
自由度 $df = n - (\text{自變數個數}) - 1 = 20 - 3 - 1 = 16$。
臨界值 $t_{\alpha/2, df} = t_{0.025, 16}$。查表約為 2.120。

• For $X_1$ (Age):

  • $H_0: \beta_1 = 0$
  • $H_1: \beta_1 \neq 0$
  • Test Statistic: $t = \frac{0.62}{0.10} = 6.20$
  • Conclusion: Since $|6.20| > 2.120$, we reject $H_0$. $X_1$ is a significant predictor of income at $\alpha=0.05$.

• For $X_2$ (Education Level):

  • $H_0: \beta_2 = 0$
  • $H_1: \beta_2 \neq 0$
  • Test Statistic: $t = \frac{0.92}{0.19} \approx 4.842$
  • Conclusion: Since $|4.842| > 2.120$, we reject $H_0$. $X_2$ is a significant predictor of income at $\alpha=0.05$.

• For $X_3$ (Gender):

  • $H_0: \beta_3 = 0$
  • $H_1: \beta_3 \neq 0$
  • Test Statistic: $t = \frac{-0.51}{0.92} \approx -0.554$