111 年 國立臺北大學國際企業研究所《統計學》

核心觀念

本題考查「列聯表卡方獨立性檢定」，用來判斷兩個類別變數是否具有關聯：

• 變數一：貸款類型（商業、消費、不動產）
• 變數二：地區（北部、西部、東部、南部）

在虛無假設成立時，各格的期望次數為：

卡方統計量為：

其中 $O_{ij}$ 為觀察次數，$E_{ij}$ 為期望次數。

解題方法

a. 商業貸款在北部的期望次數

商業貸款列合計為 $171$，北部欄合計為 $132$，總樣本數為 $350$，因此：

其意義是：若「貸款類型」與「地區」彼此獨立，則在總數 $350$ 筆貸款中，預期約有 $64.49$ 筆同時屬於商業貸款且來自北部。這是理論上的期望次數，不是實際觀察值；實際觀察值為 $62$ 筆。

b. 假設

令貸款類型為 $X$，地區為 $Y$。

c. 卡方獨立性檢定

各格期望次數如下：

本題主要考驗對樣本比例分佈的理解，以及如何計算機率。

核心觀念： 樣本比例分佈 (Sampling distribution of sample proportion)、二項分佈 (Binomial distribution)、中央極限定理 (Central Limit Theorem)。

a. 變數 p 的分佈類型與參數

我們已知母體中擁有 iPhone 的學生比例為 $P = 0.40$。
我們隨機抽取了 $n = 100$ 名學生。
隨機變數 $p$ 是這 100 名學生中擁有 iPhone 的樣本比例。

當樣本數 $n$ 足夠大時（通常滿足 $nP \ge 10$ 且 $n(1-P) \ge 10$），樣本比例 $p$ 的抽樣分佈近似於常態分佈。
在此題中：
$nP = 100 \times 0.40 = 40 \ge 10$
$n(1-P) = 100 \times (1-0.40) = 100 \times 0.60 = 60 \ge 10$
兩個條件都滿足，因此樣本比例 $p$ 的分佈近似於常態分佈。

這個近似常態分佈的參數如下：

• 平均值 (Mean): $E(p) = P = 0.40$
• 標準差 (Standard Deviation)，也稱為標準誤 (Standard Error):

本題考驗對組合、條件機率以及樹狀圖的應用，以計算從特定群體中抽取樣本的機率。

核心觀念： 組合 (Combination)、條件機率 (Conditional Probability)、樹狀圖 (Tree Diagram)、機率計算。

母體資訊：
總學生數 $N = 51$
女性學生數 $N_F = 12$
男性學生數 $N_M = 39$
(注意：$12 + 39 = 51$，題目資訊正確)

老師隨機抽取 2 名學生組成一對。

a. 樹狀圖 (Tree Diagram)

樹狀圖可以幫助我們視覺化抽樣過程中的各種可能性及其機率。由於是隨機抽取兩位學生，我們可以考慮第一次抽取和第二次抽取。

第一次抽取：

• 抽到女性 (F1) 的機率：$P(F1) = \frac{N_F}{N} = \frac{12}{51}$
• 抽到男性 (M1) 的機率：$P(M1) = \frac{N_M}{N} = \frac{39}{51}$

第二次抽取 (條件機率，取決於第一次抽取結果)：

• 若第一次抽到女性 (F1)：

  • 剩下學生數 = 50
  • 剩下女性數 = 11
  • 剩下男性數 = 39
  • 抽到女性 (F2 | F1) 的機率：$P(F2|F1) = \frac{11}{50}$
  • 抽到男性 (M2 | F1) 的機率：$P(M2|F1) = \frac{39}{50}$

• 若第一次抽到男性 (M1)：

  • 剩下學生數 = 50
  • 剩下女性數 = 12
  • 剩下男性數 = 38
  • 抽到女性 (F2 | M1) 的機率：$P(F2|M1) = \frac{12}{50}$
  • 抽到男性 (M2 | M1) 的機率：$P(M2|M1) = \frac{38}{50}$

樹狀圖結構：

      /-- F1 (12/51) -- F2 (11/50)  --> Prob: (12/51)*(11/50) = 132/2550 (FF)
     /
Start
     \-- M1 (39/51) -- F2 (12/50)  --> Prob: (39/51)*(12/50) = 468/2550 (MF)
           \-- M2 (38/50)  --> Prob: (39/51)*(38/50) = 1482/2550 (MM)

解釋：

• 從開始 (Start) 點出發，第一次抽取有兩種可能：女性 (F1) 或男性 (M1)，其機率分別標示在線上。
• 從第一次抽取的結果，再次分岔出第二次抽取的可能：女性 (F2) 或男性 (M2)。第二次抽取的機率是條件機率，取決於第一次抽取的結果，並標示在線上。
• 最終的路徑代表了兩次抽取的所有組合 (FF, MF, MM)，其總機率是從開始到該葉節點所有機率的乘積。

【答案】
見上述樹狀圖結構及解釋。

b. 一位是女性，另一位是男性的機率

這表示我們抽到的組合是「一女一男」。這可以透過兩種方式達成：

1. 第一次抽到女性，第二次抽到男性 (F1 and M2)。
2. 第一次抽到男性，第二次抽到女性 (M1 and F2)。

我們需要計算這兩種情況的機率，然後將它們加總。

核心觀念

本題文字包含兩個彼此不一致的情境：

• 第（1）小題討論桃園機場行李重量 $X$，已知 $\mu=28$、$\sigma=8$。
• 第（2）小題突然改為「蘋果」、標準差 $4$ 公斤，且未提供樣本數、樣本平均數等資料。

第（1）小題若要計算「確切機率」，必須知道 $X$ 的機率分配。若依統計學常見假設，令

即可使用常態分配標準化。

第（2）小題考查母平均數的信賴區間。顯著水準為 $5\%$，即信賴水準為 $95\%$。

（1）行李重量落在 $[26.8,29.2]$ 的機率

題目給定

要求

先將上下限標準化：

因此

以及

所以

利用標準常態分配的累積分配函數 $\Phi(z)$：

由常態分配對稱性，

查表得

故

因此機率約為

亦即約 $11.92\%$。

（2）母平均數的 $95\%$ 信賴區間

此小題已改為蘋果重量，且給定母體標準差

品質等於 $5\%$ 表示顯著水準

因此信賴水準為

核心觀念

本題考查：

• 樣本平均數的意義；
• 母體平均數的信賴區間；
• 已知母體標準差時，使用標準常態分配建立區間估計。

已知樣本數 $n=199$，平均重量為 $199$，標準差為 $4$。品質要求為 $5\%$，表示顯著水準 $\alpha=0.05$，因此採用 $95\%$ 信賴區間。

已知母體標準差時，母體平均數的信賴區間為

其中

解題方法

（1）樣本平均重量

題目中的 $199\pm4$ 表示重量的中心值為 $199$，誤差或標準差為 $4$，因此樣本平均重量為

若重量單位為公克，則

（2）平均重量的估計區間

由於品質要求為 $5\%$，故信賴水準為

使用 $95\%$ 信賴區間：

核心觀念

本題考查隨機變數的線性轉換：

若 $Y=aX+b$，則

其中，變異數的比例係數必須平方；固定常數 $b$ 不會影響變異數。

本題假設投資金額增加時，淨收入按照相同比例增加，且沒有固定成本或其他非比例因素。

解題方法

（1）投資 $2$ 萬元

題目已將投資 $2$ 萬元所得到的淨收入定義為隨機變數 $X$，因此其平均數與變異數直接為

以及

若以 $\mu_X$ 表示 $X$ 的平均數，以 $\sigma_X^2$ 表示 $X$ 的變異數，則

（2）改投資 $10$ 萬元

投資金額由 $2$ 萬元增加至 $10$ 萬元，增加倍數為

在報酬率相同且淨收入與投資金額成正比的假設下，新的淨收入隨機變數為

因此，新的平均數為

核心觀念

每位學生是否選修該特定學科可視為一次伯努利試驗：

• 選修該科目：成功，機率 $p=0.25$
• 未選修該科目：失敗，機率 $q=1-p=0.75$

隨機抽取兩位學生，令 $X$ 為其中選修該科目的學生人數，因此

二項分配的期望值與變異數公式為

解題方法

（1）求 $E(X)$ 與變異數

代入 $n=2$、$p=0.25$：

變異數為

因此，

核心觀念

本題涉及樣本標準差的標準誤，以及常態母體下樣本變異數的抽樣分配。

若母體為常態分配，樣本數為 $n$，樣本變異數為 $S^2$，母體變異數為 $\sigma^2$，則：

1. 樣本變異數的抽樣分配為

2. 樣本標準差 $S$ 的標準誤通常以近似式計算：

實務上若以樣本標準差 $s$ 估計母體標準差 $\sigma$，則

解題方法

題目給出標準差 $s=18.69$，因此第一小題可得

但是題目未提供樣本數 $n$，所以無法得到唯一的數值答案。平均數 $3.51$ 不會出現在樣本標準差標準誤的計算公式中。

若題意是將 $18.69$ 視為母體標準差，則

又因為

所以

本題為題目 4 的重複，請

本題為題目 8 的重複，請

本題為題目 6 的重複，請

本題為題目 7 的重複，請