109 年 國立臺北大學國際企業研究所《統計學》

本題考驗對常態分配期望值、變異數的計算，以及利用峰度（Kurtosis）概念求變異數。

核心觀念：

1. 若 $X \sim N(\mu, \sigma^2)$，則 $E(X) = \mu$ 且 $Var(X) = \sigma^2$。
2. 峰度（Kurtosis）的定義為四階中心動差除以二階中心動差（變異數）的平方，即 $\beta_2 = \frac{E[(X-\mu)^4]}{(E[(X-\mu)^2])^2} = \frac{E[(X-\mu)^4]}{\sigma^4}$。對於標準常態分配 $Z \sim N(0,1)$，其峰度為 3。
3. 若 $Y = aX + b$，則 $E(Y) = aE(X) + b$ 且 $Var(Y) = a^2 Var(X)$。
4. 若 $Y = X^2$ 且 $X \sim N(\mu, \sigma^2)$，則 $E(Y) = E(X^2) = Var(X) + (E(X))^2 = \sigma^2 + \mu^2$。

解題步驟：
已知 $X \sim N(0, 4)$，所以 $\mu = E(X) = 0$ 且 $\sigma^2 = Var(X) = 4$。
令 $Y = X^2$。

(a) 求 $E(Y)$：
根據期望值的性質，對於任意隨機變數 $X$， $E(X^2) = Var(X) + (E(X))^2$。
將已知條件代入：
$E(Y) = E(X^2) = Var(X) + (E(X))^2 = \sigma^2 + \mu^2 = 4 + 0^2 = 4$。

【答案】$E(Y) = 4$

(b) 求 $Var(Y)$：
我們需要計算 $Var(Y) = Var(X^2)$。
已知標準常態分配 $Z \sim N(0,1)$ 的峰度 $\beta_2 = 3$。
對於標準常態分配 $Z$，其四階中心動差為 $E(Z^4) = 3$。

本題考驗聯合機率密度函數下的邊際機率密度函數與條件機率密度函數的計算。

核心觀念：

1. 邊際機率密度函數 (Marginal PDF)：若聯合機率密度函數為 $f(x,y)$，則 $Y$ 的邊際機率密度函數為 $f_Y(y) = \int_{-\infty}^{\infty} f(x,y) dx$。
2. 條件機率密度函數 (Conditional PDF)：若聯合機率密度函數為 $f(x,y)$，則在 $Y=y$ 的條件下，$X$ 的條件機率密度函數為 $f_{X|Y}(x|y) = \frac{f(x,y)}{f_Y(y)}$，其中 $f_Y(y) > 0$。
3. 積分區域的確定：計算積分時，需要根據聯合密度函數的定義域來確定積分上下限。

解題步驟：
給定的聯合機率密度函數為 $f(x, y) = 2$，定義域為 $x \ge 0, y \ge 0, x+y \le 1$。這個區域是一個三角形，其頂點為 $(0,0), (1,0), (0,1)$。

(a) 求 $f_Y(y)$，Y 的邊際機率密度函數：
$f_Y(y) = \int_{-\infty}^{\infty} f(x,y) dx$。
對於 $f_Y(y)$，我們需要對 $x$ 進行積分。從定義域 $x \ge 0, y \ge 0, x+y \le 1$ 可以看出，對於給定的 $y$， $x$ 的範圍是 $0 \le x \le 1-y$。
同時，由於 $y \ge 0$ 且 $x \ge 0$， $x+y \le 1$ 意味著 $y$ 的範圍是 $0 \le y \le 1$。
所以，
$f_Y(y) = \int_{0}^{1-y} 2 dx$
$f_Y(y) = [2x]_{0}^{1-y} = 2(1-y) - 2(0) = 2(1-y)$
此公式適用於 $0 \le y \le 1$。在其他範圍，$f_Y(y) = 0$。

【答案】$f_Y(y) = 2(1-y)$, for $0 \le y \le 1$。

本題考驗貝氏定理（Bayes' Theorem）在條件機率問題的應用，特別是關於疾病檢測的機率計算。

核心觀念：

1. 定義事件：

   • $I$: 表示一個人感染流感 (Influenza) 的事件。
   • $I^c$: 表示一個人未感染流感 (No Influenza) 的事件。
   • $Pos$: 表示檢測結果為陽性 (Positive) 的事件。
   • $Neg$: 表示檢測結果為陰性 (Negative) 的事件。

2. 給定的機率值：

   • $P(I) = 0.60$ (一個人感染流感的先驗機率，由歷史資料得知)。
   • $P(I^c) = 1 - P(I) = 1 - 0.60 = 0.40$ (一個人未感染流感的先驗機率)。
   • False Positive (假陽性): 檢測結果為陽性，但實際上未感染。即 $P(Pos | I^c) = 0.1$。
   • False Negative (假陰性): 檢測結果為陰性，但實際上已感染。即 $P(Neg | I) = 0.2$。

3. 推導其他重要機率值：

   • True Positive (真陽性): 檢測結果為陽性，且實際上已感染。
     $P(Pos | I) = 1 - P(Neg | I) = 1 - 0.2 = 0.8$。
   • True Negative (真陰性): 檢測結果為陰性，且實際上未感染。
     $P(Neg | I^c) = 1 - P(Pos | I^c) = 1 - 0.1 = 0.9$。

本題考驗對比例（Proportion）的信賴區間（Confidence Interval）估計。

核心觀念：

1. 比例的點估計：樣本比例 $\hat{p}$ 是母體比例 $p$ 的點估計。
   $\hat{p} = \frac{\text{成功次數}}{\text{樣本數}} = \frac{x}{n}$
2. 比例的信賴區間：當樣本數足夠大時（通常要求 $n\hat{p} \ge 5$ 且 $n(1-\hat{p}) \ge 5$），比例的信賴區間可以近似為：
   $\hat{p} \pm z_{\alpha/2} \sqrt{\frac{\hat{p}(1-\hat{p})}{n}}$
   其中 $z_{\alpha/2}$ 是標準常態分配下，使右側累積機率為 $\alpha/2$ 的 z 值。
   對於 95% 的信賴水準，$\alpha = 0.05$，所以 $\alpha/2 = 0.025$，對應的 $z_{0.025}$ 值為 1.96。

解題步驟：

1. 確定樣本資訊：

   • 樣本數 $n = 600$ ( surveyed citizens)。
   • 在樣本中支持候選人 H 的人數 $x = 240$ (citizens would vote for candidate H)。

2. 計算樣本比例 $\hat{p}$：
   $\hat{p} = \frac{x}{n} = \frac{240}{600} = \frac{24}{60} = \frac{2}{5} = 0.4$。
   這表示樣本中有 40% 的人會投票給候選人 H。

3. 檢查樣本數是否足夠大：

   • $n\hat{p} = 600 \times 0.4 = 240 \ge 5$

本題考驗獨立樣本 t 檢定（Independent Samples t-test）的應用，用於比較兩組獨立樣本的平均數是否存在顯著差異。

核心觀念：

1. 檢定目的：比較兩個獨立群體（July 和 January 的女性）的平均脂肪攝取量是否相同。
2. 統計方法：由於我們有兩個獨立的樣本，且母體標準差未知但假設相等，因此適合使用獨立樣本 t 檢定。
3. 假設設定：
   • 虛無假設 ($H_0$)：兩個母體平均脂肪攝取量相等。
     $H_0: \mu_{July} = \mu_{January}$
   • 對立假設 ($H_1$)：兩個母體平均脂肪攝取量不相等。
     $H_1: \mu_{July} \ne \mu_{January}$
     這是一個雙尾檢定。
4. 檢定統計量 (t-statistic)：
   當母體標準差未知但假設相等時，我們使用合併變異數 (pooled variance) 來計算標準誤。
   • 合併變異數 $s_p^2 = \frac{(n_1-1)s_1^2 + (n_2-1)s_2^2}{n_1+n_2-2}$
   • 檢定統計量 $t = \frac{(\bar{x}_1 - \bar{x}_2) - (\mu_1 - \mu_2)_0}{\sqrt{s_p^2 (\frac{1}{n_1} + \frac{1}{n_2})}}$
     在 $H_0$ 下，$(\mu_1 - \mu_2)_0 = 0$。
5. 自由度 (Degrees of Freedom, df)：
   $df = n_1 + n_2 - 2$
6. 顯著水準 (Significance Level)：
   題目指定 $\alpha = 0.05$。

解題步驟：

1. 識別樣本資訊：

   • 樣本 1 (July): $\bar{x}_1 = 30.83$, $s_1 = 4.30$, $n_1 = 12$
   • 樣本 2 (January): $\bar{x}_2 = 35.13$, $s_2 = 4.51$, $n_2 = 12$
   • 假設母體標準差相等。

2. 計算合併變異數 ($s_p^2$)：
   $s_1^2 = (4.30)^2 = 18.49$
   $s_2^2 = (4.51)^2 = 20.3401$
   $s_p^2 = \frac{(12-1)(18.49) + (12-1)(20.3401)}{12+12-2}$

本題考驗單因子變異數分析（One-Way ANOVA）的計算與應用，用於比較三個或更多獨立群體的平均數是否存在顯著差異。

核心觀念：

1. 單因子變異數分析 (One-Way ANOVA)：用於檢定三個或以上獨立群體（在此為雜誌版面 A, B, C）的母體平均數是否相等。
2. 平方和 (Sum of Squares, SS)：
   • 組間平方和 (Sum of Squares Between, SSB)：衡量各組平均數與總平均數之間的差異。題目已給定 $SSB = 223.33$。
   • 組內平方和 (Sum of Squares Within, SSW)：衡量各組內部數據點與該組平均數之間的差異。也稱為誤差平方和 (SSE)。
   • 總平方和 (Sum of Squares Total, SST)：衡量所有數據點與總平均數之間的差異。題目已給定 $SST = 403.33$。
     總平方和等於組間平方和與組內平方和之和：$SST = SSB + SSW$。
3. 均方 (Mean Square, MS)：
   • 組間均方 (Mean Square Between, MSB)：$MSB = \frac{SSB}{df_{between}}$。
   • 組內均方 (Mean Square Within, MSW)：$MSW = \frac{SSW}{df_{within}}$。也稱為均方誤差 (MSE)。
4. 自由度 (Degrees of Freedom, df)：
   • 組間自由度 $df_{between} = k - 1$，其中 $k$ 是群體數量。
   • 組內自由度 $df_{within} = N - k$，其中 $N$ 是總樣本數。
5. 檢定統計量 (Test Statistic)：
   ANOVA 的檢定統計量是 F 統計量：$F = \frac{MSB}{MSW}$。
   虛無假設 ($H_0$)：所有群體的母體平均數相等 ($\mu_A = \mu_B = \mu_C$)。
   對立假設 ($H_1$)：至少有一個群體的母體平均數不相等。

解題步驟：

1. 確定樣本資訊：

   • 群體數量 $k = 3$ (A, B, C)。
   • 每個群體的樣本數 $n_A = n_B = n_C = 5$。
   • 總樣本數 $N = n_A + n_B + n_C = 5 + 5 + 5 = 15$。
   • 組間平方和 $SSB = 223.33$。
   • 總平方和 $SST = 403.33$。

2. (a) 計算組內均方 (Mean Square Within, MSW)：
   首先，計算組內平方和 (SSW)：
   $SSW = SST - SSB = 403.33 - 223.33 = 180.00$。
   接下來，計算組內自由度 ($df_{within}$)：
   $df_{within} = N - k = 15 - 3 = 12$。
   最後，計算組內均方 (MSW)：
   $MSW = \frac{SSW}{df_{within}} = \frac{180.00}{12} = 15.00$。

本題考驗兩獨立樣本比例檢定與信賴區間估計。

核心觀念：

1. 比例的點估計：樣本比例 $\hat{p}$ 是母體比例 $p$ 的點估計。
2. 兩樣本比例差的點估計：$(\hat{p}_1 - \hat{p}_2)$ 是母體比例差 $(p_1 - p_2)$ 的點估計。
3. 兩比例的假設檢定：用於檢定兩個獨立母體比例是否相等。當樣本數足夠大時，可以使用 Z 檢定。
   • 虛無假設 ($H_0$)：$p_1 = p_2$ (或 $p_1 - p_2 = 0$)
   • 對立假設 ($H_1$)：$p_1 \ne p_2$ (或 $p_1 - p_2 \ne 0$)
   • 檢定統計量：$Z = \frac{(\hat{p}_1 - \hat{p}_2) - (p_1 - p_2)_0}{\sqrt{\hat{p}_c(1-\hat{p}_c)(\frac{1}{n_1} + \frac{1}{n_2})}}$
     其中 $(p_1 - p_2)_0 = 0$ (在 $H_0$ 下)，$\hat{p}_c$ 是合併比例 (pooled proportion)。
   • 合併比例 $\hat{p}_c = \frac{x_1 + x_2}{n_1 + n_2}$。
4. 兩比例差的信賴區間：
   $(\hat{p}_1 - \hat{p}_2) \pm z_{\alpha/2} \sqrt{\frac{\hat{p}_1(1-\hat{p}_1)}{n_1} + \frac{\hat{p}_2(1-\hat{p}_2)}{n_2}}$
   注意：在計算信賴區間時，使用各自的樣本比例來估計標準誤，而不是合併比例。

解題步驟：

1. 確定樣本資訊：

   • 樣本 1 (Men): $n_1 = 100$, $x_1 = 64$ (in favor)
   • 樣本 2 (Women): $n_2 = 100$, $x_2 = 80$ (in favor)

2. 計算樣本比例：

   • $\hat{p}_1 = \frac{x_1}{n_1} = \frac{64}{100} = 0.64$ (男性支持比例)
   • $\hat{p}_2 = \frac{x_2}{n_2} = \frac{80}{100} = 0.80$ (女性支持比例)

3. (a) 求兩母體比例差的點估計：
   點估計為樣本比例差：
   $\hat{p}_1 - \hat{p}_2 = 0.64 - 0.80 = -0.16$。
   這表示在樣本中，男性支持比例比女性低 0.16。

4. (b) 檢定兩母體比例相等的假設：

   • 虛無假設 $H_0: p_1 = p_2$ (即 $p_1 - p_2 = 0$)。
   • 對立假設 $H_1: p_1 \ne p_2$ (即 $p_1 - p_2 \ne 0$)。
   • 顯著水準 $\alpha = 0.05$ (題目指定)。
   • 計算合併比例 $\hat{p}_c$：
     $\hat{p}_c = \frac{x_1 + x_2}{n_1 + n_2} = \frac{64 + 80}{100 + 100} = \frac{144}{200} = 0.72$。
   • 計算檢定統計量 Z：

本題考驗多元迴歸分析（Multiple Linear Regression Analysis）的應用，包含迴歸模型的解釋、假設檢定以及預測。

核心觀念：

1. 迴歸模型：
   模型形式為：$Sales = \beta_0 + \beta_1 X_1 + \beta_2 X_2 + \beta_3 Price + \epsilon$。
   其中 $X_1$ 代表香蕉口味（1 為是，0 為否），$X_2$ 代表蘋果口味（1 為是，0 為否）。
   由於有三種口味（香蕉、蘋果、桃子），因此採用虛擬變數（dummy variables）編碼。

   • 香蕉口味：$X_1 = 1, X_2 = 0$。
   • 蘋果口味：$X_1 = 0, X_2 = 1$。
   • 桃子口味：$X_1 = 0, X_2 = 0$ (這是參照組，reference group)。
   • Price 是連續變數。
   • $\beta_0$ 是截距項 (intercept)。
   • $\beta_1$ 是香蕉口味相較於桃子口味的平均銷售差異。
   • $\beta_2$ 是蘋果口味相較於桃子口味的平均銷售差異。
   • $\beta_3$ 是價格每增加一個單位，平均銷售的變化量。

2. 決定係數 ($R^2$)：
   $R^2$ 代表總變異中，由迴歸模型所解釋的比例。
   $R^2 = \frac{SSR}{SST} = 1 - \frac{SSE}{SST}$
   其中 $SSR$ 是迴歸平方和 (Sum of Squares Regression)，$SSE$ 是誤差平方和 (Sum of Squares Error)，$SST$ 是總平方和 (Sum of Squares Total)。

3. ANOVA 表：
   ANOVA 表提供了 SSR, SSE, SST 以及它們對應的自由度 (df)。

   • $SSR$ (Regression SS) = 5847.495
   • $SSE$ (Error SS) = 325.0046
   • $SST$ (Total SS) = 6172.5
   • $df_{Regression} = k-1$，其中 $k$ 是自變數的數量。在此模型中，自變數是 $X_1, X_2, Price$，所以 $k=3$。因此 $df_{Regression} = 3$。
   • $df_{Error} = N-k-1$ (如果截距項算在內，則為 N-(k+1))，其中 N 是觀察值總數。題目中 Error df = 9，表示 $N - (3+1) = 9$，所以 $N=13$。
   • $df_{Total} = N-1 = 13-1 = 12$。
   • 驗證：$df_{Regression} + df_{Error} = 3 + 9 = 12 = df_{Total}$。