114 年 國立臺北大學國際企業研究所《統計學》

核心觀念

本題考查兩個統計觀念：

1. 標準分數（$z$-score）：衡量某筆資料距離平均數幾個標準差。

   $z=\frac{x-\bar{x}}{s}$

   其中：

   • $x$：觀察值
   • $\bar{x}$：樣本平均數
   • $s$：樣本標準差

2. 簡單線性迴歸：利用機器數量 $x$ 預測服務所需時間 $y$。

   迴歸方程式為：

   $\hat{y}=a+bx$

   其中 $\hat{y}$ 是預測的服務時間。

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解題方法

（一）計算服務每台機器需 14 分鐘的 $z$-score

題目提供「每台機器平均服務時間」資料：

$11.30,\ 6.89,\ 8.89,\ 8.75,\ 7.86,\ 13.33,\ 9.38,\ 8.25,\ 9.50,\ 8.17,\ 8.00,\ 9.17,\ 13.33$

其平均數為：

$$\bar{x} =\frac{11.30+6.89+\cdots+9.17+13.33}{13} =\frac{122.82}{13} \approx 9.45$$

題目給定每台機器平均服務時間的標準差為：

$s=2.02$

現在考慮某次服務中，每台機器平均需要 $14$ 分鐘，因此：

$x=14$

代入標準分數公式：

$$z=\frac{x-\bar{x}}{s} =\frac{14-9.45}{2.02} =\frac{4.55}{2.02} \approx 2.25$$

因此：

$\boxed{z=2.25}$

（二）$z$-score 的管理意義

$z=2.25$ 表示：

這次每台機器平均服務時間為 14 分鐘，比一般平均服務時間 9.45 分鐘高出約 2.25 個標準差。

由於其 $z$-score 大於 $2$，這筆資料屬於相對偏高、較不尋常的服務紀錄。管理者應進一步了解是否存在下列原因：

此題考驗對比例的信賴區間計算，以及如何將比例信賴區間轉換為數值區間。

核心觀念：

• 比例的信賴區間：用樣本比例來估計母體比例的範圍。
• 信賴區間的轉換：將比例信賴區間乘以總體人數，得到該類別人數的信賴區間。

解題過程：

Part a: 95% 信賴區間 (母體比例)

題目給予：
樣本大小 $n = 480$
樣本比例 $\hat{p} = 61\% = 0.61$
信賴水準為 95%，對應的 z 值為 $z_{\alpha/2} = 1.96$ (由 Table 2.1 提供)。

比例的信賴區間公式為：
$\hat{p} \pm z_{\alpha/2} \sqrt{\frac{\hat{p}(1-\hat{p})}{n}}$

首先計算標準誤 (standard error)：
$SE = \sqrt{\frac{\hat{p}(1-\hat{p})}{n}} = \sqrt{\frac{0.61(1-0.61)}{480}} = \sqrt{\frac{0.61 \times 0.39}{480}} = \sqrt{\frac{0.2379}{480}} = \sqrt{0.000495625} \approx 0.02226$

接著計算邊際誤差 (margin of error)：
$ME = z_{\alpha/2} \times SE = 1.96 \times 0.02226 \approx 0.04363$

最後計算信賴區間：
信賴區間 = $\hat{p} \pm ME$
信賴區間 = $0.61 \pm 0.04363$

下限：$0.61 - 0.04363 = 0.56637$
上限：$0.61 + 0.04363 = 0.65363$

四捨五入到小數點後四位：
信賴區間為 $[0.5664, 0.6536]$。

解釋：
我們有 95% 的信心，母體中吃過飯並使用過優惠券的比例介於 56.64% 到 65.36% 之間。

Part b: 95% 信賴區間 (母體人數)

題目給予：
台北市總人口數 $N = 2.495$ million $= 2,495,000$。
Part a 的 95% 信賴區間為 $[0.5664, 0.6536]$。

要計算人數的信賴區間，我們將比例的信賴區間乘以總人口數。

人數信賴區間 = (比例信賴區間) $\times$ (總人口數)

此題考驗對獨立性檢定（Chi-square test for independence）的理解與應用，包含計算期望次數、卡方統計量、解釋結果，以及在合併類別後的重新檢定。

核心觀念：

• 獨立性檢定：檢定兩個類別變數之間是否獨立，即一個變數的分布是否受另一個變數影響。
• 期望次數：在虛無假設（兩個變數獨立）下，每個儲存格的預期次數。
• 卡方統計量 ($\chi^2$)：衡量觀察次數與期望次數之間的差異。
• 合併類別：當某些類別的期望次數過小時，可以將其合併以滿足檢定假設。

解題過程：

Part a: 虛無與對立假設

題目詢問「一個特定類型的顧客（type of customers）是否對食物和服務有特定的偏好（tendency of service level）」。這是一個典型的獨立性檢定問題，我們檢定「顧客類型」與「滿意度等級」這兩個變數是否獨立。

• 虛無假設 ($H_0$)： 顧客類型與滿意度等級之間沒有關聯性（獨立）。也就是說，不同類型的顧客在滿意度等級上的分布是相同的。
• 對立假設 ($H_1$)： 顧客類型與滿意度等級之間有關聯性（不獨立）。也就是說，不同類型的顧客在滿意度等級上的分布是不同的。

Part b: 計算期望次數、卡方值，並進行檢定

這是對 Table 3.1 的數據進行卡方獨立性檢定。

1. 計算邊際總計 (Marginal Totals)：
已在 Table 3.1 中提供。
列總計 (Row Totals)：Students (148), Staff (65), Visitors (41)
欄總計 (Column Totals)：Very happy (66), happy (89), Not happy (35), Strongly not happy (64)
總計 (Grand Total)：254

2. 計算期望次數 (Expected Frequencies, $E_{ij}$)：
期望次數的公式為：$E_{ij} = \frac{\text{Row Total}_i \times \text{Column Total}_j}{\text{Grand Total}}$

• Students:

  • Very happy: $E_{11} = \frac{148 \times 66}{254} \approx 38.46$
  • happy: $E_{12} = \frac{148 \times 89}{254} \approx 51.77$
  • Not happy: $E_{13} = \frac{148 \times 35}{254} \approx 20.47$
  • Strongly not happy: $E_{14} = \frac{148 \times 64}{254} \approx 37.29$
    (檢查總計：$38.46 + 51.77 + 20.47 + 37.29 = 147.99 \approx 148$)

• Staff:

  • Very happy: $E_{21} = \frac{65 \times 66}{254} \approx 16.89$
  • happy: $E_{22} = \frac{65 \times 89}{254} \approx 22.74$
  • Not happy: $E_{23} = \frac{65 \times 35}{254} \approx 8.96$
  • Strongly not happy: $E_{24} = \frac{65 \times 64}{254} \approx 16.41$
    (檢查總計：$16.89 + 22.74 + 8.96 + 16.41 = 65.00$)

• Visitors:

  • Very happy: $E_{31} = \frac{41 \times 66}{254} \approx 10.67$
  • happy: $E_{32} = \frac{41 \times 89}{254} \approx 14.37$
  • Not happy: $E_{33} = \frac{41 \times 35}{254} \approx 5.65$
  • Strongly not happy: $E_{34} = \frac{41 \times 64}{254} \approx 10.31$
    (檢查總計：$10.67 + 14.37 + 5.65 + 10.31 = 41.00$)

3. 計算卡方統計量 ($\chi^2$)：
卡方統計量的公式為：$\chi^2 = \sum_{i}\sum_{j} \frac{(O_{ij} - E_{ij})^2}{E_{ij}}$
其中 $O_{ij}$ 是觀察次數，$E_{ij}$ 是期望次數。

類別 (i, j)	觀察次數 ($O_{ij}$)	期望次數 ($E_{ij}$)	$(O_{ij} - E_{ij})$	$(O_{ij} - E_{ij})^2$	$\frac{(O_{ij} - E_{ij})^2}{E_{ij}}$
Students, Very happy (1,1)	31	38.46	-7.46	55.65	1.45
Students, happy (1,2)	56	51.77	4.23	17.89	0.35
Students, Not happy (1,3)	26	20.47	5.53	30.58	1.49
Students, Strongly not happy (1,4)	35	37.29	-2.29	5.24	0.14
Staff, Very happy (2,1)	21	16.89	4.11	16.89	1.00
Staff, happy (2,2)	17	22.74	-5.74	32.95	1.45
Staff, Not happy (2,3)	4	8.96	-4.96	24.60	2.75
Staff, Strongly not happy (2,4)	23	16.41	6.59	43.43	2.65
Visitors, Very happy (3,1)	14	10.67	3.33	11.09	1.04
Visitors, happy (3,2)	16	14.37	1.63	2.66	0.19
Visitors, Not happy (3,3)	5	5.65	-0.65	0.42	0.07
Visitors, Strongly not happy (3,4)	6	10.31	-4.31	18.58	1.80
Total					16.58

計算得到的卡方統計量 $\chi^2 \approx 16.58$。

4. 確定自由度 (Degrees of Freedom, df)：
對於獨立性檢定，自由度為 $df = (\text{Number of Rows} - 1) \times (\text{Number of Columns} - 1)$
$df = (3 - 1) \times (4 - 1) = 2 \times 3 = 6$

5. 決定臨界值 (Critical Value)：
在顯著水準 $\alpha = 0.05$ 下，自由度為 6 的卡方臨界值。
查閱 Table 3.1 的卡方分佈表：當 $df=6$ 時，$\alpha=0.05$ 的臨界值為 12.59。

6. 做出決策：
將計算出的卡方統計量與臨界值比較：
$\chi^2_{calculated} = 16.58$
$\chi^2_{critical} = 12.59$

因為 $\chi^2_{calculated} (16.58) > \chi^2_{critical} (12.59)$，所以我們拒絕虛無假設 $H_0$。

7. 結論：
在 0.05 的顯著水準下，有足夠的證據顯示顧客類型與滿意度等級之間存在顯著的關聯性。換句話說，不同類型的顧客（學生、員工、訪客）在對餐廳食物和服務的滿意度上，其分布是不同的。

Part c: 合併類別後的檢定

將滿意度等級合併為「happy」和「not happy」兩個層級。
原來的四個等級：Very happy, happy, Not happy, Strongly not happy。
合併後：

此部分包含多個獨立問題，涵蓋線性迴歸、機率、聯合機率、獨立性、常態分佈、相關係數以及適合度檢定（Chi-square goodness-of-fit test）。

問題 1：線性迴歸與單位轉換

令 $X$ 為身高，$Y$ 為體重。
迴歸 A：$Y = A + BX$
迴歸 B：$X = C + DY$

其中，$B$ 是 $Y$ 對 $X$ 的迴歸斜率，$D$ 是 $X$ 對 $Y$ 的迴歸斜率。
相關係數 $\rho$ 與 $B$ 和 $D$ 的關係為：$\rho = \text{sign}(B) \sqrt{B \times D}$。

a. 單位轉換對 B 和 D 的影響

假設身高單位從公分 (cm) 轉換為公尺 (m)。
令 $X_{cm}$ 為以公分為單位的高度， $X_m$ 為以公尺為單位的高度。
則 $X_m = X_{cm} / 100$。

迴歸 A：$Y = A + BX_{cm}$
若將 $X_{cm}$ 換成 $X_m$，則 $X_{cm} = 100 X_m$。
代入迴歸 A：$Y = A + B(100 X_m) = A + (100B) X_m$。
新的迴歸方程式形式為 $Y = A' + B' X_m$。
所以，新的斜率 $B' = 100B$。
$B$ 的值會乘以 100。

迴歸 B：$X_{cm} = C + DY$
若將 $X_{cm}$ 換成 $X_m$，則 $X_{cm} = 100 X_m$。
代入迴歸 B：$100 X_m = C + DY$。
$X_m = \frac{C}{100} + \frac{D}{100} Y$。
新的迴歸方程式形式為 $X_m = C' + D' Y$。
所以，新的斜率 $D' = D/100$。
$D$ 的值會除以 100。

結論：

• $B$ 的值會變為原來的 100 倍（乘以 100）。
• $D$ 的值會變為原來的 1/100（除以 100）。
• 這兩個斜率的變動方向與關係：原本 $Y$ 相對於 $X$ 的斜率 $B$ 變大了，而 $X$ 相對於 $Y$ 的斜率 $D$ 變小了。

b. 單位轉換對 t 檢定統計量的影響

t 檢定統計量用於檢定 $H_0: B=0$。
t 統計量的公式為：$t = \frac{B - 0}{SE(B)}$，其中 $SE(B)$ 是 $B$ 的標準誤。
$SE(B) = \frac{s_e}{s_x \sqrt{n-1}}$，其中 $s_e$ 是殘差標準差，$s_x$ 是 $X$ 的標準差。

當 $X$ 的單位從公分改為公尺時，$X_{m} = X_{cm} / 100$。
$s_{x_m} = s_{x_{cm}} / 100$。
而 $B' = 100B$。
新的標準誤 $SE(B') = \frac{s_e'}{s_{x_m} \sqrt{n-1}}$。
如果 $Y$ 的單位不變，殘差標準差 $s_e$ 也不變。
$SE(B') = \frac{s_e}{(s_{x_{cm}}/100) \sqrt{n-1}} = 100 \times \frac{s_e}{s_{x_{cm}} \sqrt{n-1}} = 100 \times SE(B)$。
所以，新的標準誤 $SE(B')$ 是原標準誤 $SE(B)$ 的 100 倍。

新的 t 統計量：
$t' = \frac{B' - 0}{SE(B')} = \frac{100B}{100 \times SE(B)} = \frac{B}{SE(B)} = t$。

結論：
t 檢定統計量（檢定 $B=0$）不會改變。
這是因為當自變數單位改變時，斜率會按比例縮放，而其標準誤也會按相同的比例縮放，兩者相除後，t 統計量保持不變。

c. 計算相關係數 $\rho$

我們知道 $\rho = \text{sign}(B) \sqrt{B \times D}$。
從 a. 的結果，我們有新的斜率 $B' = 100B$ 和 $D' = D/100$。
計算新的相關係數 $\rho'$：
$\rho' = \text{sign}(B') \sqrt{B' \times D'} = \text{sign}(100B) \sqrt{(100B) \times (D/100)}$
$\rho' = \text{sign}(B) \sqrt{B \times D}$
$\rho' = \rho$。

結論：
相關係數 $\rho$ 不會改變。
相關係數衡量的是兩個變數之間的線性關係強度和方向，它是一個無單位的值，不受變數單位變化的影響。

問題 2：機率與獨立性

總學生數 $N = 250$。
使用 YouTube 的人數 $N(Y) = 100$。
使用 Instagram 的人數 $N(I) = 125$。
兩者都不使用的ప్రత్యेक $N(\text{neither}) = 75$。

a. 同時使用兩種軟體的機率

使用至少一種軟體的總人數：$N(\text{Y or I}) = N - N(\text{neither}) = 250 - 75 = 175$。
根據包含排斥原理：$N(Y \cup I) = N(Y) + N(I) - N(Y \cap I)$。
$175 = 100 + 125 - N(Y \cap I)$
$175 = 225 - N(Y \cap I)$
$N(Y \cap I) = 225 - 175 = 50$。
所以，同時使用兩種軟體的人數是 50。

同時使用兩種軟體的機率：
$P(Y \cap I) = \frac{N(Y \cap I)}{N} = \frac{50}{250} = \frac{1}{5} = 0.2$。

b. 兩個事件是否獨立

兩個事件 A 和 B 獨立的條件是 $P(A \cap B) = P(A)P(B)$。
在這裡，A 是「使用 YouTube」，B 是「使用 Instagram」。
$P(Y) = \frac{N(Y)}{N} = \frac{100}{250} = 0.4$
$P(I) = \frac{N(I)}{N} = \frac{125}{250} = 0.5$
$P(Y \cap I) = 0.2$ (已計算)

檢查獨立性條件：
$P(Y)P(I) = 0.4 \times 0.5 = 0.2$。
由於 $P(Y \cap I) = P(Y)P(I)$ (即 $0.2 = 0.2$)，所以這兩個事件是獨立的。

結論：
是的，重度使用 YouTube 和重度使用 Instagram 這兩個事件是獨立的。這意味著一個人是否重度使用 YouTube 不會影響他/她是否重度使用 Instagram 的機率。

問題 3：常態分佈與相關係數

陸軍預備役身高：$X \sim N(\mu_X = 170, \sigma_X = 10)$
海軍預備役身高：$Y \sim N(\mu_Y = 170, \sigma_Y = 10)$
相關係數 $\rho_{XY} = 0.6$。

a. 已知陸軍身高 175 cm，求海軍平均身高

題目中提到「陸軍預備役身高...期望值為 170 公分」，「海軍預備役身高...期望值為 170 公分」。
這表示 $\mu_X = 170$ 和 $\mu_Y = 170$。
相關係數 $\rho_{XY}=0.6$ 描述的是兩者之間的線性關係。
然而，題目問的是「今天我們考慮一群身高為 175 cm 的陸軍預備役人員，他們的海軍預備役人員的平均身高是多少？」
這句話有點奇怪。如果我們只是考慮「一群陸軍預備役人員」，而問的是「海軍預備役人員的平均身高」，那麼這個平均身高應該是母體的平均身高 $\mu_Y$，與陸軍的身高無關。
但是，如果題目是想問：對於一個身高為 175 cm 的陸軍預備役人員，根據相關性，我們預期他的海軍預備役對應身高是多少？ 這就需要用到迴歸的概念。

假設題目是問：對於一個身高為 175 cm 的陸軍預備役人員，預期其身高為 175 cm 的情況下，海軍預備役人員的平均身高是多少？
這句話的表述仍然模糊。
如果題目是問：Given $X=175$, what is $E[Y|X=175]$?
根據迴歸理論，多元迴歸的條件期望是：
$E[Y|X=x] = \mu_Y + \rho_{XY} \frac{\sigma_Y}{\sigma_X} (x - \mu_X)$
代入數值：
$E[Y|X=175] = 170 + 0.6 \times \frac{10}{10} (175 - 170)$
$E[Y|X=175] = 170 + 0.6 \times 1 \times 5$
$E[Y|X=175] = 170 + 3 = 173$ cm。

如果題目是字面意思：「我們考慮一群陸軍預備役人員，他們的平均身高是 175 cm。」（這與題目給的 $\mu_X=170$ 相矛盾，除非這是指一個新的樣本平均值）。