115 年 國立臺北大學國際企業研究所《統計學》

此題主要在測試對統計學基本名詞的理解。

(1) Type I error (在假設檢定中)：
Type I error，又稱第一類錯誤或偽陽性 (false positive)，發生在當虛無假說 $H_0$ 為真時，我們卻拒絕了 $H_0$ 的情況。檢定時，我們設定一個顯著水準 $\alpha$，這個 $\alpha$ 值即代表 Type I error 發生的最大機率。

(2) Spurious correlation (偽相關)：
偽相關是指兩個變數之間呈現相關性，但這種相關性並非由其中一個變數直接影響另一個變數所造成，而是因為它們同時受到第三個潛在因素 (lurking variable 或 confounding variable) 的影響。簡單來說，它們是「同時」受到某個隱藏變數的影響而呈現相關，而非因果關係。

(3) R squared ($R^2$) (在迴歸分析中)：
$R^2$，又稱決定係數 (coefficient of determination)，是衡量迴歸模型對應變數變異數解釋能力的指標。

此題要求舉例說明 Type I error 和 Spurious correlation。

(1) Type I error 舉例：
假設某藥廠聲稱其新藥能有效降低血壓。
虛無假說 $H_0$: 新藥對降低血壓無效。
對立假說 $H_a$: 新藥對降低血壓有效。
若進行臨床試驗，結果顯示新藥確實能降低血壓 (拒絕 $H_0$)，但實際上新藥對降低血壓是無效的。這就是 Type I error。
更簡潔的例子：假設我們對一個硬幣進行檢定，想知道它是否公平。
$H_0$: 硬幣是公平的 (出現正面和反面的機率各為 0.5)。
$H_a$: 硬幣不是公平的。
我們進行 10 次拋擲，結果出現 9 次正面。根據預設的顯著水準，我們拒絕了 $H_0$。但實際上，這枚硬幣可能是公平的，只是我們恰好在這次實驗中遇到了極端情況。

Type I error 的發生，最主要的原因在於假設檢定本身的不確定性，以及我們對此不確定性所設定的容忍程度。

在假設檢定中，我們總是假設虛無假說 $H_0$ 為真，然後觀察樣本資料。如果樣本資料與 $H_0$ 的預期結果差異太大，我們就拒絕 $H_0$。然而，即使 $H_0$ 為真，樣本資料也可能因為抽樣變異 (sampling variation) 的關係，而呈現出與理論預期有較大差異的結果。

$R^2$ (決定係數) 的解釋，是衡量迴歸模型對依變數變異的解釋程度。

$R^2$ 的值介於 0 到 1 之間。

• 如果 $R^2 = 0$，表示自變數對依變數的變異沒有任何解釋能力，依變數的變異完全是由其他未納入模型因素或隨機誤差所造成。
• 如果 $R^2 = 1$，表示自變數對依變數的變異有 100% 的解釋能力，依變數的所有變異都可以由模型中的自變數完全解釋。
• 一般情況下，$R^2$ 的值介於 0 和 1 之間。例如，如果 $R^2 = 0.75$，則表示依變數的總變異中，有 75% 可以由模型中的自變數解釋，而剩下的 25% 則是由其他因素或隨機誤差所造成。

此題主要在測試季節指數的計算與應用。季節指數是用來衡量某個季節的銷售額相較於全年平均銷售額的表現。

首先，我們需要知道季節指數的計算原則：
一個季節的季節指數 = (該季節的平均銷售額) / (全年平均銷售額)。
通常，所有季節的季節指數的平均值應該約等於 1。

(1) Interpretation of Summer and Winter indexes:

• Summer Seasonal Index = 1.420：這個指數大於 1，表示夏季的平均銷售額比全年平均銷售額高出 42%。換句話說，夏季是該餐廳的銷售旺季。
• Winter Seasonal Index = 0.820：這個指數小於 1，表示冬季的平均銷售額比全年平均銷售額低了 18% (1 - 0.820 = 0.18)。換句話說，冬季是該餐廳的銷售淡季。

(2) Find seasonal index for Spring:
我們知道季節指數的平均值應該接近 1。假設有四個季節：Spring, Summer, Autumn, Winter。
令 $SI_{Spring}$, $SI_{Summer}$, $SI_{Autumn}$, $SI_{Winter}$ 分別代表各季節的季節指數。
則有：
$\frac{SI_{Spring} + SI_{Summer} + SI_{Autumn} + SI_{Winter}}{4} \approx 1$
代入已知數值：
$\frac{SI_{Spring} + 1.420 + 0.920 + 0.820}{4} = 1$
$SI_{Spring} + 3.160 = 4$
$SI_{Spring} = 4 - 3.160$
$SI_{Spring} = 0.840$

(3) Advice for the restaurant owner:
基於這些季節指數，我們可以給予以下營運管理上的建議：

此題為統計學的經典題型，包含相關係數的計算與簡單線性迴歸模型的建立。

首先，我們需要確認題目給予的數據和統計量：
樣本數 $n = 5$ (因為有 5 組 X, Y 數據)
$\sum X = 202$
$\sum Y = 336$
$\sum X^2 = 9,462$
$\sum Y^2 = 22,870$
$\sum XY = 14,185$

計算平均值：
$\bar{X} = \frac{\sum X}{n} = \frac{202}{5} = 40.4$
$\bar{Y} = \frac{\sum Y}{n} = \frac{336}{5} = 67.2$

(1) Calculate the correlation coefficient between economics scores and statistics scores.
相關係數 $r$ 的計算公式為：
$r = \frac{n(\sum XY) - (\sum X)(\sum Y)}{\sqrt{[n(\sum X^2) - (\sum X)^2][n(\sum Y^2) - (\sum Y)^2]}}$

代入數值：
分子：$n(\sum XY) - (\sum X)(\sum Y) = 5(14,185) - (202)(336) = 70,925 - 67,872 = 3,053$

分母的平方根第一項：$n(\sum X^2) - (\sum X)^2 = 5(9,462) - (202)^2 = 47,310 - 40,804 = 6,506$
分母的平方根第二項：$n(\sum Y^2) - (\sum Y)^2 = 5(22,870) - (336)^2 = 114,350 - 112,896 = 1,454$

分母：$\sqrt{6,506 \times 1,454} = \sqrt{9,460,024} \approx 3,075.716$

此題為一獨立樣本的平均值檢定，屬於假設檢定的應用。我們需要檢定卡車的平均車速是否顯著高於 100 公里/小時。

已知資訊：
樣本數 $n = 81$
樣本平均值 $\bar{x} = 105$ km/h
樣本標準差 $s = 6$ km/h
檢定水準 $\alpha = 0.05$
假設母體服從常態分配。

步驟 1：建立虛無假說 ($H_0$) 與對立假說 ($H_a$)
我們要檢定的是平均速度是否「超過」100 公里/小時。
虛無假說 $H_0$: 卡車的平均速度 $\mu$ 不超過 100 公里/小時 ($\mu \le 100$)。
對立假說 $H_a$: 卡車的平均速度 $\mu$ 超過 100 公里/小時 ($\mu > 100$)。
這是一個右尾檢定 (right-tailed test)。

步驟 2：計算檢定統計量
由於母體標準差 $\sigma$ 未知，但樣本數 $n=81$ 較大 (通常 $n \ge 30$ 可視為大樣本)，我們可以使用 z 檢定。如果樣本數較小，則需使用 t 檢定。在此，我們使用 z 檢定。
檢定統計量 $z$ 的計算公式為：
$z = \frac{\bar{x} - \mu_0}{s/\sqrt{n}}$
其中 $\mu_0$ 是虛無假說下的母體平均值，即 100。

代入數值：
$z = \frac{105 - 100}{6/\sqrt{81}} = \frac{5}{6/9} = \frac{5}{2/3} = 5 \times \frac{3}{2} = \frac{15}{2} = 7.5$

此題為多元迴歸分析的應用，涵蓋了迴歸係數的解釋、顯著性檢定、ANOVA 表、決定係數及誤差估計等重要觀念。

已知資訊：
樣本數 $n = 30$
依變數 Y：Job satisfaction score
自變數：
$X_1$: Years of service
$X_2$: Salary level (thousand yuan)
$X_3$: Bachelor degree (1=Yes, 0=No)
$X_4$: Master's degree or above (1=Yes, 0=No)
估計的迴歸模型：$\hat{Y} = 13.24 + 8.69 X_1 + 1.35 X_2 + 4.92 X_3 + 5.89 X_4$
估計係數 (Estimated coefficients)：
$b_0 = 13.24$ (Intercept)
$b_1 = 8.69$
$b_2 = 1.35$
$b_3 = 4.92$
$b_4 = 5.89$
標準誤差 (Standard errors)：
$SE(b_0) = 7.29$
$SE(b_1) = 2.56$
$SE(b_2) = 0.38$
$SE(b_3) = 2.10$
$SE(b_4) = 4.10$
SST (Total Sum of Squares) = 989.7
s (Estimate of standard error of regression) = 4.8
$\alpha = 0.05$

重要關係式：

• $s = \sqrt{MSE}$，所以 $MSE = s^2 = (4.8)^2 = 23.04$。
• $MSE = \frac{RSS}{n-k-1}$，其中 $k$ 是自變數的數量。在此 $k=4$，所以 $n-k-1 = 30-4-1 = 25$。
• $RSS = MSE \times (n-k-1) = 23.04 \times 25 = 576$。
• $TSS = SST = 989.7$。
• $ESS = TSS - RSS = 989.7 - 576 = 413.7$。
• $F = \frac{MSR}{MSE} = \frac{ESS/(k)}{RSS/(n-k-1)} = \frac{ESS/4}{MSE}$。

(1) Please explain the significance of the estimated regression coefficients of X3 and X4, respectively.
迴歸係數的意義取決於它是連續變數還是虛擬變數 (dummy variable)。$X_1$ 和 $X_2$ 是連續變數，$X_3$ 和 $X_4$ 是虛擬變數。

• $b_3 = 4.92$ (for $X_3$ - Bachelor degree):
  在控制了 $X_1$ (Years of service) 和 $X_2$ (Salary level) 的影響後，擁有學士學位 (X3=1) 的員工，其工作滿意度分數 (Y) 平均而言比沒有學士學位 (X3=0) 的員工高出 4.92 分。
• $b_4 = 5.89$ (for $X_4$ - Master's degree or above):
  在控制了 $X_1$ (Years of service) 和 $X_2$ (Salary level) 的影響後，擁有碩士或以上學位 (X4=1) 的員工，其工作滿意度分數 (Y) 平均而言比沒有碩士或以上學位 (X4=0) 的員工高出 5.89 分。
  注意： $X_3$ 和 $X_4$ 是互斥的虛擬變數，通常在模型中會只包含一個，或者需要考慮它們之間的交互作用。然而，題目將它們同時放入模型，這意味著：
  • $X_3=1, X_4=0$ 代表只有學士學位。
  • $X_3=0, X_4=0$ 代表沒有學士學位 (最高學歷)。
  • $X_3=1, X_4=1$ 代表有碩士或以上學位 (這個情況在變數定義上似乎有些問題，通常是 $X_4=1$ 表示有碩士，而 $X_3$ 則可能獨立表示學士。若題目定義成立，則 $X_3=1, X_4=1$ 表示同時有學士也有碩士。但若 $X_4$ 是「碩士或以上」，則 $X_4=1$ 的人一定也有學士，這樣 $X_3$ 和 $X_4$ 就不是獨立的。我們假設題目設計是 $X_3$ 只代表「擁有學士學位」，而 $X_4$ 代表「擁有碩士或以上學位」，且兩者可同時存在於模型中，並假設 $X_3=1, X_4=1$ 的情況也存在。最常見的設計是：$X_{BA}=1$ (有學士), $X_{MA}=1$ (有碩士), $X_{PhD}=1$ (有博士)。或者 $X_{NoBA}=1$, $X_{BAOnly}=1$, $X_{MAOrHigher}=1$。在此，我們按照題目定義，解釋 $b_3$ 和 $b_4$ 的獨立影響，儘管這種變數定義方式可能不夠嚴謹。)
    若按嚴謹定義，假設 $X_3$ 代表「有學士但無碩士」，$X_4$ 代表「有碩士或以上」。則：
  • $X_3=1, X_4=0$: 有學士學位 (但無碩士)。
  • $X_3=0, X_4=0$: 無學士學位。
  • $X_3=0, X_4=1$: 有碩士或以上學位 (此時通常意味著也擁有學士學位)。
    若這樣定義，則 $b_3$ 表示有學士學位 (無碩士) 相較於無學士學位的影響，而 $b_4$ 表示有碩士學位相較於無碩士學位 (且無學士) 的影響。
    這裡採取最直接的解釋：$X_3=1$ 的影響是 $+4.92$，$X_4=1$ 的影響是 $+5.89$，在控制其他變數後。

(2) Please use a significance level of 0.05 to test the significance of the regression coefficients of X3 and X4, respectively.
我們需要對 $b_3$ 和 $b_4$ 進行個別顯著性檢定 (t-test)。
檢定統計量 $t = \frac{b_i - 0}{SE(b_i)}$。
自由度 $df = n-k-1 = 30-4-1 = 25$。
在 $\alpha = 0.05$ 下，雙尾檢定的臨界值 (critical value) $t_{0.025, 25}$。查表可得約為 $\pm 2.060$。