109 年 國立臺北大學國際企業研究所《經濟學》

此題為一典型的動態最適化問題，探討在考慮時間價值與成長率下，何時收成樹木可使總利潤的現值最大化。

核心觀念：

1. 現值計算 (Present Discounted Value, PDV)：未來的收益必須折算到現在的價值。
2. 最適化條件：當邊際收益等於邊際成本時，達到最適。在此情況下，即為邊際成長率等於市場利率。

詳解：

(1) 求樹木種植時的利潤現值 (PDV)

樹木在時間 $t$ 的價值為 $f(t) = e^{0.6\sqrt{t}}$。
初始投資成本為 $L$。
假設利率為連續複利 $r$。

在時間 $t$ 收成的利潤為 $f(t) - L$。
將時間 $t$ 的利潤折算到時間 $t=0$ 的現值，我們需要將其除以 $(1+r)^t$（若為離散複利）或乘以 $e^{-rt}$（若為連續複利）。題目說明市場利率是連續的，故使用連續複利折現。

時間 $t$ 的利潤現值為：
$PV(t) = (f(t) - L) e^{-rt}$
$PV(t) = (e^{0.6\sqrt{t}} - L) e^{-rt}$
$PV(t) = e^{0.6\sqrt{t}} e^{-rt} - L e^{-rt}$

然而，題目問的是「樹木種植時的利潤現值」，這通常是指在預期某個收成時間 $T$ 下，該時間點的利潤折算回種植時（$t=0$）的現值。
假設預期收成時間為 $T$，則在時間 $T$ 的利潤為 $f(T) - L$。
將此利潤折算到 $t=0$ 的現值為：
$PDV = (f(T) - L) e^{-rT}$
$PDV = (e^{0.6\sqrt{T}} - L) e^{-rT}$

但此處的 $T$ 是未知的，通常此類問題的目標是找出最適 $T$。若題目僅是要求「表示」利潤現值，則上述公式是正確的。
另一種解釋是，題目可能在問，若我們在時間 $t$ 收成，則該時間點的利潤 $f(t)$ 的現值。
若是指在時間 $t$ 時，此時此刻的利潤 $f(t)$ 的現值，那麼由於 $f(t)$ 是在時間 $t$ 發生的收益，其現值即為 $f(t)e^{-rt}$。但扣除初始投資 $L$ 後，我們需將 $L$ 的現值也考慮進來。
初始投資 $L$ 是在 $t=0$ 時發生的，其現值就是 $L$。
所以，在時間 $t$ 收成，其總利潤的現值為 $f(t)e^{-rt} - L$。
$PDV(t) = e^{0.6\sqrt{t}} e^{-rt} - L$
$PDV(t) = e^{0.6\sqrt{t} - rt} - L$

題目問的是「樹木種植時的利潤現值」，這應該是指對所有可能的收成時間 $t$ 考慮後，種植者所能獲得的「總」利潤現值。一般來說，我們是想最大化這個現值，而不是計算一個固定的現值。

若題目問的是，當我們決定在時間 $t$ 收成時，種植者在 $t=0$ 時所承擔的種植成本 $L$ 以及預期在 $t$ 時獲得的收益 $f(t)$ 所折算到 $t=0$ 的淨現值，則公式應為：
$NPV(t) = f(t)e^{-rt} - L$
$NPV(t) = e^{0.6\sqrt{t}}e^{-rt} - L$

若題目是指，在 $t=0$ 時，我們知道樹木會成長，並預期在某個時間 $T$ 收成，則在 $T$ 時的價值為 $f(T)$，此價值折算到 $t=0$ 的現值為 $f(T)e^{-rT}$。扣除初始投資 $L$ 後，總的淨現值為 $f(T)e^{-rT} - L$。
題目問「when the tree is planted」，暗示是在 $t=0$ 的時間點。
因此，最合理的解釋是，我們需要最大化 $NPV(T) = f(T)e^{-rT} - L$ 關於 $T$。
題目要求的是「show the present discounted value (PDV) of the treeowner's profit when the tree is planted」，這句話比較模糊。
若是指「利潤的現值」，則應是 $f(T)e^{-rT} - L$。
但若是指「種植者在種植時，對於未來利潤所能預期的淨現值」，則應是最大化 $f(T)e^{-rT} - L$。

在此，我們假設題目要求的是，考慮到時間 $t$ 的成長與折現，在時間 $t$ 收成所獲得的利潤的現值。
利潤函數 $P(t) = f(t)e^{-rt} - L = e^{0.6\sqrt{t}}e^{-rt} - L$。
題目要求的是「PDV of the treeowner's profit when the tree is planted」，這應該是指在 $t=0$ 時，考慮到未來收益的折現值。

此題為史特克伯格（Stackelberg）模型的前置概念，即古諾（Cournot）模型。題目假設廠商為古諾競爭者，即各自假設對手的產量固定，然後決定自己的產量以最大化利潤。

核心觀念：

1. 利潤最大化：廠商透過設定邊際收益 (MR) 等於邊際成本 (MC) 來決定產量。
2. 反應函數 (Reaction Function)：表示一個廠商在假設對手產量固定的情況下，其最適產量如何隨對手產量變動。
3. 古諾均衡 (Cournot Equilibrium)：所有廠商同時決定產量，且各自的產量組合都處於其反應函數上，即沒有任何廠商有動機單方面改變其產量。

詳解：

已知：
需求函數：$p = 100 - 2(q_1 + q_2)$
成本函數：$C_1 = 2q_1$， $C_2 = 2q_2$
邊際成本：$MC_1 = \frac{dC_1}{dq_1} = 2$， $MC_2 = \frac{dC_2}{dq_2} = 2$

(1) 求各廠商的產量反應函數

廠商 1 的利潤函數 $\pi_1$ 為：
$\pi_1 = \text{總收益} - \text{總成本}$
$\pi_1 = p \cdot q_1 - C_1$
將 $p$ 代入：
$\pi_1 = (100 - 2(q_1 + q_2)) q_1 - 2q_1$
$\pi_1 = 100q_1 - 2q_1^2 - 2q_1q_2 - 2q_1$
$\pi_1 = 98q_1 - 2q_1^2 - 2q_1q_2$

廠商 1 假設廠商 2 的產量 $q_2$ 是固定的，並選擇 $q_1$ 來最大化 $\pi_1$。
要求 $\frac{\partial \pi_1}{\partial q_1} = 0$：
$\frac{\partial \pi_1}{\partial q_1} = 98 - 4q_1 - 2q_2$
令一階導函數為零：
$98 - 4q_1 - 2q_2 = 0$
$4q_1 = 98 - 2q_2$
$q_1 = \frac{98 - 2q_2}{4}$
$q_1 = 24.5 - 0.5q_2$

這是廠商 1 的反應函數 (Reaction Function of Firm 1)。

同理，廠商 2 的利潤函數 $\pi_2$ 為：
$\pi_2 = p \cdot q_2 - C_2$
$\pi_2 = (100 - 2(q_1 + q_2)) q_2 - 2q_2$
$\pi_2 = 100q_2 - 2q_1q_2 - 2q_2^2 - 2q_2$
$\pi_2 = 98q_2 - 2q_1q_2 - 2q_2^2$

廠商 2 假設廠商 1 的產量 $q_1$ 是固定的，並選擇 $q_2$ 來最大化 $\pi_2$。
要求 $\frac{\partial \pi_2}{\partial q_2} = 0$：
$\frac{\partial \pi_2}{\partial q_2} = 98 - 2q_1 - 4q_2$
令一階導函數為零：
$98 - 2q_1 - 4q_2 = 0$
$4q_2 = 98 - 2q_1$
$q_2 = \frac{98 - 2q_1}{4}$
$q_2 = 24.5 - 0.5q_1$

此題考驗對擴張性貨幣政策在不同匯率制度下對總體經濟變數影響的理解，需要結合 IS-LM-BP 模型（或其變體）與 AD-AS 模型進行圖形分析。

核心觀念：

1. 擴張性貨幣政策：中央銀行增加貨幣供給，通常會導致利率下降（在封閉經濟下）。
2. IS-LM 模型：描述商品市場 (IS) 和貨幣市場 (LM) 的均衡。
3. BP 線 (Balance of Payments)：表示國際收支平衡的條件，結合了利率和收入。
4. 匯率制度：
   • 彈性匯率 (Flexible Exchange Rate)：匯率由市場供需決定，央行不干預。
   • 固定匯率 (Fixed Exchange Rate)：央行承諾維持特定匯率，並願意透過買賣外匯進行干預。
5. 總體經濟模型 (AD-AS)：分析總需求 (AD) 和總供給 (AS) 如何決定價格水平和總產出。

詳解：

首先，我們定義擴張性貨幣政策的初始影響。在封閉經濟下，貨幣供給增加 (M↑) 會使 LM 曲線右移。這將導致利率下降 (r↓) 和產出增加 (Y↑)。

接下來，我們將分析開放經濟下的情況，並考慮匯率制度。

模型設定：

• IS 曲線：描述商品市場均衡，$Y = C(Y-T) + I(r) + G + NX(e)$。$e$ 為名目匯率（本國貨幣對外幣的價格）。
• LM 曲線：描述貨幣市場均衡，$M/P = L(r, Y)$。
• BP 線：國際收支平衡。在資本高度移動下，BP 線幾乎水平，代表 $r = r_w$（國際利率）。
• NX 函數：淨出口，通常是匯率 $e$ 的減函數（本國貨幣貶值，出口增加，進口減少，NX 增加）和收入 $Y$ 的減函數（收入增加，進口增加，NX 減少）。

(1) 彈性匯率制度 (Flexible Exchange Rate Regime)

• 步驟 1：貨幣供給增加 (M↑)

  • LM 曲線右移。
  • 在封閉經濟下，利率下降 (r↓) 且產出增加 (Y↑)。

• 步驟 2：國際資本移動與匯率反應

  • 由於利率下降 (r↓)，相較於國際利率 ($r_w$)，本國資產吸引力降低。
  • 這將導致資本外流（或資本流入減少）。
  • 外匯市場上，本國貨幣的需求減少，供給增加，導致本國貨幣貶值 (e↑)。

• 步驟 3：匯率變動對淨出口的影響

  • 本國貨幣貶值 (e↑) 使得本國商品相對外國商品更便宜。
  • 這會增加出口，減少進口，從而增加淨出口 (NX↑)。

• 步驟 4：對 IS 曲線的影響

  • 淨出口增加 (NX↑) 會通過支出乘數效應增加總需求。
  • IS 曲線向右移動。

• 步驟 5：最終均衡

  • IS 曲線右移，LM 曲線右移。
  • 利率：初始 LM 右移使利率下降，NX 增加又使 IS 右移，IS 右移會使利率上升。最終利率水平取決於 LM 和 IS 移動的相對幅度。在資本高度移動下，BP 線幾乎水平，LM 的移動會導致匯率貶值，進而帶動 IS 右移，這個過程會持續到本國利率回到國際利率水平。因此，最終利率通常會回到初始水平（或接近國際利率 $r_w$）。
  • 產出：IS 和 LM 的聯合移動（尤其 LM 右移和 NX 增加帶動 IS 右移）會使總產出 (Y) 顯著增加。
  • 匯率：本國貨幣貶值 (e↑)。
  • 淨出口：由於匯率貶值，淨出口增加 (NX↑)。
  • 一般物價水平：由於產出增加，若考慮總供給曲線，物價水平可能略有上升，但主要影響是產出。若僅考慮短期 AD-AS，AD 右移會導致物價上漲 (P↑)。

• 圖形分析：

  • IS-LM-BP 圖：
    • 初始均衡在 $E_0$ (r, Y)。
    • 貨幣供給增加，LM 右移至 $LM_1$。
    • 利率下降，資本外流，本國貨幣貶值。
    • 匯率貶值導致 NX 增加，IS 右移至 $IS_1$。
    • 最終均衡 $E_1$ 處，利率回到 $r_0$（或 $r_w$），產出 $Y_1 > Y_0$。
  • AD-AS 圖：
    • 初始均衡在 $E_0$ (P, Y)。