115 年 國立臺灣大學生物產業傳播系碩士班《研究方法》

問卷調查法是一種常用的資料蒐集方法，特別是在社會科學領域。其優點與限制如下：

優點：

1. 效率高與成本效益佳 (Efficiency and Cost-Effectiveness): 相較於其他研究方法（如深度訪談、實驗），問卷調查法可以同時蒐集大量受訪者的資料，尤其是在採用線上問卷或郵寄問卷時，成本相對較低，效率也較高。
2. 標準化程度高 (High Standardization): 問卷中的問題和選項是預先設計好的，所有受訪者都回答相同的問題，這確保了資料的一致性與可比性，便於進行量化分析。
3. 可蒐集廣泛的資訊 (Wide Range of Information): 透過問卷，研究者可以一次性蒐集關於人口統計學特徵、態度、意見、行為、知識等多方面的資訊。
4. 易於處理大量樣本 (Ease of Handling Large Samples): 透過各種發送管道（線上、郵寄、電話），可以輕易地接觸到大量受訪者，進而提高研究結果的代表性與統計效力。
5. 匿名性與坦誠度 (Anonymity and Honesty): 對於敏感性問題，問卷的匿名性有助於提高受訪者的坦誠度，願意提供更真實的資訊。
6. 可重複性 (Replicability): 標準化的問卷設計使得研究可以被其他研究者重複進行，以驗證結果或進行比較。

限制：

1. 深度不足 (Lack of Depth): 問卷通常只能蒐集表面或預設好的資訊，對於複雜的現象或受訪者背後的原因、動機，難以進行深入的探討。開放式問題雖然能提供一些額外資訊，但其分析的複雜度也較高。

雙底冊抽樣 (Dual Frame Sampling) 是一種在調查研究中同時使用兩種不同抽樣母體框 (sampling frame) 來抽取樣本的方法。傳統上，單一抽樣框可能無法涵蓋所有目標總體，或某些族群在特定抽樣框中難以接觸。

採用雙底冊抽樣的原因：

1. 擴大涵蓋率，減少抽樣誤差 (Increased Coverage and Reduced Sampling Error): 傳統的抽樣框（如電話簿、戶籍資料）可能存在遺漏，例如未登記的電話、行動電話用戶（特別是年輕族群）、或遷移人口。透過結合兩種抽樣框（例如，傳統市話名錄 + 行動電話用戶名單），可以更全面地涵蓋目標總體，減少因抽樣框不完整造成的系統性誤差 (coverage error)。
2. 接觸難以觸及的族群 (Accessing Hard-to-Reach Populations): 某些族群可能僅透過特定管道聯繫，例如年輕人多使用行動電話，而部分老年人仍偏好市話。同時納入兩種抽樣框，可以確保這些族群有被抽樣的機會，提高樣本的代表性。
3. 提高回應率 (Improved Response Rates): 當一種抽樣方式的回應率偏低時，結合另一種抽樣方式可以作為補充。例如，若傳統電話調查的回應率不高，可以透過行動電話調查來彌補。
4. 降低成本與提高效率 (Cost-Efficiency): 在某些情況下，結合兩種抽樣框可能比單一、更全面的抽樣框更具成本效益。例如，相較於建立一個包含所有電話號碼（市話與行動）的單一、最新且完整的名錄，分別使用現有的市話名錄和行動電話名單可能更為可行。

這是一個典型的社會科學研究設計問題。針對「社群媒體上大眾對嘉義縣番路鄉農會所推出的柿果子冰淇淋的偏好與態度」這個主題，以下是研究問題、方法、流程與原因的設計：

一、研究問題設計 (Research Questions Design)

基於研究主題，可以設計以下層次的研究問題：

1. 描述性問題 (Descriptive Questions):

   • 大眾對社群媒體上關於「柿果子冰淇淋」的討論內容、情感傾向（正面/負面/中立）為何？
   • 哪些社群媒體平台是討論「柿果子冰淇淋」的主要管道？
   • 大眾對「柿果子冰淇淋」的偏好程度為何？（例如：喜歡、普通、不喜歡）
   • 大眾對「柿果子冰淇淋」的態度為何？（例如：好奇、有興趣、推薦、觀望）
   • 大眾對「柿果子冰淇淋」的購買意願為何？

2. 探索性/關聯性問題 (Exploratory/Associational Questions):

   • 不同的社群媒體使用者（例如：年齡、性別、居住地區、社群媒體活躍度）在對「柿果子冰淇淋」的偏好與態度上是否存在差異？
   • 社群媒體上關於「柿果子冰淇淋」的哪些討論特徵（例如：討論頻率、討論者影響力、討論內容的正面性）與大眾的偏好或態度相關？
   • 大眾對「柿果子冰淇淋」的偏好與態度，是否與他們對農會產品的整體印象、對在地農產品的關注度等因素相關？

二、可採用的研究方法 (Research Methods)

綜合考量研究主題的性質（社群媒體上的公開資訊，以及大眾的偏好與態度），以下幾種研究方法是較為合適的：

1. 內容分析法 (Content Analysis):

   • 說明： 這是一種系統性地分析文本、圖像或其他媒體內容的研究方法。在此情境下，可以分析社群媒體（如Facebook、Instagram、PTT、Dcard、Twitter等）上關於「柿果子冰淇淋」的公開貼文、留言、評論等內容。
   • 適用性： 非常適合研究「社群媒體上的討論內容」和「情感傾向」。

2. 問卷調查法 (Survey Research):

   • 說明： 設計一份結構式或半結構式問卷，透過線上或線下的方式，蒐集目標群體（例如：對冰淇淋有興趣的消費者、嘉義地區居民、社群媒體活躍者）的偏好、態度、購買意願、人口統計學資料等。
   • 適用性： 適合直接測量「大眾的偏好與態度」，並探討不同變數間的關聯性。

3. 社群聆聽與數據分析 (Social Listening and Data Analytics):

   • 說明： 利用專業的社群聆聽工具（如Google Trends, Brandwatch, Sprinklr等，或自行開發爬蟲工具），蒐集特定時間段內在社群媒體上與「柿果子冰淇淋」相關的討論數據，進行量化分析（如討論量、情感分析、關鍵詞頻率、使用者輪廓等）。
   • 適用性： 適合處理大量的社群媒體數據，進行宏觀的趨勢分析和情感分析。

建議的研究方法組合：

為了全面回答研究問題，建議採用混合研究法 (Mixed Methods Research)，結合內容分析法與問卷調查法。

• 階段一：內容分析 (Exploratory Phase)
  • 利用內容分析法，初步了解社群媒體上關於「柿果子冰淇淋」的討論現況、主要平台、討論熱度、以及普遍的情感傾向。這有助於界定更具體的研究重點，並為問卷設計提供基礎。
• 階段二：問卷調查 (Main Data Collection Phase)
  • 基於內容分析的發現，設計一份問卷，更精確地測量大眾的偏好、態度、購買意願，並探討影響這些因素的變數。

三、研究執行流程 (Research Execution Process)

若採用內容分析與問卷調查的混合方法：

1. 文獻回顧與理論基礎建立 (Literature Review and Theoretical Framework):

   • 回顧關於消費者行為、產品偏好、品牌態度、社群媒體行銷、農產品行銷等相關文獻。
   • 建立研究的理論基礎，例如：態度-行為意圖模型 (Attitude-Behavior Intention Model)、計畫行為理論 (Theory of Planned Behavior, TPB) 等，以指導研究設計和數據分析。

2. 定義研究對象與範圍 (Define Study Population and Scope):

   • 內容分析： 明確定義搜尋的社群媒體平台（如FB粉絲專頁、IG Hashtags、PTT、Dcard等）、搜尋關鍵詞（如「柿果子冰淇淋」、「番路鄉農會」、「柿子冰淇淋」等）、搜尋時間範圍（例如：產品上市後一年內）。
   • 問卷調查： 界定目標總體（例如：居住在台灣、年齡在18-65歲、曾購買或對冰淇淋感興趣的消費者），並考慮是否需要針對特定區域（如嘉義縣市）或特定群體（如曾購買番路鄉農會產品者）進行抽樣。

3. 內容分析階段 (Content Analysis Phase):

   • 資料蒐集： 利用關鍵詞搜尋、爬蟲工具或手動蒐集指定社群媒體平台上的相關貼文、留言、評論。

此題在考量百分位數 (percentile) 的定義。百分位數是用來描述資料集中特定數值所處的位置，表示有多少比例的資料低於或高於該數值。

正確定義：
第 $p$ 百分位數 (pth percentile) 是指一個數值，使得資料集中大約有 $p\%$ 的觀測值（observations）低於或等於該數值，而大約有 $(100-p)\%$ 的觀測值高於或等於該數值。

讓我們逐一分析選項：
A) The pth percentile divides a data set into equal parts.
這句話描述的是中位數 (median) 或四分位數 (quartiles) 的概念，而不是百分位數。百分位數是將資料分成100等份中的某一點，而非將資料分成「相等部分」。例如，第50百分位數是中位數，將資料分成兩半；第25百分位數將資料的25%放在下面。

B) Approximately p% of the observations are greater than the pth percentile.
這句話是錯誤的。根據定義，大約有 $p\%$ 的觀測值低於或等於第 $p$ 百分位數。因此，大約有 $(100-p)\%$ 的觀測值高於或等於第 $p$ 百分位數。

C) Approximately (100 - p)% of the observations are less than the pth percentile.
這句話是錯誤的。根據定義，大約有 $p\%$ 的觀測值低於或等於第 $p$ 百分位數。因此，大約有 $p\%$ 的觀測值高於或等於第 $p$ 百分位數。選項 C 說的是 $(100-p)\%$ 的觀測值小於第 $p$ 百分位數，這與定義相反。

此題要求根據累積頻率多邊圖 (cumulative frequency polygon) 來估計售價超過 $500,000 的房屋比例。

首先，我們需要理解累積頻率多邊圖的意義：

• 橫軸 (X-axis): 代表房屋售價 (House Prices)，單位是千美元 (in $1,000)。
• 縱軸 (Y-axis): 代表相對累積頻率 (Relative Frequency)，範圍從 0 到 1。累積頻率 1 代表 100% 的資料。

題目要求的是「售價超過 $500,000 的房屋百分比」。 在圖上，$500,000 相當於橫軸上的 500。
我們需要在圖上找到橫軸 500 處對應的累積頻率值。

1. **找到

核心觀念

本題測驗統計學中「資料的線性轉換（Linear Transformation）」對集中趨勢（平均數）與離散趨勢（標準差）之影響。

設原始變數為 $X$，經線性轉換後之新變數為 $Y = aX + b$（其中 $a, b$ 為常數）：

1. 平均數（期望值）的線性性質： $$E(Y) = E(aX + b) = a \cdot E(X) + b$$
2. 標準差的尺度變換性質：
   • 變異數（Variance）：
   $$Var(Y) = Var(aX + b) = a^2 \cdot Var(X)$$
   • 標準差（Standard Deviation，取變異數之正平方根）：
   $$SD(Y) = \sqrt{Var(aX + b)} = |a| \cdot SD(X)$$

觀念重點：當所有數據乘以固定倍數時（即 $b = 0, a > 0$ 之尺度縮放），平均數與標準差皆會等比例放大 $a$ 倍；若僅加上固定常數（$a = 1, b \neq 0$ 之平移），平均數會增加 $b$，但標準差維持不變。

解題方法

步驟一：定義變數與設定線性轉換式

• 設原本教授薪資為隨機變數 $X$。
• 原始平均薪資：$E(X) = 80{,}000$。
• 原始薪資標準差：$SD(X) = 6{,}000$。
• 全體教授加薪 $2\%$，代表每位教授的新薪資 $Y$ 為原薪資加上原薪資的 $2\%$： $$Y = X + 0.02X = 1.02X$$ 此為 $a = 1.02, b = 0$ 的線性轉換。

步驟二：計算新平均薪資（New Mean）
根據期望值的線性性質：

故新平均薪資為 $81,600。

此題考驗對抽樣偏差 (sampling bias) 的理解。偏差是指在抽樣過程中，由於某些系統性的原因，導致樣本的特徵不能真實地反映總體 (population) 的特徵。

讓我們逐一分析選項：
A) the division of the population into overlapping groups
這描述的是分層抽樣 (stratified sampling) 的一種錯誤情況，如果分層之間有重疊，會導致重複抽樣或無法準確估計總體。但這本身不是「偏差」的定義，而是可能導致偏差的一種做法。

B) the creation of strata, which are proportional to the stratum's size
這描述的是「比例分層抽樣」 (proportional stratified sampling)，這是一種常見且有效的抽樣方法，目的是使樣本能更準確地反映總體的結構。這本身不是偏差，而是減少偏差的方法。

此題考驗對樣本均值變異數 (variance of the sample mean) 與總體變異數 (variance of the population) 之間關係的理解。

假設總體的平均數為 $\mu$，總體變異數為 $\sigma^2$。
若我們從該總體中抽取一個大小為 $n$ 的簡單隨機樣本，並計算樣本均值 $\bar{X}$。
樣本均值 $\bar{X}$ 本身也是一個隨機變數，其期望值 $E(\bar{X}) = \mu$（與總體平均數相同），其變異數為：
$\text{Var}(\bar{X}) = \sigma_{\bar{X}}^2 = \frac{\sigma^2}{n}$

這個公式表明，樣本均值的變異數（或標準差，稱為標準誤 standard error）與總體變異數 $\sigma^2$ 成正比，並與樣本大小 $n$ 成反比。

分析公式 $\text{Var}(\bar{X}) = \frac{\sigma^2}{n}$：

• 當樣本大小 $n$ 增加時，$\frac{\sigma^2}{n}$ 會變小。
• 當樣本大小 $n$ 減小時（且 $n \ge 1$），$\frac{\sigma^2}{n}$ 會變大。
• 當 $n=1$ 時，$\text{Var}(\bar{X}) = \sigma^2$，即單一觀測值的變異數等於總體變異數。

因此，對於 $n > 1$ 的情況，樣本均值的變異數 $\frac{\sigma^2}{n}$ 總是小於總體變異數 $\sigma^2$。

此題考驗對信賴區間 (confidence interval) 的定義和目的的理解。信賴區間是統計學中用來估計總體參數 (population parameter) 的一種方法。

信賴區間的定義：
信賴區間是由樣本數據計算出來的一個區間（一對數值），它有一定的信心水準 (confidence level)，並且這個區間有一定的機率包含真實的總體參數。

讓我們逐一分析選項：

A) To provide a range of values that has a certain large probability of containing the sample statistic of interest.
這句話是錯誤的。信賴區間的目的是估計總體參數，而不是樣本統計量 (sample statistic)。樣本統計量是已知的，計算信賴區間沒有意義。

B) To provide a range of values that, with a certain measure of confidence, contains the sample statistic of interest.
這句話是錯誤的。同樣，信賴區間的目標是總體參數，而非樣本統計量。

C) To provide a range of values that, with a certain measure of confidence, contains the population parameter of interest.
這句話是正確的。

此題考驗對信賴區間 (confidence interval) 的寬度與信心水準 (confidence level) 之間關係的理解。

信賴區間的公式通常為：
$\bar{X} \pm Z_{\alpha/2} \times \frac{\sigma}{\sqrt{n}}$ （當總體標準差 $\sigma$ 已知或樣本很大時）
或
$\bar{X} \pm t_{\alpha/2, df} \times \frac{s}{\sqrt{n}}$ （當總體標準差 $\sigma$ 未知且樣本較小時）

其中：

• $\bar{X}$ 是樣本均值。
• $Z_{\alpha/2}$ 或 $t_{\alpha/2, df}$ 是臨界值 (critical value)，取決於信心水準和自由度。
• $\frac{\sigma}{\sqrt{n}}$ 或 $\frac{s}{\sqrt{n}}$ 是標準誤 (standard error)。

信賴區間的寬度 (width) 為：
Width $= 2 \times \text{Critical Value} \times \text{Standard Error}$

分析：

1. 信心水準與臨界值 (Confidence Level and Critical Value):
   • 信心水準越高，表示我們對區間包含總體參數的信心越強。
   • 為了達到更高的信心水準，我們需要一個更寬的區間，這意味著臨界值（$Z_{\alpha/2}$ 或 $t_{\alpha/2, df}$）必須更大。
   • 例如，90% 的信賴水準對應的 $Z_{\alpha/2}$ 值（單尾）約為 1.645，而 95% 的信賴水準對應的 $Z_{\alpha/2}$ 值約為 1.96。99% 的信賴水準對應的 $Z_{\alpha/2}$ 值約為 2.576。

此題考驗對常態分配 (normal distribution) 的機率計算，特別是標準化 (standardization) 的應用。

已知：

• 總體 (Susan 的所有歷史得分) 服從常態分配。
• 平均數 $\mu = 225$。
• 標準差 $\sigma = 13$。
• 我們想計算單一遊戲得分 $X$ 大於 227 的機率，即 $P(X > 227)$。

步驟 1：標準化分數 (Calculate Z-score)
將欲計算機率的分數轉換為標準分數 (Z-score)，公式為：
$Z = \frac{X - \mu}{\sigma}$

將 $X = 227$ 代入：
$Z = \frac{227 - 225}{13} = \frac{2}{13}$

計算 $2/13$ 的近似值：
$2 \div 13 \approx 0.1538$

所以，我們要求的是 $P(Z > 0.1538)$。

步驟 2：查詢標準常態分配表 (Look up in Z-table)
標準常態分配表通常給出 $P(Z \le z)$ 的值。我們需要計算 $P(Z > 0.1538)$。
根據對稱性，$P(Z > z) = 1 - P(Z \le z)$。

我們查詢標準常態分配表中 $Z \approx 0.15$ 的值。
查表可得：
$P(Z \le 0.15) \approx 0.5596$

此題與上一題類似，但考驗的是樣本均值 (sample mean) 的機率計算，而不是單一觀測值的機率。

已知：

• 總體 (Susan 的所有歷史得分) 服從常態分配。
• 總體平均數 $\mu = 225$。
• 總體標準差 $\sigma = 13$。
• 這次我們關注的是一個樣本，該樣本是她在一週內打的 16 場比賽的分數。所以，樣本大小 $n = 16$。
• 我們想計算這個樣本的平均分數 $\bar{X}$ 大於 230 的機率，即 $P(\bar{X} > 230)$。

步驟 1：確定樣本均值的分配
根據中央極限定理 (Central Limit Theorem)，即使總體不是常態分配，當樣本大小足夠大時 (通常 $n \ge 30$)，樣本均值 $\bar{X}$ 的分配也會近似於常態分配。在本題中，總體本身就是常態分配，因此樣本均值 $\bar{X}$ 的分配也是精確的常態分配。

樣本均值的平均數：$E(\bar{X}) = \mu = 225$。
樣本均值的標準差（標準誤, Standard Error, SE）：
$\sigma_{\bar{X}} = \frac{\sigma}{\sqrt{n}}$
$\sigma_{\bar{X}} = \frac{13}{\sqrt{16}} = \frac{13}{4} = 3.25$

所以，樣本均值 $\bar{X}$ 服從一個平均數為 225，標準差為 3.25 的常態分配。

核心觀念

本題考查「$p$ 值與顯著水準的比較」以及假設檢定的決策規則。

信賴水準為 $99\%$，因此顯著水準為：

判斷規則如下：

• 若 $p\text{-value}\leq\alpha$，拒絕虛無假設 $H_0$。
• 若 $p\text{-value}>\alpha$，不拒絕虛無假設 $H_0$。

雙尾檢定只表示拒絕域分布在統計量兩端，並不改變 $p$ 值與 $\alpha$ 的比較原則。

解題方法

題目給定：

由信賴水準 $99\%$ 得：

比較兩者：

因此，這項檢定結果未達到 $1\%$ 的顯著水準，應採取「不拒絕虛無假設」的決策。

須注意，「不拒絕虛無假設」不代表已證明虛無假設必然正確，只表示目前證據不足以在 $1\%$ 顯著水準下拒絕它。

選項分析

A) should not be rejected

正確。因為 $p=0.05>\alpha=0.01$，所以不拒絕虛無假設。

B) must be rejected

核心觀念

本題評量單一樣本平均數的假設檢定（Single-sample $t$-test for population mean）。

1. 適用條件：
   • 母體標準差 $\sigma$ 未知，以樣本標準差 $S$ 估計。
   • 樣本數為小樣本（$n = 25 < 30$）。
   • 假設母體呈常態分配或近似常態分配。
2. 檢定統計量公式：
   當母體變異數未知時，樣本平均數標準化後的統計量服從自由度 $df = n - 1$ 的 Student's $t$ 分配： $$t = \frac{\bar{X} - \mu_0}{\frac{S}{\sqrt{n}}} \sim t(df = n - 1)$$
3. 雙尾檢定（Two-tailed test）：
   題目旨在探討調查結果是否與官方數據「不一致」（包含高於或低於），因此對立假設採用不等號（$\neq$）。

解題方法

本題依循假設檢定標準五步驟進行推導與分析：

步驟一：建立統計假設（Hypotheses）

• 虛無假設（$H_0$）：$\mu = 27,000$（蔬菜農戶平均年灌溉用水成本與官方數據一致）
• 對立假設（$H_1$）：$\mu \neq 27,000$（蔬菜農戶平均年灌溉用水成本與官方數據不一致）

步驟二：給定已知數據與顯著水準

• 官方基準值：$\mu_0 = 27,000$
• 樣本數：$n = 25$
• 樣本平均數：$\bar{X} = 30,000$
• 樣本標準差：$S = 10,000$
• 顯著水準：$\alpha = 0.01$
• 自由度：$df = n - 1 = 25 - 1 = 24$

步驟三：計算檢定統計量（Test Statistic）

1. 計算樣本平均數的標準誤（Standard Error, $SE$）：

   $$SE = \frac{S}{\sqrt{n}} = \frac{10,000}{\sqrt{25}} = \frac{10,000}{5} = 2,000$$

2. 計算 $t$ 檢定統計量：

   $$t = \frac{\bar{X} - \mu_0}{SE} = \frac{30,000 - 27,000}{2,000} = \frac{3,000}{2,000} = 1.5$$

步驟四：決定拒絕域與臨界值（Critical Value & Rejection Region）

• 於雙尾檢定、顯著水準 $\alpha = 0.01$、自由度 $df = 24$ 條件下，查 Student's $t$ 分配表得臨界值： $$t_{\alpha/2, \, df} = t_{0.005, \, 24} \approx 2.797$$
• 拒絕域（Rejection Region）為：

核心觀念

1. 信賴區間（Confidence Interval, CI）的本質：
   在統計推論與社會/傳播科學研究方法中，母體參數（如母體平均數 $\mu$ 或母體比例 $p$）為一未知的固定常數。信賴區間是以樣本統計量為中心，考量抽樣誤差（Sampling Error）後所建構出的一個隨機區間。
   $1-\alpha$（如 $95\%$）的信賴水準代表：若自母體中進行無窮多次獨立隨機抽樣，每次抽樣均以相同方法建構區間，則在所有建構出的信賴區間中，預期有 $100(1-\alpha)\%$ 的區間會涵蓋真實的母體參數。

2. 信賴區間的一般通式：

   $$\text{信賴區間} = \text{點估計量 (Point Estimator)} \pm \text{邊際誤差 (Margin of Error, } ME)$$ $$ME = \text{臨界值 (Critical Value)} \times \text{估計量之標準誤 (Standard Error, } SE)$$

3. 研究方法常見之信賴區間模型：

   • 單一母體平均數 $\mu$（母體變異數未知，小樣本或常態母體，採 Student's $t$ 分配）： $$\bar{X} \pm t_{\alpha/2, \, df} \times \frac{s}{\sqrt{n}}$$ 其中 $df = n - 1$ 為自由度，$\bar{X}$ 為樣本平均數，$s$ 為樣本標準差，$n$ 為樣本數。
   • 單一母體比例 $p$（大樣本常態近似法，需滿足 $n\hat{p} \ge 5$ 且 $n(1-\hat{p}) \ge 5$）： $$\hat{p} \pm Z_{\alpha/2} \times \sqrt{\frac{\hat{p}(1-\hat{p})}{n}}$$
   • 兩獨立樣本平均數差 $(\mu_1 - \mu_2)$（假設兩母體變異數相等，使用合併變異數 $s_p^2$）： $$(\bar{X}_1 - \bar{X}_2) \pm t_{\alpha/2, \, df} \times s_p \sqrt{\frac{1}{n_1} + \frac{1}{n_2}}$$ 其中 $df = n_1 + n_2 - 2$，$s_p^2 = \frac{(n_1-1)s_1^2 + (n_2-1)s_2^2}{n_1+n_2-2}$。

4. 信賴區間與假設檢定之對偶關係（Duality）：
   若 $100(1-\alpha)\%$ 信賴區間不包含虛無假設設定之參考值 $\theta_0$（例如兩組比較時差值為 $0$），則在顯著水準 $\alpha$ 下拒絕虛無假設 $H_0$，推論具統計顯著性。

解題方法

本題要求計算「信賴區間」進行統計分析，標準答題程序依序為：確定估計參數與分配、計算標準誤、求出邊際誤差與區間界限、最後進行實質研究意涵之詮釋。

步驟一：設定母體參數與選擇適當統計量

• 若研究變數為連續型變數（如閱聽人滿意度分數、涉入程度）：估計母體平均數 $\mu$，在母體標準差 $\sigma$ 未知條件下，採用 $t$ 分配。
• 若研究變數為類別型變數（如閱聽人支持率、點閱意願）：估計母體比例 $p$，大樣本下採用標準常態分配 $Z$。

步驟二：計算點估計量與標準誤（$SE$）

• 點估計量直接採用樣本統計量（$\bar{X}$ 或 $\hat{p}$）。
• 連續變數標準誤： $$SE(\bar{X}) = \frac{s}{\sqrt{n}}$$
• 類別變數標準誤： $$SE(\hat{p}) = \sqrt{\frac{\hat{p}(1-\hat{p})}{n}}$$

步驟三：查表求出臨界值並計算邊際誤差（$ME$）

以傳播研究最常設定的 $95\%$ 信賴水準（$\alpha = 0.05$）為例：

• 常態分配臨界值：$Z_{0.025} = 1.96$

核心觀念

1. $p$ 值的統計學定義：
   $p$ 值（$p\text{-value}$，又稱顯著機率）是指在虛無假設（$H_0$）為真的條件下，檢定統計量出現「與目前樣本觀測值相同或更極端」結果的機率。數學定義式為： $$p\text{-value} = P(\text{Test Statistic as extreme or more extreme as observed} \mid H_0 \text{ is true})$$
2. 單尾與雙尾檢定之計算原則：
   • 雙尾檢定（Two-tailed test）（對立假設 $H_1: \mu \neq \mu_0$）： $$p\text{-value} = 2 \times P(Z \ge |z_{\text{obs}}|) = 2 \times [1 - \Phi(|z_{\text{obs}}|)]$$
   • 右尾檢定（Right-tailed test）（對立假設 $H_1: \mu > \mu_0$）： $$p\text{-value} = P(Z \ge z_{\text{obs}}) = 1 - \Phi(z_{\text{obs}})$$
   • 左尾檢定（Left-tailed test）（對立假設 $H_1: \mu < \mu_0$）： $$p\text{-value} = P(Z \le z_{\text{obs}}) = \Phi(z_{\text{obs}})$$ （其中 $\Phi(\cdot)$ 為標準常態分配之累積分布函數 CDF；若樣本未達大樣本或母體標準差未知，則使用自由度為 $df$ 的 $t$ 分配）。
3. 統計決策法則（Decision Rule）：
   • 若 $p\text{-value} \le \alpha$（通常設定顯著水準 $\alpha = 0.05$）：拒絕虛無假設（Reject $H_0$），表示研究結果具備統計顯著性（Statistically Significant）。
   • 若 $p\text{-value} > \alpha$：不拒絕虛無假設（Fail to Reject $H_0$），表示未有足夠證據支持研究假設。

解題方法

本題要求計算 $p$ 值並進行研究分析，標準推導與分析步驟如下：

步驟一：確立假設檢定架構

設定虛無假設 $H_0$ 與對立假設 $H_1$，並根據研究目的決定檢定方向（以雙尾檢定為常規基準）：

• $H_0: \mu = \mu_0$（或自變項對依變項無效果／兩組無差異）
• $H_1: \mu \neq \mu_0$（或自變項對依變項有顯著效果／兩組有差異）

步驟二：計算檢定統計量（Test Statistic）

由前小題之樣本數據（平均數 $\bar{X}$、母體／樣本標準差、樣本數 $n$）求出標準化檢定統計量：

步驟三：精確計算 $p$ 值

依據檢定統計量之觀測值，求取對應分佈尾端機率。以標準常態檢定（$Z$ 檢定）雙尾為例：

• 若 $|z_{\text{obs}}| = 1.96$，則 $p\text{-value} = 2 \times (1 - 0.9750) = 0.050$。

此題為一個卡方適合度檢定 (Chi-square goodness-of-fit test) 的應用，用於檢定觀察到的類別資料（受訪者最喜歡的主菜次數）是否與期望的均勻分佈（沒有偏好差異）之間存在顯著差異。

研究情境：

• 樣本大小：$N = 120$ 位成人。
• 類別數量：$k = 4$ 種主菜（雞肉、魚、肉類、義大利麵）。
• 觀察到的次數 (Observed Frequencies, $O_i$)：
  • 雞肉：$O_1 = 32$
  • 魚：$O_2 = 24$
  • 肉類：$O_3 = 35$
  • 義大利麵：$O_4 = 29$
• 顯著水準：$\alpha = 0.05$

虛無假設 ($H_0$) 與對立假設 ($H_1$)：

• $H_0$: 這四種主菜之間沒有偏好差異，即所有主菜被選擇的機率都相等。
• $H_1$: 這四種主菜之間存在偏好差異，即至少有一種主菜的選擇機率與其他不同。

期望次數 (Expected Frequencies, $E_i$)：
如果虛無假設為真，則每種主菜被選擇的機率都是相等的，即 $1/k = 1/4 = 0.25$。
期望次數 $E_i = N \times P(主菜_i) = 120 \times 0.25 = 30$。
所以，對於所有四種主菜，期望次數都是 30。

計算卡方檢定統計量 ($\chi^2$)：
卡方適合度檢定的公式為：
$\chi^2 = \sum_{i=1}^{k} \frac{(O_i - E_i)^2}{E_i}$

代入數值：
$\chi^2 = \frac{(32-30)^2}{30} + \frac{(24-30)^2}{30} + \frac{(35-30)^2}{30} + \frac{(29-30)^2}{30}$

此題考驗對簡單線性迴歸 (Simple Linear Regression) 分析結果的解讀，特別是截距 (Intercept) 和斜率 (Slope) 的係數及其標準誤 (Standard Error)。

迴歸方程式：
從迴歸分析結果中，我們可以建立預測銷售金額 (Sales) 的線性方程式。
Sales = Intercept + (Slope) * (Number of contacts)
Sales = $\beta_0 + \beta_1 \times (\text{Number of contacts})$

根據表格中的 Coefficients 欄位：

• Intercept ($\beta_0$) = -12.201
• Number of contacts ($\beta_1$) = 2.195

所以，線性方程式為：
Sales = -12.201 + 2.195 * (Number of contacts)

(1) 線性方程式的截距是多少?
截距 (Intercept) 是迴歸方程式中，當自變數 (independent variable) 為 0 時，應變數 (dependent variable) 的預測值。
在此題中，截距是 -12.201。

解釋截距的意義：
截距的實際意義取決於自變數為 0 是否有意義，以及迴歸模型是否適用於自變數為 0 的情況。

• 自變數 (Number of contacts)： 指業務員進行的聯絡次數。
• 應變數 (Sales)： 指業務員賺取的銷售金額。

在本例中，"Number of contacts" 為 0 表示業務員進行了 0 次聯絡。
截距為 -12.201，表示當業務員進行 0 次聯絡時，預測的銷售金額為 -12.201。
在實際情境中，銷售金額通常不能為負值。這可能表示：

此題考驗對迴歸分析結果中斜率顯著性檢定 (significance test for the slope) 的解讀，以及如何根據 p-value 做出決策。

研究情境：

• 自變數：聯絡次數 (Number of contacts)
• 應變數：銷售金額 (Sales)
• 迴歸分析結果：
  • 斜率係數 ($\beta_1$) = 2.195
  • 斜率標準誤 (SE($\beta_1$)) = 0.176
  • t 統計量 (t-Stat) = 12.505
  • p-value = 0.000
• 顯著水準：$\alpha = 0.05$

假設檢定：
我們要檢定的假設是關於斜率 $\beta_1$ 的。

• 虛無假設 ($H_0$): 斜率等於 0，即 $\beta_1 = 0$。這表示聯絡次數與銷售金額之間沒有線性關係。
• 對立假設 ($H_1$): 斜率不等於 0，即 $\beta_1 \ne 0$。這表示聯絡次數與銷售金額之間存在顯著的線性關係。

此區塊包含考題中可能需要參照的統計分配表，包括 Z 分配表、t 分配表和 Chi-square 分配表。這些表格是進行假設檢定和計算信賴區間時，查找臨界值 (critical values) 或計算 p-value (機率值) 的重要工具。

• Z Table: 用於標準常態分配，通常用於大樣本或已知總體標準差的情況下的檢定和信賴區間計算。
• T Distribution Table: 用於 t 分配，通常用於小樣本且總體標準差未知的情況。