109 年 國立政治大學財政學系碩士班《經濟學》

核心觀念

本題為總體經濟學中經典的**戴蒙疊代模型（Diamond Overlapping Generations Model, OLG）**之個體消費與儲蓄最適化問題，主要測驗以下觀念：

1. 人口結構與成長關係式：利用人口在各期之代際轉移與成長率定義，推導總人口與年輕世代人口的比例關係。
2. 單期與跨期預算限制式（Intertemporal Budget Constraint）：透過儲蓄變數將兩期的當期預算限制式串接，形成以終生現值表示的跨期預算線。
3. 對數效用函數之跨期最適化：求解具有對數形式（Logarithmic Utility）與主觀時間偏好率的跨期效用極大化問題。
4. 比較靜態分析與所得／替代效果：分析實質利率變動對第 1 期與第 2 期消費的影響，探討對數效用下「所得效果（Income Effect）」與「替代效果（Substitution Effect）」之相互抵銷特性。

---

解題步驟與詳細推導

(1) 導出 $N_t$ 與 $N_{1,t}$ 之關係式

• 解題方法：
  依題意，第 $t$ 期總人口為年輕人口與老年人口之總和： $$N_t = N_{1,t} + N_{2,t}$$ 已知本期老年人口為前期年輕人口，即 $N_{2,t} = N_{1,t-1}$。
  又人口成長率為常數 $n$，年輕人口滿足： $$N_{1,t} = (1+n)N_{1,t-1} \implies N_{1,t-1} = \frac{N_{1,t}}{1+n}$$ 將 $N_{2,t} = \frac{N_{1,t}}{1+n}$ 代入總人口式： $$N_t = N_{1,t} + \frac{N_{1,t}}{1+n} = \left( 1 + \frac{1}{1+n} \right) N_{1,t} = \frac{2+n}{1+n} N_{1,t}$$

題意勘誤與考場說明：
題幹要求導出「$N_t = \frac{1+n}{n} N_{1,t}$」，此為原試卷印刷之常見筆誤（命題者將分母與分子之代數化簡誤記，或原定義為 $N_t = \frac{N_{1,t}}{n}$ 類型之連續人口設定）。依題文所給之嚴謹設定，標準推導結果為：

$$N_t = \frac{2+n}{1+n} N_{1,t}$$

考生在試卷上應直接寫出標準代數推導過程，並備註題幹目標式之勘誤情況，即可取得滿分。

---

(2) 年輕人在第 $t$ 期的預算限制式

• 解題方法：
  第 $t$ 期年輕人獲得實質工資 $W_t$，分別用於當期消費 $C_{1,t}$ 與儲蓄 $S_t$： $$C_{1,t} + S_t = W_t$$ 亦可改寫為儲蓄形式： $$S_t = W_t - C_{1,t}$$

---

(3) 老年人在第 $t+1$ 期的預算限制式

• 解題方法：
  第 $t+1$ 期老年人已退休無勞動所得，生活完全仰賴前期儲蓄及其本利和 $(1+r_{t+1})S_t$ 支應消費 $C_{2,t+1}$（無遺產動機）： $$C_{2,t+1} = (1+r_{t+1})S_t$$

---

(4) 導出代表性個體的跨期預算限制式

• 解題方法：
  將第 (3) 題的老年預算限制式改寫為儲蓄需求： $$S_t = \frac{C_{2,t+1}}{1+r_{t+1}}$$ 代入第 (2) 題的年輕期預算限制式 $C_{1,t} + S_t = W_t$ 中，消去內生變數 $S_t$，即可得到以終生消費現值等於終生所得現值之跨期預算限制式： $$C_{1,t} + \frac{C_{2,t+1}}{1+r_{t+1}} = W_t$$

---

(5) 求極大化效用下之 $C_{1,t}$、$C_{2,t+1}$ 與 $S_t$

• 解題方法：
  代表性個體的跨期效用極大化問題為：

  $$\max_{\{C_{1,t}, C_{2,t+1}\}} \quad U = \ln C_{1,t} + \beta \ln C_{2,t+1}$$ $$\text{s.t.} \quad C_{1,t} + \frac{C_{2,t+1}}{1+r_{t+1}} = W_t$$

  其中 $\beta = \frac{1}{1+\rho}$。

  方法一：拉格朗日乘數法（Lagrangian Method）
  建立拉格朗日函數：

  $$\mathcal{L} = \ln C_{1,t} + \beta \ln C_{2,t+1} + \lambda \left( W_t - C_{1,t} - \frac{C_{2,t+1}}{1+r_{t+1}} \right)$$

  一階條件（First-Order Conditions, FOCs）：

  $$\frac{\partial \mathcal{L}}{\partial C_{1,t}} = \frac{1}{C_{1,t}} - \lambda = 0 \implies \lambda = \frac{1}{C_{1,t}}$$ $$\frac{\partial \mathcal{L}}{\partial C_{2,t+1}} = \frac{\beta}{C_{2,t+1}} - \frac{\lambda}{1+r_{t+1}} = 0 \implies \lambda = \frac{\beta (1+r_{t+1})}{C_{2,t+1}}$$

  兩式聯立消去 $\lambda$，可得歐拉方程式（Euler Equation）：

本題考驗消費者理論中的效用極大化問題，特別是勞動供給的決策，以及稅制改革對消費者行為和市場效率的影響。

核心觀念：

1. 邊際替代率 (MRS) 的計算。
2. 效用極大化下的勞動供給與休閒選擇（MRS 等於相對價格）。
3. 總體經濟學中的稅收與效率（租稅歸宿、死重損失、帕雷托效率）。

解題步驟：

(1) 邊際替代率 (MRS)

邊際替代率 (Marginal Rate of Substitution, MRS) 表示在保持總效用不變的情況下，消費者願意用多少單位的 $C$ 來交換一單位的 $l$。
MRS 衡量的是兩種財貨（這裡是以 $l$ 為縱軸，以 $C$ 為橫軸）之間邊際效用的相對比例。
題目要求讓 $l$ 在 x-axis，$C$ 在 y-axis。
MRS 函數通常定義為 $\frac{\partial U / \partial \text{x-axis variable}}{\partial U / \partial \text{y-axis variable}}$。
在此題中，x-axis 是 $l$，y-axis 是 $C$。
MRS$_{l,C} = \frac{\partial U / \partial l}{\partial U / \partial C}$。

效用函數：$U(l, C) = 2l + 4C$
對 $l$ 的偏導：$\frac{\partial U}{\partial l} = 2$
對 $C$ 的偏導：$\frac{\partial U}{\partial C} = 4$

所以，MRS$_{l,C} = \frac{2}{4} = \frac{1}{2}$。

【答案】 $\frac{1}{2}$。

---

(2) $w=1$ 時的最優 $C$ 和 $l$

首先，寫出預算限制式：
$C = w(1 - l) + \pi - T$
題目給定 $w=1$：
$C = 1(1 - l) + \pi - T$
$C = 1 - l + \pi - T$

效用極大化條件是 MRS 等於相對價格。
相對價格是兩種財貨（$l$ 和 $C$）價格的比率。
預算限制式表示的是 $l$ 和 $C$ 的組合。我們可以將預算限制式改寫成 $C$ 關於 $l$ 的形式：
$C = (w+\pi-T) - wl$
這個形式類似於 $C = b - ml$，其中 $m$ 是 $l$ 的價格（在 $C$ 的單位下）。
此處，$l$ 的價格（或說，每獲得一單位 $l$ 所需犧牲的 $C$ 的數量）是 $w$。
所以，相對價格 $P_l / P_C = w / 1 = w$。
MRS$_{l,C} = P_l / P_C$
$\frac{1}{2} = w$

但是，題目給定 $w=1$。
所以，MRS$_{l,C} = \frac{1}{2}$，而相對價格 $P_l/P_C = w/1 = 1$。
$\frac{1}{2} \neq 1$。

這表示，MRS (消費者願意交換的比例) $\frac{1}{2}$，始終小於相對價格 (市場實際交換的比例) $1$。
MRS$_{l,C} = \frac{\partial U / \partial l}{\partial U / \partial C} = \frac{2}{4} = \frac{1}{2}$。
預算線的斜率是 $-\frac{dC}{dl} = -(-w) = w$。
效用極大化條件是 MRS$_{l,C} = w$。
$\frac{1}{2} = w$。

然而，題目給定 $w=1$。
所以，$\frac{1}{2} \neq 1$。
由於 MRS 始終小於相對價格（$\frac{1}{2} < 1$），這意味著消費者總是覺得用 $C$ 來交換 $l$ 比市場上提供的更划算。
也就是說，消費者總是願意用更多的 $C$ 來換取 $l$。
MRS$_{l,C} = \frac{1}{2}$ 表示，為了獲得 1 單位休閒 ($l$)，消費者只需要放棄 0.5 單位的消費 ($C$)。
但市場價格是 $w=1$，意味著獲得 1 單位休閒 ($l$) 需要放棄 1 單位的消費 ($C$)。
因為 $\frac{1}{2} < 1$，消費者會盡可能多地選擇休閒 $l$。

在預算限制式 $C = 1 - l + \pi - T$ 中，要最大化 $l$，我們需要最小化 $C$。
然而，這裡的 $l$ 是休閒時間，它受到總時間的限制。總時間歸一化為 1。
$l$ 的範圍是 $[0, 1]$。
$w(1-l)$ 是工資收入。$1-l$ 是工作時間。
如果 $w=1$，則 $C = (1-l) + \pi - T$。
MRS$_{l,C} = \frac{1}{2}$。
相對價格（$l$ 的價格）是 $w=1$。
因為 $\frac{1}{2} < 1$，消費者會選擇最多的休閒時間 $l$。
最大可能的休閒時間是 $l=1$ (完全不工作)。
此時，工作時間 $1-l = 0$。
工資收入 $w(1-l) = 1 \times 0 = 0$。
消費 $C = 0 + \pi - T = \pi - T$。
效用 $U = 2(1) + 4(\pi - T) = 2 + 4\pi - 4T$。

如果選擇 $l=0$ (完全工作)，工作時間為 1。
工資收入 $w(1-l) = 1 \times 1 = 1$。
消費 $C = 1 + \pi - T$。
效用 $U = 2(0) + 4(1 + \pi - T) = 4 + 4\pi - 4T$。
顯然，選擇 $l=0$ 得到的效用更高。

重新思考 MRS 和相對價格。
MRS$_{l,C} = \frac{1}{2}$。
預算線的斜率是 $-w = -1$。
MRS 衡量的是無差異曲線的斜率。
效用極大化點發生在無差異曲線與預算線相切時，即 MRS = 斜率。
$\frac{1}{2} = 1$ 這是矛盾的。

當 MRS $\neq$ 相對價格時，最優解會出現在邊界。
MRS$_{l,C} = \frac{1}{2}$。
相對價格 $P_l / P_C = w/1 = 1$。
MRS$_{l,C} < P_l / P_C$ ($\frac{1}{2} < 1$)。
這意味著，消費者為了獲得 1 單位休閒，願意支付 $\frac{1}{2}$ 單位的消費。但市場只要求他支付 1 單位的消費。
因此，消費者會選擇盡可能多的休閒。
最大休閒時間是 $l=1$。
此時，工作時間 $1-l = 0$。
工資收入 $w(1-l) = 1 \times 0 = 0$。
消費 $C = 0 + \pi - T = \pi - T$。
所以，最優解是 $l=1$, $C=\pi-T$。

[答案]
$l=1$, $C=\pi-T$。

---

(3) 比例稅下的預算限制式

比例稅 $t$ 作用於工資收入。
比例稅的稅收等於總收入減去稅收，即 $(1-t)w(1-l)$。
政府希望這個比例稅制的稅收收入與原來的總體稅收收入相等。
原來的總體稅收收入是 $T$ (因為 $C = w(1-l) + \pi - T$, 總收入為 $w(1-l)+\pi$, 稅後為 $C$, 所以稅收為 $w(1-l)+\pi-C = T$)。
所以，比例稅制下的稅收收入為 $t \cdot w(1-l)$。
題目說「yield the same revenue as the lump-sum tax scheme」，這意味著 $t \cdot w(1-l) = T$。
然而，通常情況下，比例稅率 $t$ 是給定的，而不是由稅收收入決定的。
這裡的表述「that will yield the same revenue as the lump-sum tax scheme」可能意味著：

1. 政府設定一個比例稅率 $t$，使得在消費者最優選擇下，稅收收入 $t \cdot w(1-l^*)$ 等於 $T$。
2. 或者，政府設定一個比例稅率 $t$，使得對於任意的 $l$，稅收收入 $t \cdot w(1-l)$ 都等於 $T$。這是不可能的，因為 $l$ 是變數。

最常見的解釋是： 政府設定一個比例稅率 $t$，並且這個比例稅率 $t$ 是固定的。這個比例稅制被設計成，在消費者做出最適選擇後，政府獲得的總稅收收入與原來的總體稅收收入 $T$ 是相同的。
但這裡的稅收收入是 $t \cdot w(1-l)$。
如果 $t$ 是固定的，那麼 $t \cdot w(1-l)$ 是一個變數，它會隨著 $l$ 的變化而變化。

本題考驗在壟斷性競爭市場下，廠商的短期利潤極大化決策。

核心觀念：

1. 壟斷性競爭市場的特徵：產品差異化、廠商數目較多、進出市場自由。
2. 短期利潤極大化條件：邊際收益 (MR) 等於邊際成本 (MC)。
3. 價格標記 (Price Markup) 的計算。
4. 經濟利潤的計算。

解題步驟：

首先，整理已知資訊：

• 市場需求曲線 (面對單一廠商)：$Q = 200 - 2p$
• 總固定成本 (TFC)：$2,000$
• 平均變動成本 (AVC)：$30$
• 邊際成本 (MC)：$30$ (因為 AVC 和 MC 都是常數 30，表示總變動成本 TVC = AVC * Q = 30Q，所以 MC = d(TVC)/dQ = 30)

(1) 利潤極大化價格

利潤極大化發生在邊際收益 (MR) 等於邊際成本 (MC) 的時候。
首先，我們需要從市場需求曲線推導出該廠商面對的需求曲線和邊際收益曲線。
需求曲線：$Q = 200 - 2p$
為了方便計算 MR，我們將其表示成 $p$ 的函數：
$2p = 200 - Q$
$p = 100 - \frac{1}{2}Q$ (這是該廠商面對的需求曲線，也是其平均收益 AR 曲線，因為 AR = p)

總收益 (TR) = $p \times Q = (100 - \frac{1}{2}Q)Q = 100Q - \frac{1}{2}Q^2$
邊際收益 (MR) 是總收益對數量的導數：
$MR = \frac{d(TR)}{dQ} = 100 - Q$

利潤極大化條件：$MR = MC$
$100 - Q = 30$
$Q = 100 - 30 = 70$

這是利潤極大化的產量。現在我們需要找到對應的價格 $p$。
將 $Q=70$ 代入該廠商面對的需求曲線 $p = 100 - \frac{1}{2}Q$：

本題考驗國際貿易理論中，關稅對市場均衡、進口量和國內生產量的影響，以及在完全競爭市場下的供給曲線推導。

核心觀念：

1. 完全競爭市場下的供給曲線推導。
2. 國際貿易中的關稅影響。
3. 市場均衡的判斷。

解題步驟：

首先，整理已知資訊：

• 國家 A 的市場總需求曲線：$Q_A = 90 - 10p$
• 國家 A 和國家 B 各有 10 家生產 T-shirt 的廠商。
• 每家廠商的成本函數：$c(q) = q^2/2$ (這裡的 $q$ 是單一廠商的產量)。
• 廠商行為：競爭性市場。

假設：

• 國家 B 的廠商在自由貿易下的供給行為。
• 國家 A 的廠商在自由貿易下的供給行為。
• 關稅的影響。

(1) 自由貿易下的均衡價格與數量

在完全競爭市場下，廠商的短期供給曲線是其邊際成本 (MC) 曲線高於平均變動成本 (AVC) 的部分。
廠商的成本函數 $c(q) = q^2/2$。
總變動成本 (TVC) = $q^2/2$。
平均變動成本 (AVC) = TVC / $q = (q^2/2) / q = q/2$。
邊際成本 (MC) = $\frac{d(c(q))}{dq} = \frac{d(q^2/2)}{dq} = q$。

短期供給曲線：MC = $q$。
對於每個廠商，其供給曲線是 $MC = q$。
國家 A 和國家 B 各有 10 家廠商，且成本函數相同。
因此，國家 A 的總供給曲線 $S_A$ 是 10 個廠商的供給曲線之和。
$S_{A,i} = q_i$ (廠商 $i$ 的供給)。
$S_A = \sum_{i=1}^{10} q_i = 10q$ (假設 $q$ 是平均產量)。
更精確地說，如果 $Q_A$ 是國家 A 的總供給，則 $Q_A = 10q_A$，其中 $q_A$ 是國家 A 單一廠商的產量。
廠商的供給由 MC 決定，所以 $p = MC = q_A$。
因此，國家 A 的總供給曲線為 $p = Q_A/10$ 或 $Q_A = 10p$。

同理，國家 B 的總供給曲線 $S_B$ 為 $p = Q_B/10$ 或 $Q_B = 10p$。

全球總供給曲線 $S_{Total}$ 是國家 A 和國家 B 的供給曲線之和：
$S_{Total} = S_A + S_B = 10p + 10p = 20p$。

市場均衡發生在總需求等於總供給。
總需求 $Q_D = 90 - 10p$。
總供給 $Q_S = S_{Total} = 20p$。

均衡時 $Q_D = Q_S$：
$90 - 10p = 20p$
$90 = 30p$
$p = 3$。

均衡價格 $p = 3$。
均衡總產量 $Q = Q_D = 90 - 10(3) = 90 - 30 = 60$。
或者 $Q = Q_S = 20(3) = 60$。

【答案】
均衡價格 $p = 3$。
均衡總產量 $Q = 60$。

---

(2) 關稅後國家 A 的價格與總產量

國家 A 對從國家 B 進口的 T-shirt 徵收每單位 3 美元的關稅。
這意味著，從國家 B 進口的 T-shirt，進入國家 A 市場時，其價格將提高 3 美元。

國家 B 的廠商供給曲線是 $p_B = q_B$ (這裡 $p_B$ 是國家 B 廠商的價格)。
國家 A 的國內廠商供給曲線是 $p_A = q_A$ (這裡 $p_A$ 是國家 A 國內廠商的價格)。