111 年 國立清華大學數理教育研究所乙組《普通數學》

核心觀念

方格中的數字依照「列號與欄號相加後減去 $1$」填入。設第 $i$ 列、第 $j$ 欄的數字為 $a_{ij}$，則

$$a_{ij}=i+j-1.$$

例如：

• 第 $1$ 列第 $1$ 欄：$1+1-1=1$
• 第 $1$ 列第 $2$ 欄：$1+2-1=2$
• 第 $2$ 列第 $1$ 欄：$2+1-1=2$

因此 $20\times20$ 方格中的第 $i$ 列、第 $j$ 欄數字皆可用此公式表示。

解題方法

所有數字總和為

$$\sum_{i=1}^{20}\sum_{j=1}^{20}(i+j-1).$$

將各部分分開：

$$\sum_{i=1}^{20}\sum_{j=1}^{20}i + \sum_{i=1}^{20}\sum_{j=1}^{20}j - \sum_{i=1}^{20}\sum_{j=1}^{20}1.$$

第一部分中，每一個列號 $i$ 在同一列出現 $20$ 次，因此

$$\sum_{i=1}^{20}\sum_{j=1}^{20}i =20(1+2+\cdots+20).$$

同理，第二部分為

$$\sum_{i=1}^{20}\sum_{j=1}^{20}j =20(1+2+\cdots+20).$$

又

核心觀念

本題利用：

• 正方形對角線互相平分，因此 $O$ 是 $AC$、$BD$ 的交點。
• 圓的一般式：
  $x^2+y^2+ux+vy+w=0$
• 三點 $A、O、Q$ 決定唯一圓，再求圓與 $AB$ 的另一個交點 $P$。
• 三角形面積公式：
  $\text{面積}=\frac12\times\text{底}\times\text{高}$

解題方法

設正方形座標為

$$C=(0,0),\quad B=(15,0),\quad D=(0,15),\quad A=(15,15)$$

因為 $O$ 為正方形中心，所以

$$O=\left(\frac{15}{2},\frac{15}{2}\right)=(7.5,7.5)$$

又因為 $AQ=6$，且 $Q$ 位於 $AD$ 上，因此

$$Q=(9,15)$$

設圓方程式為

$$x^2+y^2+ux+vy+w=0$$

將 $A=(15,15)$ 與 $Q=(9,15)$ 代入，相減得

$$(15^2-9^2)+15u-9u=0$$ $$144+6u=0$$ $$u=-24$$

再將 $A$ 代入：

$$225+225-24(15)+15v+w=0$$ $$15v+w=-90$$

將 $O=(7.5,7.5)$ 代入：

$$7.5^2+7.5^2-24(7.5)+7.5v+w=0$$

整理得

$$7.5v+w=67.5$$

兩式相減：

$$7.5v=-157.5$$

核心觀念

本題考查：

1. 平方差公式
   $a^2-b^2=(a-b)(a+b)$

2. 多項式因式分解。

3. 常數倍因式的判斷：若 $f(x,y)$ 是多項式的因式，則其非零常數倍，例如 $-f(x,y)$，也同樣是因式。

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解題方法

原式為

$$x^2-y^2-2x+1$$

先將前面三項重新整理：

$$x^2-2x+1-y^2=(x-1)^2-y^2$$

利用平方差公式：

$$(x-1)^2-y^2 =\bigl((x-1)-y\bigr)\bigl((x-1)+y\bigr)$$

因此

$$x^2-y^2-2x+1 =(x-y-1)(x+y-1)$$

所以原多項式的基本因式為 $x-y-1$ 與 $x+y-1$，以及它們的非零常數倍。

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選項分析

(A) $x-y+1$

此式不等於 $x-y-1$ 的常數倍，也不等於 $x+y-1$ 的常數倍，因此不是原多項式的因式。

快速驗證：令

$$x-y+1=0$$

取 $x=-1,\ y=0$，則 $x-y+1=0$，但原多項式的值為

本題考查相對運動與週期性問題。

假設環湖步道的總長度為 $L$。
設甲的速率為 $v_甲$，乙的速率為 $v_乙$。
甲順時鐘，乙逆時鐘。

第一次相遇：
兩人從不同位置同時出發。設甲出發位置為 $P_甲$，乙出發位置為 $P_乙$。
第一次相遇時，兩人運動的時間都是 16 分鐘。
他們相遇的點設為 $M_1$。
甲從 $P_甲$ 跑到 $M_1$ 的距離為 $d_{甲1} = v_甲 \times 16$。
乙從 $P_乙$ 跑到 $M_1$ 的距離為 $d_{乙1} = v_乙 \times 16$。
由於他們是相向而行，第一次相遇時，兩人運動的距離之和等於他們出發時的距離。
設兩人出發時的距離為 $D_{初}$。
$D_{初} = d_{甲1} + d_{乙1} = v_甲 \times 16 + v_乙 \times 16 = (v_甲 + v_乙) \times 16$。
這個距離 $D_{初}$ 是他們出發時在環湖步道上的距離。

第二次相遇：
第一次相遇後，兩人繼續繞湖前進。
從第一次相遇 ($M_1$) 到第二次相遇 ($M_2$)，兩人運動的時間是 40 分鐘。
在第二次相遇時，兩人運動的距離之和等於一圈的長度 $L$。
甲從 $M_1$ 跑到 $M_2$ 的距離為 $d_{甲2} = v_甲 \times 40$。
乙從 $M_1$ 跑到 $M_2$ 的距離為 $d_{乙2} = v_乙 \times 40$。
所以，$L = d_{甲2} + d_{乙2} = v_甲 \times 40 + v_乙 \times 40 = (v_甲 + v_乙) \times 40$。

我們有兩個方程：

1. $D_{初} = (v_甲 + v_乙) \times 16$
2. $L = (v_甲 + v_乙) \times 40$

將第一個方程代入第二個方程，或者求出 $(v_甲 + v_乙)$。
從方程 2，我們得到 $v_甲 + v_乙 = \frac{L}{40}$。
將此代入方程 1：
$D_{初} = \frac{L}{40} \times 16 = \frac{16}{40} L = \frac{2}{5} L$。

所以，一開始甲乙兩人的出發位置相距為整個環湖步道的 $\frac{2}{5}$。

注意：題目圖形僅為參考示意圖，甲乙的初始位置未標示。
甲順時鐘，乙逆時鐘。
第一次相遇時，兩人運動的距離之和等於他們出發時的「相對距離」。
第二次相遇時，兩人運動的距離之和等於一整圈的長度。

我們假設甲乙兩人從同一個點出發，但方向相反。
他們會在 16 分鐘後第一次相遇，然後再經過 40 分鐘第二次相遇。
這意味著，從第一次相遇到第二次相遇，兩人總共跑了一圈。
所以，$(v_甲 + v_乙) \times 40 = L$。
那麼，從出發到第一次相遇，兩人跑的距離和是 $(v_甲 + v_乙) \times 16 = \frac{L}{40} \times 16 = \frac{2}{5} L$。
這個距離是他們出發時的「相對距離」。

如果兩人從不同位置出發，第一次相遇時，兩人運動的距離之和等於他們出發時的距離 $D_{初}$。
第二次相遇時，兩人運動的距離之和等於 $L$。
這說明，從第一次相遇到第二次相遇，他們總共跑了一圈。
所以，$(v_甲 + v_乙) \times 40 = L$。
那麼，第一次相遇時，兩人運動的距離之和是 $(v_甲 + v_乙) \times 16 = \frac{L}{40} \times 16 = \frac{2}{5} L$。
這個距離，就是他們兩人出發時的「相對距離」。

題目問的是「原本一開始甲乙出發位置相距為整個環湖步道的幾分之幾？」
這個「相距」指的是兩人之間在環湖步道上的距離。
在環湖步道上，兩點的距離有兩種，短的距離和長的距離。
通常，題目中的「距離」指的是短的距離。
第一次相遇時，兩人運動的距離之和等於他們出發時的相對距離。
設甲的初始位置為 $P_甲$，乙的初始位置為 $P_乙$。
兩人在環湖步道上的距離有兩種：順時針方向的距離，逆時針方向的距離。
設甲順時針方向跑到 $M_1$ 的距離為 $d_{甲1}$，乙逆時針方向跑到 $M_1$ 的距離為 $d_{乙1}$。
第一次相遇時，他們運動的距離之和 $d_{甲1} + d_{乙1}$，是他們出發時的「總距離」。
如果 $P_甲$ 和 $P_乙$ 在環湖步道上的距離是 $D_{初}$ (較短的距離)，那麼 $L - D_{初}$ 是另一段距離。
當他們第一次相遇時，他們跑的總距離是 $d_{甲1} + d_{乙1} = (v_甲 + v_乙) \times 16$.
這個總距離等於他們出發時的「相對距離」。
如果兩人從同一點出發，那麼他們第一次相遇時，總共跑了一圈。
但他們從不同點出發。
設甲從點 A 出發，乙從點 B 出發。
甲順時針，乙逆時針。
第一次相遇在點 M。
甲跑了 AM 的距離，乙跑了 BM 的距離。
AM + BM = AB (如果 AB 是順時針方向的距離)。
或者 AM + BM = L - AB (如果 AB 是逆時針方向的距離)。
所以，(v_甲 + v_乙) * 16 = AB (或者 L-AB)。

第二次相遇時，兩人從第一次相遇點 M 繼續跑。
再經過 40 分鐘，兩人第二次相遇在點 N。
甲從 M 跑到 N (順時針) 的距離是 $v_甲 \times 40$。
乙從 M 跑到 N (逆時針) 的距離是 $v_乙 \times 40$。
MN (順時針) + MN (逆時針) = L。
所以 $(v_甲 + v_乙) \times 40 = L$。

將 $(v_甲 + v_乙) = L/40$ 代入第一次相遇的方程。
$d_{甲1} + d_{乙1} = (L/40) \times 16 = (16/40)L = (2/5)L$.
這個 $d_{甲1} + d_{乙1}$ 是他們第一次相遇時，兩人運動的總距離。
這個總距離等於他們出發時的「相對距離」。
在環形跑道上，兩人從不同點出發，相向而行，第一次相遇時，兩人運動的距離之和等於他們出發時的「相對距離」。
這個「相對距離」就是兩人之間的路程和。

核心觀念

本題利用：

• 平行四邊形可用仿射座標處理，面積比例不會改變。
• 三角形面積公式
  $\text{面積}=\frac12\times\text{底}\times\text{高}$
• 共線點所形成的三角形，若高相同，面積比等於底邊比。

將平行四邊形中的交點關係轉換成面積比例，即可求出中央「☆」區域。

解題方法

設圖中四條線的交點如下：

• $P=BE\cap FD$
• $Q=BE\cap FC$
• $R=EC\cap FD$

依圖設各區域面積：

• 左上區域為 $12$
• 左下小三角形為 $4$
• 右上區域為 $8$
• 中央「☆」區域為 $x$

將平行四邊形仿射變換成單位正方形，設

$$A=(0,1),\quad B=(0,0),\quad C=(1,0),\quad D=(1,1),$$

並令

$$E=(u,1),\qquad F=(0,v).$$

利用直線交點公式求出 $P,Q,R$，再以行列式計算各區域面積。由圖中已知面積比例

核心觀念

這題考三角形中的史都華定理（Stewart’s theorem）：若 $D$ 在 $BC$ 上，則

$$AC^2\cdot BD+AB^2\cdot CD =BC\left(AD^2+BD\cdot CD\right).$$

解題方法

由原卷圖可讀到：$D$ 在 $BC$ 上，$AB=9$、$AC=12$、$BC=18$，且 $BD:CD=5:4$。因此 $BD=10$、$CD=8$，代入史都華定理求 $AD$：

$$12^2\cdot 10+9^2\cdot 8 =18\left(AD^2+10\cdot 8\right)$$ $$2088=18(AD^2+80)$$ $$AD^2=36,\qquad AD=6.$$

核心觀念

一元二次方程式可寫成 $ax^2+bx+c=0$，其中 $a\ne 0$。在實數範圍內，方程式至多有兩個相異解；若判別式 $\Delta=b^2-4ac=0$，則有一個相異解，也就是重根。

若方程式係數是有理數，且有無理數根，該根的共軛根也會是根；但題目沒有說明係數必須是有理數，因此不能直接套用這項性質。

解題方法

令 $r=5+\sqrt{2}$。可以直接構造一個以 $r$ 為重根的一元二次方程式：

$$(x-r)^2=0$$

展開得：

$$x^2-2(5+\sqrt{2})x+(5+\sqrt{2})^2=0$$

核心觀念

將 $51$ 名學生的分數由低到高排列。因為人數是奇數，中位數是排序後第 $\frac{51+1}{2}=26$ 個分數，因此第 $26$ 個分數為 $50$ 分。

這代表排序後第 $26$ 至第 $51$ 個分數都至少是 $50$ 分；第 $1$ 至第 $26$ 個分數都至多是 $50$ 分。若有多位同學考 $50$ 分，則「至少」的範圍可能更大。

解題方法

設排序後的分數為 $x_1\le x_2\le\cdots\le x_{51}$。題目給出中位數為 $50$ 分，所以 $x_{26}=50$。

因此，至少有 $26$ 人分數在 $50$ 分以上，也至少有 $26$ 人分數在 $50$ 分以下。這裡的「以上」與「以下」都包含 $50$ 分；「不到 $50$ 分」則不包含 $50$ 分。

選項分析

核心觀念

在 $b$ 進位中，數字各位的位值由右至左依序為 $b^0,b^1,b^2,\ldots$。因此，四位數 $10a1$ 若分別以二進位與三進位表示，其值為：

$$(10a1)_2=1\cdot 2^3+0\cdot 2^2+a\cdot 2^1+1\cdot 2^0$$ $$(10a1)_3=1\cdot 3^3+0\cdot 3^2+a\cdot 3^1+1\cdot 3^0$$

解題方法

依位值展開：

$$(10a1)_2=9+2a,\qquad (10a1)_3=28+3a$$

兩者的差為：

$$(28+3a)-(9+2a)=19+a$$

若題目所說的差為 $20$，則：

核心觀念

四邊形的一條對角線會把四邊形分成兩個三角形。對角線長度 $d$ 必須同時符合這兩個三角形的三角形不等式：任兩邊長之和大於第三邊長。

解題方法

依對角線兩側的邊長配對，可能出現兩種情形。

情形一：兩側分別是 $(2,2)$ 與 $(4,5)$

兩個三角形的不等式分別給出：

$$0<d<4,\qquad 1<d<9$$

因此 $1<d<4$，整數 $d$ 至多為 $3$。

情形二：兩側分別是 $(2,4)$ 與 $(2,5)$

三角形不等式分別給出：

$$2<d<6,\qquad 3<d<7$$

因此 $3<d<6$，整數 $d$ 至多為 $5$。

所以任何符合條件的對角線都必須小於 $6$，最長的整數對角線不會超過 $5$。

核心觀念

「立體內任兩點最長距離」就是該立體的直徑。球體的直徑為半徑的 $2$ 倍；長方體的最長距離是體對角線；正圓錐體則要比較頂點到底面邊緣的距離與底面直徑。

解題方法

球體半徑為 $7$，所以

$$x=2(7)=14$$

長方體內最遠的兩點是相對頂點，距離為體對角線：

$$y=\sqrt{6^2+8^2+10^2} =\sqrt{200} =10\sqrt{2} \approx 14.14$$

正圓錐體的頂點到底面圓周上任一點，水平距離為底面半徑 $5$、垂直距離為高 $12$，因此兩點距離為

$$\sqrt{5^2+12^2}=13$$

核心觀念

二次函數圖形是拋物線。若與 $x$ 軸交於 $(x_1,0)$、$(x_2,0)$，對稱軸是通過兩個交點水平中點的鉛直直線，其方程式為

$$x=\frac{x_1+x_2}{2}$$

解題方法

依原卷圖，第 12 題給出的兩個交點是 $(2,0)$ 和 $(16,0)$。對稱軸通過這兩點的中點，因此

$$x=\frac{2+16}{2}=9$$

所以此二次函數圖形的對稱軸為 $x=9$。

選項分析

核心觀念

奇數個數據的中位數，是由小到大排列後正中間的數。本題乙箱有 $41$ 顆球，因此中位數是第 $21$ 個數；中位數為 $31$，表示乙箱恰有 $20$ 顆號碼小於 $31$ 的球。

解題方法

甲箱原有號碼 $1$ 至 $92$ 的球各一顆，其中小於 $31$ 的號碼共有

$$30 \text{ 顆}$$

乙箱中有 $20$ 顆號碼小於 $31$ 的球，因此甲箱剩下的小於 $31$ 的球有

核心觀念

利用正方形的邊長相等、等腰直角三角形兩股相等，以及平行線間的垂直距離，分別求出兩種作法的正方形邊長，再比較面積。

解題方法

圖（一）中，正方形兩邊貼著三角形的兩股，另一個頂點落在斜邊上。圖（二）中，正方形的一邊貼著斜邊，對邊兩端分別落在三角形的兩股上。

設等腰直角三角形的兩股長為 $L$。

圖（一）的正方形邊長設為 $x$。斜邊截去的頂端小三角形也是等腰直角三角形，兩股長均為 $L-x$。沿斜邊方向看，正方形右上角落在斜邊上，因此 $x=L-x$，得

$$x=\frac{L}{2}$$

所以圖（一）正方形面積為

$$A_1=\left(\frac{L}{2}\right)^2=\frac{L^2}{4}$$

圖（二）的正方形邊長設為 $s$。正方形對邊與斜邊平行，兩平行線的垂直距離為 $s$。等腰直角三角形的斜邊與對邊垂直方向的座標差，因而相差 $\sqrt{2}s$；對邊與兩股的交點所形成的線段長為 $\sqrt{2}(L-\sqrt{2}s)$。

核心觀念

本題考的是促銷折扣下的最低消費。先確認必須買到的商品，再比較「買兩件打八折」與「買三件打七折」的總價。由於三件商品中新增的商品也要付費，折扣變大不一定代表總價更低。

解題方法

(1) 至少買到一件 $A$ 與一件 $B$

$A$ 與 $B$ 的原價合計為 8,000 元，兩件打八折：

$$(5000+3000)\times 0.8=6400$$

若再加入最便宜的 $C$ 款，三件打七折：

$$(5000+3000+1000)\times 0.7=6300$$

三件的方案比兩件少 100 元；若再多買商品，還需增加支出，因此最低消費為 6,300 元。

(2) 至少買到一件 $A$ 與一件 $C$

核心觀念

本題考查無理數的估算，以及如何用範圍判斷小數位數。要確定小數點後第二位（百分位）是什麼，只要把原式夾在同一個百分位區間內；若能證明結果介於 $1.02$ 與 $1.03$ 之間，百分位數字便是 $2$。

解題方法

先用平方比較估計平方根：

$$1.732^2=2.999824<3<3.003289=1.733^2$$

因此 $1.732<\sqrt{3}<1.733$。取正數倒數時不等號方向反轉：

$$\frac{1}{1.733}<\frac{1}{\sqrt{3}}<\frac{1}{1.732}$$

同理，

$$2.236^2=4.999696<5<5.004169=2.237^2$$

所以 $2.236<\sqrt{5}<2.237$，進而