113 年 國立清華大學數理教育研究所乙組《普通數學》

本題考查整數的加減運算。
解題步驟：

1. 將減法轉換為加法：$3 - (-4) = 3 + 4$。
2. 將算式改寫為：$3 + 4 + (-5) - 6 + (-7)$。
3. 依序進行加減運算：

本題考查簡單的代數應用問題。
設花生口味的麻糬有 $x$ 顆，則芝麻口味的麻糬有 $2x$ 顆。
根據題意，總共有 30 顆麻糬，所以：

本題考查一元一次不等式的應用。
小明需要購買的遊戲主機價格為 12000 元。
他目前已儲蓄 6000 元。
他還需要存 12000 - 6000 = 6000 元。
他每週可以存 520 元。
設需要 $n$ 週才能存到足夠的錢。
則 $520 \times n \ge 6000$。

本題考查一元二次方程式的根與係數關係，或是因式分解。
若一個一元二次方程式的解為 $x=1$ 或 $x=2$，則此方程式可以寫成 $k(x-1)(x-2)=0$ 的形式，其中 $k$ 為非零常數。
展開後為 $k(x^2 - 3x + 2) = 0$，即 $kx^2 - 3kx + 2k = 0$。
將此方程式與 $ax^2 + bx + c = 0$ 比較係數，可以得到：
$a = k$
$b = -3k$
$c = 2k$
我們需要尋找選項中 $(a,b,c)$ 的比例符合 $1 : -3 : 2$ 的組合。

本題考查函數值的計算。
給定函數 $y = 2x - 3$。

本題考查質因數的定義與計算。
首先計算 $A$ 的值：
$A = 2 \times 3 \times 4$
$A = 2 \times 3 \times (2 \times 2)$
$A = 2^3 \times 3$

本題考查代數恆等式，特別是完全平方公式。
觀察等式左邊 $(2x+3)^2 + 2(2x+3) + 1$。
令 $y = 2x+3$，則左邊可寫成 $y^2 + 2y + 1$。
這正是完全平方公式 $(y+1)^2$ 的形式。
所以，左邊等於 $( (2x+3) + 1 )^2$。
化簡後為 $(2x+4)^2$。
題目給定左邊等於 $(2x+b)^2$。

本題考查等差數列與畢氏定理的應用。
設直角三角形的三邊長依序為 $a-d, a, a+d$，其中 $d>0$。
因為是直角三角形，三邊長必須滿足畢氏定理。斜邊是最長的一邊，所以斜邊長為 $a+d$。
根據畢氏定理：$(a-d)^2 + a^2 = (a+d)^2$。
展開後：$a^2 - 2ad + d^2 + a^2 = a^2 + 2ad + d^2$。
化簡：$2a^2 - 2ad + d^2 = a^2 + 2ad + d^2$。
$a^2 - 4ad = 0$。
$a(a-4d) = 0$。

本題考查圓心角與圓周角關係，以及三角形內角和。
圖中 $O$ 是 $\triangle ABC$ 的外心，這表示 $O$ 是 $\triangle ABC$ 三邊的中垂線交點，也是圓心。
$\angle BOC$ 是圓心角，所對的圓弧是 $\widehat{BC}$。
$\angle BAC$ 是圓周角，所對的圓弧也是 $\widehat{BC}$。
圓心角是同弧所對圓周角的兩倍，所以 $\angle BAC = \frac{1}{2} \angle BOC$。
$\angle BAC = \frac{1}{2} \times 136^\circ = 68^\circ$。

核心觀念

利用多項式乘法：

與原式

比較各次方的係數，可得：

其中 $ad+bc$ 是一次項係數，不能誤看成 $ad-bc$。

解題方法

將因式分解式展開：

合併同類項：

與 $24x^2+10x-6$ 對照，得到：

例如可取：

因為：

選項分析

(A) $a\times c=-24$

由二次項係數比較可知：

因此本選項錯誤。

(B) $b+d=-6$

本題考查幾何圖形的定義與性質。
(A) 鈍角三角形的定義是「有一個角大於 90 度」。題目中的「大於或等於」包含了直角三角形，因此不正確。直角三角形是指有一個角等於 90 度。
(B) 長方形是四邊形的一種，其對邊平行且相等，對角相等，所以長方形屬於平行四邊形。因此此敘述錯誤。
(C) 正五邊形是指所有邊長相等且所有內角也相等的五邊形。

本題考查平行四邊形的性質與面積計算。
圖中 ABCD 為平行四邊形，O 為對角線 AC 與 BD 的交點。
在平行四邊形中，對角線互相平分。因此，O 是 AC 的中點，也是 BD 的中點。
考慮 $\triangle ABD$ 和 $\triangle ABC$。它們的底邊是平行四邊形的邊 AB，高是從 D 或 C 到 AB 的垂直距離，這個高是相同的。因此，$\text{Area}(\triangle ABD) = \text{Area}(\triangle ABC) = \frac{1}{2} \text{Area}(\text{ABCD})$。
又因為 O 是 BD 的中點，所以 $\triangle AOD$ 和 $\triangle AOB$ 的底邊 $OD=OB$，且它們有相同的高（從 A 到 BD 的垂直距離）。
因此，$\text{Area}(\triangle AOD) = \text{Area}(\triangle AOB)$。

核心觀念

本題使用兩個關鍵事實：

1. 平行四邊形的兩條對角線互相平分。
2. 若四邊形 $EFGH$ 為平行四邊形，則其對角線 $EG$、$FH$ 的中點相同。

欲判斷兩個平行四邊形的對角線是否交於同一點，只需證明：

• $AC$、$BD$ 的交點；
• $EG$、$FH$ 的交點；

是同一個點。

解題方法

採用向量法表示各點位置。設

取 $A$ 為原點，則

因為 $E,F,G,H$ 分別位於四邊的內部，可設

其中：

• $E$ 在 $AB$ 上；
• $F$ 在 $BC$ 上；
• $G$ 在 $CD$ 上；
• $H$ 在 $DA$ 上。

由於 $EFGH$ 是平行四邊形，其對角線互相平分，因此

代入各點座標：

整理得

因為 $\mathbf{u},\mathbf{v}$ 不共線，對應係數必須相等，所以

因此

本題考查統計學中的平均數與中位數的計算。

首先，我們需要釐清題目給的資訊。
總人數 = 30 人。
每題分數 = 20 分。
總題數 = 5 題。
滿分 = $5 \times 20 = 100$ 分。

答錯人數：
第一題 答錯 = 14 人
第二題答錯 = 9 人
第三題答錯 = 3 人
第四題答錯 = 2 人
第五題答錯 = 1 人
滿分人數 = 15 人

(1) 全班平均成績：
平均數的計算公式是：總分數 / 總人數。
我們知道有 15 個人得了滿分 (100 分)。
對於答錯的人數，我們無法直接計算總分數。例如，第一題答錯 14 人，但這 14 人可能答錯了第一題，也可能其他題也答錯了。我們只知道他們在第一題上失分，但不知道總共得了多少分。
題目沒有提供每個人的詳細成績，只提供了「答錯人數」。這代表我們無法得知每位學生的總得分。
舉例來說，一個答錯第一題的學生，可能只答對了其他四題，得到 80 分；也可能答對了其他三題，得到 60 分；甚至可能五題都答錯，得到 0 分（雖然題目說有 15 人滿分，所以不可能所有人都答錯）。
因為我們不知道每個人的確切分數，所以無法計算全班的總分數，也就無法計算平均成績。

理由：題目只提供了每道題目答錯的人數，但沒有提供每個學生的具體得分情況。一個學生可能答錯了不止一題，我們無法得知其總得分。因此，無法計算全班的總分數，進而無法計算平均成績。

(2) 全班成績的中位數：
中位數是將所有學生的成績由小到大排列後，位於最中間的那個分數。
如果學生人數是奇數，中位數是中間那個數；如果學生人數是偶數，中位數是中間兩個數的平均。
本班級有 30 位學生，是偶數。所以中位數是將成績由小到大排列後，第 15 位和第 16 位學生成績的平均值。
我們知道有 15 位學生是滿分 (100 分)。
這意味著，在將所有 30 位學生的成績由小到大排列時，最後 15 個分數都是 100 分。
也就是說，成績排名第 16 位到第 30 位的學生，分數都是 100 分。
因此，第 15 位學生的分數和第 16 位學生的分數至少是 100 分（第 16 位一定是 100 分）。
如果第 15 位的學生成績是 100 分，那麼中位數就是 $(100+100)/2 = 100$。

本題要求證明一個重要的數論性質：對於任意兩個正整數 $a$ 和 $b$，有 $a \times b = \gcd(a, b) \times \text{lcm}(a, b)$。
其中 $\gcd(a, b)$ 表示 $a$ 和 $b$ 的最大公因數，$\text{lcm}(a, b)$ 表示 $a$ 和 $b$ 的最小公倍數。

證明方法：利用質因數分解。
設 $a$ 和 $b$ 的質因數分解式為：
$a = p_1^{a_1} p_2^{a_2} \cdots p_k^{a_k}$
$b = p_1^{b_1} p_2^{b_2} \cdots p_k^{b_k}$
其中 $p_1, p_2, \dots, p_k$ 是出現在 $a$ 或 $b$ 的所有質因數，而 $a_i, b_i$ 是非負整數（如果某個質因數不存在於某個數中，則其指數為 0）。

最大公因數 $\gcd(a, b)$ 的質因數分解式為：
$\gcd(a, b) = p_1^{\min(a_1, b_1)} p_2^{\min(a_2, b_2)} \cdots p_k^{\min(a_k, b_k)}$
這是因為最大公因數必須是 $a$ 和 $b$ 的共同因數，所以對於每個質因數，取較小的指數。

最小公倍數 $\text{lcm}(a, b)$ 的質因數分解式為：
$\text{lcm}(a, b) = p_1^{\max(a_1, b_1)} p_2^{\max(a_2, b_2)} \cdots p_k^{\max(a_k, b_k)}$
這是因為最小公倍數必須是 $a$ 和 $b$ 的倍數，所以對於每個質因數，取較大的指數。

現在我們來計算 $a \times b$ 和 $\gcd(a, b) \times \text{lcm}(a, b)$ 的質因數分解式。

本題要求證明滿足特定條件的點 P 所形成的軌跡是直線。這個軌跡稱為「兩圓的根軸」。
點 P 的座標為 $(x, y)$。
圓心 $O_1$ 的座標為 $(x_1, y_1)$，半徑為 $r_1$。
圓心 $O_2$ 的座標為 $(x_2, y_2)$，半徑為 $r_2$。
題目給定的條件是 $PO_1^2 - r_1^2 = PO_2^2 - r_2^2$。

首先，我們計算點 P 到圓心 $O_1$ 的距離的平方 $PO_1^2$。
根據兩點間距離公式，$(x-x_1)^2 + (y-y_1)^2$。
所以，$PO_1^2 = (x-x_1)^2 + (y-y_1)^2$。
同理，點 P 到圓心 $O_2$ 的距離的平方 $PO_2^2$ 為：
$PO_2^2 = (x-x_2)^2 + (y-y_2)^2$。

將這些代入題目給定的條件：
$((x-x_1)^2 + (y-y_1)^2) - r_1^2 = ((x-x_2)^2 + (y-y_2)^2) - r_2^2$

接下來，我們展開等式：
$(x^2 - 2x x_1 + x_1^2 + y^2 - 2y y_1 + y_1^2) - r_1^2 = (x^2 - 2x x_2 + x_2^2 + y^2 - 2y y_2 + y_2^2) - r_2^2$

觀察等式兩邊都有 $x^2$ 和 $y^2$ 項，將它們消去：
$- 2x x_1 + x_1^2 - 2y y_1 + y_1^2 - r_1^2 = - 2x x_2 + x_2^2 - 2y y_2 + y_2^2 - r_2^2$