113 年 國立清華大學數理教育研究所乙組《數學教材教法》

此題組旨在探討國小四年級學生在學習除法時,特別是遇到被除數或除數含有零的情況時,可能遇到的迷思概念以及教學上的挑戰。

核心觀念： 數學概念的理解與學生迷思概念的釐清，以及如何設計教學活動引導學生理解抽象數學概念。

1. 擬題與教學應用 (5分)

• 擬題：
  「學校有 2400 個蘋果要分裝到 300 個箱子裡,每個箱子可以裝多少個蘋果?」

• 教學應用說明：
  此題目設計的目的在於引導學生觀察到被除數 (2400) 和除數 (300) 的末尾都有兩個零。教師可以引導學生思考:

  • 「如果我們不考慮箱子的數量,而是先想著要把 2400 個蘋果分給『很多很多』的人,每個人分到一樣多,但我們不知道有多少人。」
  • 「現在我們知道,我們有 300 個箱子,每個箱子要裝一樣多的蘋果,總共是 2400 個。這是不是跟我們之前學過的『平均分』的概念一樣?」
  • 教師可以引導學生將題目改寫成「2400 顆糖果要分給 300 位小朋友,平均每位小朋友可以分到幾顆?」
  • 接著,引導學生觀察到 2400 和 300 的共同點,並連結到「每 100 個蘋果可以裝成一袋,那麼 2400 個蘋果就有 24 袋;而 300 個箱子,也就是 3 個『百個箱子』。」
  • 透過這樣的轉化,將原來的「2400 除以 300」轉化為「24 除以 3」,讓學生更容易計算,並初步感知到「消掉零」的意義。

2. 解釋「消掉零」的原理 (8分)

• 解釋：
  教師可以利用「位值」和「等值除法」的概念來解釋。
  1. 位值概念：
     • 首先,強調「0」在數字中所代表的位值。例如,在 2400 中,最後兩個 0 分別代表「十位」和「個位」。在 300 中,同樣的 0 也代表「十位」和「個位」。
     • 教師可以問：「2400 是多少個『百』?」學生回答是 24 個百。 「300 是多少個『百』?」學生回答是 3 個百。
     • 因此,「2400 除以 300」就相當於「24 個百 除以 3 個百」。
  2. 等值除法 (或稱擴分、約分概念的應用)：
     • 教師可以引導學生回想分數約分的概念。例如,$\frac{2400}{300}$ 和 $\frac{24}{3}$ 是不是一樣的?
     • 我們可以把 2400 和 300 同時「除以 100」(也就是同時去掉一個零),得到 24 和 3。
     • 再把 24 和 3 同時「除以 10」(也就是再同時去掉一個零),得到 2.4 和 0.3 (這裡教師可能需要斟酌是否引導到小數,或者直接強調「同時去掉末尾的零」)。
     • 更直接的說法是：我們知道 100 個單位可以組成一個「百」的單位。所以,2400 個單位就是 24 個「百」單位,300 個單位就是 3 個「百」單位。當我們在進行除法時,如果被除數和除數所包含的「百」的數量相同,我們就可以直接比較「百」的個數,也就是 24 除以 3。
     • 總結： 透過將 2400 和 300 同時除以 100 (即同時去掉兩個末尾的零),我們就得到了一個等價的除法算式 $24 \div 3$,其結果與 $2400 \div 300$ 相同。這樣做是因為我們把原來的單位「個」轉換成了「百」,相當於我們將被除數和除數都「縮小」了 100 倍,而縮小的比例相同,所以除的結果不變。

3. 解釋餘數與商的意義 (12分)

• 核心觀念： 連結除法算式的結構與實際意義，特別是位值概念在除法中的體現。
• 解釋：
  這個算式 $200 \overline{) 2700}$ 的結果是商 13,餘數 1。
  1. 理解「商」的意義：
     • 教師首先要讓學生理解,在長除法中,我們是「逐位」進行商數的計算。
     • 當我們看到 2700 除以 200 時,我們看被除數的前幾位 (27)。27 除以 200 不夠商 1,所以我們看前三位 (270)。
     • 270 除以 200,最多只能商 1 (因為 $1 \times 200 = 200$, $2 \times 200 = 400$ 太多了)。
     • 這個「1」是商在「百位」上的數字。因為我們是處理 2700 (千位、百位、十位、個位),270 是「27 個十」,除以 200,所以這個「1」其實代表的是「1 個百」。
     • 所以,當我們寫下商的「1」在百位的上方時,它代表的是 100。
     • 接著,我們用 270 減去 $1 \times 200 = 200$,得到餘數 70。
     • 然後,我們把被除數的下一位 (0) 拉下來,變成 700。
     • 現在我們計算 700 除以 200。700 除以 200,最多可以商 3 (因為 $3 \times 200 = 600$, $4 \times 200 = 800$ 太多了)。
     • 這個「3」是商在「十位」上的數字。
     • 所以,我們得到的商是「1 個百」加上「3 個十」,也就是 13。
  2. 理解「餘數」的意義：
     • 在我們得到商 3 之後,我們計算 $700 - (3 \times 200) = 700 - 600 = 100$。
     • 這個 100 是「餘數」。
     • 關鍵點： 這個餘數 100,是「不滿一個 200」的剩餘。
     • 連結商與餘數：
       • 為什麼商是 13,而不是 1300? 因為我們是「逐位」在處理。商的「1」是在百位,代表 100。商的「3」是在十位,代表 30。所以總商是 130 (這裡有誤，應為 13)。
       • 修正解釋：
         • 第一次除,270 除以 200,商 1,寫在百位。 $1 \times 200 = 200$。 $270 - 200 = 70$ (這個 70 是十位數)。
         • 拉下 0,變成 700。700 除以 200,商 3,寫在十位。 $3 \times 200 = 600$。 $700 - 600 = 100$。
         • 所以,我們得到的商是 13。這個「1」代表 1 個「百」 (因為 270 是從 2700 的前三位來的,代表 27 個十,但我們實際上是在比較 2700 和 200,所以 2700 / 200,我們處理的是 27 個「百」),而「3」代表 3 個「十」。
         • 更精確的說法：
           • 2700 除以 200。
           • 我們看 27 個「百」裡面有多少個 2 個「百」。
           • 27 個「百」除以 2 個「百」,可以得到 13 個「百」。 ( $27 \div 2 = 13$ ... )
           • 所以商是 13。
           • 餘數是 1。這個 1 是什麼單位?
           • 當我們說 27 個「百」除以 2 個「百」時,我們實際上是將單位「百」約掉了。
           • 正確的長除法過程是：
             • 2700 除以 200。
             • 我們從最高位開始。2 個 200 是 400,太多。 1 個 200 是 200。
             • 我們用 2700 的「千位」和「百位」來處理。 27 個「百」裡面有多少個 2 個「百」？
             • 27 個「百」包含 20 個「百」 (也就是 2000) 和 7 個「百」 (也就是 700)。
             • 2000 除以 200 等於 10。所以商是 10。
             • 700 除以 200 等於 3 餘 100。
             • 所以總商是 $10 + 3 = 13$。
             • 餘數是 100。
           • 總結：
             • 商 13 代表我們總共可以分成 13 組,每組 200。
             • 餘數 1 代表剩下的「1」,在這個算式中,是「1 個百」。
             • 為什麼餘數是 1,不是 100? 在長除法中,當我們處理到「700」這個數字時,700 除以 200 商 3,餘數是 100。這個 100 是「700」這個數字減去「600」後剩下的,是「700」這個數的餘數。
             • 關鍵在於位值：

此題組探討國小階段關於立體形體 (柱體與錐體) 的教學。涵蓋了分類、定義、教學方法以及體積公式的連結。

核心觀念： 幾何概念的發展、學生的空間認知、教材的編排順序與銜接，以及如何設計符合學童認知發展的教學活動。

1. 柱體的分類 (4分)

• 解釋： 國小階段的柱體主要根據其「底面」的形狀來分類。
• 分類：
  • 直柱體 (或稱直角柱體)： 柱體的側面與底面垂直,底面是多邊形。最常見的是長方體和正方體。
  • 斜柱體： 柱體的側面與底面不成直角。
• 補充說明： 國小課程常會聚焦於「直柱體」,特別是底面為三角形、四邊形、五邊形等的直柱體 (如三角柱、四角柱、五角柱等)。長方體和正方體是四角柱的特例。

【答案】 直柱體 (或稱直角柱體) 與斜柱體。

2. 錐體的分類 (4分)

• 解釋： 國小階段的錐體主要根據其「底面」的形狀來分類。
• 分類：
  • 直錐體 (或稱正錐體)： 錐頂在底面的中心點正上方,側面與底面垂直。
  • 斜錐體： 錐頂不在底面的中心點正上方。
• 補充說明： 國小課程常會聚焦於「直錐體」,特別是底面為三角形、四邊形等的直錐體 (如三角錐、四角錐等)。

【答案】 直錐體 (或稱正錐體) 與斜錐體。

3. 柱體與錐體的定義解釋 (6分)

• 解釋： 教師應使用具體操作、圖像輔助，並連結生活經驗來解釋。
• 柱體的定義：
  1. 視覺與操作： 出示各種柱體模型 (如長方體、三角柱、圓柱)。
  2. 特徵引導：
     • 「觀察這些形體,它們有什麼共同的地方?」引導學生發現:
       • 它們都有兩個「面」是完全一樣的 (大小、形狀都相同),而且是「平行」的。這兩個面叫做「底面」。
       • 連接這兩個底面的「側面」,如果是直柱體,側面都是長方形 (或正方形)。如果是斜柱體,側面是平行四邊形。
       • 「柱體」就像是把一個底面形狀的東西,向上或向下「堆疊」起來,形成一個有「高度」的立體。
  3. 簡潔定義： 「柱體是包含兩個全等且平行的底面,以及側面連接兩個底面的立體圖形。」 (可根據學童年級調整用詞,例如:「有兩個一樣大的底面,而且側面是直直連起來的。」)
• 錐體的定義：
  1. 視覺與操作： 出示各種錐體模型 (如三角錐、四角錐、圓錐)。
  2. 特徵引導：
     • 「這些形體有什麼特別的地方?」引導學生發現:
       • 它們只有一個「面」是多邊形 (或圓形),這個面叫做「底面」。
       • 它們都有一個「尖尖的頂點」。
       • 從底面到這個尖尖的頂點,有許多的「側面」連接起來。
       • 「錐體」就像是從一個底面,向上「收尖」到一個點。
  3. 簡潔定義： 「錐體是只有一個底面,並有一個頂點,由底面與頂點之間的側面連接而成的立體圖形。」 (可根據學童年級調整用詞,例如:「有一個底面,然後所有邊都連到上面的尖尖的地方。」)

【答案】
柱體定義：有兩個全等且平行的底面，側面連接兩個底面的立體圖形。
錐體定義：只有一個底面，並有一個頂點，由底面與頂點之間的側面連接而成的立體圖形。

4. 教學活動設計 (7分)

此題組聚焦於十二年國教的核心素養理念，特別是數學素養的內涵及其在教材編寫上的應用。

核心觀念： 教育理念的理解、素養導向的教育思維、數學教育的目標與實踐。

1. 核心素養概述 (5分)

• 解釋： 核心素養是指一個人為了能夠適應未來社會、積極參與社會、貢獻社會，應具備的知識、能力、態度或價值觀。
• 內涵：
  • 它強調的是「為用而學」，而不僅僅是知識的記憶。
  • 它整合了「知識」、「能力」、「態度」與「價值觀」等面向。
  • 它著重於學習者在真實情境中，如何應用所學來解決問題、創造價值。
  • 它是一個終身學習的基礎，幫助個人在不同生命階段和社會角色上都能有所發揮。
• 十二年國教的三大面向與九大項目：
  • 三大面向：
    • A. 自我精進
    • B. 社會互動
    • C. 連結未來
  • 九大項目： (A. 自我精進) 1. 覺察與辨識自我 2. 智慧趨勢 3. 藝術涵養與美感素養 (B. 社會互動) 4. 溝通互動 5. 社會適應 6. 跨域及探究 (C. 連結未來) 7. 科技應用 8. 倫理判斷 9. 符號運用與溝通。 (註：此處九大項目的順序與名稱，可能因不同版本或解讀略有差異，但核心概念一致)

【答案】 核心素養是指個人為適應未來社會、參與社會、貢獻社會，應具備的知識、能力、態度與價值觀的整合，強調學以致用與終身學習。

2. 數學素養的論述 (10分)

• 解釋： 數學素養是指學習者運用數學的知識、技能、思考方式和工具，來理解、解釋、解決與數學相關的真實世界問題，並在生活中做出合理的判斷與決策的能力。
• 內涵與面向：
  1. 數學知識的理解與應用： 不僅是記憶公式或定理，更要理解其意義、原理及其適用範圍。能將數學概念應用於解決不同情境的問題。
  2. 數學思考與推理： 能夠進行邏輯思考、歸納、演繹，並能對數學問題進行分析、建模、抽象化、符號化。
  3. 數學溝通與表達： 能夠運用數學語言 (符號、圖形、文字) 清晰地表達想法，並能理解他人的數學表達。
  4. 數學情感與態度： 培養對數學的興趣、自信、耐心、毅力，以及欣賞數學的價值與美感。
  5. 解決問題的能力： 能夠辨識生活中的數學問題，選擇合適的數學工具和方法來解決，並評估結果的合理性。
• 與傳統數學學習的差異：
  • 傳統數學學習偏重知識的傳授與解題技巧的訓練，而數學素養強調的是「數學的應用」與「數學的思考」。
  • 數學素養要求學生能在真實情境中「做數學」，而不只是在課本裡「學數學」。
  • 它強調跨領域的連結，以及數學在科技、社會、文化等領域的應用。
• 總結： 數學素養是一種綜合性的能力，它幫助學生不僅在學術上取得成功，更能成為一個理性、有邏輯、能解決問題、能適應社會變遷的現代公民。

此題組聚焦於國小階段的加減應用問題教學，特別是涉及未知數的情境，並探討如何運用線段圖等表徵輔助教學，以及在移除表徵後的教學策略。

核心觀念： 數學文字題的解讀與解題策略、代數思維的啟蒙、表徵在數學學習中的作用、不同教學階段的策略調整。

1. 解釋 N-2-3 的意義 (5分)

• 解釋： N-2-3 是國家課程綱要的代碼，用於標示課程內容的編碼系統。
• 各部分意義：
  • N： 通常代表「數學領域」(Number and Algebra)。
  • -2-： 代表該領域下的「學習階段」或「次領域」。在十二年國教的數學課程綱要中，「2」通常是指「國民小學階段」的課程內容。
  • -3： 代表該階段下的「細項」或「學習內容」。在這個例子中，「3」很可能代表「解題」或「加減應用問題」這一具體的學習內容。
• 數字的對應：
  • N-2-3： 總體而言，這個代碼標示了「國民小學階段數學領域」下，關於「加減應用問題，包含未知數解題，並連結加減關係」的學習內容。
• 總結： N-2-3 是一個標準化的課程內容標示，方便教師快速查找和理解該學習內容在課程體系中的位置與屬性。

【答案】 N 代表數學領域，-2- 代表國小階段，-3 代表該階段下的具體學習內容（加減應用問題，含未知數解題）。

2. 線段圖教學活動設計 (10分)

• 核心觀念： 利用線段圖具體化抽象的加減關係，幫助學生理解題意，找出未知數與已知數的關係，進而列出算式。
• 教學目標： 讓學生能透過線段圖理解「部分-部分-全部」的加減關係，並能根據線段圖列出正確的減法算式求出未知數。
• 教學流程：
  1. 引起動機與情境引入：
     • 展示題目：「魚缸裡原有一些魚,再放進17條,共有46條,魚缸裡原有ㄨˊ幾條魚?」
     • 提問：「這題說了什麼？我們要找出什麼？」(引導學生說出「不知道原來有多少魚，知道放進了 17 條，總共有 46 條。」)
  2. 介紹線段圖：
     • 教師說明：「我們可以畫一條線段圖來幫助我們理解這個問題。」
     • 畫一條長長的線段，代表「總共的魚」(46條)。
     • 將這條長線段分成兩段：
       • 上面一段標示「放進去的魚：17條」。
       • 下面一段標示「原來的魚：ㄨˊ條 (未知數)」。
     • 清楚標示「總共 46 條」。
  3. 引導學生觀察線段圖與題意連結：
     • 提問：「從這條線段圖，你們看到了什麼關係？」
     • 引導學生說出：「原來有的魚」加上「放進去的魚」等於「總共的魚」。
     • 或者：「總共的魚」減去「放進去的魚」等於「原來有的魚」。
  4. 列出算式：
     • 根據觀察到的關係，引導學生列出算式：
       • $ㄨˊ + 17 = 46$ (加法算式)
       • $46 - 17 = ㄨˊ$ (減法算式)
     • 教師強調，當我們要求「原來有多少」時，可以用減法來計算。
  5. 計算並驗算：
     • 引導學生計算 $46 - 17 = 29$。
     • 鼓勵學生進行驗算：將求出的答案 (29) 代入原來的算式 $29 + 17$，看是否等於 46。 $29 + 17 = 46$。驗算正確。
  6. 完整作答：
     • 請學生寫下完整的答案：「魚缸裡原有 29 條魚。」