109 年 國立清華大學數理教育研究所乙組《數學教材教法》

此題主要在探討數學基本概念的理解，特別是「比」、「除」與「比值」之間的關係，以及如何設計能引導學生理解數學概念的教學活動。

核心觀念： 數學概念的定義、數學語言的理解、教材設計的原則。

(1) 「比」和「除」的意義：

• 除 (Division)： 除法是一種基本運算，表示將一個數量（被除數）分成若干等份（除數），求每一份的量（商），或求一個總數裡包含多少個指定的量。其符號為 $\div$ 或 /。例如，$10 \div 2 = 5$ 表示將 10 分成 2 等份，每份是 5；或者表示 10 裡面有多少個 2，有 5 個。
• 比 (Ratio)： 比是表示兩個數量之間關係的一種方式，用來比較兩個同類型的數量，表示一個量是另一個量的多少倍，或兩者之間的比例關係。比的符號是「:」。例如，$a:b$ 表示 $a$ 與 $b$ 的比。比的前項是 $a$，後項是 $b$。

兩者關係： 除法可以被用來計算比，而比的概念也與除法緊密相關。當我們說 $a:b$ 時，其數學意義等同於 $\frac{a}{b}$，這正是一個除法算式。

(2) 何謂「比值」？

• 比值 (Value of a Ratio)： 比值是將比的前項除以後項所得的商。比值是一個數，它可以是整數、分數或小數。比值沒有單位。
  • 例如，在比 $a:b$ 中，其比值為 $\frac{a}{b}$。
  • 若比為 $2:3$，則其比值為 $\frac{2}{3}$。
  • 若比為 $4:2$，則其比值為 $\frac{4}{2} = 2$。

關鍵點： 比值是通過除法運算得到的，它將比的概念量化為一個具體的數值。

(3) 設計「比值」教學的數學文字題：

為了讓學生理解「比值」的意義，我們可以設計包含不同語意結構的題目。

此題考驗教師設計評量工具的能力，需能針對特定的數學概念（角的保留概念、角的大小比較）設計出有效的評量試題。

核心觀念： 數學概念的評量設計、教學目標的轉化。

(1) 設計評量試題以了解學生是否具有「角的保留概念」：

• 角的保留概念 (Conservation of Angles)： 指的是學生理解，即使改變角的兩邊（射線）的長度，只要兩邊張開的角度不變，這個角的大小就不會改變。這是數學上對「角」的正確理解，區別於將角誤認為是線段的長度或區域的大小。

• 評量試題設計：
  「請看下圖。圖中有兩個角，角 A 和角 B。
  🖼️【此處有附圖，請對照原卷】
  (圖中應包含兩個角，例如：角 A 的兩邊較短，角 B 的兩邊較長，但兩者的張開角度相同。)

此題考驗教師設計評量工具的能力，需能針對特定的數學概念（角的保留概念、角的大小比較）設計出有效的評量試題。

核心觀念： 數學概念的評量設計、教學目標的轉化。

(2) 設計評量試題以了解學生是否能「比較兩個角的大小」：

• 比較角的大小： 學生需要能夠判斷哪一個角張開得比較大，哪一個比較小。這通常與角的保育概念相關，但也可以是獨立的評量點。

• 評量試題設計：
  「請仔細觀察以下三個角：角 P、角 Q 和角 R。
  🖼️【此處有附圖，請對照原卷】
  (圖中應包含三個角，例如：角 P 的邊長較短，張角適中；角 Q 的邊長較長，張角較小；角 R 的邊長適中，張角較大。)

核心觀念

本題考查三角形依「角的特徵」分類，以及如何透過學生觀察、操作、分類與歸納，主動形成數學定義。

三角形的三個內角和為 $180^\circ$。依角的大小可分為：

• 直角三角形：含有一個直角。
• 銳角三角形：三個角都是銳角。
• 鈍角三角形：含有一個鈍角。

角的分類如下：

$$\text{直角}=90^\circ$$ $$\text{銳角}<90^\circ$$ $$\text{鈍角}>90^\circ$$

三角形不可能有兩個直角，也不可能有兩個鈍角，因為三角形內角和只有 $180^\circ$。因此，直角三角形與鈍角三角形各有一個特殊角；銳角三角形則三個角皆為銳角。

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解題方法

（1）三種三角形的定義

直角三角形

直角三角形是「有一個角是直角的三角形」。

也就是其中一個內角等於 $90^\circ$。形成直角的兩條邊稱為直角邊，直角所對的邊稱為斜邊。

$$\text{直角三角形：有一個內角}=90^\circ$$

國小學生可理解的說法：

三角形裡面有一個像正方形角落一樣的角，這個角是直角，這種三角形叫作直角三角形。

銳角三角形

銳角三角形是「三個角都是銳角的三角形」。

也就是三個內角都小於 $90^\circ$。

$$\text{銳角三角形：三個內角都}<90^\circ$$

國小學生可理解的說法：

三角形的三個角都比直角小，這種三角形叫作銳角三角形。

鈍角三角形

鈍角三角形是「有一個角是鈍角的三角形」。

也就是其中一個內角大於 $90^\circ$。由於三角形內角和為 $180^\circ$，一個三角形最多只能有一個鈍角。

$$\text{鈍角三角形：有一個內角}>90^\circ$$

國小學生可理解的說法：

三角形裡面有一個比直角大的角，這種三角形叫作鈍角三角形。

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（2）40分鐘數學教案

一、教學主題

依角的特徵認識直角三角形、銳角三角形與鈍角三角形。

二、適用年級

國小高年級。

三、教學目標

學生能：

1. 使用直角檢驗三角形中的角。
2. 觀察並比較三角形三個角的大小。
3. 透過分類活動歸納三種三角形的共同特徵。
4. 用自己的話說出直角三角形、銳角三角形與鈍角三角形的定義。
5. 根據角的特徵判斷三角形的種類。

四、教學準備

• 不同形狀的三角形紙卡，包括直角、銳角、鈍角三角形。
• 直角三角板或正方形紙片。
• 量角器。
• 學習單。
• 黑板或投影設備。

三角形紙卡應包含外觀大小不同的圖形，避免學生誤以為「尖的就是銳角三角形」、「扁的就是鈍角三角形」。

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五、教學流程

（一）引起動機：觀察三角形的角（5分鐘）

教師展示數張外觀不同的三角形，提問：

1. 這些圖形有什麼共同點？
2. 哪些角看起來像正方形的角落？
3. 哪些角比正方形的角落小？
4. 哪些角比正方形的角落大？

學生自由觀察並發表想法。教師將學生提到的「像直角」、「比直角小」、「比直角大」等語句記錄在黑板上，但暫不直接公布三種三角形的名稱。

設計目的：

先從學生熟悉的直角出發，建立角的比較基準，再將注意力集中到三角形的角，而不是三角形的邊長或外觀。

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（二）操作活動：檢查三角形的角（10分鐘）

學生活動

每組取得數張三角形紙卡，進行以下操作：

1. 用直角三角板的直角，逐一比對每張紙卡的三個角。
2. 將每個角標記為：
   • 和直角一樣大；
   • 比直角小；
   • 比直角大。
3. 將具有相同角特徵的三角形放在一起。

學生可再用量角器測量部分紙卡，以驗證目測與實際測量是否一致。

教師提問

• 一張三角形紙卡中，有幾個角和直角一樣大？
• 有些三角形的三個角都比直角小嗎？
• 有些三角形是否有一個角比直角大？
• 同一組三角形具有哪些共同特徵？

教師提醒：

判斷三角形種類的依據是角的大小，不是三角形的大小、方向、胖瘦，也不是邊長是否相等。

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（三）分類與歸納：找出各組名稱（10分鐘）

教師請各組展示分類結果，並將三組特徵整理如下：

核心觀念

本題測量學生能否把文字情境轉成正確的三步驟算式：先依每杯折價求出實付單價，再計算全班飲料總價，最後由兩位家長平均分擔。關鍵是辨認「每杯便宜 5 元」表示每一杯都減 5 元，並把「每人平均付多少」理解為總價除以 2。

解題方法

原卷第 2 頁的題目說明每杯原價 45 元，訂 30 杯時每杯便宜 5 元，費用由 2 位家長平均分擔；表中正確答案標為選項 1。先求折扣後的單杯價格：

$$45-5=40$$

再求 30 杯的總價，最後平均分給 2 位家長：

$$(45-5)\times30\div2=40\times30\div2=600$$

因此每位家長平均付 600 元。

主要認知困難

答對率為 0.73，表示仍有部分五年級學生無法正確組織這個三步驟情境。主要困難是將文字中的數量關係轉成算式：學生可能把每杯折價 5 元誤當成整批只折 5 元，或未能把「每人平均分擔」正確表示為將總價除以 2。選項分析也顯示，低分組選擇第 3 項的比例為 0.23，高於高分組的 0.04，反映部分學生會先算原價總額，卻把折價 5 元只扣一次；選擇第 2 項與第 4 項則顯示學生也可能混淆折價的計算單位或運算順序。

選項分析

核心觀念

本題考查學生能否在多步驟情境中，分辨「每杯折價」、「購買多杯的總價」與「由兩人平均分攤」三個關係，並用含括號的算式表達先後次序。

解題涉及：

• 折後單價＝原單價－每杯折價。
• 總價＝折後單價×購買數量。
• 每人分攤金額＝總價÷分攤人數。

解題方法

原卷圖上顯示：飲料每杯 45 元，訂購 30 杯後每杯便宜 5 元，由 2 位家長平均分攤費用。答題分析表列出正確答案為選項 1，選項率為 0.73；高分組選項 1 的比例為 0.93，低分組為 0.50。低分組在選項 2、3、4 的比例分別為 0.17、0.23、0.10，顯示補救教學宜著重單位辨識、數量關係與運算順序。

先求折後單價，再求 30 杯總價，最後平均分給 2 位家長：

$$45-5=40$$ $$40\times30=1200$$ $$1200\div2=600$$

因此，每位家長平均付 600 元。算式可寫成：

$$(45-5)\times30\div2=600$$

驗算時，將每人分攤金額乘以人數，應回到總價：

$$600\times2=1200$$

補救教學活動設計

**教學目標：**學生能說明每個數字代表的量及單位，依序求出折後單價、總價與每人分攤金額，並用括號寫出正確的併式。

**教具：**標示每杯原價與折價的飲料價目卡、30 杯訂購卡、2 位家長角色卡，以及記錄「每杯單價、杯數、總價、分攤人數、每人金額」的表格。

1. 讀題圈出數量與單位
   學生圈出「45 元／杯」、「每杯便宜 5 元」、「30 杯」、「2 位家長」，並在表格中標示各數字代表什麼。教師引導學生辨認 5 元是「每杯」折價，不能直接當作整筆訂單的折價。

2. 用價目卡求折後單價
   將每杯原價 45 元的卡片減去每杯折價 5 元，學生說明折後每杯 40 元。教師追問：「30 杯時，這個折價會發生幾次？」協助學生將折扣和每杯飲料連結。