108 年 國立清華大學數理教育研究所乙組《數學教材教法》

本題主要在檢驗考生對於十二年國教數學領域核心素養的理解，以及如何將其融入具體的教學活動設計。

(1) 核心素養的敘述：
十二年國教數學領域的核心素養，旨在培養學生在面對生活情境或數學問題時，能夠運用所學的數學知識、技能、態度與價值觀，進行有效的思考、判斷、溝通與解決問題的能力。其涵蓋了數學的理解、數學的思考、數學的應用、數學的溝通等面向，強調學生的主動性、探究性與整合性學習，而非僅僅是知識的記憶與複製。

(2) 「因數與倍數」單元符合數學素養的教學活動設計：
教學活動設計應聚焦於引導學生從具體操作、生活經驗中，主動建構因數與倍數的概念，並能連結至實際應用。

• 引導學生建構概念：

  • 情境創設： 老師可以從「分組」或「拼圖」的情境出發。例如，有 24 位學生，老師可以問：「這 24 位學生可以分成幾種相同人數的小組？」引導學生思考 24 的因數。或者，給學生 24 片相同的正方形紙板，問：「可以用這些紙板拼出哪些長方形？」引導學生思考長方形的邊長組合，即 24 的因數。
  • 操作與觀察： 鼓勵學生實際操作，例如用小積木拼成長方形，記錄長和寬的組合。讓學生觀察不同組合與數字 24 的關係。
  • 歸納與定義： 在學生透過操作和觀察後，引導他們歸納出「因數」和「倍數」的定義。例如，當學生發現 24 可以被 1, 2, 3, 4, 6, 8, 12, 24 整除時，引導學生說出這些數字是 24 的因數；當學生發現 24 是 3 的倍數、4 的倍數等，引導學生說出 24 是 3 的倍數。

• 發展數學思考與應用：

  • 連結生活情境： 提出更多與因數、倍數相關的生活問題，例如：

核心觀念

本題評量國小六年級「分數除法」單元的數學學科教學知能（Pedagogical Content Knowledge, PCK），涵蓋認知發展、迷思概念診斷與建構導向教學設計：

1. 包含除（Measurement Division / Quotation Division）情境：在分數除法中，最直觀的表徵為「被除數內包含多少個除數基準量」。
2. 單位量轉換（Unitizing & Re-unitizing）：分數除法中「商」的單位為除數（例如「份」或「杯」），而「餘數」的單位為原被除數的計量單位（例如「公升」或「條」）。
3. 同分母化策略（通分）：異分母分數相除時，透過通分將兩者轉化為相同計數單位（同分母），進而化簡為「分子相除」的整數除法結構。
4. 布魯納（Bruner）表徵系統（EIS 理論）：透過具體物或圖像（動作/圖像表徵）連結至算式（符號表徵），協助學生釐清餘數在不同單位下的意涵。

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解題方法

本題為非選擇題，擬答切入點如下：

1. 第 (1) 小題：從「整數運算基模的負向遷移」及「單位量混淆」兩個面向切入，精準指出學生在直覺運算與餘數意義上的典型迷思，並闡明其認知成因。
2. 第 (2) 小題：設計符合建構主義精神的教學活動，流程包含「情境布題 $\to$ 圖像表徵與通分 $\to$ 符號運算與提問 $\to$ 單位量辨析與驗算 $\to$ 歸納總結」，重點置於如何化解「異分母相除」及「餘數單位辨識」的認知衝突。

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試題解析與擬答

(1) 分數除法單元中學生常見的兩種迷思概念

1. 迷思一：運算直覺的過度推廣——「除法運算的結果（商）一定比被除數小」

   • 現象描述：受國小中年級整數除法經驗（如 $12 \div 3 = 4 < 12$）的影響，學生形成「除法會使數值變小」的認知定勢。當遇到除以真分數的情境（例如 $4 \div \frac{1}{2} = 8$）時，學生看到商比被除數大，會直覺認為計算錯誤，甚至強行將算式改寫為乘法或倒轉運算。
   • 成因分析：學生長期僅具備「等分除（均分給若干人）」的直觀，缺乏將除法理解為「包含除（包含多少個基準量）」的認知基模，未能理解當基準量（除數）小於 $1$ 時，包含的份數必然會大於原數量。

2. 迷思二：餘數單位量的混淆——「無法區分『以除數為單位』與『以原量為單位』的餘數」

   • 現象描述：在處理有餘數的分數除法時（例如 $\frac{5}{6} \div \frac{2}{6} = 2 \cdots \frac{1}{6}$），計算過程中常得到 $5 \div 2 = 2 \cdots 1$。學生常出現兩種錯誤寫法：
     • 將餘數誤寫為整數 $1$（誤將 $1$ 個 $\frac{1}{6}$ 當成 $1$）。
     • 將餘數誤寫為 $\frac{1}{2}$，寫成「商為 $2$，餘 $\frac{1}{2}$」，混淆了「剩下的份數（$\frac{1}{2}$ 份）」與「剩下的實際量（$\frac{1}{6}$ 單位量）」。
   • 成因分析：學生尚未建立穩固的「單位量轉換」概念，無法釐清分數除法算式中，「商的非整數部分（$\frac{1}{2}$）」是以除數為新單位，而「實際剩下的餘數（$\frac{1}{6}$）」是以原題目的物理量為單位。

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(2) 「異分母相除且有餘數」教學活動設計

【活動名稱】果汁分裝大作戰——異分母分數除法的餘數之謎

一、 教學目標

1. 學生能理解異分母分數相除的「包含除」情境。
2. 學生能運用「通分」將異分母分數除法轉化為同分母單位的分子相除。
3. 學生能正確辨析並說明「商（分裝的杯數）」與「餘數（剩下的果汁量）」各自的單位與意義。

二、 情境布題

布題：冰箱裡有 $\frac{3}{4}$ 公升的柳橙汁，每 $\frac{1}{6}$ 公升裝成一杯，最多可以裝滿多少杯？還剩下多少公升的柳橙汁？

三、 教學活動流程

步驟 1：圖像表徵與通分轉化（化異為同）

1. 提出問題：引導學生列出算式 $\frac{3}{4} \div \frac{1}{6}$。
2. 操作與表徵：
   • 繪製兩個容量為 $1$ 公升的長條矩形（或利用量筒教具）。
   • 一個長條標示出 $\frac{3}{4}$ 公升（平分成 $4$ 格，取 $3$ 格）。
   • 另一個長條標示出每杯 $\frac{1}{6}$ 公升（平分成 $6$ 格，取 $1$ 格）。
3. 引導討論：「$\frac{3}{4}$ 與 $\frac{1}{6}$ 的每一格大小不同，該如何準確量出可以倒滿幾杯？」
4. 數學化歷程：引導學生藉由「通分」尋找共同刻度單位（公分母 $12$）： $$\frac{3}{4} = \frac{9}{12} \text{（即 } 9 \text{ 個 } \frac{1}{12} \text{ 公升）}$$

本題主要考察對國小高年級「表面積與體積」單元教學的理解，包括學生需要具備的基礎知識，以及此類教學活動對學生學習的助益。

首先，我們需要完成表格中的計算。
長方體的體積公式為：$V = \text{長} \times \text{寬} \times \text{高}$
長方體的表面積公式為：$A = 2 \times (\text{長} \times \text{寬} + \text{長} \times \text{高} + \text{寬} \times \text{高})$

計算過程：

• 長方體 甲：

  • 長 = 3 cm, 寬 = 2 cm, 高 = 1 cm
  • 體積 $V_{\text{甲}} = 3 \times 2 \times 1 = 6$ cm³
  • 表面積 $A_{\text{甲}} = 2 \times (3 \times 2 + 3 \times 1 + 2 \times 1) = 2 \times (6 + 3 + 2) = 2 \times 11 = 22$ cm²

• 長方體 乙：

  • 長 = 6 cm, 寬 = 4 cm, 高 = 2 cm
  • 體積 $V_{\text{乙}} = 6 \times 4 \times 2 = 48$ cm³
  • 表面積 $A_{\text{乙}} = 2 \times (6 \times 4 + 6 \times 2 + 4 \times 2) = 2 \times (24 + 12 + 8) = 2 \times 44 = 88$ cm²

• 長方體 丙：

  • 長 = 12 cm, 寬 = 8 cm, 高 = 4 cm
  • 體積 $V_{\text{丙}} = 12 \times 8 \times 4 = 384$ cm³
  • 表面積 $A_{\text{丙}} = 2 \times (12 \times 8 + 12 \times 4 + 8 \times 4) = 2 \times (96 + 48 + 32) = 2 \times 176 = 352$ cm²

完成的表格：

長方體	長	寬	高	表面積	體積
甲	3cm	2cm	1cm	22 cm²	6 cm³
乙	6cm	4cm	2cm	88 cm²	48 cm³
丙	12cm	8cm	4cm	352 cm²	384 cm³

觀察與分析：
仔細觀察長方體甲、乙、丙的尺寸，可以發現：

• 長方體乙的長、寬、高分別是甲的 2 倍。
• 長方體丙的長、寬、高分別是乙的 2 倍（或甲的 4 倍）。
• 當長、寬、高都變成原來的 2 倍時：
  • 體積變為原來的 $2^3 = 8$ 倍 ($48 \div 6 = 8$, $384 \div 48 = 8$)。
  • 表面積變為原來的 4 倍 ($88 \div 22 = 4$, $352 \div 88 = 4$)。

這是一個關於相似形體尺寸、表面積與體積之間關係的重要探索。

(1) 學生需要哪些先備數學知識？

學生需要具備以下先備數學知識，才能順利進行此教學活動：

• 基本幾何概念：
  • 認識長方體，理解其由長、寬、高三個維度構成。
  • 認識面積、體積的概念，以及它們的單位（平方公分 cm², 立方公分 cm³）。
• 基本運算能力：
  • 熟練整數的加法、減法、乘法運算。
  • 能進行多位數乘法計算。

本題旨在探討不同數學語言的意義及其在教學上的安排順序。這涉及對乘法、倍數、比例等概念的深層理解。

(1) 四個數學語言的意義區別：

這四個數學語言代表了不同的數學概念，需要仔細分析其結構和語意：

• (1) 「3 的 4 倍是 12」

  • 意義： 這是一個典型的 乘法 概念的表述。它描述了兩個數（3 和 4）經過「倍」這個運算後，得到第三個數（12）。其中，3 是「基數」（或稱被乘數），4 是「倍數」（或稱乘數），12 是「積」。
  • 結構： 基數 × 倍數 = 積
  • 語意： 強調「3」這個數量，經過「增加 4 次」或「重複 4 份」的操作，最終得到 12。可以理解為 $3 + 3 + 3 + 3 = 12$。
  • 單位： 在此敘述中，3 和 12 可能有相同的單位，也可能沒有。例如，「3 公尺的 4 倍是 12 公尺」，單位相同。但若指「3 個蘋果的 4 倍是 12 個蘋果」，單位也相同。若指「3 的 4 倍（無單位）是 12（無單位）」，則表示純粹的數值關係。

• (2) 「12 是 3 的倍數」

  • 意義： 這是一個 倍數 概念的表述。它描述了 12 與 3 之間的整除關係。
  • 結構： 數 A 是 數 B 的倍數，表示 A 可以被 B 整除，即 $A = B \times k$，其中 k 必須是整數。
  • 語意： 強調「12」這個數，可以由「3」透過整數次（在此為 4 次）的加法（或乘法）來得到。換句話說，12 裡面可以包含 3 這個單位 4 次。
  • 與 (1) 的區別： (1) 是描述一個具體的乘法運算過程，強調「3」乘以「4」得到「12」；而 (2) 則描述了 12 和 3 之間的一種「被包含」或「整除」的關係，它說明了 12 是由 3 構成的，並且是由「整數倍」構成的。(1) 關注的是運算過程和結果，(2) 關注的是數與數之間的整除關係。

• (3) 「哥哥的錢是全部的 3/4 倍」

  • 意義： 這是一個 比例 概念的表述，具體是指 部分與整體的關係。
  • 結構： 部分 = 整體 × 分率 (或比例)
  • 語意： 強調「全部的錢」是「整體」，而「哥哥的錢」是這個整體的一部分。這個部分佔整體的 $\frac{3}{4}$。這裡的「倍」指的是「分數倍」，表示比例關係，不一定是整數倍。
  • 單位： 「哥哥的錢」和「全部的錢」必須有相同的單位（例如元、塊）。「3/4」是分率，是沒有單位的。

• (4) 「哥哥的錢是弟弟的 3/4 倍」

  • 意義： 這也是一個 比例 概念的表述，但與 (3) 不同，它描述的是 兩個部分之間的比較關係。
  • 結構： 部分 A = 部分 B × 比例
  • 語意： 強調「哥哥的錢」和「弟弟的錢」是兩個不同的部分，哥哥的錢的數量是弟弟的錢數量的 $\frac{3}{4}$。這裡的「倍」同樣指的是分數倍。
  • 與 (3) 的區別： (3) 是「部分對整體」的比例；(4) 是「部分對部分」的比例。在 (3) 中，哥哥的錢是「部分」，「全部的錢」是「整體」。

本題考察數學解題的教學設計，特別是透過不同策略（分組包裝 vs. 分份包裝）引導學生理解分數除法或比例的概念，並要求學生能說明教學目標及提供圖形表徵。

首先，我們來分析布題和兩個小題的實際解法。
布題：1 箱 24 瓶，18 瓶是幾箱？
這是一個比例問題：$18 \text{ 瓶} : x \text{ 箱} = 24 \text{ 瓶} : 1 \text{ 箱}$。
解法：$x = \frac{18}{24} = \frac{3}{4}$。所以 18 瓶是 $\frac{3}{4}$ 箱。

小題 (1) 小鎮想把每 3 瓶舒跑重新裝成一包,請問 18 瓶飲料是幾箱?
這是將 18 瓶分成每組 3 瓶，看總共可以分成幾組。
解法：$18 \div 3 = 6$ (組)。
問題在於，這裡問的是「幾箱」，而題目給的資訊是「1 箱 24 瓶」。所以，6 組 3 瓶的飲料，相當於幾箱？
每一組 3 瓶，相當於 $\frac{3}{24} = \frac{1}{8}$ 箱。
所以 6 組就是 $6 \times \frac{1}{8} = \frac{6}{8} = \frac{3}{4}$ 箱。
這個小題實際上是在引導學生理解「單位量」的概念，並透過「組」來連結到「箱」。

小題 (2) 小清想把這箱飲料分成 4 份來包裝,請問 18 瓶飲料是幾箱?
這是將「1 箱」（24 瓶）分成 4 等份，然後問 18 瓶相當於幾份。
解法：1 箱分成 4 份，每份是 $\frac{1}{4}$ 箱（或 $\frac{24}{4} = 6$ 瓶）。
問題是 18 瓶是幾箱？
18 瓶相當於 $18 \div 6 = 3$ 份。
所以 18 瓶就是 3 份 $\frac{1}{4}$ 箱，總共是 $3 \times \frac{1}{4} = \frac{3}{4}$ 箱。
這個小題引導學生理解「總量」與「部分」的關係，並透過「份數」來連結。

(1) 分別說明布題中的 (1) 和 (2) 的教學目標為何？

• 小題 (1) 的教學目標：

  1. 理解「組」與「單位量」的概念： 引導學生認識到，當我們將總量（18 瓶）以特定的「單位量」（每組 3 瓶）來重新組織時，可以得到幾組。這有助於學生理解除法作為「等分除」或「包含除」的意義。
  2. 建立「組」與「箱」之間的連結： 透過計算「18 瓶可以分成幾組 3 瓶」，以及「每組 3 瓶相當於幾箱」，讓學生理解不同的單位（瓶、組、箱）之間的轉換關係。具體來說，是讓學生理解 $\frac{3 \text{ 瓶}}{1 \text{ 箱}} = \frac{3}{24} = \frac{1}{8}$，即「每組 3 瓶」是 $\frac{1}{8}$ 箱。
  3. 應用比例概念解決問題： 讓學生透過「總共幾組」乘以「每組代表的箱數」，得到最終的答案，即 $6 \times \frac{1}{8} = \frac{3}{4}$ 箱。這是在理解單位量轉換後的比例應用。
  4. 培養解題策略的多樣性： 提供另一種解決「18 瓶是幾箱」的思路，與直接計算 $\frac{18}{24}$ 進行比較和補充。

• 小題 (2) 的教學目標：

  1. 理解「分成若干份」的意義： 引導學生認識到，將一個整體（1 箱）平均分成若干份（4 份），每一份代表整體的一部分。這有助於學生理解分數的意義（如 $\frac{1}{4}$）。
  2. 建立「份數」與「箱」之間的連結： 讓學生理解 18 瓶相當於「幾份」$\frac{1}{4}$ 箱。透過計算 18 瓶相當於 3 份（因為每份是 6 瓶， $18 \div 6 = 3$），進而連結到總共是 $3 \times \frac{1}{4} = \frac{3}{4}$ 箱。
  3. 應用比例概念解決問題： 讓學生理解「總份數」乘以「每份代表的箱數」，得到最終的答案。這也是一種比例應用。
  4. 培養解題策略的多樣性： 提供另一種解決「18 瓶是幾箱」的思路，讓學生體會到不同策略都可以導向正確結果，並加深對分數與比例的理解。

(2) 分別提供布題中的 (1) 和 (2) 的正確圖形表徵方式。

• 小題 (1) 的圖形表徵方式：
  • 策略： 以「組」為單位，連結到「箱」。
  • 圖示方法：
    1. 畫出總量： 先畫出 18 瓶飲料，可以用圓圈代表瓶子，總共 18 個。
    2. 分組： 將這 18 個圓圈，每 3 個圈成一組。學生會發現可以圈成 6 組。
    3. 連結箱的單位： 接著，畫出「1 箱」的概念，標示 1 箱有 24 瓶。然後展示「每組 3 瓶」相當於 1 箱的幾分之幾。