108 年 國立清華大學數理教育研究所乙組《普通數學》

核心觀念

• 正方形四邊相等且相鄰邊互相垂直。
• 大正方形 $ABCD$ 的邊長為 $BC=4$。
• 小正方形 $EFGD$ 的邊長為 $ED=2$。
• 利用座標法求三角形面積。

解題方法

依圖設座標：

$B=(0,0),\quad C=(4,0),\quad D=(4,4),\quad A=(0,4)$

因為 $ED=2$，且 $EFGD$ 為正方形，又 $G,D,C$ 三點共線，所以小正方形位於 $D$ 的上方：

$E=(2,4),\quad F=(2,6),\quad G=(4,6)$

因此三角形 $ACF$ 的三個頂點為：

$A=(0,4),\quad C=(4,0),\quad F=(2,6)$

以 $AC$ 為底，先求 $AC$：

$$AC=\sqrt{(4-0)^2+(0-4)^2} =\sqrt{16+16}=4\sqrt{2}$$

直線 $AC$ 的方程式為：

$x+y=4$

點 $F=(2,6)$ 到直線 $x+y-4=0$ 的距離為：

本題考查最大公因數（GCD）的性質與整數的整除關係。

解題步驟：

1. 分析已知條件：

   • a, b, c 為正整數。
   • $\text{gcd}(a, b) = 8$。這表示 $a$ 和 $b$ 都是 8 的倍數，且 $a = 8k_1$, $b = 8k_2$，其中 $k_1, k_2$ 是互質的正整數 ($\text{gcd}(k_1, k_2) = 1$)。
   • $\text{gcd}(a, c) = 25$。這表示 $a$ 和 $c$ 都是 25 的倍數，且 $a = 25m_1$, $c = 25m_2$，其中 $m_1, m_2$ 是互質的正整數 ($\text{gcd}(m_1, m_2) = 1$)。
   • $300 < a < 500$。

2. 找出 a 的可能值：
   由 $\text{gcd}(a, b) = 8$，可知 $a$ 是 8 的倍數。
   由 $\text{gcd}(a, c) = 25$，可知 $a$ 是 25 的倍數。
   因此，$a$ 必須是 8 和 25 的公倍數。由於 8 和 25 是互質的，所以 $a$ 必須是 $8 \times 25 = 200$ 的倍數。
   在 $300 < a < 500$ 的範圍內，200 的倍數只有 $200 \times 2 = 400$。
   所以，$a = 400$。

3. 確定 b 和 c 的形式：

   • $\text{gcd}(a, b) = 8 \implies \text{gcd}(400, b) = 8$。
     $400 = 8 \times 50$。
     所以 $\text{gcd}(8 \times 50, b) = 8$。
     令 $b = 8k_2$。則 $\text{gcd}(8 \times 50, 8k_2) = 8 \times \text{gcd}(50, k_2) = 8$。
     這表示 $\text{gcd}(50, k_2) = 1$。
     $50 = 2 \times 5^2$。
     所以 $k_2$ 不能是 2 的倍數，也不能是 5 的倍數。
     $b = 8k_2$，其中 $k_2$ 不能被 2 或 5 整除。

   • $\text{gcd}(a, c) = 25 \implies \text{gcd}(400, c) = 25$。
     $400 = 25 \times 16$。
     所以 $\text{gcd}(25 \times 16, c) = 25$。
     令 $c = 25m_2$。則 $\text{gcd}(25 \times 16, 25m_2) = 25 \times \text{gcd}(16, m_2) = 25$。
     這表示 $\text{gcd}(16, m_2) = 1$。
     $16 = 2^4$。
     所以 $m_2$ 不能是 2 的倍數。
     $c = 25m_2$，其中 $m_2$ 是奇數。

4. 檢查選項：
   我們知道 $a=400$。
   $b = 8k_2$，其中 $k_2$ 不能被 2 或 5 整除。
   $c = 25m_2$，其中 $m_2$ 是奇數。

   • (A) 16 是 b 的因數。
     $b = 8k_2$。如果 $k_2$ 是奇數，則 $b$ 不是 16 的倍數。例如，若 $k_2=1$，則 $b=8$。8 不是 16 的倍數。
     如果 $k_2$ 是偶數，但不能被 2 整除，這是矛盾的。
     所以，我們需要 $k_2$ 是奇數，且不能是 5 的倍數。
     例如，若 $k_2=1$, $b=8$. $\text{gcd}(400, 8) = 8$. $k_2=1$ 滿足 $\text{gcd}(50, 1)=1$.

本題考查等差數列的求和公式及其應用。

解題步驟：

1. 定義變數與公式：
   設等差數列的首項為 $a_1$，公差為 $d$，項數為 $n$。
   等差數列前 $k$ 項的和公式為 $S_k = \frac{k}{2}(2a_1 + (k-1)d)$。
   等差數列從第 $p$ 項到第 $q$ 項的和為 $S_{p,q} = S_q - S_{p-1}$。
   等差數列的第 $k$ 項為 $a_k = a_1 + (k-1)d$。

2. 列出已知條件的方程式：

   • 前五項的和為 45：$S_5 = \frac{5}{2}(2a_1 + (5-1)d) = \frac{5}{2}(2a_1 + 4d) = 5(a_1 + 2d) = 45$。
     由此可得 $a_1 + 2d = 9$ (式 1)。

   • 所有項的和為 1020：$S_n = \frac{n}{2}(2a_1 + (n-1)d) = 1020$ (式 2)。

   • 最後五項的和是 295。
     最後五項為 $a_{n-4}, a_{n-3}, a_{n-2}, a_{n-1}, a_n$。
     這些項的和為 $S_{n-4, n} = a_{n-4} + a_{n-3} + a_{n-2} + a_{n-1} + a_n = 295$。
     這個和也可以表示為 $S_n - S_{n-5} = 295$。
     或者，我們可以將這最後五項看作一個新的等差數列，其首項為 $a_{n-4} = a_1 + (n-5)d$，項數為 5。
     其和為 $\frac{5}{2}(2a_{n-4} + (5-1)d) = \frac{5}{2}(2(a_1 + (n-5)d) + 4d) = 295$。
     $\frac{5}{2}(2a_1 + 2(n-5)d + 4d) = 295$
     $5(a_1 + (n-5)d + 2d) = 295$
     $a_1 + (n-5)d + 2d = 59$
     $a_1 + (n-3)d = 59$ (式 3)。

3. 聯立方程式求解：
   我們有三個方程式，但有三個未知數 $a_1, d, n$。
   從式 1：$a_1 = 9 - 2d$。

   將 $a_1$ 代入式 3：
   $(9 - 2d) + (n-3)d = 59$
   $9 - 2d + nd - 3d = 59$
   $nd - 5d = 50$
   $d(n-5) = 50$ (式 4)。

核心觀念

六邊形的每個內角都是 $120^\circ$，因此相鄰邊的方向每次轉過

$$180^\circ-120^\circ=60^\circ$$

利用六邊形各邊首尾相接，所有邊向量的總和必為零。

設

$$BC=x,\qquad AF=y$$

已知

$$AB=3,\quad CD=2,\quad DE=3,\quad EF=3$$

解題方法

取 $AB$ 的方向為水平向右，六邊形各邊方向依序相差 $60^\circ$。分別比較水平與鉛直方向的分量。

鉛直方向分量和為 $0$：

$$\frac{\sqrt3}{2}x+\frac{\sqrt3}{2}\cdot2 -\frac{\sqrt3}{2}\cdot3-\frac{\sqrt3}{2}y=0$$

約去 $\frac{\sqrt3}{2}$：

$$x+2-3-y=0$$

因此

本題考查速率、時間、距離的關係，以及對時間的單位換算（分鐘與小時）。

解題步驟：

1. 第一天的時間：
   第一天以原速度 $x$ 公里/小時 騎行 60 公里。
   第一天所花時間 $T_1 = \frac{60}{x}$ 小時。
   將時間換算成分鐘：$T_1 (\text{分}) = \frac{60}{x} \times 60 = \frac{3600}{x}$ 分鐘。

2. 第二天的時間與速度變化：
   第二天騎行路程為 60 公里。
   原速度為 $x$ 公里/小時。
   出發後 1 小時，騎行了 $x$ 公里。
   接著下雨，花了 1 小時躲雨。
   剩下的路程為 $60 - x$ 公里。
   剩下的路程以 $\frac{4}{5}x$ 公里/小時 的速度騎行。
   騎行這段路程所需時間 $t_{\text{rain}} = \frac{60-x}{\frac{4}{5}x} = \frac{5(60-x)}{4x}$ 小時。
   第二天總時間 $T_2 = 1 (\text{小時騎行}) + 1 (\text{小時躲雨}) + t_{\text{rain}}$。
   $T_2 = 1 + 1 + \frac{5(60-x)}{4x} = 2 + \frac{300-5x}{4x}$ 小時。
   $T_2 = \frac{8x + 300 - 5x}{4x} = \frac{3x + 300}{4x}$ 小時。

3. 利用第二天與第一天時間的差來求解 x：
   第二天比第一天多花了 105 分鐘。
   $T_2 (\text{分}) - T_1 (\text{分}) = 105$ 分鐘。
   $\frac{3x + 300}{4x} \times 60 - \frac{3600}{x} = 105$。
   $\frac{15(3x + 300)}{x} - \frac{3600}{x} = 105$。
   $\frac{45x + 4500 - 3600}{x} = 105$。
   $\frac{45x + 900}{x} = 105$。
   $45x + 900 = 105x$。
   $900 = 105x - 45x$。
   $900 = 60x$。

核心觀念

本題考查：

1. 指數律：$x^{mn}=(x^m)^n$。
2. 正平方根定義：對 $x>0$，其正平方根為 $\sqrt{x}$，且平方後等於 $x$。
3. 若 $x>0$，則 $\sqrt{x^2}=x$。

已知

$$a=5^{12^2}=5^{144}=(5^{72})^2$$

因此

$$\sqrt{a}=5^{72}.$$

另外，

$$512=2^9$$

所以

$$\sqrt{512}=\sqrt{2^9}=2^{9/2}=16\sqrt{2}.$$

解題方法

先將 $a$ 寫成完全平方數：

$$a=5^{144}=(5^{72})^2$$

故

$$\sqrt{a}=5^{72}.$$

再比較各選項所描述的正平方根。

選項分析

(A) $512$ 的正平方根是 $a$

$$\sqrt{512}=16\sqrt{2},$$

而

$$a=5^{144}.$$

兩者不相等，因此 (A) 錯誤。

(B) $512$ 的正平方根是 $\sqrt{a}$

由上式，

$$\sqrt{512}=16\sqrt{2}, \qquad \sqrt{a}=5^{72}.$$

核心觀念

本題考查有限等比級數的求和公式，以及小數與分數的大小比較。

有限等比級數

$$\sum_{k=1}^{n}r^k = \frac{r(1-r^n)}{1-r} \quad (r\ne 1)$$

本題公比為 $r=\frac12$，因此

$$c=\sum_{k=1}^{n}\frac{1}{2^k} = 1-\frac{1}{2^n}.$$

解題方法

已知

$$a=0.9,\qquad b=1.$$

因為

$$0.9<1,$$

所以必有

$$a<b.$$

另一方面，

$$c=1-\frac{1}{2^n}.$$

若 $n$ 為有限的正整數，則 $\frac{1}{2^n}>0$，因此

$$c<1=b.$$

所以 $c$ 不可能大於或等於 $b$。至於 $c$ 與 $a=0.9$ 的大小，則需視 $n$ 而定：

• 當 $n\le 3$ 時，

  $$c\le 1-\frac18=\frac78=0.875<0.9=a；$$

• 當 $n\ge 4$ 時，

  $$c\ge 1-\frac1{16}=\frac{15}{16}=0.9375>0.9=a。$$

因此，題目未指定 $n$ 時，$a$ 與 $c$ 的大小關係並不固定；且無論 $n$ 為何，皆有 $c<b$。

選項分析

(A) $a<b<c$

本題考查三角形相似的判斷，即兩三角形的三邊長成比例。

解題步驟：

1. 確定 △ABC 的三邊長比例：
   △ABC 的三邊長為 $\sqrt{2}$, $1$, $1$。
   為了方便比較，我們可以將這三邊長進行排序：$1, 1, \sqrt{2}$。
   或者，我們也可以將它們表示成比例的形式，例如 $1:1:\sqrt{2}$。

2. 判斷選項中三角形的三邊長比例：
   我們要找出哪個選項中的三角形，其三邊長與 △ABC 的三邊長成比例。

   • (A) √2 公分、√2 公分、1 公分
     將三邊長排序：$1, \sqrt{2}, \sqrt{2}$。
     比例為 $1:\sqrt{2}:\sqrt{2}$。
     比較 △ABC 的比例 $1:1:\sqrt{2}$ 與此選項的比例 $1:\sqrt{2}:\sqrt{2}$。
     若要相似，必須存在一個比例因子 $k$，使得 $1 = k \times 1$, $1 = k \times \sqrt{2}$, $\sqrt{2} = k \times \sqrt{2}$。
     從第一個式子 $k=1$。
     從第二個式子 $k = 1/\sqrt{2}$。
     從第三個式子 $k=1$。
     由於 $k$ 的值不唯一 ($1 \neq 1/\sqrt{2}$)，所以這兩個三角形不相似。

   • (B) √6 公分、√3 公分、√3 公分
     將三邊長排序：$\sqrt{3}, \sqrt{3}, \sqrt{6}$。
     比例為 $\sqrt{3}:\sqrt{3}:\sqrt{6}$。
     我們可以將其化簡。除以 $\sqrt{3}$：$1:1:\frac{\sqrt{6}}{\sqrt{3}} = 1:1:\sqrt{2}$。

本題考查獨立事件的組合數計算，即每個獨立事件的可能結果數的乘積。

解題步驟：

1. 分析單一銅板的可能結果：
   一枚銅板投擲一次，可能出現的結果是「正面」(H) 或「反面」(T)。共有 2 種可能結果。

2. 分析兩枚銅板的可能情況：
   題目提到「同時投擲兩枚銅板可能出現正正、反反與正反三種情況」。
   這句話的敘述有誤。
   實際上，同時投擲兩枚銅板，可能出現的結果是：
   (H, H) - 正正
   (H, T) - 正反
   (T, H) - 反正
   (T, T) - 反反
   共有 $2 \times 2 = 4$ 種不同的情況。
   如果題目指的是「出現兩個相同結果」或「出現兩個不同結果」這兩種「類別」情況，那又是另一回事。
   但從「正正、反反與正反」來看，它似乎將「反正」和「正反」視為同一種情況「正反」。
   如果我們將兩枚銅板區分（例如，第一枚和第二枚），則有 4 種情況。
   如果我們不區分銅板（例如，只看出現正面和反面的數量），則有：

   • 兩個正面 (HH) - 1 種情況
   • 一個正面一個反面 (HT, TH) - 1 種情況 (如果我們不區分順序)
   • 兩個反面 (TT) - 1 種情況
     總共 3 種情況。
     題目中的「正正、反反與正反」對應的是：
   • 正正 (HH)
   • 反反 (TT)
   • 正反 (HT 或 TH)
     這確實是 3 種情況。這種情況的計算方式是，對於 $n$ 枚銅板，出現 $k$ 個正面和 $n-k$ 個反面的組合數是 $\binom{n}{k}$。
     對於兩枚銅板 ($n=2$)：
   • 2 正 0 反：$\binom{2}{2} = 1$ (HH)
   • 1 正 1 反：$\binom{2}{1} = 2$ (HT, TH)
   • 0 正 2 反：$\binom{2}{0} = 1$ (TT)
     總共有 $1+2+1=4$ 種可能結果，如果考慮順序。
     如果題目是指「結果的類型」，則「正正」、「反反」、「一正一反」確實是 3 種。

本題考查兩圓的位置關係，判斷交點數取決於圓心距與兩半徑的關係。

解題步驟：

1. 找出兩圓的圓心與半徑：
   圓 1：圓心 $C_1 = A = (2, 3)$，半徑 $r_1 = 10$。
   圓 2：圓心 $C_2 = B = (5, 7)$，半徑 $r_2 = 5$。

2. 計算兩圓圓心的距離：
   圓心距 $d = |C_1 C_2| = \sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2}$
   $d = \sqrt{(5 - 2)^2 + (7 - 3)^2}$
   $d = \sqrt{3^2 + 4^2}$
   $d = \sqrt{9 + 16}$
   $d = \sqrt{25}$
   $d = 5$。

3. 判斷兩圓的位置關係：
   我們需要比較圓心距 $d$ 與兩半徑 $r_1, r_2$ 的關係。
   兩半徑的和：$r_1 + r_2 = 10 + 5 = 15$。
   兩半徑的差的絕對值：$|r_1 - r_2| = |10 - 5| = 5$。

本題考查對百分比、折扣、比例的理解與比較。

解題步驟：

1. 理解各方案的含義：
   假設停車場的原價收費為 $P$。

   • 甲家：提出收費打四折。
     「打折」通常是指乘以折扣率。四折表示乘以 $0.4$。
     所以，甲家的收費為 $0.4 \times P$。

   • 乙家：提出僅收費用的四成。
     「四成」表示 $40\%$，也就是 $0.4$。
     所以，乙家的收費為 $0.4 \times P$。

   • 丙家：提出只收原價的四分之一。
     「四分之一」表示 $\frac{1}{4}$。
     $\frac{1}{4} = 0.25$。

本題考查圓內接四邊形的性質，即對角互補。

解題步驟：

1. 圓內接四邊形的性質：
   圓內接四邊形是指四個頂點都在同一個圓上的四邊形。
   其重要性質是：對角互補，即相對的兩個內角之和為 $180^\circ$。

2. 設定四邊形的角：
   設圓內接四邊形的四個內角為 $\angle A, \angle B, \angle C, \angle D$。
   我們知道 $\angle A + \angle C = 180^\circ$ 且 $\angle B + \angle D = 180^\circ$。
   題目給定「相鄰兩角」分別為 $105^\circ$ 與 $80^\circ$。
   假設這兩個相鄰角是 $\angle A = 105^\circ$ 和 $\angle B = 80^\circ$。

3. 計算剩餘的兩個角：
   根據對角互補的性質：

   • $\angle C$ 與 $\angle A$ 是對角，所以 $\angle A + \angle C = 180^\circ$。
     $105^\circ + \angle C = 180^\circ$
     $\angle C = 180^\circ - 105^\circ = 75^\circ$。
   • $\angle D$ 與 $\angle B$ 是對角，所以 $\angle B + \angle D = 180^\circ$。
     $80^\circ + \angle D = 180^\circ$
     $\angle D = 180^\circ - 80^\circ = 100^\circ$。
     所以，剩餘的兩個角是 $75^\circ$ 和 $100^\circ$。

4. 檢查選項：
   我們計算出的兩個角是 $100^\circ$ 和 $75^\circ$。
   選項 (A) 是 $100^\circ$ 與 $75^\circ$。這與我們的計算結果相符。

   考慮其他相鄰角的情況：
   題目說「相鄰兩角分別為 $105^\circ$ 與 $80^\circ$」。
   情況 1：$\angle A = 105^\circ, \angle B = 80^\circ$。我們得到 $\angle C = 75^\circ, \angle D = 100^\circ$。剩餘兩角是 $75^\circ, 100^\circ$。

本題考查根式的化簡與估計，特別是估計根式的值來判斷整數部分。

解題步驟：

1. 估計根式內的數值：
   我們需要估計 $\sqrt{32\sqrt{11} + 4\sqrt{7}}$ 的值。
   首先估計 $\sqrt{11}$ 和 $\sqrt{7}$。
   $\sqrt{9} = 3$, $\sqrt{16} = 4$。所以 $\sqrt{11}$ 在 3 和 4 之間，且比較接近 3。
   $\sqrt{11} \approx 3.3$。 ($3.3^2 = 10.89$)
   $\sqrt{4} = 2$, $\sqrt{9} = 3$。所以 $\sqrt{7}$ 在 2 和 3 之間，且比較接近 3。
   $\sqrt{7} \approx 2.6$。 ($2.6^2 = 6.76$)

2. 計算根式內部的近似值：
   $32\sqrt{11} \approx 32 \times 3.3 = 105.6$。
   $4\sqrt{7} \approx 4 \times 2.6 = 10.4$。
   根式內部的值 $\approx 105.6 + 10.4 = 116$。

3. 估計根號的值：
   我們需要計算 $\sqrt{116}$。
   $10^2 = 100$。
   $11^2 = 121$。
   所以 $\sqrt{116}$ 在 10 和 11 之間，且比較接近 11。
   $\sqrt{116} \approx 10.7$。 ($10.7^2 = 114.49$)
   $\sqrt{116} \approx 10.8$。 ($10.8^2 = 116.64$)
   所以，$\sqrt{32\sqrt{11} + 4\sqrt{7}} \approx 10.8$。

4. 計算最終結果的整數部分：
   原式為 $28 + \sqrt{32\sqrt{11} + 4\sqrt{7}}$。
   估計值 $\approx 28 + 10.8 = 38.8$。
   因此，整數部分是 38。

5. 使用更精確的估計值進行驗證：
   $\sqrt{11} \approx 3.3166$ ($3.3166^2 \approx 10.9997$)
   $\sqrt{7} \approx 2.6458$ ($2.6458^2 \approx 7.0002$)

   $32\sqrt{11} \approx 32 \times 3.3166 \approx 106.1312$
   $4\sqrt{7} \approx 4 \times 2.6458 \approx 10.5832$
   根式內部的值 $\approx 106.1312 + 10.5832 = 116.7144$

   $\sqrt{116.7144}$。
   $10.8^2 = 116.64$。
   $10.803^2 \approx 116.7048$
   $10.804^2 \approx 116.7264$
   所以 $\sqrt{116.7144} \approx 10.803$.

核心觀念

繩子的總長固定，因此三種圖形的周長皆等於同一長度。設繩長為 $L$。

需使用：

• 正三角形面積：$A=\dfrac{\sqrt{3}}{4}s^2$
• 圓周長：$C=2\pi r$
• 圓面積：$A=\pi r^2$
• 半圓的周界包含半圓弧與直徑，因此周長為 $\pi r+2r=(\pi+2)r$
• 半圓面積：$A=\dfrac{1}{2}\pi r^2$

解題方法

1. 正三角形

正三角形有三條等長邊，因此

$$3s=L$$ $$s=\frac{L}{3}$$

面積為

$$A_1=\frac{\sqrt{3}}{4}\left(\frac{L}{3}\right)^2 =\frac{\sqrt{3}L^2}{36}$$

2. 半圓

半圓的周長由半圓弧和直徑組成：

$$\pi r+2r=L$$ $$r=\frac{L}{\pi+2}$$

因此半圓面積為

$$A_2=\frac{1}{2}\pi r^2 =\frac{1}{2}\pi\left(\frac{L}{\pi+2}\right)^2 =\frac{\pi L^2}{2(\pi+2)^2}$$

3. 圓形

圓的周長為

$$2\pi r=L$$ $$r=\frac{L}{2\pi}$$

圓面積為

$$A_3=\pi r^2 =\pi\left(\frac{L}{2\pi}\right)^2 =\frac{L^2}{4\pi}$$

4. 求面積比

因此三者面積比為

本題考查機率的計算，包含質數、倍數的判斷，以及比較機率大小。

第一部分：基本機率計算

1. 計算質數的數量：
   在 1 到 30 的整數中，質數有：2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29。
   共有 10 個質數。

2. 計算不是質數的數量：
   總球數為 30。
   不是質數的球數 = 總球數 - 質數的數量 = $30 - 10 = 20$ 個。
   （注意：1 不是質數也不是合數，在這裡被歸類為「不是質數」。1 也是非質數。）

3. 計算小名抽中不是質數球的機率：
   小名抽中不是質數球的機率 $P(\text{不是質數}) = \frac{\text{不是質數的數量}}{\text{總球數}} = \frac{20}{30} = \frac{2}{3}$。

第二部分：比較機率大小與證明

1. 計算小名抽中質數的機率：
   小名抽中質數的機率 $P(\text{質數}) = \frac{\text{質數的數量}}{\text{總球數}} = \frac{10}{30} = \frac{1}{3}$。

2. 計算小華抽中 3 或 5 倍數的機率：
   在 1 到 30 的整數中，3 的倍數有：3, 6, 9, 12, 15, 18, 21, 24, 27, 30。共 10 個。
   5 的倍數有：5, 10, 15, 20, 25, 30。共 6 個。
   同時是 3 和 5 的倍數（即 15 的倍數）有：15, 30。共 2 個。
   根據排容原理，3 或 5 的倍數的數量 = (3 的倍數數量) + (5 的倍數數量) - (3 和 5 的倍數數量)
   $= 10 + 6 - 2 = 14$ 個。
   小華抽中 3 或 5 倍數的機率 $P(\text{3或5的倍數}) = \frac{14}{30} = \frac{7}{15}$。

3. 分析問題 (2)：
   箱中有 $n$ 顆球，標號為 1 到 $n$ ($2 \le n \le 30$)。
   小名抽中質數的機率 $P_A(n) = \frac{\text{1到n之間的質數個數}}{n}$。
   小華抽中 3 或 5 倍數的機率 $P_B(n) = \frac{\text{1到n之間3或5倍數的個數}}{n}$。
   問題是：當 $n$ 超過多少以後， $P_A(n)$ 會「恆小於」$P_B(n)$？
   也就是找一個 $N$，使得對於所有 $n > N$（且 $n \le 30$），都有 $P_A(n) < P_B(n)$。

4. 計算不同 n 值下的機率：
   我們需要比較 $P_A(n)$ 和 $P_B(n)$。這相當於比較「1到n之間質數的個數」和「1到n之間3或5倍數的個數」。
   令 $Q(n)$ 為 1 到 $n$ 之間的質數個數。
   令 $M(n)$ 為 1 到 $n$ 之間 3 或 5 倍數的個數。
   $P_A(n) = Q(n)/n$
   $P_B(n) = M(n)/n$
   比較 $P_A(n)$ 和 $P_B(n)$ 等價於比較 $Q(n)$ 和 $M(n)$。
   我們需要找到 $N$，使得當 $n > N$ 時，$Q(n) < M(n)$ 恆成立。

   計算 $M(n)$：
   3 的倍數個數：$\lfloor n/3 \rfloor$
   5 的倍數個數：$\lfloor n/5 \rfloor$
   15 的倍數個數：$\lfloor n/15 \rfloor$
   $M(n) = \lfloor n/3 \rfloor + \lfloor n/5 \rfloor - \lfloor n/15 \rfloor$。

   計算 $Q(n)$：需要列舉質數。
   質數：2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, ...

   我們需要從 $n=2$ 開始計算，一直到 $n=30$。

   n	Q(n) (質數個數)	M(n) (3或5倍數個數)	$Q(n) < M(n)$?
   2	1 (2)	0	No (1 > 0)
   3	2 (2,3)	1 (3)	No (2 > 1)
   4	2 (2,3)	1 (3)	No (2 > 1)
   5	3 (2,3,5)	2 (3,5)	No (3 > 2)
   6	3 (2,3,5)	3 (3,5,6)	No (3 = 3)
   7	4 (2,3,5,7)	3 (3,5,6)	No (4 > 3)
   8	4	4 (3,5,6,8)	No (4 = 4)
   9	4	5 (3,5,6,8,9)	Yes (4 < 5)

本題考查幾何證明，涉及角平分線、平行線截比例線段定理、相似三角形等概念。

證明思路：
我們需要證明 AE = CF。通常，證明兩線段相等，可以透過以下方法：

1. 證明它們是全等三角形的對應邊。
2. 證明它們是等腰三角形的底邊或對稱邊。
3. 利用比例關係，例如證明 AE/AB = CF/AC，且 AB=AC (如果△ABC是等腰三角形)。
4. 利用向量或坐標幾何。

這裡，我們注意到 DE || AC 和 EF || BC。這暗示了可能會出現相似三角形或平行四邊形。

證明步驟：

1. 利用 DE || AC 和角平分線 AD：
   因為 DE || AC，根據平行線截比例線段定理（或相似三角形性質），我們可以得到一些比例關係。
   考慮直線 AB 截平行線 DE 和 AC。
   ∠BDE = ∠BCA (同位角，如果 BD || EA，但我們沒有這個條件)
   ∠BED = ∠BAC (同位角，如果 BE || AD，但我們沒有這個條件)

   更重要的是，因為 DE || AC，所以 △BDE 相似於 △BAC。
   因此，$\frac{BD}{BC} = \frac{BE}{BA} = \frac{DE}{AC}$。

   由於 AD 是 ∠BAC 的角平分線，根據角平分線定理，我們有 $\frac{BD}{CD} = \frac{AB}{AC}$。
   （注意：D 在 BC 上，所以 CD 是 BC 的一部分）
   這似乎與上面的比例關係不直接相關。

   讓我們換個角度。
   因為 DE || AC，所以 ∠BED = ∠BAC (同位角)。
   因為 AD 是 ∠BAC 的角平分線，所以 ∠BAD = ∠CAD。
   又因為 DE || AC，所以 ∠ADE = ∠CAD (內錯角)。
   因此，∠BAD = ∠ADE。
   在 △ADE 中，有兩個角相等，所以 △ADE 是等腰三角形，AE = DE。

2. 利用 EF || BC 和角平分線 AD：
   因為 EF || BC，根據平行線截比例線段定理，我們可以得到比例關係。
   考慮直線 AC 截平行線 EF 和 BC。
   ∠AFE = ∠ACB (同位角)
   ∠AEF = ∠ABC (同位角)

   因為 EF || BC，所以 △AEF 相似於 △ABC。
   因此，$\frac{AE}{AB} = \frac{AF}{AC} = \frac{EF}{BC}$。

   我們需要證明 AE = CF。
   我們已經知道 AE = DE。所以，如果我們能證明 DE = CF，則問題得證。

3. 結合兩個平行條件：
   我們有 DE || AC 和 EF || BC。
   考慮四邊形 DECF。
   DE || CF (因為 DE || AC，而 F 在 AC 上)
   EF || DC (因為 EF || BC，而 D 在 BC 上)
   因此，四邊形 DECF 是一個平行四邊形。
   在平行四邊形中，對邊相等。