112 年 國立清華大學數理教育研究所乙組《普通數學》

本題考查長方形的性質與畢氏定理。
設長方形的長為 $a$ 公分,寬為 $b$ 公分。
已知對角線長為 23 公分,根據畢氏定理,我們有:
$a^2 + b^2 = 23^2$
$a^2 + b^2 = 529$

又已知長加寬的和為 31 公分:
$a+b = 31$

本題考查加權平均的概念。
設 A, B, C, D 四班的學生人數分別為 $n_A, n_B, n_C, n_D$。
各班的平均成績分別為 $\bar{x}_A = 71$, $\bar{x}_B = 75$, $\bar{x}_C = 69$, $\bar{x}_D = 81$。
總平均成績為 $\bar{x}_{total} = 75$。

總平均的計算公式為:
$\bar{x}_{total} = \frac{n_A \bar{x}_A + n_B \bar{x}_B + n_C \bar{x}_C + n_D \bar{x}_D}{n_A + n_B + n_C + n_D}$

將已知數據代入:
$75 = \frac{71n_A + 75n_B + 69n_C + 81n_D}{n_A + n_B + n_C + n_D}$

我們可以將總平均 75 分作為一個基準點。
觀察各班平均與總平均的差距:
A班: $71 - 75 = -4$
B班: $75 - 75 = 0$
C班: $69 - 75 = -6$
D班: $81 - 75 = +6$

總平均的計算可以視為各班分數與總平均差距的加權總和為零。
$-4n_A + 0n_B - 6n_C + 6n_D = 0$
$-4n_A - 6n_C + 6n_D = 0$
$6n_D = 4n_A + 6n_C$
$3n_D = 2n_A + 3n_C$

現在我們來分析選項:
(A) 四個班級的學生人數均相等。
如果 $n_A = n_B = n_C = n_D = n$, 則總平均為 $\frac{71n + 75n + 69n + 81n}{4n} = \frac{296n}{4n} = 74$。
這與總平均 75 分不符,所以 (A) 錯誤。

(B) C班學生人數必大於D班學生人數。
從 $3n_D = 2n_A + 3n_C$, 我們無法直接判斷 $n_C$ 與 $n_D$ 的關係,因為 $n_A$ 的值未知。
例如,如果 $n_A=3, n_C=1$, 則 $3n_D = 2(3) + 3(1) = 9$, $n_D=3$。此時 $n_C < n_D$。
如果 $n_A=0, n_C=3$, 則 $3n_D = 2(0) + 3(3) = 9$, $n_D=3$。此時 $n_C = n_D$。
如果 $n_A=6, n_C=1$, 則 $3n_D = 2(6) + 3(1) = 15$, $n_D=5$。此時 $n_C < n_D$。
所以 (B) 錯誤。

核心觀念

由圖可知，$F$ 為線段 $EC$ 與對角線 $DB$ 的交點，$O$ 為菱形兩條對角線的交點。

本題使用：

• 菱形對角線互相平分，因此 $O$ 是 $DB$ 的中點。

• 三角形比例與中點定理。

• 三角形面積公式：

  $\text{面積}=\frac{1}{2}\times\text{底}\times\text{高}$

解題方法

在三角形 $DAB$ 中，$E$ 是 $AD$ 的中點，且 $F$ 位於 $DB$ 上、$F$ 為 $EC$ 與 $DB$ 的交點。

由圖形中的平行關係及相似三角形，可得：

$\frac{DF}{DB}=\frac{1}{3}$

已知 $DF=4$，所以

$DB=3\times 4=12$

又因為 $O$ 是 $DB$ 的中點，

$DO=\frac{DB}{2}=6$

因此

$OF=DO-DF=6-4=2$

接著設點 $A$ 到對角線 $DB$ 的距離為 $h$。因為 $E$ 是 $AD$ 的中點，而 $D$ 在 $DB$ 上，所以點 $E$ 到 $DB$ 的距離為 $\frac{h}{2}$。

本題考查二次函數的性質,特別是其對稱軸與函數值的關係。
二次函數 $f(x) = 2x^2 + bx + c$ 的對稱軸是 $x = 5$。
對於二次函數,其圖形是拋物線,對稱軸是其頂點的 x 坐標。
對稱軸的公式為 $x = -\frac{b}{2a}$。
在這裡, $a=2$, 所以對稱軸為 $x = -\frac{b}{2(2)} = -\frac{b}{4}$。
已知對稱軸為 $x=5$, 所以 $-\frac{b}{4} = 5$, 得到 $b = -20$。
因此,二次函數為 $f(x) = 2x^2 - 20x + c$。

拋物線的開口方向由 $a$ 的值決定。因為 $a=2>0$, 所以拋物線開口向上。
這意味著函數在對稱軸 $x=5$ 的兩側, 離對稱軸越遠的點, 函數值越大。

我們需要比較 $f_1, f_2, f_3$, 其中
$x_1 = -1$
$x_2 = \sqrt{15}$
$x_3 = \sqrt{90}$

首先,我們需要計算這些 $x$ 值與對稱軸 $x=5$ 的距離。
距離是絕對值 $|x - 5|$。

對於 $x_1 = -1$:
$|x_1 - 5| = |-1 - 5| = |-6| = 6$。

對於 $x_2 = \sqrt{15}$:
我們知道 $3^2 = 9$ 且 $4^2 = 16$, 所以 $3 < \sqrt{15} < 4$。
$\sqrt{15}$ 大約是 $3.87$。
$|x_2 - 5| = |\sqrt{15} - 5|$。
因為 $\sqrt{15} < 5$, 所以 $|\sqrt{15} - 5| = 5 - \sqrt{15}$。
$5 - \sqrt{15} \approx 5 - 3.87 = 1.13$。

對於 $x_3 = \sqrt{90}$:
我們知道 $9^2 = 81$ 且 $10^2 = 100$, 所以 $9 < \sqrt{90} < 10$。
$\sqrt{90}$ 大約是 $9.49$。
$|x_3 - 5| = |\sqrt{90} - 5|$。
因為 $\sqrt{90} > 5$, 所以 $|\sqrt{90} - 5| = \sqrt{90} - 5$。
$\sqrt{90} - 5 \approx 9.49 - 5 = 4.49$。

現在我們比較這些距離:
距離 1 (對應 $x_1=-1$): 6

本題考查絕對值的性質以及解絕對值方程式。
絕對值方程式 $|A| = |B|$ 的解法有兩種情況:

1. $A = B$
2. $A = -B$

應用到題目 $|x-27| = |x+7|$:

情況 1: $x-27 = x+7$
$-27 = 7$
這是矛盾的, 所以此情況無解。

情況 2: $x-27 = -(x+7)$
$x-27 = -x-7$
$x+x = -7+27$
$2x = 20$
$x = 10$

所以, 唯一可能的解是 $x=10$。
現在我們來檢查選項:

(A) $|x|$ 為質數
$|x| = |10| = 10$。
10 不是質數 (質數是只能被 1 和本身整除的正整數, 10 可以被 2 和 5 整除)。
所以 (A) 錯誤。

本題考查時間計算,需要仔細分析爬樓梯和休息的時間。
總階梯數: 156 階。
爬一階所需時間: 2 秒。
每踏完 10 階休息 30 秒。

首先計算純爬樓梯的時間, 不考慮休息。
爬 156 階所需時間 = $156 \text{ 階} \times 2 \text{ 秒/階} = 312 \text{ 秒}$。

接下來計算休息時間。
王奶奶每踏完 10 階休息一次。
總共有 156 階。
休息的次數發生在第 10 階、第 20 階、...、第 150 階之後。
156 階總共可以分成 $156 \div 10 = 15$ 餘 6。
這表示王奶奶會完成 15 個「爬 10 階」的循環, 並且最後還剩下 6 階。
在完成第 10 階、第 20 階、...、第 150 階後, 王奶奶會休息。
所以, 休息的次數是 15 次。
最後爬完的 6 階不需要再休息。

核心觀念

因為對角線 $BC$ 平分 $\angle ACD$，所以

$$\angle ACB=\angle BCD$$

設此角為 $\theta$。題目給出三角形 $ABC$ 中的 $AC=8$、$BC=12$、$AB=10$，可先用餘弦定理求 $\cos\theta$，再套用於三角形 $BCD$。

解題方法

在三角形 $ABC$ 中，由餘弦定理：

$$AB^2=AC^2+BC^2-2(AC)(BC)\cos\theta$$

代入數值：

$$10^2=8^2+12^2-2(8)(12)\cos\theta$$ $$100=64+144-192\cos\theta$$ $$192\cos\theta=108$$ $$\cos\theta=\frac{9}{16}$$

本題考查比例問題和代數應用。
設早上紅茶、奶茶、咖啡的數量分別為 $6k, 16k, 12k$, 其中 $k$ 是比例常數。
早上商品總數為 $6k + 16k + 12k = 34k$。

下午換班後, 發生了以下變化:
紅茶: 售出 0, 補貨 5 瓶。 數量變為 $6k + 5$。
奶茶: 售出 5 瓶, 補貨 0 瓶。 數量變為 $16k - 5$。
咖啡: 售出 0, 補貨 10 瓶。 數量變為 $12k + 10$。

變化後的數量比變為 8:14:16。
所以, 我們可以建立比例關係:
$\frac{6k+5}{8} = \frac{16k-5}{14} = \frac{12k+10}{16}$。

我們只需要取其中兩個比例式來解出 $k$。
我們選擇 $\frac{6k+5}{8} = \frac{16k-5}{14}$ 和 $\frac{16k-5}{14} = \frac{12k+10}{16}$。

先處理第一個比例式:
$14(6k+5) = 8(16k-5)$
$84k + 70 = 128k - 40$
$70 + 40 = 128k - 84k$
$110 = 44k$
$k = \frac{110}{44} = \frac{11 \times 10}{11 \times 4} = \frac{10}{4} = \frac{5}{2}$。

本題考查平面圖形的對稱軸數量。
我們需要確定各圖形的對稱軸數量, 並從多到少排列。

甲、正方形 (Square):
正方形有 4 條對稱軸。

• 兩條對角線。
• 兩條連接對邊中點的線段。

乙、等腰梯形 (Isosceles Trapezoid):
等腰梯形有 1 條對稱軸。

• 這條對稱軸連接兩腰的中點, 並且垂直於兩底。

丙、平行四邊形 (Parallelogram):
平行四邊形 (非菱形, 非矩形) 沒有對稱軸。
如果它是菱形 (非正方形), 它有 2 條對稱軸 (兩條對角線)。
如果它是矩形 (非正方形), 它有 2 條對稱軸 (連接對邊中點的線段)。
如果它是正方形, 它有 4 條對稱軸。

核心觀念

等差數列的第 $n$ 項為

$$a_n=a_1+(n-1)d$$

已知首項 $a_1=5$、第 $15$ 項 $a_{15}=-5$，可先求公差，再逐一檢查各選項。

解題方法

由

$$a_{15}=a_1+14d$$

得

$$-5=5+14d \quad\Rightarrow\quad d=-\frac{5}{7}$$

因此

$$a_n=5-\frac{5}{7}(n-1)$$

選項分析

(A) 錯誤。

$$a_5=5+4d=\frac{15}{7},\qquad a_{10}=5+9d=-\frac{10}{7}$$

所以 $a_5+a_{10}=\frac{5}{7}$；而

$$2a_7=2(5+6d)=\frac{10}{7}$$

兩者不相等。

本題考查角度的關係, 包括補角和餘角。
題目中, 直線 L 是水平線, 直線 M 與 L 相交, 形成四個角。圖示中標示了 ∠1 和 ∠2。
從圖示和題意來看, ∠1 和 ∠2 是相鄰的兩個角, 它們共同構成了一個平角 (180度)。
所以, ∠1 和 ∠2 是互為補角。
即 ∠1 + ∠2 = 180°。

題目給定的條件是: ∠2 的補角 等於 ∠1 的餘角。
我們知道:

• 補角: 兩個角的和為 180°。
• 餘角: 兩個角的和為 90°。

設 ∠2 的補角為 $180^\circ - \angle 2$。
設 ∠1 的餘角為 $90^\circ - \angle 1$。

根據題目條件:
$180^\circ - \angle 2 = 90^\circ - \angle 1$

我們還有另一個關係: ∠1 + ∠2 = 180°。
從這個關係, 我們可以得到 ∠1 = 180° - ∠2。
將這個代入上面的方程式:

本題考查坐標幾何中的對稱概念。
點 A 的坐標為 $(a, b)$, 且 A 點在第三象限。
第三象限的特徵是 $a < 0$ 且 $b < 0$。
點 A 的對稱軸是直線 $x=4$。
對稱軸是垂直線 $x=k$ 時, 對稱點的 y 坐標與原點相同, 而 x 坐標會改變。
設 A 點的對稱點為 A'(x', y')。
因為對稱軸是垂直線 $x=4$, 所以 y 坐標不變, 即 $y' = b$。
對稱軸 $x=4$ 是 A 點 $(a, b)$ 和 A' 點 $(x', b)$ 的中垂線。
所以, 中點的 x 坐標為 4。
$\frac{a + x'}{2} = 4$
$a + x' = 8$
$x' = 8 - a$。

所以, 對稱點 A' 的坐標是 $(8-a, b)$。

現在我們來檢查選項:
(A) $(-a + 8, b)$
這與我們的結果 $(8-a, b)$ 相符。

核心觀念

本題使用：

• 內角平分線定理：$AI$ 平分 $\angle A$。
• 同弧所對圓周角相等。
• 同圓中，等弦對等角。
• 弦長公式：若圓半徑為 $R$，弦所對圓周角為 $\theta$，則弦長為 $2R\sin\theta$。
• 內心到邊的距離為內切圓半徑 $r$。

設

$$\angle A=A,\qquad \angle B=B,\qquad \angle C=C,$$

且外接圓半徑為 $R$、內切圓半徑為 $r$。

解題方法

因為 $AI$ 是 $\angle A$ 的角平分線，且 $D$ 在 $AI$ 上，所以

$$\angle BAD=\angle CAD=\frac A2.$$

一、證明 $BD=CD$

在同一圓中：

$$\angle BAD=\frac A2.$$

弦 $BD$ 的長度為

$$BD=2R\sin\frac A2.$$

又因為 $D$ 是弧 $BC$（不含 $A$）的中點，所以弧 $BD$ 與弧 $DC$ 相等，故其所對的弦相等：

$$BD=CD.$$

二、證明 $DI=BD$

先計算 $AD$。

在 $\triangle ACD$ 中，由同弧所對圓周角相等，

$$\angle ADC=\angle ABC=B.$$

因此

$$\angle ACD =180^\circ-\frac A2-B =C+\frac A2.$$

由弦長公式，

$$AD=2R\sin\left(C+\frac A2\right).$$

另一方面，因為 $I$ 為內心，從 $I$ 向 $AB$ 作垂線，垂足到 $I$ 的距離為 $r$。在所形成的直角三角形中，

$$AI=\frac{r}{\sin(A/2)}.$$

又有內切圓半徑與外接圓半徑的關係：

$$r=4R\sin\frac A2\sin\frac B2\sin\frac C2.$$

所以