112 年 國立清華大學數理教育研究所乙組《數學教材教法》

此大題主要探討國小四年級「多位數除法」的教學重點、學生常見迷思以及教師的教學策略。

1. 教學重點：

   • 除法意義的理解：透過具體情境（如分期付款）理解除法是「平分」或「包含」的概念。
   • 除法算則的建立：引導學生理解長除法的計算原理，包含位值概念、乘法與減法的關係。
   • 餘數的意義：理解除法算式中的餘數代表「無法再平分的部分」，並在情境中解釋其意義。
   • 估算與驗算：培養學生透過估算檢查答案合理性，並利用乘法驗算除法結果的能力。
   • 解決生活問題：將除法應用於解決真實生活中的問題。

2. 常見錯誤：

   • 位值混淆：在長除法計算中，將數字寫在錯誤的位值上，導致計算錯誤。
   • 餘數處理不當：未能正確辨識或處理餘數，例如將餘數視為商的一部分，或在情境中忽略餘數的意義。
   • 被除數與除數的關係誤解：例如誤以為被除數一定要比除數大很多，或在除數是多位數時，對「試商」感到困難。
   • 減法錯誤：在長除法計算過程中，進行減法時出錯。
   • 概念混淆：將除法與乘法、加法、減法等運算混淆，或對除法的「平分」與「包含」意義理解不清。

3. 同意或反對學生計算「73÷20」的方式：
   我反對學生用這樣的方式進行除法計算。
   原因：

   • 直式格式不標準：標準的長除法直式，商應該寫在被除數的上方，並對齊相應的位值。此學生的寫法將商「3」寫在被除數「73」的下方，且未對齊位值，容易造成混淆。

此大題主要探討國小六年級「比和比值」的教學重點，以及學生對「正比」概念的理解與判斷。

1. 5個主題的教學重點：

   • 比的意義：

     • 重點：讓學生理解「比」是兩個數量之間「比較」關係的一種表示法，通常用於比較「同類」的數量，表示「是…的幾倍」或「是…的幾分之幾」。
     • 教學：透過具體情境（如身高比較、顏色混合比例、參加活動人數比例）引導學生，說明比的兩個數（前項、後項）的意義，以及「：」符號的讀法。強調比的順序很重要，因為它代表了比較的方向。

   • 比值的意義：

     • 重點：讓學生理解「比值」是比的前項除以後項所得的商，它是一個「數」，可以表示兩個數量之間的倍數關係，且比值是「沒有單位」的。
     • 教學：從比的意義出發，引導學生將比的前項和後項相除，得到比值。例如，3:4 的比值是 $3 \div 4 = \frac{3}{4}$。說明比值可以幫助我們更精確地比較不同單位或不同數量的關係。

   • 相等的比：

     • 重點：讓學生理解「相等的比」是指兩個比的比值相等，它們表示的是相同的比例關係。
     • 教學：透過擴分（前項後項同乘以一個數）和約分（前項後項同除以一個數）的過程，說明如何找出與一個比相等的比。強調這與分數的基本性質（分子分母同乘或同除一個不為零的數，分數大小不變）是相通的。

   • 最簡單整數比：

     • 重點：讓學生理解「最簡單整數比」是指比的前項和後項都是整數，且這兩個整數互質（沒有大於1的公因數）。這是化簡比的目標。
     • 教學：利用約分的原理，引導學生將任意一個比化簡成最簡單整數比。例如，12:18 可以化簡為 $12 \div 6 : 18 \div 6 = 2:3$。

   • 正比：

     • 重點：讓學生理解「正比」是指兩種相關聯的量，其中一種量變化時，另一種量也隨著變化，並且這兩種量的「比值」保持固定。
     • 教學：透過具體情境（如單價固定，總價與數量；時間固定，路程與速率；邊長固定，周長與邊長），引導學生觀察兩量之間的關係。強調「比值固定」是判斷正比的關鍵。例如，總價與數量的比值是單價，單價固定，則總價與數量成正比。

2. 評析學生想法與教學回應：

   • 學生想法評析：
     學生的想法是「盒數每增加1盒,枝數就固定增加12枝。」這句話雖然描述了盒數與枝數之間的一種變化規律，但它並不是判斷正比關係的正確標準。
     • 正確的判斷標準：正比關係的關鍵在於「比值固定」。也就是說，枝數與盒數的比值（枝數 ÷ 盒數）應該是恆定的。
     • 學生想法的誤區：學生觀察到的是「差」的關係（盒數增加1，枝數增加12），這描述的是「等差」的關係，而非「等比」或「正比」的關係。正比的關係是「比值」恆定，而不是「差值」恆定。
     • 檢驗表格：從表格中可以看出，當盒數從1到2時，枝數從12增加到14（增加2）；當盒數從2到3時，枝數從14增加到36（增加22）。這顯示枝數並非「每增加1盒就固定增加12枝」。學生所觀察到的「增加12枝」可能只適用於從「1盒」到「2盒」的情況（14-12=2，這裏學生觀察有誤，可能是看到12×1=12，12×2=24，但表格是14），或者他誤將「12」這個數字（每盒12枝）的「增加量」與「正比」的「固定比值」混淆了。實際上，14÷2=7，36÷3=12，48÷4=12，60÷5=12，72÷6=12。只有從3盒以後，枝數與盒數的比值才開始固定為12。

核心觀念

這題考查依照圖形的邊、角與形狀種類進行分類，並能說明分類依據。題目沒有指定唯一的分類標準；只要標準明確、前後一致，且能說明為何另兩個圖形同屬一類，就能成立。

解題方法與逐一作答

1. 圖1不與圖2、圖3同類

圖2是三邊都長 $4$ 的正三角形，圖3是四邊都長 $4$ 的正方形。兩者的每一邊都長 $4$；圖1的邊長則是 $3$、$4$、$5$，三邊長度不相等。

所以，以「每一邊是否等長」分類，圖1是不同類的圖形。

2. 圖2不與圖1、圖3同類

圖1依圖示有直角，圖3是正方形，也有直角；圖2是正三角形，沒有直角。

所以，以「有沒有直角」分類，圖2是不同類的圖形。四年級學生可以用直角三角板或紙張的角檢查圖形是否有直角。

3. 圖3不與圖1、圖2同類