109 年 國立清華大學數理教育研究所乙組《普通數學》

此題考查圓的對稱軸概念。
一個圓的所有對稱軸皆通過圓心。

此題考查統計量對極端值的敏感度。
極端值是指遠大於或遠小於資料集中其他數值的值。
(A) 算術平均數 (Mean) 是將所有數值加總後再除以數值的個數。極端值會對算術平均數產生顯著影響，將其拉向極端值所在的方向。
(B) 第50百分位數 (50th percentile) 即為中位數。

此題考查二次函數的性質及其係數與圖形的關係。
已知二次函數為 $y=f(x)=ax^2+bx+c$。

1. 圖形開口向上：表示 $a > 0$。
2. 頂點為 $(-2,-2)$：
   • 頂點的 x 座標為 $-\frac{b}{2a}$。因此，$-\frac{b}{2a} = -2$，可得 $b = 4a$。
   • 頂點的 y 座標為 $f(-2) = a(-2)^2 + b(-2) + c = 4a - 2b + c = -2$。
     將 $b = 4a$ 代入上式：$4a - 2(4a) + c = -2 \implies 4a - 8a + c = -2 \implies -4a + c = -2 \implies c = 4a - 2$。
3. 與 y 軸交點於 x 軸下方：
   • 與 y 軸的交點是當 $x=0$ 時的 y 值，即 $f(0) = a(0)^2 + b(0) + c = c$。
   • 「與 y 軸交點於 x 軸下方」表示 $c < 0$。

現在我們有以下關係：

• $a > 0$
• $b = 4a$
• $c = 4a - 2$
• $c < 0$

核心觀念

一元二次方程式

的兩根為 $x_1,x_2$，由韋達定理：

若新方程式的兩根為 $3x_1,3x_2$，則其根的和與積分別為

以及

因此，新方程式必須具有：

• 根的和為 $-3a$
• 根的積為 $9b$

解題方法

設新方程式的未知數為 $y$，其兩根為 $3x_1,3x_2$。

直接將原方程式中的 $x$ 換成 $\dfrac{y}{3}$：

整理得：

兩邊同乘以 $9$：

因此，解為 $3x_1,3x_2$ 的一元二次方程式為

將變數 $y$ 改寫為題目選項使用的 $x$，即為

本題核心觀念
本題主要考查 分數的除法與乘法之等價關係，以及 運算子優先順序（先算除法/乘法，再算加法）。需要能把除以分數轉換成乘以其倒數，並正確辨識括號的範圍。

(a) 計算原算式

原式為

$7+(2\div \tfrac{1}{2})+(7\div \tfrac{1}{3})+(7+3)$

依序處理除法：

最後加上括號內的 $7+3=10$，得到

(b) 計算四個選項

核心觀念

三角形面積可用「底 × 高 ÷ 2」計算。遇到梯形中的中點與線段比例，可用座標表示各點，直接比較底與高；面積比不受梯形高度的實際數值影響。

解題方法

由原卷圖可讀出：$AB\parallel CD$，$AB=3$、$CD=8$；$P,Q,R,S$ 分別是 $AB,BC,CD,DA$ 的中點，且 $E$ 在對角線 $DB$ 上，$DE:DB=1:2$，所以 $E$ 是 $DB$ 的中點。

設梯形高為 $h$。因為梯形是等腰梯形，可取座標

依中點公式可得

核心觀念

正方形旋轉後在水平與垂直方向的跨度，可以用邊長與旋轉角表示。若內部正方形的邊長為 $a$，與外部正方形邊的夾角為 $\theta$，且 $0^\circ\leq\theta\leq45^\circ$，則它在水平與垂直方向的跨度皆為

內部正方形的四個頂點分別落在外部正方形的四邊上，因此它的水平、垂直跨度都等於外部正方形的邊長。

解題方法

設外部正方形邊長為 $L$。由內部正方形在水平方向的跨度等於 $L$，得

外部與內部正方形的面積分別為 $L^2$ 與 $a^2$，所以面積比為

又因為

在 $0^\circ\leq\theta\leq45^\circ$ 時，$0\leq\sin2\theta\leq1$，因此

核心觀念

平面上實圓的標準式為

展開後可寫成

因此，圓的一般式中 $x^2$ 與 $y^2$ 的係數必須相同，且不能有 $xy$ 項。配方後還須得到正的半徑平方 $r^2$，方程式才表示實平面上的圓。

解題方法

逐一檢查各選項：先看二次項是否符合圓的一般式，再配方確認半徑平方是否為正。

選項分析

• (A) $x^2+4x+y+8=0$

  缺少 $y^2$ 項，並非圓的一般式。配方可得

  $$(x+2)^2+y+4=0$$

  這是拋物線，不是圓。

• (B) $x^2+2x+y^2+2=0$

  二次項符合圓的一般式，但配方後為

  $$(x+1)^2+y^2=-1$$

核心觀念

本題考查平方差的連乘關係，以及整數個位數的循環規律。關鍵公式是

解題方法

令 $x=2$。題目中的連乘部分為

由公式可得

因為 $2-1=1$，所以題目中的連乘部分等於 $2^{256}-1$。

計算個位數時，只需看除以 $10$ 的餘數。$2$ 的個位數每四次循環一次：$2、4、8、6$。由於 $256$ 是 $4$ 的倍數，

核心觀念

不同進位表示法的數字，不能只比較表面上的數字大小；要先換成同一進位，或換算成十進位，再比較。

在 $b$ 進位中，數字各位的權重由右至左依序為 $b^0,b^1,b^2,\ldots$。因此：

解題方法

將甲、乙、丙分別換算成十進位：

核心觀念

內心到三角形三邊的距離相等，這個距離就是內切圓半徑 $r$。三角形面積可用內切圓半徑與半周長表示：

其中 $s$ 是半周長。

解題方法

已知周長為 $10$，所以半周長為

內心 $P$ 到邊 $AB$ 的距離為 $5$，即內切圓半徑 $r=5$。代入面積公式：

選項分析

• (A) 15：錯誤。 依面積公式計算，面積為 $25$。
• (B) 25：符合題目預期計算。 $rs=5\times5=25$。
• **(C) 30：錯誤。

核心觀念

利用質因數分解判斷整除：若 $3^k\mid n$，表示 $n$ 的質因數分解中，$3$ 的指數至少為 $k$。

題目條件為 $3\mid a^2b^3$。因為 $a,b$ 是正整數，乘積含有因數 $3$，代表 $3\mid a$ 或 $3\mid b$。

解題方法

分別看 $3$ 整除 $a$ 或 $b$ 時，各選項中乘積含有多少個因數 $3$。

• 若 $3\mid a$，則 $a$ 至少含一個因數 $3$；因此 $a^2$ 至少含 $3^2$，$a^3$ 至少含 $3^3$。
• 若 $3\mid b$，則 $b^2$ 至少含 $3^2$，$b^3$ 至少含 $3^3$。

據此逐項判斷。

選項分析

(A) $ab$ 是 $3$ 的倍數：正確。
由題目條件可知 $3\mid a$ 或 $3\mid b$，所以 $ab$ 至少含一個因數 $3$。

(B) $a^2b^2$ 是 $9$ 的倍數：正確。
若 $3\mid a$，則 $a^2$ 含有 $3^2=9$；

核心觀念

利用座標表示正方形各頂點與點 $B$，再求直線 $AD$、$BC$ 的交點 $E$。三角形面積可用「底乘高除以 $2$」計算。

解題方法

由圖可讀出：正方形頂點依序為左上 $A$、右上、右下 $D$、左下 $C$；$AD$ 是對角線，$B$ 在上邊，且 $AB=\frac{1}{3}CD$。正方形面積為 $1$，所以邊長為 $1$。

設 $C=(0,0)$、$D=(1,0)$、$A=(0,1)$，則 $CD=1$、$AB=\frac{1}{3}$，故 $B=(\frac{1}{3},1)$。

直線 $AD$ 經過 $(0,1)$ 與 $(1,0)$，方程式為 $x+y=1$。直線 $BC$ 經過 $(0,0)$ 與 $(\frac{1}{3},1)$，方程式為 $y=3x$。聯立可得：

核心觀念

圖中的三角形由直線與正 $x$ 軸、正 $y$ 軸圍成。內心到三邊距離相等；直角三角形的外心是斜邊中點；重心座標則是三個頂點座標的平均值。

解題方法

依原圖，$A$ 是直線與 $y$ 軸的交點，$C$ 是直線與 $x$ 軸的交點，$B$ 是兩軸交點。因此三角形頂點為 $A(0,4)$、$B(0,0)$、$C(3,0)$，在 $B$ 點為直角。

令 $x=0$，由 $4x+3y=12$ 得 $y=4$；令 $y=0$，得 $x=3$。所以兩股長分別為 $4$、$3$，斜邊長為

• 內心： 這是兩股長為 $3$、$4$，斜邊長為 $5$ 的直角三角形，內切圓半徑為 $$r=\frac{3+4-5}{2}=1.$$ 內心到兩座標軸的距離都等於 $r$，且位於第一象限，因此內心座標為 $(1,1)$。

核心觀念

混合食鹽水時，食鹽的量守恆。食鹽量等於溶液體積乘以食鹽濃度；混合後的食鹽量，等於混合前各部分食鹽量的總和。

解題方法

先利用第二次混合，求出第一次混合後的食鹽水濃度。

取出的 $30$ 公升食鹽水與 $10\%$ 食鹽水混合，總量為 $60$ 公升，因此加入的 $10\%$ 食鹽水也是 $30$ 公升。混合後食鹽量為：

加入的 $30$ 公升 $10\%$ 食鹽水含有：

所以，從第一次混合液取出的 $30$ 公升含有 $9-3=6$ 公升食鹽，其濃度為：

核心觀念

兩圓相交情形由圓心距 $d$ 與半徑 $r,s$ 的關係決定：

• $|r-s|<d<r+s$：相交於兩點。
• $d=|r-s|$ 或 $d=r+s$：相切於一點。
• $d<|r-s|$ 或 $d>r+s$：沒有交點。

同一組圓同心且半徑各不相同，彼此沒有交點。因此只需計算以 $A$ 為圓心的 5 個圓與以 $B$ 為圓心的 8 個圓之間的交點。

解題方法

已知 $AB=6$。對半徑 $r\in\{1,2,3,4,5\}$ 和 $s\in\{1,2,\ldots,8\}$ 的每一對圓，分別套用上述判準。