109 年 國立成功大學水利及海洋工程學系碩士班乙組《水文學》

本題主要在考驗考生對水文學中幾個基本名詞的理解與定義。

(1) Dew point (露點)：在定壓下，空氣中的水蒸氣含量保持不變時，使空氣冷卻到水蒸氣開始凝結（產生露）的溫度。在露點溫度時，空氣達到飽和狀態，相對濕度為 100%。

(2) Precipitable water (可降水水汽)：指大氣柱中，從某一高度到頂層，所有水蒸氣若完全凝結成液態水，所能形成的總深度。它代表了可能降水量的一個指標。

(3) Time of concentration (集流時間)：指在集水區內，由最遠處的點開始，雨水開始流動，直到該點的雨水抵達集流區出口所需的最長時間。這個時間長度對於水文模式的模擬（如降雨逕流分析）非常重要。

核心觀念

本題利用水量平衡計算暴雨期間的平均入滲率。假設降雨損失全部視為入滲，且未考慮截留、地表窪蓄、蒸發等其他損失，則：

$$\text{降雨總深度} = \text{直接逕流深度} + \text{入滲深度}$$

因此：

$$\text{入滲深度} = \text{降雨總深度} - \text{直接逕流深度}$$

平均入滲率為：

$$f_{\mathrm{avg}} = \frac{\text{入滲深度}}{\text{降雨延時}}$$

解題方法

1. 計算總降雨深度

每個時段長度均為 $2$ 小時，因此總降雨深度為：

$$P = (12+20+15+4)\times 2$$ $$P=102\ \text{mm}$$

2. 將直接逕流體積換算為逕流深度

集水區面積為：

$$A=35\ \text{km}^2=35\times 10^6\ \text{m}^2$$

直接逕流深度為：

$$R_e=\frac{V_e}{A} = \frac{1.4\times 10^6}{35\times 10^6}\ \text{m}$$ $$R_e=0.04\ \text{m}=40\ \text{mm}$$

核心觀念

本題考查「IDF 公式配合交替區塊法」建立設計暴雨組體圖。

已知重現期 $200$ 年之降雨強度公式：

$$i(t)=\frac{200}{(t+10)^{0.5}}$$

其中：

• $i(t)$：延時 $t$ 下的平均降雨強度，單位為 $\text{mm/hr}$
• $t$：降雨延時，單位為分鐘

首先由各延時的平均強度求累積雨量，再以相鄰延時的累積雨量差求出各一小時雨量區塊，最後依交替區塊法排列。

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解題方法

1. 求各延時之累積雨量

降雨延時分別取 $1$ 至 $6$ 小時，即：

$$t=60,\ 120,\ 180,\ 240,\ 300,\ 360\ \text{min}$$

延時 $t$ 的累積雨量為：

$$P(t)=i(t)\times \frac{t}{60}$$

代入強度公式：

$$P(t)=\frac{200}{\sqrt{t+10}}\times\frac{t}{60}$$

計算結果如下。

延時	$t$（min）	平均強度 $i(t)$（mm/hr）	累積雨量 $P(t)$（mm）
1 hr	60	23.90	23.90
2 hr	120	17.54	35.08
3 hr	180	14.51	43.53
4 hr	240	12.65	50.60
5 hr	300	11.36	56.80
6 hr	360	10.40	62.38

因此，6 小時設計暴雨的總雨量為：

$$P_{6}=62.38\ \text{mm}$$

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2. 求各一小時雨量區塊

相鄰累積雨量之差即為一小時增量雨量：

$$\Delta P_1=P_1$$ $$\Delta P_n=P_n-P_{n-1}$$

所得區塊如下：

區塊排名	計算	一小時雨量（mm）
第 1 大	$23.90$	23.90
第 2 大	$35.08-23.90$	11.18
第 3 大	$43.53-35.08$	8.45
第 4 大	$50.60-43.53$	7.07
第 5 大	$56.80-50.60$	6.20
第 6 大	$62.38-56.80$	5.59

檢核總和：

$$23.90+11.18+8.45+7.07+6.20+5.59 \approx 62.39\ \text{mm}$$

本題考驗考生應用 Muskingum 貯流模式計算河段下游流量的能力。核心在於理解 Muskingum 模式的數學表達式及其參數。

核心觀念：
Muskingum 洪水演算法是一種基於河段貯存量與進入及離開該河段的流量之間的關係來模擬洪水演進的方法。其基本假設是河段的貯存量 $S$ 可以表示為進入流量 $I$ 和離開流量 $Q$ 的線性組合：
$S = K [x I + (1-x) Q]$
其中 $K$ 是貯存係數 (storage coefficient)，$x$ 是加權因子 (weighting factor)。
透過質量守恆定律 $\frac{d S}{d t} = I - Q$，並將上述貯存量表達式代入，經過推導和離散化，可以得到離散形式的洪水演進方程。

解題步驟：

1. 確定已知參數：

   • 上游流量 (Inflow, $I$) 系列：$I_0=10, I_3=20, I_6=50, I_9=30, I_{12}=10, I_{15}=2 \text{ m}^3/\text{s}$。
   • 時間間隔 $\Delta t = 3 \text{ hours}$。
   • 貯存係數 $K = 6 \text{ hours}$。
   • 加權因子 $X = 0.14$。
   • 初始條件：初始下游流量 $Q_0$ 等於初始上游流量 $I_0$。所以 $Q_0 = 10 \text{ m}^3/\text{s}$。

2. 計算 Muskingum 模式的係數 $C_0, C_1, C_2$：
   首先計算分母 $D = K(1-X) + 0.5 \Delta t$。
   $D = 6 \times (1 - 0.14) + 0.5 \times 3$
   $D = 6 \times 0.86 + 1.5$
   $D = 5.16 + 1.5 = 6.66$。

   現在計算係數：

   • $C_0 = \frac{-K X + 0.5 \Delta t}{D} = \frac{-(6)(0.14) + 0.5(3)}{6.66} = \frac{-0.84 + 1.5}{6.66} = \frac{0.66}{6.66} \approx 0.0991$。
   • $C_1 = \frac{K X + 0.5 \Delta t}{D} = \frac{(6)(0.14) + 0.5(3)}{6.66} = \frac{0.84 + 1.5}{6.66} = \frac{2.34}{6.66} \approx 0.35135$。
   • $C_2 = \frac{K(1-X) - 0.5 \Delta t}{D} = \frac{6(1-0.14) - 0.5(3)}{6.66} = \frac{6(0.86) - 1.5}{6.66} = \frac{5.16 - 1.5}{6.66} = \frac{3.66}{6.66} \approx 0.54955$。

   檢查係數和：$C_0 + C_1 + C_2 \approx 0.0991 + 0.35135 + 0.54955 = 1.0000$。係數和為 1，這是正確的。

3. 計算下游流量 $Q$ 系列：
   使用離散方程 $Q_{t+\Delta t} = C_0 I_{t+\Delta t} + C_1 I_t + C_2 Q_t$。

   • 計算 $Q_3$ (時間 $t=3$ 小時)：
     此時 $t=0$，$\Delta t = 3$。
     $I_{t+\Delta t} = I_3 = 20 \text{ m}^3/\text{s}$。
     $I_t = I_0 = 10 \text{ m}^3/\text{s}$。
     $Q_t = Q_0 = 10 \text{ m}^3/\text{s}$。
     $Q_3 = C_0 I_3 + C_1 I_0 + C_2 Q_0$
     $Q_3 = (0.0991)(20) + (0.35135)(10) + (0.54955)(10)$
     $Q_3 = 1.982 + 3.5135 + 5.4955 = 10.991 \text{ m}^3/\text{s}$。

   • 計算 $Q_6$ (時間 $t=6$ 小時)：
     此時 $t=3$，$\Delta t = 3$。
     $I_{t+\Delta t} = I_6 = 50 \text{ m}^3/\text{s}$。
     $I_t = I_3 = 20 \text{ m}^3/\text{s}$。
     $Q_t = Q_3 = 10.991 \text{ m}^3/\text{s}$。
     $Q_6 = C_0 I_6 + C_1 I_3 + C_2 Q_3$
     $Q_6 = (0.0991)(50) + (0.35135)(20) + (0.54955)(10.991)$

核心觀念

本題考查極端值第 I 型分布（Extreme Value Type I，亦稱 Gumbel 分布）之頻率分析，以及重現期與多年內發生機率的轉換。

設年最大流量之平均值為 $\bar{Q}$、標準差為 $s$，重現期為 $T$ 年，則設計流量為

$$Q_T=\bar{Q}+Ks$$

其中：

• $Q_T$：重現期 $T$ 年之洪水流量
• $K$：頻率因子
• $T$：重現期，且單一年內超過 $Q_T$ 的機率為 $\dfrac{1}{T}$

本題要求的是未來 5 年內至少有一年洪水流量超過 $500\ \text{m}^3/\text{s}$ 的機率。

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解題方法

1. 求 $500\ \text{m}^3/\text{s}$ 對應的頻率因子

已知

$$\bar{Q}=300\ \text{m}^3/\text{s}$$ $$s=100\ \text{m}^3/\text{s}$$

令 $Q_T=500\ \text{m}^3/\text{s}$，則

$$500=300+K(100)$$

因此

$$K=\frac{500-300}{100}=2$$

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2. 由頻率因子求重現期 $T$

極端值第 I 型分布常用的頻率因子公式為

$$K=-0.45-0.7797\ln\left[\ln\left(\frac{T}{T-1}\right)\right]$$

代入 $K=2$：

$$2=-0.45-0.7797\ln\left[\ln\left(\frac{T}{T-1}\right)\right]$$

整理得

$$\ln\left[\ln\left(\frac{T}{T-1}\right)\right] =-\frac{2+0.45}{0.7797} =-3.142$$

因此

$$\ln\left(\frac{T}{T-1}\right)=e^{-3.142}=0.0431$$

再取指數：

$$\frac{T}{T-1}=e^{0.0431}$$

亦可直接利用

$$\ln\left(\frac{T}{T-1}\right)=-\ln\left(1-\frac{1}{T}\right)$$

得到