109 年 國立成功大學水利及海洋工程學系碩士班乙組《流體力學》

本題為基本名詞解釋題，主要在測試考生對流體力學中重要概念的理解程度。

(a) Boundary layer thickness (邊界層厚度)
邊界層厚度是指在固體表面附近，由於黏滯力的作用，流體速度從零（在表面上）逐漸增加到自由流速度 $u_\infty$ 的區域。通常定義邊界層厚度 $\delta$ 為流體速度達到自由流速度 99% 的位置到表面的距離。
【答案】邊界層厚度 $\delta$ 是指流體速度達到自由流速度 $u_\infty$ 的 99% 的位置到固體表面的垂直距離。

(b) Drag coefficient (阻力係數)
阻力係數 $C_D$ 是無因次量，用來描述物體在流體中運動時所受到的總阻力。它定義為物體所受阻力 $F_D$ 與流體密度 $\rho$、物體參考面積 $A$（通常是迎風面積）及物體相對於流體的相對速度 $V$ 的平方乘積的一半的比值。
$C_D = \frac{F_D}{\frac{1}{2} \rho V^2 A}$
【答案】阻力係數 $C_D$ 是無因次量，用來量化物體在流體中運動時所受到的阻力大小，其定義為物體所受阻力 $F_D$ 與 $\frac{1}{2} \rho V^2 A$ 的比值，其中 $\rho$ 為流體密度， $V$ 為相對速度， $A$ 為參考面積。

(c) Friction coefficient (摩擦係數)
摩擦係數 $C_f$ (或有時寫為 $C_f$ 或 $f$) 是無因次量，用來描述流體在管路或表面流動時，由於黏滯力引起的摩擦損失。在管路流動中，常定義為達西摩擦係數 $f$ (Darcy friction factor)，與壓力損失 $\Delta P$ 的關係為：
$\Delta P = f \frac{L}{D} \frac{\rho V^2}{2}$
其中 $L$ 為管路長度，$D$ 為管徑，$V$ 為平均流速。若指在平板上的剪應力 $\tau_w$，則 $C_f$ 可定義為：
$\tau_w = C_f \frac{1}{2} \rho V^2$

核心觀念

本題考查水力半徑（hydraulic radius）的定義與其在管流摩擦分析中的物理意義：

$$R=\frac{A}{P}$$

其中：

• $A$：流體流動的通水斷面積；
• $P$：濕周，即流體與固體邊界接觸的周長；
• $R$：水力半徑，單位為長度。

水力半徑反映「每單位濕周所對應的流通面積」。在相同流量與流速下，$R$ 越大，表示相對於流通面積而言，與管壁接觸的邊界越少，壁面摩擦的相對影響通常越小。

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（a）水力半徑的物理意義

水力半徑為

$$R=\frac{\text{流通面積}}{\text{濕周}}$$

因此可理解為：

流體流通面積相對於固體邊界接觸範圍的尺度。

管壁會對流體產生剪應力與摩擦阻力。對同一流通面積而言，濕周越大，受到管壁摩擦的範圍越大，能量損失通常越顯著；反之，水力半徑越大，表示流通面積相對較大或濕周相對較小，壁面摩擦的相對影響較小。

在均勻流或完全發展管流中，水力半徑會出現在剪應力與水頭損失的關係式中。例如對長度為 $L$ 的控制體，壁面剪力平衡可寫成

$$\tau_w P L=\Delta p\, A$$

故

$$\tau_w=\frac{\Delta p}{L}\frac{A}{P} =\frac{\Delta p}{L}R$$

這說明 $R=A/P$ 是將壓力梯度與壁面剪應力連結起來的重要幾何尺度。

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（b）利用 Bernoulli 方程式與動量方程式證明 $R=D/4$

1. 基本假設

考慮圓形管徑為 $D$ 的不可壓縮、穩定、完全發展、加壓管流，並假設：

• 管徑沿流向固定；
• 管內流速分布沿流向不變；
• 兩截面間無泵浦或渦輪機；
• 管壁造成的能量損失以摩擦水頭損失表示；
• 圓管內充滿流體，因此整個管壁內圓周皆為濕周。

取管長為 $L$ 的一段管路，兩端截面分別為 1、2。

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2. 由 Bernoulli 方程式求壓力降

對截面 1 與 2 使用含摩擦損失的 Bernoulli 方程式：

$$\frac{p_1}{\gamma}+z_1+\frac{V_1^2}{2g} = \frac{p_2}{\gamma}+z_2+\frac{V_2^2}{2g}+h_f$$

由於管徑固定且為不可壓縮流體，

$$V_1=V_2=V$$

若管路為水平管，

$$z_1=z_2$$

因此 Bernoulli 方程式化為

$$\frac{p_1-p_2}{\gamma}=h_f$$

令

$$\Delta p=p_1-p_2$$

則

$$\Delta p=\gamma h_f$$

也就是說，在完全發展的等截面管流中，兩截面間的壓力降完全用來克服管壁摩擦造成的能量損失。

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3. 由動量方程式求壁面剪力

對長度為 $L$ 的管內流體控制體使用流向動量方程式。

由於流動完全發展且截面積不變，入口與出口的平均速度相同，因此動量通量變化為零：

$$\sum F_x=0$$

流向外力包括：

核心觀念

本題考查 Navier–Stokes 方程式的無因次化，以及以 Reynolds number 判斷黏滯力是否重要。

對二維、不可壓縮、定常流，題式中的非定常項為零，因此先寫成

$$v\frac{\partial u}{\partial y} + u\frac{\partial u}{\partial x} = -\frac{1}{\rho}\frac{\partial P}{\partial x} + \nu \left( \frac{\partial^2u}{\partial x^2} + \frac{\partial^2u}{\partial y^2} \right)$$

其中 $\nu$ 為動黏滯係數。若題目中的 $\mu$ 指動力黏滯係數，則有

$$\nu=\frac{\mu}{\rho}$$

題目原式將黏滯項寫成 $\mu\nabla^2u$，以下先以題式中的 $\mu$ 作為黏滯項係數；若採用標準符號，則將其替換為 $\nu=\mu/\rho$ 即可。

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（a）方程式無因次化

1. 定義無因次變數

以邊界層厚度 $l$ 作為長度尺度，以未受邊界影響的速度 $u_\infty$ 作為速度尺度：

$$x=lx^*,\qquad y=ly^*$$ $$u=u_\infty u^*,\qquad v=u_\infty v^*$$

由速度與長度尺度可得時間尺度：

$$t=\frac{l}{u_\infty}t^*$$

壓力採用慣性壓力尺度 $\rho u_\infty^2$：

$$P=\rho u_\infty^2P^*$$

其中上標 $*$ 表示無因次變數。

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2. 各項尺度轉換

時間導數項：

$$\frac{\partial u}{\partial t} = \frac{u_\infty^2}{l} \frac{\partial u^*}{\partial t^*}$$

對流項：

$$u\frac{\partial u}{\partial x} = \frac{u_\infty^2}{l} u^*\frac{\partial u^*}{\partial x^*}$$ $$v\frac{\partial u}{\partial y} = \frac{u_\infty^2}{l} v^*\frac{\partial u^*}{\partial y^*}$$

壓力梯度項：

$$-\frac{1}{\rho}\frac{\partial P}{\partial x} = -\frac{u_\infty^2}{l} \frac{\partial P^*}{\partial x^*}$$

黏滯項：

$$\mu\frac{\partial^2u}{\partial x^2} = \mu\frac{u_\infty}{l^2} \frac{\partial^2u^*}{\partial x^{*2}}$$ $$\mu\frac{\partial^2u}{\partial y^2} = \mu\frac{u_\infty}{l^2} \frac{\partial^2u^*}{\partial y^{*2}}$$

將整條方程式除以慣性尺度 $u_\infty^2/l$，得到

$$\frac{\partial u^*}{\partial t^*} + v^*\frac{\partial u^*}{\partial y^*} + u^*\frac{\partial u^*}{\partial x^*} = -\frac{\partial P^*}{\partial x^*} + \frac{\mu}{u_\infty l} \left( \frac{\partial^2u^*}{\partial x^{*2}} + \frac{\partial^2u^*}{\partial y^{*2}} \right)$$

定義 Reynolds number：

$$Re_l=\frac{u_\infty l}{\mu}$$

因此無因次 Navier–Stokes 方程式為

$$\frac{\partial u^*}{\partial t^*} + v^*\frac{\partial u^*}{\partial y^*} + u^*\frac{\partial u^*}{\partial x^*} = -\frac{\partial P^*}{\partial x^*} + \frac{1}{Re_l} \left( \frac{\partial^2u^*}{\partial x^{*2}} + \frac{\partial^2u^*}{\partial y^{*2}} \right)$$

由於題目指定為定常流，

$$\frac{\partial u^*}{\partial t^*}=0$$

故最後可寫為

本題探討在加速運動的容器內，液體表面的形狀變化以及作用在蓋子上的壓力分佈。

(a) Under the condition that the water in tank does not spill out, determine the maximum allowable acceleration a in the following figure (10%)
題目描述一個長度為 $L$，高度為 $h_2$，穩定時水位為 $h_1$ 的矩形水箱。水箱在水平方向以加速度 $a$ 向右加速。我們需要找到不溢出的最大允許加速度 $a$。

物理原理：
當容器加速運動時，液體表面會形成一個傾斜的自由表面。這個傾斜是由於液體中的慣性力（相對於加速參考系）和重力共同作用的結果。
在加速參考系中，液體受到一個「慣性力」的作用，其大小為 $-ma$ (其中 $m$ 是液體質量， $a$ 是加速度)，方向與加速度相反。因此，在液體內部，我們需要考慮重力加速度 $\vec{g}$ 和慣性加速度 $-\vec{a}$。
液體自由表面的法向（垂直於表面）必須與合力 $\vec{F}_{total} = m\vec{g} - m\vec{a}$ 的方向垂直。

分析：
設水箱沿水平方向（x方向）的加速度為 $a$，垂直方向（y方向）的重力加速度為 $g$。
在加速參考系中，液體受到的合力在垂直方向的分量是 $-g$，在水平方向的分量是 $-a$。
自由表面的斜率 $dy/dx$ 等於水平方向的合力與垂直方向的合力之比的相反數。
設自由表面的斜率為 $m_{slope}$。
$m_{slope} = \frac{dy}{dx} = -\frac{-a}{-g} = -\frac{a}{g}$
注意：這裡的符號約定是，如果加速度 $a$ 向右，則慣性力 $-a$ 向左。重力 $g$ 向下。
所以，液體表面會向左傾斜。

在題目給的圖中，加速度 $a$ 是向右的。
重力加速度 $\vec{g}$ 指向下方。
在加速參考系中，液體會受到一個指向左方的慣性力。
因此，液體表面會向左傾斜。
圖中顯示，左側水位高（$h_1$），右側水位低。這與加速度 $a$ 向右的假設一致。
假設水位差為 $\Delta h$。
$\frac{\Delta h}{L} = \frac{a}{g}$
其中 $L$ 是水箱的長度。

條件：不溢出。
這意味著，在加速狀態下，最高的水位（在左側）不能超過水箱的高度 $h_2$。
最低的水位（在右側）不能低於水箱底部（雖然題目沒有明確說，但通常是這樣假設，除非有其他情況）。

最高水位在左側，為 $h_{max, left}$。
最低水位在右側，為 $h_{min, right}$。
自由表面的方程（假設左側邊界為 $x=0$）：
$y(x) = h_{min, right} + \frac{a}{g} x$。
在 $x=L$ 處， $y(L) = h_{min, right} + \frac{a L}{g}$。
在 $x=0$ 處， $y(0) = h_{min, right}$。

這裡的 $h_1$ 是穩定時的水位，不是加速時的水位。
加速後，左側最高水位 $h_{max, left}$ 和右側最低水位 $h_{min, right}$。
總體積守恆。
初始體積 (穩定時) $V_{initial} = h_1 L$。
加速後體積 $V_{final} = \frac{h_{max, left} + h_{min, right}}{2} L$。
所以 $h_1 L = \frac{h_{max, left} + h_{min, right}}{2} L \implies h_1 = \frac{h_{max, left} + h_{min, right}}{2}$。

我們知道 $h_{max, left} = h_{min, right} + \frac{a L}{g}$。
代入 $h_1$ 的方程：
$h_1 = \frac{(h_{min, right} + \frac{a L}{g}) + h_{min, right}}{2} = \frac{2 h_{min, right} + \frac{a L}{g}}{2} = h_{min, right} + \frac{a L}{2g}$。
所以，$h_{min, right} = h_1 - \frac{a L}{2g}$。
而 $h_{max, left} = h_{min, right} + \frac{a L}{g} = (h_1 - \frac{a L}{2g}) + \frac{a L}{g} = h_1 + \frac{a L}{2g}$。

不溢出的條件： $h_{max, left} \le h_2$。
$h_1 + \frac{a L}{2g} \le h_2$。
$\frac{a L}{2g} \le h_2 - h_1$。
$a \le \frac{2g(h_2 - h_1)}{L}$。

這個結果是合理的。當 $h_1 = h_2$ 時， $a=0$，這表示如果水滿到頂部，任何水平加速度都會導致溢出。
當 $h_2 > h_1$ 時，允許一定的加速度。

檢查圖示：
圖中顯示 $h_2$ 是水箱總高度，$L$ 是長度，$h_1$ 是穩定時的水位。
加速度 $a$ 指向右方。
左側水位高，右側水位低。
這與我們的分析一致。
所以，最大允許加速度 $a_{max}$ 為：
$a_{max} = \frac{2g(h_2 - h_1)}{L}$

【答案】
(a) 在水平加速度 $a$ 的作用下，液體自由表面的斜率為 $\frac{a}{g}$。由於加速度向右，左側水位高，右側水位低。
設左側最高水位為 $h_{max, left}$，右側最低水位為 $h_{min, right}$。
則 $h_{max, left} - h_{min, right} = \frac{a}{g} L$。
由於液體體積守恆，加速前後的體積相等。穩定時體積為 $h_1 L$。
加速後體積為 $\frac{h_{max, left} + h_{min, right}}{2} L$。
因此，$h_1 L = \frac{h_{max, left} + h_{min, right}}{2} L \implies h_1 = \frac{h_{max, left} + h_{min, right}}{2}$。
聯立兩式，解出 $h_{max, left} = h_1 + \frac{a L}{2g}$。
不溢出的條件是 $h_{max, left} \le h_2$。
$h_1 + \frac{a L}{2g} \le h_2$
$\frac{a L}{2g} \le h_2 - h_1$
$a \le \frac{2g(h_2 - h_1)}{L}$。
因此，最大允許加速度為 $a_{max} = \frac{2g(h_2 - h_1)}{L}$。
【答案】(a) $a_{max} = \frac{2g(h_2 - h_1)}{L}$

(b) If the water surface is covered by a lid, determine the pressure distribution the water acting upon the lid under the accelerations a and b in the following figure (10%)
題目描述一個有蓋的矩形水箱。蓋子是水平的。
水箱在水平方向有加速度 $a$ (向右)。
同時，水箱還有一個垂直向下的加速度 $b$。
我們需要確定水作用在蓋子上的壓力分佈。

物理原理：
在帶有慣性力的加速參考系中，液體中的壓力分佈由 Navier-Stokes 方程式決定。對於靜止的（相對於加速參考系）液體，壓力梯度與作用在單位體積上的合力有關。
壓力梯度 $\nabla P$ 等於作用在單位體積上的合力。
在加速參考系中，作用在單位體積上的力包括：

1. 重力：$\rho \vec{g}$ (指向下)
2. 水平加速度引起的慣性力：$-\rho \vec{a}$ (指向左，如果 $\vec{a}$ 向右)
3. 垂直加速度引起的慣性力：$-\rho \vec{b}$ (指向下，如果 $\vec{b}$ 向下)

令 $\vec{a}$ 為水平加速度， $\vec{b}$ 為垂直加速度。
在題目圖示中，加速度 $a$ 向右，加速度 $b$ 指向下方。
所以，作用在單位體積上的合力 $\vec{F}_{unit\_volume}$ 為：
$\vec{F}_{unit\_volume} = \rho \vec{g} - \rho \vec{a} - \rho \vec{b}$
假設：

• $x$ 軸向右， $y$ 軸向上。
• $\vec{a} = (a, 0)$
• $\vec{g} = (0, -g)$
• $\vec{b} = (0, -b)$ (如果 $b$ 指向下方，則其值為負，或直接寫成 $\vec{b} = (0, b)$ 如果 $b$ 是向下方向的量值)
  題目圖示中， $a$ 是右向的量值， $b$ 是下向的量值。
  所以，在加速參考系中，等效的重力加速度 $\vec{g}_{eff}$ 是：
  $\vec{g}_{eff} = \vec{g} - \vec{a} - \vec{b} = (0, -g) - (a, 0) - (0, -b) = (-a, -g+b)$。
  如果 $b$ 是向下加速度的「量值」，則 $\vec{b} = (0, -b)$。
  $\vec{g}_{eff} = \vec{g} - \vec{a} - \vec{b} = (0, -g) - (a, 0) - (0, -b) = (-a, -g+b)$。
  注意：如果 $b$ 指向下，則其分量為負。題目圖示中 $b$ 指向下，所以我們應使用 $(0, -b)$。
  $\vec{g}_{eff} = (0, -g) - (a, 0) - (0, -b) = (-a, -g+b)$。
  這表示在加速參考系中，有一個水平向左的「有效重力」 $-a$，以及一個垂直方向的「有效重力」 $-g+b$。

壓力梯度 $\nabla P = \rho \vec{g}_{eff}$。
$\frac{\partial P}{\partial x} = \rho (-a) = -\rho a$
$\frac{\partial P}{\partial y} = \rho (-g+b)$

壓力分佈：
在一個區域內，如果壓力梯度是常數，則壓力是線性的。
$P(x, y) = P_0 - \rho a x + \rho (-g+b) y$ (其中 $P_0$ 是參考點的壓力)。
我們需要確定蓋子上的壓力分佈。蓋子是水平的，位於頂部。
假設蓋子的底部位於 $y = h_{max}$ (最高水位)。
我們需要知道最高水位 $h_{max}$。
在這種情況下，液體是完全被蓋子封閉的，所以液體表面是蓋子的底部。
蓋子是水平的，所以 $y$ 方向的壓力梯度 $\frac{\partial P}{\partial y} = \rho (-g+b)$ 是常數。
這意味著，在垂直方向上，壓力隨深度線性變化。
壓力在蓋子上的分佈 $P(x, y_{lid})$ 僅僅取決於 $y_{lid}$ 的位置和水平位置 $x$。

確定壓力：
對於一個被蓋子完全封閉的容器，液體會充滿整個容器。
假設容器底部在 $y=0$ 處，頂部蓋子在 $y=h_2$ 處。
水的總體積是 $V = h_1 L$ (穩定時)。
但是，這裡的 $h_1$ 是穩定時的水位，容器高度是 $h_2$。
在加速狀態下，水會充滿整個容器，直到蓋子。
所以，蓋子在 $y=h_2$ 的位置。
壓力分佈 $P(x, y)$ 滿足：
$\frac{\partial P}{\partial x} = -\rho a$
$\frac{\partial P}{\partial y} = \rho (-g+b)$