112 年 國立成功大學水利及海洋工程學系碩士班甲組《流體力學》

本題考查流體黏滯係數的單位推導。

核心觀念：利用牛頓黏滯定律的公式，結合 SI 單位的基本定義，推導動黏滯係數與運動黏滯係數的單位。

(a) 動黏滯係數 $\mu$ 的單位推導：
牛頓黏滯定律的公式為 $\tau = \mu \frac{du}{dz}$。
其中，$\tau$ 是剪應力 (shear stress)，其單位為力除以面積，在 SI 系統中為牛頓/平方公尺 (N/m²)。
$u$ 是速度 (velocity)，其單位在 SI 系統中為公尺/秒 (m/s)。
$z$ 是距離 (distance)，其單位在 SI 系統中為公尺 (m)。
$\frac{du}{dz}$ 的單位為 (m/s) / m = 1/s。
將上述單位代入公式 $\tau = \mu \frac{du}{dz}$，可得：
N/m² = $\mu$ * (1/s)
因此，$\mu$ 的單位為 (N/m²) * s = N·s/m²。

核心觀念

本題以沿流線的小流體微粒做力平衡，分別沿切線方向 $\hat{s}$ 與法線方向 $\hat{n}$ 投影歐拉方程。切線方向得到伯努力方程；法線方向則得到壓力梯度、流線曲率與重力之間的關係。

以下令 $\hat{n}$ 指向流線曲率中心，$R$ 為曲率半徑，$z$ 為向上的高度。

(a) 切線方向

微粒沿流線長度為 $\delta s$，截面積為 $\delta n\,\delta y$。沿 $\hat{s}$ 方向的壓力合力近似為

$$-\frac{\partial p}{\partial s}\,\delta s\,\delta n\,\delta y$$

重力沿 $\hat{s}$ 方向的分量為

$$-\rho g\frac{\partial z}{\partial s}\,\delta s\,\delta n\,\delta y$$

微粒質量為 $\rho\,\delta s\,\delta n\,\delta y$。穩定流動下，沿流線的加速度是 $V\,\partial V/\partial s$，因此牛頓第二定律給出

$$-\frac{\partial p}{\partial s} -\rho g\frac{\partial z}{\partial s} = \rho V\frac{\partial V}{\partial s}$$

整理後：

$$\frac{1}{\rho}\frac{\partial p}{\partial s} +V\frac{\partial V}{\partial s} +g\frac{\partial z}{\partial s}=0$$

若流體密度 $\rho$ 為常數，沿同一流線積分可得

$$\boxed{\frac{p}{\rho}+\frac{V^2}{2}+gz=C}$$

也可寫成水頭形式：

$$\boxed{\frac{p}{\rho g}+\frac{V^2}{2g}+z=C}$$

(b) 法線方向

流線彎曲時，微粒具有指向曲率中心的法向加速度 $V^2/R$。沿 $\hat{n}$ 方向，壓力梯度造成的單位體積合力為 $-\partial p/\partial n$，重力分量為

本題考查完全發展的圓管層流流動，要求計算剪應力分佈和速度剖面。

核心觀念：利用動量積分法或控制體分析，結合流體在圓管中的流動特性，推導剪應力與速度分佈。

題目給定條件：

• 完全發展的水平圓管流動 (fully developed horizontal pipe flow)。
• 流體黏滯係數為 $\mu$。
• 管徑為 $D$，半徑為 $R = D/2$。
• 長度為 $L$ 的管段壓力降為 $\Delta p$。
• $\tau(r)$ 為徑向的剪應力分佈，$\tau_w$ 為管壁剪應力。
• $u(r)$ 為徑向的速度剖面。

(a) 剪應力 $\tau(r)$ 的計算：
對於完全發展的圓管流動，流動僅沿著軸向（假設為 $x$ 方向）進行，且速度剖面不隨 $x$ 方向變化。在徑向（$r$ 方向）上，流速為零，即 $u_r = 0$。
考慮一個以半徑 $r$ 為軸，長度為 $L$ 的圓柱形控制體。
作用在控制體上的力有：

1. 兩端的壓力差：在左端（$x=0$）的壓力為 $p_1$，在右端（$x=L$）的壓力為 $p_2$。壓力降為 $\Delta p = p_1 - p_2$。作用在控制體橫截面上的總力為 $\Delta p \times (\pi r^2)$。
2. 側面的黏滯力：作用在圓柱體側面（半徑為 $r$）的剪應力為 $\tau(r)$。作用在控制體側面的總剪切力為 $\tau(r) \times (2 \pi r L)$。

由於流動是完全發展的，流場是穩態的，且在軸向沒有加速度。因此，作用在控制體上的淨力為零。
$\Sigma F_x = 0$
壓力作用在左側為 $p_1 (\pi r^2)$，壓力作用在右側為 $p_2 (\pi r^2)$。
剪切力作用在側面，方向與流動方向相反（假設流動從左到右）。
$p_1 (\pi r^2) - p_2 (\pi r^2) - \tau(r) (2 \pi r L) = 0$
$(p_1 - p_2) (\pi r^2) = \tau(r) (2 \pi r L)$
$\Delta p (\pi r^2) = \tau(r) (2 \pi r L)$
$\tau(r) = \frac{\Delta p (\pi r^2)}{2 \pi r L} = \frac{\Delta p \cdot r}{2 L}$

此公式給出了任意半徑 $r$ 處的剪應力。
管壁剪應力 $\tau_w$ 是當 $r = R = D/2$ 時的剪應力：
$\tau_w = \tau(R) = \frac{\Delta p \cdot R}{2 L} = \frac{\Delta p \cdot (D/2)}{2 L} = \frac{\Delta p \cdot D}{4 L}$

【答案】(a) $\tau(r) = \frac{\Delta p \cdot r}{2 L}$

(b) 速度剖面 $u(r)$ 的計算：
我們知道牛頓黏滯定律在圓管流動中的應用形式為：
$\tau(r) = -\mu \frac{du}{dr}$
注意：這裡的符號是根據流體力學的約定。在上面的剪應力推導中，我們假設 $\tau(r)$ 是作用在控制體側面上的、與流動方向相反的剪應力。而在牛頓黏滯定律中，$\tau$ 通常表示在某個平面上的剪應力。
在圓管流動中，我們通常定義 $u$ 為沿著管軸方向的速度。
考慮一個半徑為 $r$ 的圓柱形流體層。作用在內側（半徑 $r$）的剪應力為 $\tau(r)$，作用在與之相對的另一側（半徑 $r$）的剪應力為 $\tau(r+dr)$。
若 $u$ 隨 $r$ 增大而減小（速度在管中心最大，在管壁為零），則 $\frac{du}{dr}$ 是負值。
剪應力 $\tau$ 的方向與速度梯度有關。
根據牛頓黏滯定律，剪應力 $\tau$ 與速度梯度 $\frac{du}{dr}$ 成正比。
$\tau = -\mu \frac{du}{dr}$ （負號是因為速度在半徑方向上是遞減的）。
我們已經計算出 $\tau(r) = \frac{\Delta p \cdot r}{2 L}$。
因此，將此代入：

本題考查二維徑向源流 (source flow) 的速度勢函數與流函數。

核心觀念：源流是無旋、不可壓縮的二維或三維流動，其特點是從一個點向外輻射。在極座標系下，速度勢函數和流函數的數學形式是已知的，可以通過其定義進行推導。

題目給定：

• 源流 (source flow)，強度為 $m$。
• 徑向速度為 $U_r$。
• 討論是在極座標系 $(m, r, \theta)$ 下進行，但通常源流的強度 $m$ 是指流量，而速度 $U_r$ 是與 $m$ 相關的。圖示顯示速度勢 $\phi$ 和流函數 $\psi$ 的常數線。
• 圖示中的 $U_r$ 似乎是指徑向速度的大小。

對於一個二維徑向源流，其速度勢函數 $\phi$ 和流函數 $\psi$ 的定義是：
徑向速度 $u_r = \frac{\partial \phi}{\partial r}$
角向速度 $u_\theta = \frac{1}{r} \frac{\partial \phi}{\partial \theta}$
流函數定義：
$u_r = \frac{1}{r} \frac{\partial \psi}{\partial \theta}$
$u_\theta = -\frac{\partial \psi}{\partial r}$

對於一個源流，其流量 $Q$ 從源點向外輻射。在二維情況下，我們通常考慮一個點源在極座標系中的流動。
一個點源的流量 $m$ 在二維極座標系中，其徑向速度 $u_r$ 沿徑向輻射，且在任何半徑 $r$ 處，通過以 $r$ 為半徑的圓的總流量是常數 $m$。
$m = \int_{0}^{2\pi} u_r \cdot r d\theta = u_r \cdot r \cdot 2\pi$
所以，$u_r = \frac{m}{2\pi r}$。
由於是徑向流，角向速度 $u_\theta = 0$。

現在我們來計算速度勢函數 $\phi$：
$u_r = \frac{\partial \phi}{\partial r} = \frac{m}{2\pi r}$
對 $r$ 積分：
$\phi(r, \theta) = \int \frac{m}{2\pi r} dr = \frac{m}{2\pi} \ln r + C_1(\theta)$
由於流動是純徑向的，速度勢函數不應依賴於 $\theta$。所以 $C_1(\theta)$ 是一個常數。
$\phi(r, \theta) = \frac{m}{2\pi} \ln r + \text{constant}$
通常，我們取常數為 0，所以 $\phi(r, \theta) = \frac{m}{2\pi} \ln r$。

接下來計算流函數 $\psi$：
$u_r = \frac{1}{r} \frac{\partial \psi}{\partial \theta} = \frac{m}{2\pi r}$
$\frac{\partial \psi}{\partial \theta} = \frac{m}{2\pi}$
對 $\theta$ 積分：
$\psi(r, \theta) = \int \frac{m}{2\pi} d\theta = \frac{m}{2\pi} \theta + C_2(r)$
由於流動是純徑向的，流函數不應依賴於 $r$ 的二次方項（它描述的是通過某個截面的流量）。
我們也需要驗證 $u_\theta = -\frac{\partial \psi}{\partial r}$。
如果 $\psi(r, \theta) = \frac{m}{2\pi} \theta$，那麼 $\frac{\partial \psi}{\partial r} = 0$，所以 $u_\theta = 0$。這與源流的特點一致。
所以，流函數為 $\psi(r, \theta) = \frac{m}{2\pi} \theta + \text{constant}$。
通常，我們取常數為 0，所以 $\psi(r, \theta) = \frac{m}{2\pi} \theta$。

檢查一下圖示。圖示中的 $m$ 是源的強度。
圖示中的 $\phi = \text{constant}$ 線是 $\frac{m}{2\pi} \ln r = \text{constant}$，這意味著

核心觀念

本題使用：

1. 連續方程式

$\dot m=\rho A V_r$

2. 速度三角形
   由圖中 $\alpha_1$ 為絕對速度 $V_1$ 與切線方向的夾角：

$V_{\theta 1}=V_{r1}\cot\alpha_1$

3. 歐拉渦輪方程式
   單位質量的能量傳遞為

$w=U_1V_{\theta1}-U_2V_{\theta2}$

出口絕對速度為徑向，因此

$V_{\theta2}=0$

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解題方法

設轉子出口半徑為 $r_2$、軸向流道寬度為 $b_2$。題目未提供轉子出口直徑與流道寬度，因此質量流率與功率只能表示為幾何尺寸的函數。

(a) 質量流率

若轉子流道寬度近似不變，由連續方程式：

$2\pi r_1 V_{r1}=2\pi r_2 V_{r2}$

又因為

$\frac{D_1}{D_2}=\frac{r_1}{r_2}=1.8$

所以

$$V_{r1}=V_{r2}\frac{r_2}{r_1} =\frac{12}{1.8} =6.667\ \text{m/s}$$

出口截面積為

$A_2=2\pi r_2b_2=\pi D_2b_2$

故

$\dot m=\rho A_2V_2$

$$\boxed{\dot m =1000(\pi D_2b_2)(12) =12000\pi D_2b_2\ \text{kg/s}}$$

即

$\boxed{\dot m=3.770\times10^4D_2b_2\ \text{kg/s}}$

其中 $D_2$ 與 $b_2$ 必須以公尺代入。

(b) 傳遞功率

由速度三角形：

$V_{\theta1}=V_{r1}\cot\alpha_1$

$$V_{\theta1} =6.667\cot60^\circ =\frac{20}{3\sqrt3} =3.849\ \text{m/s}$$