108 年 國立成功大學水利及海洋工程學系碩士班乙組《流體力學》

此題主要在考察穩定、不可壓縮、完全發展的層流在圓管中的流動特性，涉及壓力差、平均速度與能量損失的關係，並引導至達西-白斯巴赫公式的應用。

(a) 壓力差 $\Delta p$ 與管壁剪應力 $\tau_w$ 的關係

對於穩定、不可壓縮、完全發展的層流，作用在圓管內流體上的淨力必須為零。考慮長度為 $L$ 的圓管段，其截面積為 $A = \frac{\pi D^2}{4}$。作用在流體上的壓力差為 $\Delta p \cdot A$，而管壁上的剪應力 $\tau_w$ 則產生一個與流動方向相反的阻力，其總作用力為 $2\pi R L \cdot \tau_w = \pi D L \cdot \tau_w$。

由於流體是穩定流動且無外力作用，我們可建立力的平衡方程式：
$\Delta p \cdot A - (\pi D L) \cdot \tau_w = 0$
將截面積 $A = \frac{\pi D^2}{4}$ 代入，可得：
$\Delta p \cdot \frac{\pi D^2}{4} = \pi D L \cdot \tau_w$
整理後可得壓力差 $\Delta p$ 與管壁剪應力 $\tau_w$ 的關係：
$\Delta p = \frac{4 L \tau_w}{D}$

【答案】$\Delta p = \frac{4 L \tau_w}{D}$

(b) 證明平均速度 $V$ 與壓力差 $\Delta p$ 的關係

對於完全發展的層流，其速度剖面呈拋物線分布。若以 $r$ 為半徑方向的座標（圓心為 $r=0$），則速度 $u(r)$ 可表示為：
$u(r) = -\frac{1}{4\mu} \frac{dp}{dx} (R^2 - r^2)$
其中 $\frac{dp}{dx}$ 是壓力梯度。由於壓力隨長度 $L$ 降低，所以 $\frac{dp}{dx} = -\frac{\Delta p}{L}$。將其代入速度剖面公式：
$u(r) = \frac{\Delta p}{4\mu L} (R^2 - r^2)$
其中 $R = D/2$ 是管的半徑。

平均速度 $V$ 是速度剖面在截面積上的積分平均值：
$V = \frac{1}{A} \int_A u(r) dA = \frac{1}{\pi R^2} \int_0^R u(r) (2\pi r dr)$
$V = \frac{2\pi}{\pi R^2} \int_0^R \frac{\Delta p}{4\mu L} (R^2 - r^2) r dr$
$V = \frac{2 \Delta p}{4\mu L R^2} \int_0^R (R^2 r - r^3) dr$

此題考驗水輪機的角動量與能量轉換原理。首先需要利用速度三角形分析入口處的速度分量，接著利用連續性方程式和動量方程式來計算軸功率。

已知條件：
絕對進入速度 $|V_1| = 12$ m/s
進入角與切線夾角 $\alpha_1 = 30^\circ$
出口處絕對速度方向為徑向向內 ($V_{2r}$ 方向)
轉速 $N = 120$ rpm
水密度 $\rho_w = 1000$ kg/m³
入口半徑 $r_1 = 0.8$ m
出口半徑 $r_2 = 0.6$ m

速度單位轉換：
轉速 $N = 120$ rpm $= \frac{120}{60}$ rps $= 2$ rps。
角速度 $\omega = 2\pi N = 2\pi \times 2 = 4\pi$ rad/s。

(a) 徑向速度分量 $V_{1r}$ 和 $V_{2r}$

在 सेक्शन (1)（入口處）：
絕對進入速度 $V_1$ 與切線夾角為 $30^\circ$。我們需要找出其徑向分量 $V_{1r}$。
從速度三角形可知，徑向速度分量 $V_{1r}$ 與切線方向速度分量 $V_{1t}$ 垂直。
$V_{1r} = |V_1| \sin(\alpha_1)$
$V_{1r} = 12 \text{ m/s} \times \sin(30^\circ)$
$V_{1r} = 12 \times 0.5 = 6 \text{ m/s}$

在 सेक्शन (2)（出口處）：
題目說明絕對出口速度是「徑向向內」（radially inward）。這表示出口處的切線速度分量 $V_{2t}$ 為零，而絕對速度 $V_2$ 就是其徑向分量 $V_{2r}$，且方向向內。
然而，題目只給了入口的絕對速度和角度，以及出口是徑向向內。要計算出口徑向速度 $V_{2r}$，我們通常需要用到連續性方程式（假設流道寬度不變或已知）。

題目圖示中，Section (1) 和 Section (2) 的截面積是以一個高度（例如 0.3 m）乘以圓周長度來表示，這暗示著我們可能需要考慮的是一個環狀流道，或者圖示中的高度代表流道的寬度（在垂直於紙面的方向）。圖示中 Section (1) 的寬度標示為 0.3 m，而 Section (2) 的寬度也標示為 0.3 m。假設這個寬度是指流道在垂直於徑向和切向方向的寬度，且該寬度在兩 सेक्शन是相同的。

假設流道寬度為 $b = 0.3$ m，且這個寬度垂直於速度和半徑方向。
सेक्शन (1) 的流道截面積 $A_1$ 可近似視為一個寬度為 $b$ 的矩形，其長度為圓周 $2\pi r_1$。
$A_1 \approx (2\pi r_1) \times b$
सेक्शन (2) 的流道截面積 $A_2 \approx (2\pi r_2) \times b$

根據連續性方程式（質量守恆）：
$\rho_w A_1 V_{1r} = \rho_w A_2 V_{2r}$
$A_1 V_{1r} = A_2 V_{2r}$
$(2\pi r_1 b) V_{1r} = (2\pi r_2 b) V_{2r}$
$r_1 V_{1r} = r_2 V_{2r}$
我們已經計算出 $V_{1r} = 6$ m/s。
$(0.8 \text{ m}) \times (6 \text{ m/s}) = (0.6 \text{ m}) \times V_{2r}$
$4.8 \text{ m}^2/\text{s} = 0.6 \text{ m} \times V_{2r}$
$V_{2r} = \frac{4.8}{0.6} = 8 \text{ m/s}$
由於出口速度是徑向向內，所以 $V_{2r}$ 的方向是朝向圓心。若我們定義徑向向外為正，則 $V_{2r} = -8$ m/s。但題目問的是「徑向分量」，通常是指其大小。在此我們給出大小。

【答案】徑向速度分量在 सेक्शन (1) 為 $V_{1r} = 6$ m/s。徑向速度分量在 सेक्शन (2) 為 $V_{2r} = 8$ m/s (方向向內)。

(b) 軸功率 (Power delivered to the shaft)

軸功率的計算通常基於歐拉水輪機方程式，該方程式描述了流體對旋轉輪葉片做的功。對於徑向流，入口處有切向速度分量 $V_{1t}$，而出口處的絕對速度是純徑向的，意味著出口的切向速度分量 $V_{2t}$ 為零

此題主要考驗相似理論中的動量相似性，特別是當多種物理效應同時重要時，如何透過無因次參數來建立模型與實體的相似條件。題目要求建立一個縮小模型（模型長度尺度為實體 $1/5$），並在模型與實體之間，維持慣性力、重力、表面張力及黏滯力這四種效應的重要性。

已知條件：

• 實體 (prototype) 與模型 (model) 的長度尺度比：$L_m/L_p = 1/5$。
• 流體密度尺度比：$\rho_m/\rho_p = 1.0$ (表示模型與實體使用相同的流體，或密度相同)。
• 重要的無因次參數：
  • 慣性力與重力相關：Froude number $Fr = V/\sqrt{gL}$
  • 慣性力與黏滯力相關：Reynolds number $Re = \rho VL/\mu$
  • 慣性力與表面張力相關：Weber number $We = \rho V^2 L/\sigma$
• 題目假設慣性、重力、表面張力、黏滯力這四種效應都重要。

相似條件：
根據動量相似原理，若要模型能正確預測實體，則模型與實體之間，所有重要無因次參數的比值必須為 1。也就是說，模型中的各個無因次參數值必須等於實體中的值。
$Fr_m = Fr_p$
$Re_m = Re_p$
$We_m = We_p$

求解目標：

• 黏滯力尺度比 $\mu_m/\mu_p$
• 表面張力尺度比 $\sigma_m/\sigma_p$

步驟一：利用 Froude 相似條件確定速度尺度比

Froude 數代表慣性力與重力的比值。
$Fr = \frac{V}{\sqrt{gL}}$
由於重力加速度 $g$ 在模型和實體中相同（假設都在地球上），所以 $g_m = g_p$。
$Fr_m = \frac{V_m}{\sqrt{g_m L_m}}$
$Fr_p = \frac{V_p}{\sqrt{g_p L_p}}$
令 $Fr_m = Fr_p$：
$\frac{V_m}{\sqrt{g_m L_m}} = \frac{V_p}{\sqrt{g_p L_p}}$
$\frac{V_m}{V_p} = \sqrt{\frac{g_m L_m}{g_p L_p}} = \sqrt{\frac{L_m}{L_p}}$
已知長度尺度比 $L_m/L_p = 1/5$，所以速度尺度比為：
$\frac{V_m}{V_p} = \sqrt{\frac{1}{5}} = \frac{1}{\sqrt{5}}$
這個速度尺度比是基於重力效應主導時的條件。

步驟二：利用 Reynolds 相似條件確定黏滯尺度比

Reynolds 數代表慣性力與黏滯力的比值。
$Re = \frac{\rho VL}{\mu}$
$Re_m = \frac{\rho_m V_m L_m}{\mu_m}$
$Re_p = \frac{\rho_p V_p L_p}{\mu_p}$
令 $Re_m = Re_p$：
$\frac{\rho_m V_m L_m}{\mu_m} = \frac{\rho_p V_p L_p}{\mu_p}$
重新整理此式以求 $\mu_m/\mu_p$：
$\frac{\mu_m}{\mu_p} = \frac{\rho_m}{\rho_p} \frac{V_m}{V_p} \frac{L_m}{L_p}$
已知 $\rho_m/\rho_p = 1.0$ 且 $L_m/L_p = 1/5$。我們也從 Froude 相似性得到 $V_m/V_p = 1/\sqrt{5}$。
$\frac{\mu_m}{\mu_p} = (1.0) \times \left(\frac{1}{\sqrt{5}}\right) \times \left(\frac{1}{5}\right)$
$\frac{\mu_m}{\mu_p} = \frac{1}{5\sqrt{5}} = \frac{\sqrt{5}}{25}$

步驟三：利用 Weber 相似條件確定表面張力尺度比

Weber 數代表慣性力與表面張力的比值。
$We = \frac{\rho V^2 L}{\sigma}$
$We_m = \frac{\rho_m V_m^2 L_m}{\sigma_m}$
$We_p = \frac{\rho_p V_p^2 L_p}{\sigma_p}$
令 $We_m = We_p$：

核心觀念

本題考查：

• 連續方程與截面平均速度。
• 動量修正係數 $\beta$：動量通量與 $\int_A u^2\,dA$ 有關。
• 動能修正係數 $\alpha$：能量通量與 $\int_A u^3\,dA$ 有關。
• 壁面摩擦力 $f_f(2\pi RL)$ 對壓力降的影響。

以下將 $f_f$ 視為單位面積壁面摩擦力，即壁面剪應力。

解題方法

令管截面積與濕周分別為

$$A=\pi R^2,\qquad P=2\pi R.$$

(a) $U$、$u_M$ 與 $\bar u_2$ 的關係

由截面 (2) 的速度分布，

$$u_2=u_M\left(1-\frac{r^2}{R^2}\right).$$

其平均速度為

$$\bar u_2 =\frac{1}{A}\int_Au_2\,dA =\frac{1}{\pi R^2}\int_0^R u_M\left(1-\frac{r^2}{R^2}\right)2\pi r\,dr =\frac{u_M}{2}.$$

管徑相同且為不可壓縮流，因此由連續方程：

$$U=\bar u_2.$$

所以

$$\boxed{u_M=2U=2\bar u_2}, \qquad \boxed{U=\bar u_2}.$$

(b) 截面 (1) 與 (2) 間的壓力降

截面 (1) 的動量通量為

$$\int_Au_1^2\,dA=AU^2.$$

截面 (2) 的動量通量為

$$\begin{aligned} \int_Au_2^2\,dA &=2\pi u_M^2\int_0^R \left(1-\frac{r^2}{R^2}\right)^2r\,dr \\ &=\frac{Au_M^2}{3} =\frac{4}{3}A\bar u_2^2. \end{aligned}$$

因此截面 (2) 的動量修正係數為 $\beta_2=4/3$，截面 (1) 為 $\beta_1=1$。

沿流向套用動量方程，壁面摩擦力為

$$F_f=f_fPL=f_f(2\pi R)L.$$

若忽略高度差，則

$$(p_1-p_2)A-F_f =\rho A\left(\frac{4}{3}\bar u_2^2-U^2\right).$$

代入 $U=\bar u_2$，得

$$\boxed{\Delta p=p_1-p_2 =\frac{2f_fL}{R}+\frac{\rho\bar u_2^2}{3}}.$$

若圖示的垂直位置代表實際高度，且截面 (2) 比截面 (1) 高 $L$，則需加上重力項：