111 年 國立成功大學水利及海洋工程學系碩士班甲組《流體力學》

核心觀念

本題考查「不可旋流渦（irrotational vortex）」的速度分布與伯努力方程式。

不可旋流渦的切向速度滿足

$$V_\theta r=\text{常數}$$

因此

$$V_\theta=\frac{C}{r}$$

其中 $C$ 為渦流常數。遠離渦心處速度趨近於零，且題目給定該處表壓為零。

沿同一條流線使用伯努力方程式：

$$\frac{p}{\rho}+\frac{V^2}{2}+gz=\text{常數}$$

本題位於同一水平面，故 $z$ 相同，可忽略重力位能項。

解題方法

1. 求渦流常數

已知

$$r_1=20\ \text{m},\qquad V_1=20\ \text{m/s}$$

由 $V_\theta r=C$：

$$C=V_1r_1$$ $$C=(20)(20)=400\ \text{m}^2/\text{s}$$

2. 求 $r=2$ m 處的速度

$$V_2=\frac{C}{r_2}$$ $$V_2=\frac{400}{2}=200\ \text{m/s}$$

因此，依照不可旋流渦模型，距離渦心 $2$ m 處的切向速度為

$$\boxed{V_2=200\ \text{m/s}}$$

3. 求 $r=2$ m 處的壓力

在無限遠處：

$$V_\infty=0,\qquad p_\infty=0$$

伯努力方程式給出

$$p_\infty+\frac{1}{2}\rho V_\infty^2 = p_2+\frac{1}{2}\rho V_2^2$$

核心觀念

球體達到終端速度時，加速度為零，因此受力平衡：

• 球體重量：$W=\rho_s gV$
• 浮力：$F_B=\rho_f gV$
• 阻力：$F_D=\dfrac{1}{2}C_D\rho_f V_t^2 A$

其中：

$$V=\frac{\pi D^3}{6},\qquad A=\frac{\pi D^2}{4}$$

終端速度時，

$$W-F_B=F_D$$

因此：

$$(\rho_s-\rho_f)gV = \frac{1}{2}C_D\rho_f V_t^2A$$

代入球體的體積與迎風面積：

$$V_t = \sqrt{ \frac{4(\rho_s-\rho_f)gD} {3C_D\rho_f} }$$

雷諾數則為：

$$Re=\frac{V_tD}{\nu}$$

題目給定球體比重 $S=1.02$，故球體密度為：

$$\rho_s=S\rho_{\text{water}} =1.02(1000) =1020\ \text{kg/m}^3$$

由 $\gamma_w=\rho_{\text{water}}g$ 得：

$$g=\frac{9800}{1000}=9.8\ \text{m/s}^2$$

球體直徑：

$$D=0.30\ \text{m}$$

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（a）球體落入 20°C 空氣中

20°C、標準大氣壓下，空氣密度取：

$$\rho_{\text{air}}\simeq 1.20\ \text{kg/m}^3$$

球體在空氣中的有效密度差為：

$$\rho_s-\rho_{\text{air}} =1020-1.20 =1018.8\ \text{kg/m}^3$$

題目給定：

$$C_D=0.2,\qquad \nu_{\text{air}}=1.6\times10^{-5}\ \text{m}^2/\text{s}$$

代入終端速度公式：

$$V_{t,\text{air}} = \sqrt{ \frac{4(1018.8)(9.8)(0.30)} {3(0.2)(1.20)} }$$ $$V_{t,\text{air}} = \sqrt{16640.4} \simeq 129.0\ \text{m/s}$$

雷諾數為：

$$Re_{\text{air}} = \frac{(129.0)(0.30)} {1.6\times10^{-5}}$$ $$\boxed{Re_{\text{air}}\simeq 2.42\times10^6}$$

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（b）球體落入 20°C 水中

水的密度為：

$$\rho_{\text{water}}=1000\ \text{kg/m}^3$$

核心觀念

本題考查**二維不可壓縮無旋流動（Potential Flow）中速度位能函數（Velocity Potential Function, $\phi$）與流線函數（Stream Function, $\psi$）**之間的關係。

1. 速度位能函數 $\phi$ 之定義：
   在無旋流動（$\nabla \times \vec{V} = 0$）中，速度場可表示為純量位能的梯度：

   $$u = \frac{\partial \phi}{\partial x}, \quad v = \frac{\partial \phi}{\partial y}$$

   在極座標 $(r, \theta)$ 下：

   $$V_r = \frac{\partial \phi}{\partial r}, \quad V_\theta = \frac{1}{r}\frac{\partial \phi}{\partial \theta}$$

2. 流線函數 $\psi$ 之定義：
   在滿足連續方程式（不可壓縮流動 $\nabla \cdot \vec{V} = 0$）的前提下，流線函數定義為：

   $$u = \frac{\partial \psi}{\partial y}, \quad v = -\frac{\partial \psi}{\partial x}$$

   在極座標 $(r, \theta)$ 下：

   $$V_r = \frac{1}{r}\frac{\partial \psi}{\partial \theta}, \quad V_\theta = -\frac{\partial \psi}{\partial r}$$

3. Cauchy-Riemann 方程式（柯西–黎曼關係式）：
   聯立兩者定義可得：

   • 卡氏座標：$\frac{\partial \phi}{\partial x} = \frac{\partial \psi}{\partial y}$ 且 $\frac{\partial \phi}{\partial y} = -\frac{\partial \psi}{\partial x}$
   • 極座標：$\frac{\partial \phi}{\partial r} = \frac{1}{r}\frac{\partial \psi}{\partial \theta}$ 且 $\frac{1}{r}\frac{\partial \phi}{\partial \theta} = -\frac{\partial \psi}{\partial r}$

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解題方法

本題給定 $\phi = A \tan^{-1}(y/x)$。因為 $\theta = \tan^{-1}(y/x)$，此位能函數實質上為極座標下的純角度相依函數 $\phi = A\theta$，此流場即典型的自由渦流（Free Vortex）。

因此，本題有兩種嚴謹的解題路徑：

方法一：極座標法（最直接簡潔）

1. 將位能函數以極座標表示： $$\phi(r, \theta) = A\theta$$
2. 求出速度分量： $$V_r = \frac{\partial \phi}{\partial r} = 0$$ $$V_\theta = \frac{1}{r}\frac{\partial \phi}{\partial \theta} = \frac{A}{r}$$
3. 代入流線函數與速度之定義關係式求 $\psi$：
   由 $V_r = \frac{1}{r}\frac{\partial \psi}{\partial \theta} = 0$，可知： $$\frac{\partial \psi}{\partial \theta} = 0 \implies \psi = \psi(r)$$ 由 $V_\theta = -\frac{\partial \psi}{\partial r} = \frac{A}{r}$，對 $r$ 積分： $$\frac{d\psi}{dr} = -\frac{A}{r} \implies \psi(r) = -A \ln r + C$$

核心觀念

圖示為內半徑 $r_1$、外半徑 $r_2$ 的同心圓管間環形流道，流體沿 $x$ 方向作穩態、不可壓縮、軸對稱且充分發展流動。假設兩管壁固定，流體為黏度 $\mu$ 的牛頓流體。

充分發展流動表示

$$u=u(r),\qquad v_r=0,\qquad \frac{\partial u}{\partial x}=0$$

由於管道水平，重力在 $x$ 方向沒有分量，軸向流動主要由壓力梯度驅動。

解題方法與推導

取半徑 $r$ 至 $r+dr$、長度 $dx$ 的圓柱薄殼。軸向動量平衡可寫為

$$-\frac{dp}{dx}(2\pi r\,dr\,dx) +2\pi dx\,\frac{d}{dr}(r\tau_{rx})\,dr=0$$

因此

$$\frac{1}{r}\frac{d}{dr}(r\tau_{rx})=\frac{dp}{dx}$$

牛頓流體的剪應力為

$$\tau_{rx}=\mu\frac{du}{dr}$$

代入可得圓柱座標下的軸向動量方程式：

$$\frac{1}{r}\frac{d}{dr} \left(r\frac{du}{dr}\right) =\frac{1}{\mu}\frac{dp}{dx}$$

令壓力沿流動方向下降，並定義

$$G=-\frac{dp}{dx}>0$$

則

$$\frac{1}{r}\frac{d}{dr} \left(r\frac{du}{dr}\right) =-\frac{G}{\mu}$$

第一次積分：

$$r\frac{du}{dr} =-\frac{G}{2\mu}r^2+C_1$$

第二次積分：

$$u(r)=-\frac{G}{4\mu}r^2+C_1\ln r+C_2$$

兩管壁皆滿足無滑移邊界條件：

$$u(r_1)=0,\qquad u(r_2)=0$$

先利用 $u(r_1)=0$ 改寫為

$$u(r) =-\frac{G}{4\mu}(r^2-r_1^2) +C_1\ln\left(\frac{r}{r_1}\right)$$

再代入 $u(r_2)=0$，得到

$$C_1= \frac{G}{4\mu} \frac{r_2^2-r_1^2} {\ln(r_2/r_1)}$$