111 年 國立成功大學水利及海洋工程學系碩士班甲組《水文學》

這題主要在考驗對水文學基本名詞的理解。

(a) Albedo (反照率)：
反照率是指物體表面反射太陽輻射的能力，通常以百分比或小數表示。在水文學中，地表反照率影響地表接收到的太陽輻射量，進而影響蒸發散、融雪等過程。例如，雪地的反照率遠高於森林，因此雪地吸收的太陽輻射較少。

(b) Direct Runoff (直接流)：
直接流是指降雨或融雪後，未經滲入土壤或蒸發散，直接在地表流動或在淺層土壤中快速流動，最終抵達河道的水量。它通常是單位歷時內降雨後，最快出現的流量成分。

(c) Instantaneous Unit Hydrograph (單位歷時線 - 瞬時單位歷時線)：
瞬時單位歷時線 (IUH) 是指一個假設的單位降雨事件，在集水區上均勻且瞬時（歷時趨近於零）地降下一個單位深度（如 1 mm 或 1 cm）的淨雨，所產生的歷時線。IUH 能更精確地描述集水區的響應特性，尤其適用於降雨歷時不規則的情況。

這題主要考驗 SCS 曲線數法 (SCS Curve Number Method) 的應用，包括參數意義的解釋與實際計算。

核心觀念：SCS 曲線數法是一種經驗方法，用於估計集水區在給定降雨量下的直接流。它將集水區的特性（如土壤類型、土地利用、處理狀況）歸納為一個曲線數 (CN)，並利用 CN 值來估計潛在滯留量 (S) 和直接流 (Q)。

(a) S 與 CN 的意義：

• CN (Curve Number, 曲線數)：CN 值是 SCS 曲線數法的核心參數，代表集水區對降雨的潛在逕流能力。CN 值介於 0 到 100 之間。CN 值越高，表示集水區的逕流潛力越大，產生的直接流越多；CN 值越低，表示集水區的滲漏、截留或蒸發能力越強，直接流越少。CN 值主要取決於土壤的潛在滯留量，並受土地利用、植被覆蓋和土壤水分狀況的影響。
• S (Potential Maximum Retention, 潛在最大滯留量)：S 是指在降雨開始後，集水區能夠吸收和截留的最大水量，單位通常為英吋 (inch) 或公釐 (mm)。S 值與 CN 值之間存在反比關係。S 值越大，表示集水區的保水能力越強，產生的直接流越少；S 值越小，表示集水區的保水能力越弱，產生的直接流越多。兩者關係由公式 $S = \frac{1000}{CN} - 10$ (當 P 和 Q 單位為英吋時) 決定。

(b) 計算直接流：
這是一個複合集水區的計算，集水區被分成兩部分，具有不同的 CN 值。我們需要分別計算各部分的潛在滯留量 S，然後根據降雨量 P，計算各部分的直接流 Q，最後將各部分的直接流加權平均得到總直接流。

步驟 1：計算兩部分的潛在滯留量 S

• 居住區 (Residential areas)：$CN_1 = 90$
  $S_1 = \frac{1000}{CN_1} - 10 = \frac{1000}{90} - 10 \approx 11.11 - 10 = 1.11 \text{ inches}$
• 牧場 (Pasture land)：$CN_2 = 60$
  $S_2 = \frac{1000}{CN_2} - 10 = \frac{1000}{60} - 10 \approx 16.67 - 10 = 6.67 \text{ inches}$

步驟 2：計算兩部分的直接流 Q
降雨量 $P = 10$ inches。
我們需要檢查降雨量 $P$ 是否大於潛在初期損失 $0.2S$。

• 居住區：$0.2S_1 = 0.2 \times 1.11 = 0.222$ inches。由於 $P=10 > 0.222$，所以可以計算直接流。

核心觀念

本題考查地下水流的 Dupuit 假設與 Darcy 定律。

在穩定、無地下水補注、底部為不透水層的非拘限含水層中，採用 Dupuit 假設：

• 地下水流主要為水平流。
• 垂直水力梯度可忽略。
• 任一垂直剖面的水力梯度以水面坡度 $\dfrac{dh}{dx}$ 近似。
• $h(x)$ 為不透水底板至地下水面的飽和厚度。
• 左、右兩端邊界條件為 $$h(0)=h_0,\qquad h(L)=h_1$$ 圖中右端標示為 $h_L$，以下令 $h_1=h_L$。

解題方法

取單位寬度的地下水流量為 $q$。依 Darcy 定律，水平平均流速為

$$v_x=-K\frac{dh}{dx}$$

其中 $K$ 為水力傳導係數。剖面的過水厚度為 $h(x)$，因此單位寬度流量為

$$q=v_xh=-Kh\frac{dh}{dx}$$

由於沒有地下水補注，穩定流下的 $q$ 沿 $x$ 方向為常數，因此

$$q=-Kh\frac{dh}{dx}$$

整理得

$$h\,dh=-\frac{q}{K}\,dx$$

由左端 $x=0,\ h=h_0$ 積分至任意位置 $x,\ h=h(x)$：

$$\int_{h_0}^{h(x)}h\,dh = -\frac{q}{K}\int_0^x dx$$

因此

$$\frac{h(x)^2-h_0^2}{2} = -\frac{q}{K}x$$

即

$$h(x)^2=h_0^2-\frac{2q}{K}x$$

再利用右端邊界條件 $x=L,\ h=h_1$：

$$h_1^2=h_0^2-\frac{2q}{K}L$$

解得單位寬度流量

$$q=\frac{K}{2L}\left(h_0^2-h_1^2\right)$$

代回水面方程式：

核心觀念

本題考查河道演算中的 Muskingum channel routing method。其基本概念包括：

1. 連續方程式

   $I-Q=\frac{\Delta S}{\Delta t}$

2. Muskingum 蓄水量關係式

   $S=K\left[XI+(1-X)Q\right]$

   其中：

   • $K$：洪水波通過河段的特徵時間，單位為時間；
   • $X$：入流與出流對蓄水量影響的權重，通常 $0\leq X\leq 0.5$；
   • $I$：入流量；
   • $Q$：出流量。

題目文字寫成 $S=KQ$，但因為後半題明確給出 $X=0.1$，因此本題應採用標準 Muskingum 蓄水量公式 $S=K[XI+(1-X)Q]$。

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解題方法

以時間間隔 $\Delta t$ 內的平均流量代表區間流量，連續方程式寫為

$$\frac{I_j+I_{j+1}}{2} - \frac{Q_j+Q_{j+1}}{2} = \frac{S_{j+1}-S_j}{\Delta t}$$

而

$$S_j=K[XI_j+(1-X)Q_j]$$ $$S_{j+1}=K[XI_{j+1}+(1-X)Q_{j+1}]$$

因此：

$$\frac{I_j+I_{j+1}-Q_j-Q_{j+1}}{2} = \frac{K}{\Delta t} \left[ X(I_{j+1}-I_j)+(1-X)(Q_{j+1}-Q_j) \right]$$

兩邊乘以 $2\Delta t$，整理 $Q_{j+1}$：

$$\left[\Delta t+2K(1-X)\right]Q_{j+1} = \left[\Delta t+2KX\right]I_{j+1} + \left[\Delta t-2KX\right]I_j + \left[2K(1-X)-\Delta t\right]Q_j$$

與題目形式

$$Q_{j+1}=C_1I_{j+1}+C_2I_j+C_3Q_j$$

比較可得：

$$\boxed{ C_1= \frac{\Delta t+2KX} {\Delta t+2K(1-X)} }$$ $$\boxed{ C_2= \frac{\Delta t-2KX} {\Delta t+2K(1-X)} }$$ $$\boxed{ C_3= \frac{2K(1-X)-\Delta t} {\Delta t+2K(1-X)} }$$

三個係數應滿足：

$$C_1+C_2+C_3=1$$

這是 Muskingum 演算的重要檢核條件。

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(a) 係數推導結果

$$\boxed{ C_1= \frac{\Delta t+2KX} {\Delta t+2K(1-X)} }$$ $$\boxed{ C_2= \frac{\Delta t-2KX} {\Delta t+2K(1-X)} }$$ $$\boxed{ C_3= \frac{2K(1-X)-\Delta t} {\Delta t+2K(1-X)} }$$

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(b) 計算出流歷線

已知：

$$K=12\ \text{hr},\qquad X=0.1,\qquad \Delta t=6\ \text{hr}$$

分母為：

$$\Delta t+2K(1-X) = 6+2(12)(0.9) = 27.6$$

因此：

核心觀念

本題考查：

1. 樣本平均數
2. 樣本標準差
3. Gumbel 型第一類極值分布（EV1）的重現期分析

對年最大降雨量資料，樣本平均數為

$$\bar{R}=\frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}R_i$$

樣本標準差為

$$s=\sqrt{\frac{\sum_{i=1}^{n}(R_i-\bar{R})^2}{n-1}}$$

EV1 分布的重現期降雨量可寫為

$$R_T=\bar{R}+K_Ts$$

但題目所給的 $K$ 公式採用的是「負號頻率因子」表示法，因此本題應使用

$$R_T=\bar{R}-Ks$$

以得到高重現期所對應的較大年最大降雨量。

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解題方法

（a）樣本平均數

共有 $n=10$ 筆年降雨量資料：

$$40,\ 30,\ 30,\ 60,\ 50,\ 40,\ 40,\ 30,\ 30,\ 50$$

資料總和為

$$\sum R_i=400\ \text{mm}$$

因此樣本平均數為

$$\bar{R}=\frac{400}{10}=40\ \text{mm}$$

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（a）樣本標準差

各資料與平均數的差及其平方如下：

$R_i$（mm）	$R_i-\bar{R}$	$(R_i-\bar{R})^2$
40	0	0
30	$-10$	100
30	$-10$	100
60	20	400
50	10	100
40	0	0
40	0	0
30	$-10$	100
30	$-10$	100
50	10	100

平方離差和為

$$\sum(R_i-\bar{R})^2=1000$$

採用樣本標準差，分母為 $n-1=9$：

$$s=\sqrt{\frac{1000}{9}}$$ $$s=10.54\ \text{mm}$$

因此：

$$\boxed{\bar{R}=40\ \text{mm}}$$ $$\boxed{s=10.54\ \text{mm}}$$

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（b）10 年重現期降雨量