112 年 國立成功大學水利及海洋工程學系碩士班甲組《水文學》

本題為水文學基本名詞解釋題，主要在測試考生對於水文分析、單位預知曲線、集流時間、地下水含水層以及水文分配等基礎概念的理解程度。

(a) 頻率分析 (Frequency Analysis) 的目的與過程：
目的：頻率分析的主要目的是利用歷史的極端水文事件（如洪水、乾旱）數據，來預測未來發生類似事件的機率，並估計其可能發生的規模。這對於水利設施（如水壩、堤防）的設計、水資源規劃、災害防治等具有重要意義，確保設計的可靠性與安全性。
過程：

1. 資料收集與整理 (Data Collection and Compilation)：收集相關的水文數據，如歷史流量、降雨量、水位等，並進行品質檢查與篩選，確保資料的準確性與代表性。
2. 數據分配選擇 (Selection of Probability Distribution)：根據數據的特性，選擇適合的機率分配模型來描述數據的分佈，常見的有 Gumbel (Extreme Value Type I)、Log-Pearson Type III、Normal、Log-Normal、Gamma 等。
3. 參數估計 (Parameter Estimation)：利用收集到的數據，估計所選機率分配模型的參數（如平均值、標準差、形狀參數等），常用的方法包括矩量法 (Method of Moments) 和最大概似法 (Maximum Likelihood Method)。
4. 頻率計算與回歸期決定 (Frequency Calculation and Determination of Return Period)：根據估計好的參數，計算不同重現期 (Return Period, T) 或不同頻率 (Probability, P) 下的水文事件規模，或是反過來，根據給定的重現期或頻率，計算對應的水文事件規模。
   【答案】頻率分析的目的為預測極端水文事件發生的機率與規模，用於水利設計與規劃；過程包含資料收集、分配選擇、參數估計、頻率計算。

(b) 單位預知曲線 (Unit Hydrograph) 的假設條件：
單位預知曲線是將單位寬度、單位時間降雨轉換為單位面積預知曲線的方法，其建立有以下五個主要假設：

1. 降雨均勻性 (Uniformity of Rainfall)：假設降雨在空間上是均勻分佈在整個集水區內，且在單位時間內降雨強度是恆定的。
2. 降雨延續性 (Constant Rainfall Duration)：假設降雨事件的降雨強度在給定的單位時間內是恆定的，且一次集流過程僅對應於一次降雨事件。
3. 線性響應 (Linear Response)：集水區的響應是線性的，即任意降雨事件的預知曲線，是該降雨各段時間內單位預知曲線的線性疊加。這意味著降雨強度與預知曲線峰值流量成正比，降雨歷時與預知曲線歷時成正比。
4. 基流恆定 (Constant Baseflow)：假設在一次集流過程中，基流 (Baseflow) 的變化可以忽略不計，或者說，預知曲線代表的是直接預知 (Direct Runoff)，基流可獨立於降雨過程進行疊加或分離。

核心觀念

本題考查兩個觀念：

1. Extreme Value Type I（Gumbel）頻率分析

給定不同重現期的洪峰流量，可利用

$$Q_T=\overline{Q}+K_T S_Q$$

其中：

• $Q_T$：重現期為 $T$ 年的洪峰流量
• $\overline{Q}$：洪峰流量平均值
• $S_Q$：洪峰流量標準差
• $K_T$：頻率因子

題目給定

$$K_T=-\frac{1}{\pi} \left[ 0.5772+\ln\left(\ln\frac{T}{T-1}\right) \right]$$

2. Rational Method（合理化公式）

當降雨延時大於集水區集中時間時，整個集水區的逕流可同時到達出口，洪峰流量為

$$Q_p=0.278CIA$$

其中：

• $Q_p$：洪峰流量，單位為 $\mathrm{m^3/s}$
• $C$：逕流係數
• $I$：降雨強度，單位為 $\mathrm{mm/hr}$
• $A$：集水區面積，單位為 $\mathrm{km^2}$

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解題方法

先由 $T=40$ 年與 $T=2$ 年的資料求出 $\overline{Q}$ 與 $S_Q$，再計算 $T=100$ 年的洪峰流量。

第（b）題先用合理化公式求暴雨所造成的洪峰流量，再將此洪峰流量代回 Gumbel 頻率公式，反求其重現期。

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（a）重現期 100 年的洪峰流量

1. 計算各重現期的頻率因子

當 $T=2$ 年：

$$K_2 = -\frac{1}{\pi} \left[ 0.5772+\ln(\ln 2) \right]$$ $$\ln 2=0.6931$$ $$\ln(0.6931)=-0.3665$$

因此

$$K_2 = -\frac{0.5772-0.3665}{\pi} = -0.0671$$

當 $T=40$ 年：

$$K_{40} = -\frac{1}{\pi} \left[ 0.5772+\ln\left(\ln\frac{40}{39}\right) \right]$$ $$\ln\left(\frac{40}{39}\right)=0.02532$$ $$\ln(0.02532)=-3.6762$$

因此

$$K_{40} = -\frac{0.5772-3.6762}{\pi} = 0.9865$$

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2. 求平均洪峰流量與標準差

由

$$Q_T=\overline{Q}+K_TS_Q$$

可列出兩條方程式：

$$8.5=\overline{Q}-0.0671S_Q$$ $$19.8=\overline{Q}+0.9865S_Q$$

兩式相減：

$$19.8-8.5=(0.9865+0.0671)S_Q$$ $$11.3=1.0536S_Q$$

所以

$$S_Q=10.73\ \mathrm{m^3/s}$$

代回第一式：

$$8.5=\overline{Q}-0.0671(10.73)$$ $$\overline{Q}=9.22\ \mathrm{m^3/s}$$

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3. 計算 $T=100$ 年的頻率因子

$$K_{100} = -\frac{1}{\pi} \left[ 0.5772+\ln\left(\ln\frac{100}{99}\right) \right]$$ $$\ln\left(\frac{100}{99}\right)=0.01005$$ $$\ln(0.01005)=-4.6001$$

因此

$$K_{100} = -\frac{0.5772-4.6001}{\pi} = 1.2805$$

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4. 求 100 年重現期洪峰流量

$$Q_{100} = \overline{Q}+K_{100}S_Q$$ $$Q_{100} = 9.22+(1.2805)(10.73)$$ $$\boxed{Q_{100}\approx22.95\ \mathrm{m^3/s}}$$

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（b）暴雨洪峰流量與重現期

本題考驗考生對 Muskingum 洪水演算法的理解與應用。包含其理論假設、參數推導以及實際計算。

(a) Muskingum 方法的假設：
Muskingum 方法是一種基於質量守恆和儲水關係的洪水演算法。其核心假設是集水區內的儲水量 $S$ 是輸入流量 $I$ 和輸出流量 $Q$ 的函數。
$S = f(I, Q)$
更具體地，Muskingum 方法假設儲水量 $S$ 與輸入流量 $I$ 和輸出流量 $Q$ 之間存在線性關係，且此關係可表示為：
$S = K [ X I + (1-X) Q ]$
其中：

• $S$：集水區的儲水量。
• $K$：常數，代表集水區的儲水時間 (Storage constant)。
• $X$：常數，代表儲水函數中輸入流量 $I$ 和輸出流量 $Q$ 的權重係數 (Weighting factor)。$X$ 的值介於 0 到 1 之間。
• $I$：在某時間點的輸入流量（流入集水區的流量）。
• $Q$：在該時間點的輸出流量（流出集水區的流量）。

圖示說明 (Diagram Explanation)：
想像一個集水區，其入口處的流量為 $I$，出口處的流量為 $Q$。當流量 $I$ 增加時，部分流量會被儲存在集水區內（例如在河道、窪地、土壤中），導致出口流量 $Q$ 的增加會滯後於入口流量 $I$ 的增加。Muskingum 方法利用一個數學模型來描述這種儲存效應。
儲水量 $S$ 可以看作是輸入流量 $I$ 和輸出流量 $Q$ 的加權平均流量乘以一個時間常數 $K$。

• 當 $X=0$ 時，儲水量僅與輸出流量 $Q$ 有關：$S = K Q$。這代表儲水主要受下游河道的調節作用影響。
• 當 $X=1$ 時，儲水量僅與輸入流量 $I$ 有關：$S = K I$。這代表儲水主要受上游降雨入流的影響，集水區的調蓄作用較小。
• 當 $0 < X < 1$ 時，儲水量受輸入和輸出流量的共同影響。通常 $X$ 的值越接近 0.5，代表輸入和輸出流量對儲水的影響越均衡。

假設總結：

1. 質量守恆：集水區的流量變化由輸入和輸出流量決定。
2. 儲水關係：儲水量 $S$ 是輸入流量 $I$ 和輸出流量 $Q$ 的線性函數。
3. 時間滯後：輸出流量 $Q$ 相對於輸入流量 $I$ 存在時間滯後。

【答案】Muskingum 方法的假設是集水區的儲水量 $S$ 是輸入流量 $I$ 和輸出流量 $Q$ 的線性函數 $S = K [ X I + (1-X) Q ]$，並且質量守恆。

(b) 推導 Muskingum 方法的 $C_0, C_1, C_2$ 參數：
Muskingum 方法的離散化形式是基於質量守恆和儲水關係。
考慮兩個連續的時間點 $t_1$ 和 $t_2$（例如 $t_2 = t_1 + \Delta t$）。
根據質量守恆，在時間段 $\Delta t$ 內，流入集水區的總水量減去流出的總水量等於儲水量的變化：
$\int_{t_1}^{t_2} I(t) dt - \int_{t_1}^{t_2} Q(t) dt = S(t_2) - S(t_1)$
在離散形式下，我們可以近似為：
$\frac{I_1 + I_2}{2} \Delta t - \frac{Q_1 + Q_2}{2} \Delta t = S_2 - S_1$
其中 $I_1, Q_1$ 是時間點 $t_1$ 的流量，$I_2, Q_2$ 是時間點 $t_2$ 的流量。
我們有儲水公式：
$S_1 = K [ X I_1 + (1-X) Q_1 ]$
$S_2 = K [ X I_2 + (1-X) Q_2 ]$

將 $S_1, S_2$ 代入質量守恆方程式：
$\frac{I_1 + I_2}{2} \Delta t - \frac{Q_1 + Q_2}{2} \Delta t = K [ X I_2 + (1-X) Q_2 ] - K [ X I_1 + (1-X) Q_1 ]$
$\frac{\Delta t}{2} (I_1 + I_2 - Q_1 - Q_2) = K X (I_2 - I_1) + K (1-X) (Q_2 - Q_1)$
$\frac{\Delta t}{2} I_1 + \frac{\Delta t}{2} I_2 - \frac{\Delta t}{2} Q_1 - \frac{\Delta t}{2} Q_2 = K X I_2 - K X I_1 + K (1-X) Q_2 - K (1-X) Q_1$
將所有 $I$ 項移到一邊，所有 $Q$ 項移到另一邊：
$(\frac{\Delta t}{2} + K X) I_1 + (\frac{\Delta t}{2} - K X) I_2 = (\frac{\Delta t}{2} + K (1-X)) Q_2 + (\frac{\Delta t}{2} - K (1-X)) Q_1$
整理後，我們希望得到 $Q_2$ 的形式：
$Q_2 = C_0 I_2 + C_1 I_1 + C_2 Q_1$
從上式中，我們可以推導係數：
$Q_2 \left[ \frac{\Delta t}{2} + K (1-X) \right] = (\frac{\Delta t}{2} + K X) I_1 + (\frac{\Delta t}{2} - K X) I_2 - (\frac{\Delta t}{2} - K (1-X)) Q_1$
$Q_2 = \frac{\frac{\Delta t}{2} + K X}{\frac{\Delta t}{2} + K (1-X)} I_1 + \frac{\frac{\Delta t}{2} - K X}{\frac{\Delta t}{2} + K (1-X)} I_2 - \frac{\frac{\Delta t}{2} - K (1-X)}{\frac{\Delta t}{2} + K (1-X)} Q_1$
此形式與題目給定的 $Q_2 = C_0 I_2 + C_1 I_1 + C_2 Q_1$ 形式略有差異。題目給定的公式形式通常是將時間離散化成以 $\Delta t$ 為間隔的點，並將儲水函數微分化後求解。

另一種常見的推導方法是基於以下的假設：
$S = K [ X I + (1-X) Q ]$
將此式對時間 $t$ 微分：
$\frac{dS}{dt} = K [ X \frac{dI}{dt} + (1-X) \frac{dQ}{dt} ]$
根據質量守恆，$\frac{dS}{dt} = I - Q$。
$I - Q = K X \frac{dI}{dt} + K (1-X) \frac{dQ}{dt}$
將此微分方程離散化，使用中心差分法近似導數：
$\frac{dI}{dt} \approx \frac{I_2 - I_1}{\Delta t}$
$\frac{dQ}{dt} \approx \frac{Q_2 - Q_1}{\Delta t}$
$I \approx \frac{I_1 + I_2}{2}$
$Q \approx \frac{Q_1 + Q_2}{2}$

代入上式：
$\frac{I_1 + I_2}{2} - \frac{Q_1 + Q_2}{2} = K X \frac{I_2 - I_1}{\Delta t} + K (1-X) \frac{Q_2 - Q_1}{\Delta t}$
將等式兩邊乘以 $2\Delta t$：
$\Delta t (I_1 + I_2) - \Delta t (Q_1 + Q_2) = 2 K X (I_2 - I_1) + 2 K (1-X) (Q_2 - Q_1)$
$\Delta t I_1 + \Delta t I_2 - \Delta t Q_1 - \Delta t Q_2 = 2 K X I_2 - 2 K X I_1 + 2 K (1-X) Q_2 - 2 K (1-X) Q_1$
將 $Q_2$ 項移到一邊，其他項移到另一邊：
$(\Delta t + 2 K (1-X)) Q_2 = (\Delta t - 2 K (1-X)) Q_1 + (\Delta t + 2 K X) I_1 + (\Delta t - 2 K X) I_2$
$Q_2 = \frac{\Delta t - 2 K (1-X)}{\Delta t + 2 K (1-X)} Q_1 + \frac{\Delta t + 2 K X}{\Delta t + 2 K (1-X)} I_1 + \frac{\Delta t - 2 K X}{\Delta t + 2 K (1-X)} I_2$
這個形式與題目給定的 $Q_2 = C_0 I_2 + C_1 I_1 + C_2 Q_1$ 參數形式是吻合的。
為了得到題目給定的係數形式，我們需要將分母統一成 $K(1-X) + 0.5\Delta t$。
令分母 $D = K(1-X) + 0.5\Delta t$。
則 $2D = 2K(1-X) + \Delta t$。

我們將上述推導出的係數與題目給定的係數進行比較。
題目給定的係數形式為：
$C_0 = \frac{-KX + 0.5\Delta t}{K(1-X) + 0.5\Delta t}$
$C_1 = \frac{KX + 0.5\Delta t}{K(1-X) + 0.5\Delta t}$
$C_2 = \frac{K(1-X) - 0.5\Delta t}{K(1-X) + 0.5\Delta t}$
$O_2 = C_0 I_2 + C_1 I_1 + C_2 O_1$

核心觀念

本題考查：

1. $\Phi$ 指數法求有效降雨。
2. 單位歷線（unit hydrograph）的定義與比例原理。
3. 疊加原理：不同時段有效降雨所造成的逕流歷線可相加。
4. S 曲線法：由 $1$ 小時單位歷線推求 $2$ 小時單位歷線。

單位歷線定義為：流域受「持續 $1$ 小時、有效降雨深度 $1$ cm」所產生的直接逕流歷線。

題目未另行提供 Table 2 對應的有效降雨深度，因此依研究所考題的標準慣例，將 Table 2 視為「$1$ cm、$1$ 小時有效降雨所造成的直接逕流歷線」。

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(a) 計算有效降雨

已知降雨強度以每小時降雨深度表示，且

$$\Phi=1\ \text{cm/hr}$$

每小時有效降雨為

$$P_e=\max(P-\Phi,0)$$

因此：

時段	原始降雨 $P$（cm）	$\Phi$ 損失（cm）	有效降雨 $P_e$（cm）
第 1 小時	3	1	2
第 2 小時	4	1	3
第 3 小時	2	1	1
第 4 小時	1	1	0
第 5 小時	0	1	0

故有效降雨序列為

$$\boxed{2,\ 3,\ 1,\ 0\ \text{cm}}$$

總有效降雨深度為

$$2+3+1=6\ \text{cm}$$

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(b) 計算 $1$ 小時單位歷線

方法說明

Table 2 已是由 $1$ 小時、$1$ cm 有效降雨所產生的直接逕流歷線，因此各流量值除以 $1$ cm 後，即為 $1$ 小時單位歷線。

令 $U(t)$ 表示 $1$ 小時單位歷線：

時間（hr）	0	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11
$U(t)$（cms/cm）	0	6	23	50	88	112	97	61	30	11	2	0

因此

$$\boxed{ U_{1\text{-hr}}= (0,6,23,50,88,112,97,61,30,11,2,0) \ \text{cms/cm} }$$

由有效降雨推求本次暴雨逕流歷線

本次有效降雨量依序為 $2$ cm、$3$ cm、$1$ cm，因此將單位歷線分別乘以 $2$、$3$、$1$，並錯開 $1$ 小時後相加：

$$Q(t)=2U(t)+3U(t-1)+U(t-2)$$

所得直接逕流歷線如下：

時間（hr）	0	1	2	3	4	5	6	7
$Q(t)$（cms）	0	12	64	175	349	538	618	525

時間（hr）	8	9	10	11	12	13
$Q(t)$（cms）	340	173	67	17	2	0

例如：

$$Q(3)=2(50)+3(23)+1(6)=175\ \text{cms}$$ $$Q(6)=2(97)+3(112)+1(88)=618\ \text{cms}$$

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(c) 用 S 曲線法計算 $2$ 小時單位歷線