113 年 國立成功大學水利及海洋工程學系碩士班甲組《流體力學》

本題考查牛頓黏滯定律與穩態流動的力平衡概念。

物體受到重力、支持力、油層的黏滯力。在穩態終端速度時，物體受力平衡。

已知：
物體質量 $m = 10 \, \text{kg}$
傾斜角度 $\theta = 20^\circ$
油層厚度 $\Delta y = 0.1 \, \text{mm} = 0.1 \times 10^{-3} \, \text{m}$
動力黏滯係數 $\mu = 0.5 \, \text{Ns/m}^2$
接觸面積 $A = 0.25 \, \text{m}^2$
重力加速度 $g \approx 9.81 \, \text{m/s}^2$

物體沿斜面方向受到的重力分量為 $F_g = m g \sin \theta$。
油層提供的黏滯力為 $F_{\text{viscous}} = \mu A \frac{du}{dy}$。
由於速度分佈是線性的，所以 $\frac{du}{dy} = \frac{V_{terminal}}{\Delta y}$，其中 $V_{terminal}$ 是終端速度。

本題考查流體力學中物體外形與流場互動的應用，包括阻力與馬格努斯效應。

(1) 高爾夫球的凹凸表面與阻力

高爾夫球表面的凹痕 (dimples) 主要是為了減小流體阻力，特別是減小壓力阻力 (pressure drag)。

• 光滑球體：當流體（空氣）流過光滑球體時，在球體前方會形成附著流，但在球體後方約 80 度左右會發生流水分離 (flow separation)。分離點之後會形成一個低壓的尾流區 (wake region)，這個低壓區會對球體產生一個向後的拉力，即壓力阻力。
• 凹痕球體：高爾夫球表面的凹痕會促使邊界層 (boundary layer) 延遲分離。凹痕的設計可以產生一些小型的渦流，這些渦流會將動量從主流區帶入邊界層，使得邊界層的能量增加，能夠在球體表面附著更長的時間，延遲流水分離點到更靠後的位置（例如約 110 度）。
  • 延遲分離意味著尾流區的範圍縮小，壓力分布在球體後方的壓力升高，因此減小了前後壓力差，進而顯著降低了壓力阻力。
• 摩擦阻力：雖然凹痕會增加表面粗糙度，理論上會增加摩擦阻力 (friction drag)，但對於高爾夫球這種高速運動的物體，壓力阻力遠大於摩擦阻力。因此，透過凹痕減小壓力阻力的效果，遠超過摩擦阻力增加的影響，整體阻力反而減小。

總結來說，高爾夫球的凹痕設計是為了延遲流水分離，縮小尾流區，從而大幅減小壓力阻力，提高飛行距離。

本題考查連續性方程式 (Continuity Equation) 在二維流場中的應用，以及流量的積分計算。

題目給定：

• 流體為不可壓縮流體。
• 板寬度為 $b$。
• 入口速度為均勻流 $U_0$。
• 出口速度分佈為 $u(y) = U_0 \sin\left(\frac{\pi y}{2h}\right)$。
• 從上表面流出的體積流量為 $Q$。

我們需要利用質量守恆定律（連續性方程式）來求解 $Q$。對於不可壓縮流體，連續性方程式為 $\nabla \cdot \mathbf{V} = 0$。在二維情況下，如果速度場為 $\mathbf{V} = (u(x,y), v(x,y))$，則方程式為 $\frac{\partial u}{\partial x} + \frac{\partial v}{\partial y} = 0$。

題目描述的流場是一個沿著 $x$ 方向流動的平板邊界層，其中 $y$ 方向的速度 $v$ 是一個未知量。我們假設流動是穩態的，並且只考慮 $x$ 和 $y$ 方向的速度分量。

觀察圖示，流體從左側（入口）進入，沿著 $x$ 方向流動，並在 $y$ 方向上存在速度分佈。同時，在頂部邊緣（$y=h$）有一個向外的流量 $Q$。

我們可以對整個控制體積應用質量守恆。設控制體積的範圍是從 $x=0$（入口）到某個足夠遠的 $x$ 位置（出口），以及 $y=0$ 到 $y=h$。

然而，題目給定的出口速度 $u(y)$ 似乎是指在某個特定的 $x$ 位置（假設是平板的末端）的速度分佈。更常見的描述是，入口處的速度是 $U_0$，而邊界層的厚度是 $h$。這裡的 $u(y)$ 是指沿著 $y$ 方向的速度分佈。

我們假設這個 $u(y)$ 是在平板末端（出口）的速度分佈。
入口處的流量 $Q_{in}$ 是均勻流 $U_0$ 流過寬度為 $h$ 的截面（假設流場只存在於 $y=0$ 到 $y=h$ 的區域，且 $y=0$ 是平板表面，$y=h$ 是自由表面或另一邊界）。
$Q_{in} = \int_0^h u_{in}(y) \, dy = \int_0^h U_0 \, dy = U_0 [y]_0^h = U_0 h$ (如果入口速度是 $U_0$ 並且在 $y$ 方向上延伸到 $h$)。
但是，題目圖示表明 $U_0$ 是入口的平均速度或自由流速度，並且流場範圍是 $0 \le y \le h$。
所以，入口的總流量是 $Q_{in} = U_0 \times (b \times h)$，假設 $U_0$ 是穿過 $b \times h$ 截面的平均速度。

更常見的解釋是，$U_0$ 是自由流速度，而 $u(y)$ 是在某個 $x$ 位置的速度剖面。
如果我們考慮一個控制體積，其左邊界是入口截面（寬度 $b$，高度 $h$），右邊界是出口截面，頂部邊界是 $y=h$ 處的流出 $Q$，底部邊界是 $y=0$ 處的平板。

根據質量守恆，進入控制體積的總質量率等於離開控制體積的總質量率。
對於不可壓縮流體，即體積流量守恆。

設入口截面在 $x=0$，出口截面在 $x=L$。
入口的總流量 $Q_{in} = \int_0^h U_0 \, dy \times b = U_0 h b$ (假設 $U_0$ 在入口處是均勻的，且流場高度是 $h$)。

本題考查質量守恆定律（連續性方程式）在連續流動系統中的應用。要保持水槽水位不變，意味著進入水槽的總體積流量必須等於離開水槽的總體積流量。

我們定義幾個點：

• 斷面 1：入口管路，速度 $v_1 = 5 \, \text{m/s}$，直徑 $D_1 = 4 \, \text{cm} = 0.04 \, \text{m}$。
• 斷面 3：另一個入口，流量 $Q_3 = 0.02 \, \text{m}^3/\text{s}$。
• 斷面 2：出口管路，速度 $v_2$（待求），直徑 $D_2 = 6 \, \text{cm} = 0.06 \, \text{m}$。
• 水槽水位 $h$ 保持不變。

首先，計算斷面 1 的流量 $Q_1$。斷面 1 是圓管，其截面積 $A_1$ 為：
$A_1 = \frac{\pi D_1^2}{4} = \frac{\pi (0.04 \, \text{m})^2}{4} = \frac{\pi \times 0.0016}{4} \, \text{m}^2 = 0.0004 \pi \, \text{m}^2$

斷面 1 的體積流量 $Q_1$ 為：
$Q_1 = A_1 v_1 = (0.0004 \pi \, \text{m}^2) \times (5 \, \text{m/s}) = 0.002 \pi \, \text{m}^3/\text{s}$

計算 $0.002 \pi \approx 0.002 \times 3.14159 \approx 0.006283 \, \text{m}^3/\text{s}$。

進入水槽的總體積流量為 $Q_{in} = Q_1 + Q_3$。
$Q_{in} = 0.002 \pi \, \text{m}^3/\text{s} + 0.02 \, \text{m}^3/\text{s}$
$Q_{in} \approx 0.006283 \, \text{m}^3/\text{s} + 0.02 \, \text{m}^3/\text{s} = 0.026283 \, \text{m}^3/\text{s}$。

本題考查流體力學中的相似性原理，特別是重力相似 (Froude similarity) 和黏性相似 (Reynolds similarity) 在船舶模型試驗中的應用。由於題目沒有明確指出是哪種相似準則，但通常船體在水中的運動主要受重力和慣性力影響，因此以 Froude 數相似為主要考量。

相似準則：
為了使模型試驗的結果能正確反映原型的情況，模型與原型之間的某些無因次參數必須相等。對於船舶，主要的相似準則有：

1. 雷諾數相似 (Reynolds similarity)：$Re = \frac{\rho V L}{\mu}$。這主要影響黏性力與慣性力的比值，對於黏性阻力（摩擦阻力）很重要。
2. 傅汝德數相似 (Froude similarity)：$Fr = \frac{V}{\sqrt{gL}}$。這主要影響重力與慣性力的比值，對於波浪阻力（興波阻力）很重要。

題目給定模型比例 $L_m / L_p = 1/50$。
模型中的水流速度 $V_m = 1 \, \text{m/s}$。
模型中的阻力 $F_{D,m} = 0.02 \, \text{N}$。

我們需要計算原型中的阻力 $F_{D,p}$ 和原型中的水流速度 $V_p$。

假設以傅汝德數相似為主 (通常這是船舶模型試驗的主要準則，因為波浪阻力在船體運動中佔有重要比例)：
$Fr_m = Fr_p$
$\frac{V_m}{\sqrt{g L_m}} = \frac{V_p}{\sqrt{g L_p}}$
$\frac{V_m}{\sqrt{L_m}} = \frac{V_p}{\sqrt{L_p}}$
$\frac{V_p}{V_m} = \sqrt{\frac{L_p}{L_m}} = \sqrt{50}$
$V_p = V_m \sqrt{50} = 1 \, \text{m/s} \times \sqrt{50} \approx 1 \times 7.071 \, \text{m/s} = 7.071 \, \text{m/s}$。

接下來計算原型中的阻力。總阻力 $F_D$ 通常可以分解為摩擦阻力 $F_{friction}$ 和其他阻力（如壓力阻力、興波阻力等）$F_{other}$。
$F_D = F_{friction} + F_{other}$。
無因次阻力係數 $C_D$ 定義為 $F_D = \frac{1}{2} \rho V^2 A C_D$，其中 $A$ 是參考面積。
$C_D = \frac{2 F_D}{\rho V^2 A}$。

如果我們假設模型和原型中的阻力係數 $C_D$ 相同（這意味著這兩種阻力形式的相對比例在模型和原型中都相同），那麼：
$C_{D,m} = C_{D,p}$
$\frac{2 F_{D,m}}{\rho_m V_m^2 A_m} = \frac{2 F_{D,p}}{\rho_p V_p^2 A_p}$

假設模型和原型都在水中進行試驗，則水的密度相同 $\rho_m = \rho_p$。
參考面積 $A$ 與長度尺寸的平方成正比，所以 $A_p / A_m = (L_p / L_m)^2 = 50^2 = 2500$。

$\frac{F_{D,m}}{V_m^2 A_m} = \frac{F_{D,p}}{V_p^2 A_p}$
$F_{D,p} = F_{D,m} \left(\frac{V_p}{V_m}\right)^2 \left(\frac{A_p}{A_m}\right)$
$F_{D,p} = F_{D,m} (\sqrt{50})^2 (50^2)$
$F_{D,p} = F_{D,m} \times 50 \times 2500$
$F_{D,p} = 0.02 \, \text{N} \times 125000 = 2500 \, \text{N}$。

然而，這種假設 $C_{D,m} = C_{D,p}$ 僅在滿足所有相似準則時才成立。
在船舶試驗中，通常採用傅汝德數相似來確定速度比，但這並不保證雷諾數也相似。
$Re_m = \frac{\rho V_m L_m}{\mu}$
$Re_p = \frac{\rho V_p L_p}{\mu} = \frac{\rho (V_m \sqrt{50}) (L_m \times 50)}{\mu} = 50 \sqrt{50} Re_m \approx 353.5 Re_m$。
由於 $Re_m$ 和 $Re_p$ 通常差異很大，黏性阻力（摩擦阻力）的比例在模型和原型中是不同的。

總阻力 $F_D$ 通常分解為：
$F_D = F_{wave} + F_{friction}$ (對於船體，波浪阻力 $F_{wave}$ 很重要)
$F_{wave}$ 與 $\rho V^2 L^2$ 成正比，其無因次係數 $C_{wave}$ 僅取決於傅汝德數。
$F_{friction}$ 與 $\rho V^2 L^2$ 成正比，其無因次係數 $C_{friction}$ 僅取決於雷諾數。

若模型試驗僅滿足傅汝德數相似，則：
$C_{wave,m} = C_{wave,p}$
$C_{D,m} = C_{friction,m} + C_{wave,m}$
$C_{D,p} = C_{friction,p} + C_{wave,p}$

我們知道：
$F_{D,m} = \frac{1}{2} \rho V_m^2 A_m C_{D,m}$
$F_{wave,m} = \frac{1}{2} \rho V_m^2 A_m C_{wave,m}$
$F_{friction,m} = \frac{1}{2} \rho V_m^2 A_m C_{friction,m}$

從模型試驗我們得到：
$0.02 \, \text{N} = \frac{1}{2} \rho V_m^2 A_m C_{D,m}$

由於 $C_{wave,m} = C_{wave,p}$，我們可以計算出模型中的波浪阻力 $F_{wave,m}$ 和摩擦阻力 $F_{friction,m}$ 的比例。
通常，摩擦阻力可以透過 ITTC 57 公式估算：$C_{friction} = \frac{0.075}{(\log_{10} Re - 2)^2}$。
然而，題目沒有提供足夠資訊（如水的物性參數 $\rho, \mu$、模型參考面積 $A_m$）來計算 $Re_m$ 和 $C_{friction,m}$。

若題目意圖是直接應用相似性，並且忽略掉雷諾數不匹配的問題，那麼上面的計算 ($F_{D,p} = 2500 \, \text{N}$) 是最直接的結果。
但這是基於 $C_{D,m} = C_{D,p}$ 的假設。

更標準的做法是：

1. 根據傅汝德數相似計算速度比：$V_p = V_m \sqrt{L_p/L_m} = 1 \times \sqrt{50} \approx 7.071 \, \text{m/s}$。
2. 計算模型中的阻力係數（需要參考面積 $A_m$，若無則假設 $A$ 與 $L^2$ 成正比，即 $A_p/A_m = (L_p/L_m)^2 = 50^2 = 2500$）。
   $C_{D,m} = \frac{2 F_{D,m}}{\rho V_m^2 A_m}$。
3. 將模型中的阻力分解為波浪阻力和摩擦阻力。
   $F_{D,m} = F_{wave,m} + F_{friction,m}$。
4. 由於傅汝德數相似，波浪阻力係數相同：$C_{wave,p} = C_{wave,m}$。