108 年 國立成功大學機械工程學系碩士班丙組《動力學及專業英文》

此題為專業英文翻譯題，主要考驗考生對機械工程相關術語的英文詞彙量。請依序翻譯如下：
(1) 正齒輪： Spur Gear
(2) 空氣軸承： Air Bearing
(3) 滾珠螺桿： Ball Screw
(4) 葉片彈簧： Leaf Spring
(5) 鉚釘： Rivet
(6) 螺絲： Screw

核心觀念

本題考察平面剛體平移運動的：

• 牛頓第二定律：$\sum F_x=ma$
• 垂直方向力平衡：$\sum F_y=0$
• 對重心取力矩：$\sum M_G=0$
• 輪胎摩擦力：$F=\mu N$

依圖判讀幾何尺寸：

• $A$ 到重心 $G$：$6\ \text{m}$
• 重心 $G$ 到 $B$：$26\ \text{m}$
• 推力作用線距地面：$3\ \text{m}$
• 重心距推力作用線：$2\ \text{m}$，故重心距地面為 $5\ \text{m}$

因此 $A$ 到 $B$ 的總距離為 $32\ \text{m}$。

已知

令輪胎 $A,B$ 的集中法向力分別為 $N_A,N_B$。

解題方法

水平方向向右為正，法向力向上。

垂直方向沒有加速度，因此

對重心 $G$ 取力矩。推力作用線位於重心下方 $2\ \text{m}$，產生逆時針力矩；法向力 $N_A,N_B$ 的力臂分別為 $6\ \text{m}$、$26\ \text{m}$。

（1）忽略水平摩擦力

水平方向：

所以飛機加速度為

對重心取力矩：

由式（1）得

代入式（2）：

再由式（1）：

（2）考慮摩擦力，$\mu=0.1$

各輪胎的摩擦力為

總摩擦力為

核心觀念

本題使用「剛體繞固定軸轉動的能量守恆」：

其中包含：

• 剛體轉動動能：$T=\frac12 I_O\omega^2$
• 重力位能變化
• 彈簧變形能：$U_s=\frac12 k(l-l_0)^2$

初始位置為垂直，末位置為水平，且末端角速度為零。

幾何關係

取旋轉中心為 $O$，彈簧連接點距離旋轉中心 $1\ \text{m}$。由圖可知，牆上固定端與旋轉軸線的水平距離為 $0.1\ \text{m}$。

初始垂直位置：

彈簧原長為：

因此初始彈簧為壓縮狀態，變形量為：

末位置為水平時，彈簧連接點相對於牆上固定端的水平距離為：

垂直距離為 $1\ \text{m}$，故：

末狀態彈簧變形量：

初始轉動動能

均勻桿繞端點的轉動慣量：

末端集中質量的轉動慣量：

總轉動慣量：

初始角速度為 $3\ \text{rad/s}$，故：

此題考驗平面相對運動與絕對運動的分析，以及速度疊加原理。我們需要利用向量法或座標法來求解各點的速度。

1. 建立座標系與已知條件
設 O 為所有連桿的旋轉中心（如果有的話），但此處 A、B、C 是滑塊，連桿是 AB 和 BC。
我們直接分析 A、B、C 三點的速度。
設水平方向為 x 軸，垂直方向為 y 軸。
滑塊 A 在水平軌道上，速度 $v_A$ 沿 x 軸方向。
滑塊 C 在水平軌道上，速度 $v_C$ 沿 x 軸方向。
滑塊 B 在傾斜軌道上，速度 $v_B = 1 \text{ m/s}$，方向與 $60^\circ$ 軌道平行，向上。

2. 分析滑塊 B 的速度
滑塊 B 的速度 $v_B$ 可以分解為水平和垂直分量。
$v_{Bx} = v_B \cos(60^\circ) = 1 \times \frac{1}{2} = 0.5 \text{ m/s}$。
$v_{By} = v_B \sin(60^\circ) = 1 \times \frac{\sqrt{3}}{2} \approx 0.866 \text{ m/s}$。

3. 分析連桿 AB 的運動
連桿 AB 的長度為 $L_{AB} = 0.6 \text{ m}$。
A 點的速度 $v_A$ 沿水平方向。
B 點的速度 $v_B$ 有水平分量 $v_{Bx}$ 和垂直分量 $v_{By}$。
連桿 AB 的角速度為 $\omega_{AB}$。
B 相對於 A 的速度 $v_{B/A}$。
$v_B = v_A + v_{B/A}$。
$v_{B/A}$ 的方向垂直於連桿 AB。
連桿 AB 與水平夾角為 $20^\circ$。
所以 $v_{B/A}$ 的方向與水平夾角為 $20^\circ + 90^\circ = 110^\circ$ 或 $20^\circ - 90^\circ = -70^\circ$。

我們將速度向量分解到垂直於連桿 AB 的方向和沿連桿 AB 的方向。
或者，我們使用速度疊加。
$v_B = v_A + \omega_{AB} \times \vec{r}_{B/A}$，其中 $\vec{r}_{B/A}$ 是從 A 到 B 的向量。
或者，將速度分解到水平和垂直方向。
$v_B = v_A + \omega_{AB} \vec{k} \times (L_{AB} (\cos 20^\circ \vec{i} + \sin 20^\circ \vec{j}))$
$\vec{v}_B = v_{Bx} \vec{i} + v_{By} \vec{j}$
$\vec{v}_A = v_A \vec{i}$
$\vec{\omega}_{AB} = \omega_{AB} \vec{k}$

使用速度分解法更直接。
連桿 AB 的角速度 $\omega_{AB}$。
B 相對於 A 的速度 $v_{B/A}$。
$v_{B/A}$ 的方向垂直於連桿 AB。
連桿 AB 與水平夾角為 $20^\circ$。
所以 $v_{B/A}$ 的方向與水平夾角為 $20^\circ \pm 90^\circ$。
如果 $\omega_{AB}$ 為正 (逆時針)，則 $v_{B/A}$ 的方向與 AB 夾角為 $+90^\circ$。
如果 $\omega_{AB}$ 為負 (順時針)，則 $v_{B/A}$ 的方向與 AB 夾角為 $-90^\circ$。

連桿 AB 的方向向量：$\vec{u}_{AB} = (\cos 20^\circ, \sin 20^\circ)$。
垂直於 AB 的方向向量：$\vec{u}_{\perp AB} = (-\sin 20^\circ, \cos 20^\circ)$ (逆時針方向)。

$v_B = v_A + v_{B/A}$
$\vec{v}_B = v_A \vec{i} + \omega_{AB} \vec{k} \times (L_{AB} \vec{u}_{AB})$
$\vec{v}_B = v_A \vec{i} + \omega_{AB} L_{AB} (\vec{k} \times (\cos 20^\circ \vec{i} + \sin 20^\circ \vec{j}))$
$\vec{v}_B = v_A \vec{i} + \omega_{AB} L_{AB} (-\sin 20^\circ \vec{i} + \cos 20^\circ \vec{j})$

將 $\vec{v}_B = v_{Bx} \vec{i} + v_{By} \vec{j}$ 代入：
$v_{Bx} = v_A - \omega_{AB} L_{AB} \sin 20^\circ$ (1)
$v_{By} = \omega_{AB} L_{AB} \cos 20^\circ$ (2)

已知 $v_{Bx} = 0.5 \text{ m/s}$， $v_{By} = \sqrt{3}/2 \text{ m/s}$。
$L_{AB} = 0.6 \text{ m}$。
$\sin 20^\circ \approx 0.342$
$\cos 20^\circ \approx 0.940$

從 (2) 式：
$\frac{\sqrt{3}}{2} = \omega_{AB} (0.6) (0.940)$
$\omega_{AB} = \frac{\sqrt{3}/2}{0.6 \times 0.940} = \frac{0.866}{0.564} \approx 1.535 \text{ rad/s}$ (逆時針)。

從 (1) 式：
$0.5 = v_A - (1.535) (0.6) (0.342)$
$0.5 = v_A - 1.535 \times 0.2052$
$0.5 = v_A - 0.315$
$v_A = 0.5 + 0.315 = 0.815 \text{ m/s}$。

所以，滑塊 A 的速度 $v_A = 0.815 \text{ m/s}$ (向右)。
連桿 AB 的角速度 $\omega_{AB} \approx 1.535 \text{ rad/s}$ (逆時針)。

4. 分析連桿 BC 的運動
連桿 BC 的長度為 $L_{BC} = 0.4 \text{ m}$。
B 點的速度 $\vec{v}_B = (0.5, \sqrt{3}/2)$。
C 點的速度 $v_C$ 沿水平方向。
連桿 BC 的角速度為 $\omega_{BC}$。
C 相對於 B 的速度 $v_{C/B}$。
$v_C = v_B + v_{C/B}$。
$v_{C/B}$ 的方向垂直於連桿 BC。
連桿 BC 與水平夾角為 $30^\circ$。
所以 $v_{C/B}$ 的方向與水平夾角為 $30^\circ \pm 90^\circ$。

同樣使用速度分解法。
$\vec{v}_C = v_C \vec{i}$
$\vec{v}_B = v_{Bx} \vec{i} + v_{By} \vec{j}$
$\vec{\omega}_{BC} = \omega_{BC} \vec{k}$