113 年 國立成功大學機械工程學系碩士班丙組《動力學及專業英文》

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第 1 題25 分

The gear is defined as a toothed member designed to transmit motion to or receive motion from another toothed member, by means of successively engaged teeth. The two gears are rotatable around axes whose relative positions are fixed, and they form a gear pair. The torque from the driving shaft to the driven one in a gear drive is transmitted due to the pressure of the teeth of the pinion (the gear in a pair which has the smaller number of teeth) on those of the wheel (the gear in a pair which has the greater number of teeth). To preserve a constant transmission ratio, the teeth of both pinion and wheel should have conjugate profiles.

Parallel and co-planer shafts connected by gears are called spur gears. Spur gears have straight teeth and are parallel to the axis of the wheel. The advantages of spur gears are their simplicity in design, and economy of manufacture and maintenance. Spur gears are known as slow speed gears. If noise is not a serious design problem, spur gears can be used at almost any speed.

Helical gears have their teeth inclined to the axis of the shafts in the form of a helix. These gears are usually thought of as high-speed gears. Helical gears can take higher loads than similarly sized spur gears. The motion of helical gears is smoother and quieter than the motion of spur gears.

Intersecting but coplanar shafts connected by gears are called bevel gears. Straight bevel gears can be used on shafts at any angle, but right angle is the most common. Bevel gears can be used to change the direction of drive in a gear system by 90 degrees.

(a) Define a gear in your own words.
(b) Name and describe the characteristics of the gear type mentioned in Paragraph 2.
(c) Explain the primary advantages of helical gears mentioned in Paragraph 3.
(d) What are bevel gears typically used for, and what angle is most commonly associated with their application?
(e) What is the primary advantage of using helical gears over spur gears in high-speed applications?

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這一題的完整詳解

好的，這是一份針對國立成功大學機械工程學系 113 學年度碩士班招生考試「動力學及專業英文」考古題第一題的詳解。

這題主要考驗學生對齒輪基本概念、不同種類齒輪的特性與應用，以及比較不同齒輪優劣的能力。題目透過一段關於齒輪的介紹文字，引導學生回答五個小題，涵蓋了定義、特性描述、優勢解釋和應用場景的理解。

第 1 題詳解

核心觀念：
本題旨在評估考生對齒輪傳動系統基本原理、不同類型齒輪（斜齒輪、直齒輪、錐齒輪）的結構特徵、工作原理、優缺點及應用場景的理解程度。題目要求學生不僅能從給定的文字中提取資訊，還需能用自己的話進行定義和解釋，並能進行比較分析。

(a) 用你自己的話定義齒輪。

解題過程：
題目第一段提供了齒輪的定義：「The gear is defined as a toothed member designed to transmit motion to or receive motion from another toothed member, by means of successively engaged teeth.」學生需要將此定義轉化為自己的語言，抓住關鍵要素：有齒的部件、用於傳遞或接收運動、透過輪齒的嚙合實現。

詳解：
齒輪是一種帶有齒的機械元件，其主要功能是透過與另一個帶有齒的元件（另一個齒輪）相互嚙合的輪齒，來傳遞或接收運動。這種嚙合是連續且交替發生的，從而實現動力或運動的傳遞。

【答案】

(b) 說出並描述第二段中提到的齒輪種類的特性。

解題過程：
第二段文字介紹了「Spur gears」（直齒輪）。學生需要從該段文字中提取出直齒輪的名稱和其主要特徵。關鍵資訊包括：齒的形狀（直齒）、齒相對於輪軸的方向（平行於輪軸）、以及其優勢（設計簡單、製造和維護經濟）和被稱為「慢速齒輪」的特性。

詳解：
第二段中提到的齒輪種類是直齒輪 (Spur gears)。
其特性如下：

  • 齒的形狀： 具有直齒，且這些直齒平行於齒輪的軸線。
  • 軸的配置： 用於連接平行且共面的軸。
  • 優勢： 設計簡單，製造和維護成本經濟。
  • 速度特性： 通常被認為是慢速齒輪。然而，如果噪音不是主要考量，直齒輪幾乎可以用於任何速度。

【答案】

(c) 解釋第三段中提到的斜齒輪的主要優勢。

解題過程：
第三段文字介紹了「Helical gears」（斜齒輪）。學生需要從該段文字中找出斜齒輪相較於其他齒輪（在此脈絡下，主要是與直齒輪比較）的主要優勢。關鍵資訊包括：齒的形狀（傾斜於軸線形成螺旋線）、被認為是高速齒輪、能承受更高的負載、以及運動更平穩且更安靜。題目要求解釋「主要優勢」，因此應聚焦於其在承載能力和運行平穩性上的提升。

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第 2 題25 分

Gear A has a mass of 10 kg and a radius of gyration of 200 mm, and gear B has a mass of 3 kg and a radius of gyration of 80 mm. The system is at rest when a couple M of magnitude 6 N·m is applied to gear B. Neglecting friction, determine (a) the number of revolutions executed by gear B before its angular velocity reaches 600 rpm, (b) the tangential force which gear B exerts on gear A.

🖼️【此處有附圖，請對照原卷】
(a) the number of revolutions executed by gear B before its angular velocity reaches 600 rpm
(b) the tangential force which gear B exerts on gear A

🖼️ 本題含圖表，以下為原卷對應頁面：
原卷第 2 頁原卷第 3 頁

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核心觀念

本題考查剛性齒輪系統的：

  • 質量轉動慣量：

    I=mk2I=mk^2

  • 齒輪嚙合的切線速度關係：

    rAωA=rBωBr_A\omega_A=r_B\omega_B

  • 功—能原理：外加力偶所作的功，轉換為兩齒輪的轉動動能：

    MθB=12IAωA2+12IBωB2M\theta_B=\frac12 I_A\omega_A^2+\frac12 I_B\omega_B^2

題目文字未提供圖中齒輪節圓半徑 rA、rBr_A、r_B 或齒數，因此數值答案必須以齒輪半徑比表示。

已知資料

齒輪 AA：

mA=10 kg,kA=0.2 mm_A=10\ \text{kg},\qquad k_A=0.2\ \text{m}

IA=mAkA2=10(0.2)2=0.400 kg⋅m2I_A=m_Ak_A^2=10(0.2)^2=0.400\ \text{kg}\cdot\text{m}^2

齒輪 BB：

mB=3 kg,kB=0.08 mm_B=3\ \text{kg},\qquad k_B=0.08\ \text{m}

IB=mBkB2=3(0.08)2=0.0192 kg⋅m2I_B=m_Bk_B^2=3(0.08)^2=0.0192\ \text{kg}\cdot\text{m}^2

齒輪 BB 的最終角速度為

ωB=600revmin=20π rad/s\omega_B=600\frac{\text{rev}}{\text{min}} =20\pi\ \text{rad/s}

令

λ=rBrA\lambda=\frac{r_B}{r_A}

由齒輪嚙合條件，

ωA=λωB\omega_A=\lambda\omega_B

兩齒輪旋轉方向相反，但動能只與角速度平方有關。

解題方法

採用功—能原理。系統由靜止開始，因此初始動能為零。外加力偶 M=6 N⋅mM=6\ \text{N}\cdot\text{m} 對齒輪 BB 作功：

MθB=12IAωA2+12IBωB2M\theta_B = \frac12 I_A\omega_A^2+\frac12 I_B\omega_B^2

代入 ωA=λωB\omega_A=\lambda\omega_B：

MθB=12(IAλ2+IB)ωB2M\theta_B = \frac12\left(I_A\lambda^2+I_B\right)\omega_B^2

因此

θB=(IAλ2+IB)ωB22M\theta_B = \frac{\left(I_A\lambda^2+I_B\right)\omega_B^2}{2M}

齒輪 BB 的轉數為 NB=θB/(2π)N_B=\theta_B/(2\pi)，所以

NB=(IAλ2+IB)ωB24πMN_B = \frac{\left(I_A\lambda^2+I_B\right)\omega_B^2}{4\pi M}

代入數值：

NB=[0.400λ2+0.0192](20π)24π(6)N_B = \frac{\left[0.400\lambda^2+0.0192\right](20\pi)^2}{4\pi(6)}
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第 3 題25 分

The Geneva wheel is a mechanism for producing intermittent rotation. Pin P in the integral unit of wheel A and locking plate B engages the radial slots in wheel C, thus turning wheel C one-fourth of a revolution for each revolution of the pin. At the engagement position shown, θ=45∘\theta=45^\circ. For a constant clockwise angular velocity ωA=2\omega_A=2 rad/s of wheel A, determine the corresponding counterclockwise angular velocity ωC\omega_C of wheel C for θ=20∘\theta=20^\circ.

🖼️【此處有附圖，請對照原卷】

🖼️ 本題含圖表，以下為原卷對應頁面：
原卷第 3 頁

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核心觀念

本題考查 Geneva wheel 的瞬時運動關係。銷釘 PP 位於輪 CC 的徑向槽內，因此 PP 相對於輪 CC 的速度必須沿著槽方向。換言之，PP 與輪 CC 接觸點的速度，在「垂直於槽」方向的分量相同。

設 O1O_1 為輪 AA 的中心、O2O_2 為輪 CC 的中心，則由圖：

O1O2=200 mm,O1P=2002 mmO_1O_2=200\ \text{mm},\qquad O_1P=\frac{200}{\sqrt{2}}\ \text{mm}

令逆時針為正方向，則輪 AA 順時針轉動：

ωA=−2 rad/s\omega_A=-2\ \text{rad/s}

解題方法

取向量

r1=O1P→,r2=O2P→\mathbf r_1=\overrightarrow{O_1P},\qquad \mathbf r_2=\overrightarrow{O_2P}

因為相對速度 vP/C\mathbf v_{P/C} 沿著徑向槽 r2\mathbf r_2，所以

r2×(vP−vC)=0\mathbf r_2\times(\mathbf v_P-\mathbf v_C)=0

銷釘 PP 的速度為

vP=ωA×r1\mathbf v_P=\boldsymbol{\omega}_A\times\mathbf r_1

輪 CC 上同一接觸點的速度為

vC=ωC×r2\mathbf v_C=\boldsymbol{\omega}_C\times\mathbf r_2

利用平面向量關係，可得

ωC=ωAr1⋅r2r22\omega_C = \omega_A \frac{\mathbf r_1\cdot\mathbf r_2}{r_2^2}

其中

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第 4 題25 分

The robotic device consists of the stationary pedestal OA, arm AB pivoted at A, and arm BC pivoted at B. Member AB is rotating about joint A with a counterclockwise angular velocity of 2 rad/s, and this rate is increasing at 4 rad/s². Determine the moment MBM_B exerted by arm AB on arm BC if joint B is held in a locked condition. The mass of arm BC is 4 kg, and the arm may be treated as a uniform slender rod.

🖼️【此處有附圖，請對照原卷】

🖼️ 本題含圖表，以下為原卷對應頁面：
原卷第 3 頁

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核心觀念

本題使用剛體平面運動的牛頓—歐拉方程：

∑F=maG\sum \mathbf{F}=m\mathbf{a}_G ∑MG=IGα\sum M_G=I_G\alpha

因為關節 BB 處於鎖定狀態，故桿 BCBC 與桿 ABAB 具有相同的角速度與角加速度：

ωBC=2 rad/s,αBC=4 rad/s2\omega_{BC}=2\ \text{rad/s},\qquad \alpha_{BC}=4\ \text{rad/s}^2

由圖可知：

  • AB=700 mm=0.7 mAB=700\ \text{mm}=0.7\ \text{m}
  • BC=350 mm=0.35 mBC=350\ \text{mm}=0.35\ \text{m}
  • ABAB 與 BCBC 垂直
  • ABAB 與水平夾角為 45∘45^\circ
  • m=4 kgm=4\ \text{kg}

取逆時針為正。

解題方法

1. 求關節 BB 的加速度

位置向量為

rB/A=0.7(cos⁡45∘ i+sin⁡45∘ j)=(0.49497 i+0.49497 j) m\mathbf{r}_{B/A} =0.7(\cos45^\circ\,\mathbf{i}+\sin45^\circ\,\mathbf{j}) =(0.49497\,\mathbf{i}+0.49497\,\mathbf{j})\ \text{m}

剛體繞固定點 AA 轉動，因此

aB=α×rB/A−ω2rB/A\mathbf{a}_B =\boldsymbol{\alpha}\times\mathbf{r}_{B/A} -\omega^2\mathbf{r}_{B/A}

代入 α=4 rad/s2\alpha=4\ \text{rad/s}^2、ω=2 rad/s\omega=2\ \text{rad/s}：

aB=(−3.9598 i) m/s2\mathbf{a}_B=(-3.9598\,\mathbf{i})\ \text{m/s}^2

2. 求桿 BCBC 質心 GG 的加速度

桿 BCBC 長度為 0.35 m0.35\ \text{m}，其質心至 BB 的位置向量為

rG/B=0.175(cos⁡(−45∘)i+sin⁡(−45∘)j)\mathbf{r}_{G/B} =0.175(\cos(-45^\circ)\mathbf{i}+\sin(-45^\circ)\mathbf{j}) rG/B=(0.12374 i−0.12374 j) m\mathbf{r}_{G/B} =(0.12374\,\mathbf{i}-0.12374\,\mathbf{j})\ \text{m}

因此

aG=aB+α×rG/B−ω2rG/B\mathbf{a}_G =\mathbf{a}_B+\boldsymbol{\alpha}\times\mathbf{r}_{G/B} -\omega^2\mathbf{r}_{G/B}
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