111 年 國立成功大學機械工程學系碩士班丙組《動力學及專業英文》

核心觀念

本題考查兩個機械工程專有概念的中譯英：

1. 齒輪基本定律（fundamental law of gearing）
   一對齒輪若要維持固定的角速度比，則兩齒在接觸點的公法線必須通過齒輪連心線上的固定節點。

2. 動平衡（dynamic balancing）
   旋轉物體的旋轉軸若通過質心，且物體對該旋轉軸的慣性積為零，則旋轉時不會產生不平衡的離心力與力矩，稱為動平衡。

解題方法

翻譯機械工程句子時，先辨認：

• 條件：若……、當……
• 專有名詞：等速比、公法線、連心線、固定點、質心、慣性積、動平衡、軸承
• 結論：必須……、稱為……、僅受……

英文句型應維持原文的「條件 → 結論」結構，並使用機械工程慣用術語。

（1）齒輪固定速比

「以等速比轉動」可譯為 rotate with a constant velocity ratio；
「兩齒在接觸點的公法線」可譯為 the common normal to the mating teeth at the point of contact；
「齒輪連心線」為 the line of centers of the gears；
「交於一固定點」為 intersect at a fixed point。

此句即齒輪基本定律的英文表述。

（2）動平衡

「旋轉軸通過質心」為 the axis of rotation passes through the center of mass；
「對該軸的慣性積為零」為 the product of inertia about that axis is zero；
「稱為動平衡」為 the body is said to be dynamically balanced；
「軸承僅受重力」可譯為 the bearings are subjected only to gravitational forces。

其中「此時」表示前述條件成立後的結果，因此使用 In this case 連接最自然。

選項分析

本題為翻譯題，沒有選擇題選項，故無需逐一判斷選項正誤。評分重點在於：

核心觀念

本題考查：

• 均勻半圓形薄管的質心位置與質心慣性矩。
• 剛體平面運動的牛頓－歐拉方程。
• 純滾動條件下，接觸點的瞬時加速度關係。
• 靜摩擦力的臨界條件 $\mu_s=f/N$。

設半圓薄管半徑為 $r$，質量為 $m$。由圖可知，接觸地面的最低點為 $C$，且

$$OG=\frac{2r}{\pi},\qquad CG=r-\frac{2r}{\pi} =r\left(1-\frac{2}{\pi}\right)$$

令

$$h=CG=r\left(1-\frac{2}{\pi}\right)$$

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(a) 質心慣性矩

半圓形薄管上每一質量元素到 $O$ 的距離皆為 $r$，因此關於垂直紙面的 $O$ 軸：

$$I_O=mr^2$$

利用平行軸定理：

$$I_O=I_G+m\left(\frac{2r}{\pi}\right)^2$$

所以

$$\boxed{ I_G=mr^2\left(1-\frac{4}{\pi^2}\right) }$$

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(b) 初始角加速度

取水平方向向右為正，逆時針角加速度為正。初始瞬間物體靜止，因此純滾動條件給出質心加速度

$$a_G=-\alpha h$$

其中 $a_G$ 為水平方向加速度；質心沒有垂直加速度。

圖中力 $P$ 的作用線距離 $O$ 為 $r/2$，而 $G$ 位於 $O$ 的正下方，因此力 $P$ 對 $G$ 的力矩為

$$-\frac{Pr}{2}$$

設接觸點的摩擦力為 $f$，向右為正。水平方向力平衡為

$$f=m a_G=-m\alpha h$$

再對質心 $G$ 取力矩：

$$hf-\frac{Pr}{2}=I_G\alpha$$

代入 $f=-m\alpha h$：

$$-m\alpha h^2-\frac{Pr}{2}=I_G\alpha$$

因此

$$\alpha =-\frac{Pr}{2(I_G+mh^2)}$$

計算分母：

核心觀念

本題考查滑塊曲柄機構的相對速度與相對加速度分析：

• 曲柄 $AB$ 以固定角速度轉動，因此 $\alpha_{AB}=0$。
• 連桿 $BC$ 作平面一般運動，需利用剛體相對運動公式。
• 活塞 $C$ 只能沿水平導軌運動，因此 $a_{Cy}=0$。
• 由圖取 $\theta=70^\circ$ 為曲柄 $AB$ 與水平線夾角，並以逆時針為正。

已知

$$r=AB=75\text{ mm},\qquad L=BC=175\text{ mm}$$ $$\omega_{AB} =4800\frac{\text{rev}}{\text{min}} \left(\frac{2\pi\text{ rad}}{1\text{ rev}}\right) \left(\frac{1\text{ min}}{60\text{ s}}\right) =502.65\text{ rad/s}$$

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解題方法

由幾何關係，連桿 $BC$ 的水平投影為

$$s=\sqrt{L^2-r^2\sin^2\theta}$$

因此

$$s=\sqrt{175^2-(75\sin70^\circ)^2} =160.18\text{ mm}$$

(a) 連接桿的角速度與角加速度

曲柄端點 $B$ 的速度為

$$\vec v_B =\omega_{AB}\mathbf{k}\times\vec r_{B/A}$$

其鉛直分量為

$$v_{By}=r\omega_{AB}\cos\theta$$

對連桿 $BC$ 使用相對速度式：

$$\vec v_C=\vec v_B+\vec\omega_{BC}\times\vec r_{C/B}$$

因為活塞 $C$ 僅水平運動，故 $v_{Cy}=0$。取鉛直方向分量：

$$0=r\omega_{AB}\cos\theta+\omega_{BC}s$$

所以

$$\omega_{BC} =-\frac{r\omega_{AB}\cos\theta}{s}$$

代入數值：

$$\omega_{BC} =-\frac{(75)(502.65)\cos70^\circ}{160.18} =-80.5\text{ rad/s}$$

因此連桿角速度大小為

$$\boxed{\omega_{BC}=80.5\text{ rad/s，順時針}}$$

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對連桿使用相對加速度式：

核心觀念

本題考查平面剛體運動的 Newton–Euler 方程：

1. 質心平移：
   $\sum \mathbf F=m\mathbf a_G$

2. 繞質心轉動：
   $\sum M_G=I_G\alpha$

桿 $AB$ 為均勻細桿，且輕質連桿 $DG$ 為二力構件，因此連桿對桿 $AB$ 的作用力必沿 $DG$ 方向。由圖可知 $AG=GB=0.5\ \text{m}$，且 $DG\perp AB$。

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運動學分析

取 $x$ 軸向右、$y$ 軸向上，逆時針為正。

桿 $AB$ 由 $A$ 指向 $B$ 的位置向量為

$$\mathbf r_{G/A} =0.5(\cos120^\circ\,\mathbf i+\sin120^\circ\,\mathbf j) =(-0.25\,\mathbf i+0.433\,\mathbf j)\ \text{m}$$

已知

$$\omega=-10\mathbf k\ \text{rad/s},\qquad \alpha=40\mathbf k\ \text{rad/s}^2$$

固定點 $A$ 周圍旋轉，因此

$$\mathbf a_G =\boldsymbol{\alpha}\times\mathbf r_{G/A} +\boldsymbol{\omega}\times (\boldsymbol{\omega}\times\mathbf r_{G/A})$$

其中

$$\boldsymbol{\alpha}\times\mathbf r_{G/A} =(-17.321\,\mathbf i-10\,\mathbf j)\ \text{m/s}^2$$ $$\boldsymbol{\omega}\times (\boldsymbol{\omega}\times\mathbf r_{G/A}) =-\omega^2\mathbf r_{G/A} =(25\,\mathbf i-43.301\,\mathbf j)\ \text{m/s}^2$$

故

$$\boxed{\mathbf a_G =7.679\,\mathbf i-53.301\,\mathbf j\ \text{m/s}^2}$$

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受力分析

設連桿 $DG$ 對桿 $AB$ 的作用力大小為 $F$，方向取由 $G$ 指向 $D$。由圖示幾何關係，其單位向量為

$$\mathbf u_{DG} =-\cos30^\circ\,\mathbf i-\sin30^\circ\,\mathbf j =-0.866\,\mathbf i-0.5\,\mathbf j$$

支點 $A$ 對桿的反力設為

$$\mathbf A=A_x\mathbf i+A_y\mathbf j$$

桿重力為

$$\mathbf W=-mg\mathbf j=-98.1\mathbf j\ \text{N}$$

桿質量 $m=10\ \text{kg}$，質心慣性矩為