112 年 國立成功大學機械工程學系碩士班丙組《動力學及專業英文》

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第 1 題25 分

The gear is defined as a toothed member designed to transmit motion to or receive motion from another toothed member, by means of successively engaged teeth. The two gears are rotatable around axes whose relative positions are fixed, forming a gear pair. The torque from the driving shaft to the driven one in a gear drive is transmitted due to the pressure of the teeth of the pinion on those of the wheel. To preserve a constant transmission ratio, the teeth of both pinion and wheel should have conjugate profiles.
Parallel and co-planer shafts connected by gears are called spur gears. Spur gears have straight teeth and are parallel to the wheel's axis. The advantages of spur gears are their simplicity in design and economy of manufacture and maintenance. Spur gears are known as slow-speed gears. If noise is not a serious design problem, spur gears can be used at almost any speed. Helical gears have their teeth inclined to the axis of the shafts in the form of a helix. These gears are usually thought of as high-speed gears. Helical gears can take higher loads than similarly sized spur gears. The motion of helical gears is smoother and quieter than the motion of spur gears. Intersecting but co-planar shafts connected by gears are called bevel gears. Straight bevel gears can be used on shafts at any angle, but right angle is the most common. Bevel gears can be used to change the direction of drive in a gear system by 90 degrees.

(1) Translate the first paragraph into Chinese.
(2) Based on the information provided, use your own words (in English) to explain the differences between the three types of gears in terms of shaft arrangement, teeth meshing, and design considerations.

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核心觀念

本題考查齒輪傳動的基本定義，以及直齒輪、斜齒輪與傘齒輪在下列三方面的差異：

  1. 軸線的相對位置。
  2. 輪齒的形狀與嚙合方式。
  3. 使用上的設計考量，例如速度、負載、噪音、製造成本與傳動方向。

齒輪傳動的基本關係為：

ω1ω2=N2N1=T2T1\frac{\omega_1}{\omega_2} = \frac{N_2}{N_1} = \frac{T_2}{T_1}

其中，ω\omega 為角速度，NN 為齒數，TT 為扭矩；下標 11、22 分別代表主動齒輪與從動齒輪。理想情況下，齒輪傳動可在不滑動的條件下，以固定速比傳遞運動與扭矩。

為維持固定的傳動比，兩齒輪的齒形必須互為共軛齒形，也就是在齒輪轉動過程中，接觸點的共同法線必須通過固定的節點。

（1）第一段翻譯

齒輪是由輪齒所構成的機件，其設計目的在於藉由輪齒依次互相嚙合，將運動傳遞給另一個有齒機件，或接收另一個有齒機件所傳來的運動。兩個齒輪分別繞著相對位置固定的軸旋轉，這樣便形成一組齒輪副。在齒輪傳動中，從主動軸傳至從動軸的扭矩，是由小齒輪的輪齒對大齒輪輪齒所施加的壓力來傳遞。為了維持固定的傳動比，小齒輪與大齒輪的齒形必須具有共軛關係。

（2）三種齒輪的比較

1. 直齒輪（spur gear）

直齒輪適用於兩根彼此平行且位於同一平面內的軸。其輪齒為直齒，而且齒線與齒輪軸線平行，因此輪齒在整個齒面寬度上同時或近乎同時嚙合。

直齒輪的主要優點是結構簡單、設計容易，並且製造與維護成本較低。缺點是嚙合時衝擊與噪音較明顯，尤其在高速運轉時更為突出，因此通常被視為低速齒輪。若噪音不是重要的設計限制，直齒輪仍可使用於相當廣泛的速度範圍。

2. 斜齒輪（helical gear）

斜齒輪通常也用於兩根平行軸之間的傳動，但其輪齒相對於軸線傾斜，形成螺旋狀齒線。由於斜齒輪的輪齒是逐漸進入與退出嚙合，而非整個齒寬同時接觸，因此傳動過程較為平順。

斜齒輪相較於尺寸相近的直齒輪，具有較高的承載能力，並且運轉較平穩、噪音較小，所以通常適合高速傳動。不過，斜齒輪會產生軸向推力，設計時必須考慮軸承的軸向承載能力；同時，其製造與安裝通常比直齒輪複雜，成本也較高。

3. 傘齒輪（bevel gear）

傘齒輪用於兩根相交且位於同一平面內的軸。兩軸可以形成任意交角，但直角傳動最常見，因此傘齒輪經常用來將動力傳動方向改變 90∘90^\circ。

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第 2 題25 分

The double gear shown below rolls on the stationary lower rack; the velocity of its center A is 1.2 m/s directed to the right. Determine (a) the angular velocity of the gear, (b) the velocities of the upper rack R and of point D of the gear.

🖼️【此處有附圖，請對照原卷】
Diagram shows a double gear with center A. The gear has two radii: r1 = 150 mm and r2 = 100 mm. The gear is in contact with a stationary lower rack at the bottom and an upper rack R at the top. The velocity of center A is given as vA=1.2v_A = 1.2 m/s to the right. Point D is located on the outer circumference of the gear.

🖼️ 本題含圖表，以下為原卷對應頁面：
原卷第 2 頁

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核心觀念

本題考查平面剛體運動中的：

  • 純滾動無滑動條件：接觸點與固定齒條的相對速度為零。

  • 剛體速度公式：

    v⃗P=v⃗A+ω⃗×r⃗P/A\vec v_P=\vec v_A+\vec\omega\times\vec r_{P/A}

  • 雙齒輪同軸剛性連接，因此兩個齒輪具有相同角速度。

  • 下方固定齒條與外齒輪接觸，上方齒條 RR 與內齒輪接觸。

已知：

vA=1.2 m/s,r1=150 mm=0.15 m,r2=100 mm=0.10 mv_A=1.2\ \text{m/s},\qquad r_1=150\ \text{mm}=0.15\ \text{m},\qquad r_2=100\ \text{mm}=0.10\ \text{m}

解題方法

取向右為 +x+x，向上為 +y+y，逆時針為角速度正方向。

（a）求齒輪角速度

下方齒條固定，因此外齒輪底部接觸點 CC 的速度為零。

齒輪中心 AA 向右移動，底部點 CC 相對於中心的位置為：

r⃗C/A=−r1j⃗\vec r_{C/A}=-r_1\vec j

由剛體速度公式：

v⃗C=v⃗A+ω⃗×r⃗C/A\vec v_C=\vec v_A+\vec\omega\times\vec r_{C/A}

令 ω⃗=ωk⃗\vec\omega=\omega\vec k，則：

v⃗C=1.2i⃗+ωk⃗×(−0.15j⃗)\vec v_C=1.2\vec i+\omega\vec k\times(-0.15\vec j)

因為 k⃗×(−j⃗)=i⃗\vec k\times(-\vec j)=\vec i，所以：

v⃗C=(1.2+0.15ω)i⃗\vec v_C=(1.2+0.15\omega)\vec i

純滾動條件為 v⃗C=0\vec v_C=0：

1.2+0.15ω=01.2+0.15\omega=0

ω=−8 rad/s\omega=-8\ \text{rad/s}

負號表示齒輪為順時針旋轉。

（b）求上方齒條 RR 的速度

上方齒條與半徑 r2r_2 的內齒輪接觸於頂部點 BB。

因此：

r⃗B/A=r2j⃗=0.10j⃗\vec r_{B/A}=r_2\vec j=0.10\vec j

由剛體速度公式：

v⃗B=v⃗A+ω⃗×r⃗B/A\vec v_B=\vec v_A+\vec\omega\times\vec r_{B/A}

代入：

v⃗B=1.2i⃗+(−8k⃗)×(0.10j⃗)\vec v_B=1.2\vec i+(-8\vec k)\times(0.10\vec j)

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第 3 題25 分

An industrial robot is being used to position a small part P. Calculate the magnitude of the acceleration a of P for the instant when β=30∘\beta=30^\circ if β˙=10\dot{\beta}=10 deg/s and β¨=20\ddot{\beta}=20 deg/s² at this same instant. The base of the robot is revolving at the constant rate ω=40\omega=40 deg/s. During the motion arms AO and AP remain perpendicular.

🖼️【此處有附圖，請對照原卷】
Diagram shows a robotic arm. The base O is rotating at a constant rate ω\omega. Arm AO is of length 300 mm. Point A is connected to arm AO. Arm AP is of length 200 mm. Point P is at the end of arm AP. The angle of arm AO with respect to the horizontal is denoted by β\beta. The angle between AO and AP is 90∘90^\circ. The motion is described in terms of polar coordinates relative to the base and the arm.

🖼️ 本題含圖表，以下為原卷對應頁面：
原卷第 3 頁

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核心觀念

本題考查「柱座標中的粒子加速度」與剛體幾何約束。

機械手臂繞鉛直軸以固定角速度 ω\omega 旋轉，因此點 PP 同時具有：

  1. 隨 β\beta 變化造成的徑向與鉛直加速度。
  2. 隨底座旋轉造成的向心加速度。
  3. 徑向速度與底座旋轉速度交互作用所產生的切向加速度。

柱座標加速度公式為

a=(r¨−rθ˙2)er+(rθ¨+2r˙θ˙)eθ+z¨ ez\mathbf a = (\ddot r-r\dot\theta^2)\mathbf e_r + (r\ddot\theta+2\dot r\dot\theta)\mathbf e_\theta + \ddot z\,\mathbf e_z

其中 θ\theta 為底座旋轉角度，且

θ˙=ω,θ¨=0\dot\theta=\omega,\qquad \ddot\theta=0

解題方法

取 OO 為原點，rr 為點 PP 到旋轉軸的水平距離，zz 為點 PP 的鉛直座標。

由圖可知：

  • AO=0.3 mAO=0.3\ \text{m}
  • AP=0.2 mAP=0.2\ \text{m}
  • AO⊥APAO\perp AP
  • AOAO 與水平夾角為 β\beta

由於 APAP 的方向為 β−90∘\beta-90^\circ，因此

r=0.3cos⁡β+0.2cos⁡(β−90∘)r=0.3\cos\beta+0.2\cos(\beta-90^\circ) r=0.3cos⁡β+0.2sin⁡βr=0.3\cos\beta+0.2\sin\beta

鉛直座標為

z=0.3sin⁡β+0.2sin⁡(β−90∘)z=0.3\sin\beta+0.2\sin(\beta-90^\circ) z=0.3sin⁡β−0.2cos⁡βz=0.3\sin\beta-0.2\cos\beta

求徑向與鉛直運動量

對 β\beta 微分：

drdβ=−0.3sin⁡β+0.2cos⁡β\frac{dr}{d\beta} =-0.3\sin\beta+0.2\cos\beta d2rdβ2=−0.3cos⁡β−0.2sin⁡β\frac{d^2r}{d\beta^2} =-0.3\cos\beta-0.2\sin\beta dzdβ=0.3cos⁡β+0.2sin⁡β\frac{dz}{d\beta} =0.3\cos\beta+0.2\sin\beta d2zdβ2=−0.3sin⁡β+0.2cos⁡β\frac{d^2z}{d\beta^2} =-0.3\sin\beta+0.2\cos\beta

角度必須換算成弧度：

β˙=10π180=0.174533 rad/s\dot\beta=10\frac{\pi}{180}=0.174533\ \text{rad/s} β¨=20π180=0.349066 rad/s2\ddot\beta=20\frac{\pi}{180}=0.349066\ \text{rad/s}^2 ω=40π180=0.698132 rad/s\omega=40\frac{\pi}{180}=0.698132\ \text{rad/s}

當 β=30∘\beta=30^\circ 時，

r=0.3cos⁡30∘+0.2sin⁡30∘=0.359808 mr=0.3\cos30^\circ+0.2\sin30^\circ =0.359808\ \text{m} drdβ=−0.3sin⁡30∘+0.2cos⁡30∘=0.023205\frac{dr}{d\beta} =-0.3\sin30^\circ+0.2\cos30^\circ =0.023205
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第 4 題25 分

The uniform slender bar has a mass of 30 kg, a length of 1.2 m, and is released from rest in the near-vertical position shown, where the spring of stiffness 150 N/m is unstretched. Calculate the speed with which end A strikes the horizontal surface.

🖼️【此處有附圖，請對照原卷】
（均勻細桿的下端以銷接在地面的 O 點，初始位置接近鉛直、端點 A 在上方。一條水平彈簧一端固定在桿左側 0.3 m 處的牆上，另一端連接在桿上距 A 點 0.3 m（距 O 點 0.9 m）的位置，此時彈簧未伸長。圖中同時畫出桿繞 O 點向右倒下後的位置：桿呈水平、A 端落在右方的水平面上，彈簧被拉長。）

🖼️ 本題含圖表，以下為原卷對應頁面：
原卷第 3 頁

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核心觀念

使用機械能守恆：桿由靜止倒下時，重力位能減少，轉換成桿的轉動動能與彈簧的彈性位能。固定銷 OO 的支承力作用點不移動，因此不作功。

解題方法

令桿初始時鉛直、倒下後水平。由圖可知，彈簧連接點距 OO 為 0.9 m0.9\,\text{m}，固定端在桿左側 0.3 m0.3\,\text{m}；初始時彈簧水平且未伸長。

桿水平時，彈簧連接點相對 OO 向右移 0.9 m0.9\,\text{m}，而固定端仍在 OO 左側 0.3 m0.3\,\text{m}、高出 OO 點 0.9 m0.9\,\text{m}。因此彈簧末長為

ℓf=(0.9+0.3)2+0.92=1.5 m\ell_f=\sqrt{(0.9+0.3)^2+0.9^2}=1.5\,\text{m}

初長 ℓ0=0.3 m\ell_0=0.3\,\text{m}，故伸長量為

x=ℓf−ℓ0=1.2 mx=\ell_f-\ell_0=1.2\,\text{m}

桿質心由距 OO 點 0.6 m0.6\,\text{m} 處下降至 OO 點高度，重力位能減少

ΔUg=mg(0.6)=30(9.81)(0.6)=176.58 J\Delta U_g=mg(0.6)=30(9.81)(0.6)=176.58\,\text{J}

彈簧儲存的位能為

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