109 年 國立成功大學機械工程學系碩士班丙組《動力學及專業英文》

核心觀念

本題考查機械工程與材料力學常用專有名詞的英漢對應，重點在於辨識機械元件、製造方法、材料強度與結構分析術語。作答時應使用工程領域中最標準、最常見的英文名稱。

解題方法

依名詞所屬領域分類記憶：

• 機械元件：軸承、螺旋彈簧、傘齒輪、螺栓與螺帽。
• 製造與接合：焊接。
• 材料強度與設計：安全係數、等效應力、降伏強度。
• 材料破壞與結構分析：破壞力學、破壞理論、應力集中。
• 動力與機械運動：振動。

各名詞的標準翻譯如下。

(1) 軸承

Bearing

軸承用於支承旋轉軸，並降低軸與支承座之間的摩擦。常見種類包括：

• 滾珠軸承：ball bearing
• 滾子軸承：roller bearing
• 滑動軸承：plain bearing 或 sliding bearing

(2) 螺旋彈簧

Helical spring

螺旋彈簧由線材繞製成螺旋形，常用於儲存彈性能量或產生彈簧力。若特指承受軸向壓縮或拉伸的彈簧，可分別稱為：

• 壓縮螺旋彈簧：compression helical spring
• 拉伸螺旋彈簧：extension helical spring

(3) 傘齒輪

Bevel gear

傘齒輪的齒面位於圓錐面上，主要用於傳遞兩相交軸之間的旋轉運動與扭矩。直齒傘齒輪稱為 straight bevel gear，螺旋傘齒輪稱為 spiral bevel gear。

(4) 焊接

Welding

焊接是利用熱能、壓力或兩者共同作用，使工件接合的製造方法。焊接接頭稱為 welded joint，焊縫稱為 weld 或 weld bead。

(5) 安全係數

Factor of safety 或 safety factor

安全係數表示構件所能承受的強度與實際設計載荷或工作應力之比。以降伏作為設計限制時，常寫為：

$$n_y=\frac{S_y}{\sigma_{\text{working}}}$$

其中，$S_y$ 為材料降伏強度，$\sigma_{\text{working}}$ 為工作應力，$n_y$ 為以降伏為基準的安全係數。

(6) 等效應力

Equivalent stress

等效應力是將複雜的多軸應力狀態，換算成可與單軸試驗結果比較的等效單軸應力。延性材料設計中最常見的是 von Mises 等效應力：

$$\sigma_{\mathrm{v}} = \sqrt{ \frac{(\sigma_1-\sigma_2)^2+(\sigma_2-\sigma_3)^2+(\sigma_3-\sigma_1)^2}{2} }$$

其中 $\sigma_1,\sigma_2,\sigma_3$ 為三個主應力。

(7) 破壞力學

Fracture mechanics

破壞力學研究裂縫在材料或結構中的形成、成長與最終破壞。常用參數包括應力強度因子 $K$、臨界應力強度因子 $K_{\mathrm{IC}}$ 與裂縫能量釋放率 $G$。

(8) 振動

Vibration

振動是物體或系統相對於平衡位置的週期性或非週期性往復運動。常見相關名詞包括：

• 自由振動：free vibration
• 強迫振動：forced vibration
• 固有頻率：natural frequency
• 阻尼振動：damped vibration

(9) 降伏強度

Yield strength

降伏強度是材料開始產生顯著塑性變形時所對應的應力，通常記為 $S_y$ 或 $\sigma_y$。對沒有明顯降伏點的材料，常以 0.2% offset yield strength，即百分之零點二偏移降伏強度，作為降伏強度。

(10) 破壞理論

核心觀念

本題考查「水平方向動量守恆」與「質心位置不變」。

由於忽略水對船的水平作用力，人物與船組成的系統在水平方向沒有外力，因此：

$$\sum F_x^{\text{ext}}=0$$

系統總動量守恆。初始時人物與船皆靜止，所以初始總動量為零。

取向右為 $x$ 軸正方向，人物質量為 $m_p$，船質量為 $m_b$。

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解題方法

(a) 船的速度

人物相對水的速度為 $v_p$，船相對水的速度為 $v_b$。由水平方向動量守恆：

$$m_p v_p+m_b v_b=0$$

解得：

$$v_b=-\frac{m_p}{m_b}v_p$$

負號表示船的運動方向與人物相反，因此船向左運動。

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(b) 人物與船的位置

人物最後停在船的右端。船長為 $L$，因此人物與船中心的水平距離為：

$$x_p-x_b=\frac{L}{2}$$

由於系統水平方向沒有外力，質心位置保持不變。初始時人物位於船中心，且原點設在船的初始中心，因此初始質心位置為 $0$：

$$m_p x_p+m_b x_b=0$$

聯立兩式：

$$x_p-x_b=\frac{L}{2}$$ $$m_p x_p+m_b x_b=0$$

由第一式得：

$$x_p=x_b+\frac{L}{2}$$

代入質心方程式：

$$m_p\left(x_b+\frac{L}{2}\right)+m_bx_b=0$$ $$(m_p+m_b)x_b+\frac{m_pL}{2}=0$$

因此船中心的位置為：

$$\boxed{x_b=-\frac{m_p}{m_p+m_b}\frac{L}{2}}$$

再代回 $x_p=x_b+\frac{L}{2}$：

核心觀念

本題考查剛體平面運動的：

• 幾何約束：兩端滑塊分別沿互相垂直的無摩擦導軌運動。
• 機械能守恆。
• 細長均勻桿的動能：
  $T=\frac12mv_G^2+\frac12I_G\omega^2,\qquad I_G=\frac{1}{12}mL^2$

取桿端 $B$ 的水平位置為 $x$，端點 $A$ 的上升高度為 $y$，由桿長固定可得：

$x^2+y^2=L^2$

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解題方法

初始時桿水平，因此

$x_1=L=3\ \text{m},\qquad y_1=0$

彈簧初始壓縮量為 $0.5\ \text{m}$。彈簧伸長量變為零時，端點 $B$ 向左移動 $0.5\ \text{m}$，所以

$x_2=3-0.5=2.5\ \text{m}$

由幾何約束：

$$y_2=\sqrt{L^2-x_2^2} =\sqrt{3^2-2.5^2} =\sqrt{2.75} =1.658\ \text{m}$$

桿質量 $m=5\ \text{kg}$，重心上升量為

$\Delta y_G=\frac{y_2}{2}=0.829\ \text{m}$

初始彈簧能量為

$$V_{s1}=\frac12k\delta^2 =\frac12(600)(0.5)^2 =75\ \text{J}$$

末狀態彈簧伸長量為零，因此

$V_{s2}=0$

重力位能增加：

$$\Delta V_g=mg\frac{y_2}{2} =(5)(9.81)\left(\frac{1.658}{2}\right) =40.66\ \text{J}$$

由機械能守恆：

核心觀念

本題考查以能量法建立單自由度系統的運動微分方程。使用：

• 動能：$T=\frac12m\dot{x}^{\,2}$
• 彈簧位能：$V_s=\frac12kx^2$
• 重力位能：$V_g=mgx\sin15^\circ$
• 拉格朗日方程：

$$\frac{d}{dt}\left(\frac{\partial T}{\partial \dot{x}}\right) -\frac{\partial T}{\partial x} +\frac{\partial V}{\partial x}=0$$

圖中 $k_1$ 與 $k_2$ 位於同一側，對小車而言為並聯彈簧；$k_3$ 位於另一側，則提供反向恢復力。因此系統總等效勁度為

$$k_{\mathrm{eq}}=k_1+k_2+k_3$$

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解題方法

取小車沿斜面向右上方的位移為 $s$，斜面角度為 $15^\circ$。

由於小車沿斜面移動時，右側兩條彈簧與左側彈簧的變形量皆隨 $s$ 改變，對位移而言三條彈簧共同提供恢復力。令各彈簧在某一參考位置的變形量為 $\delta_{10},\delta_{20},\delta_{30}$，則總能量可寫成

$$T=\frac12m\dot{s}^{\,2}$$ $$V= \frac12k_1(\delta_{10}+s)^2 +\frac12k_2(\delta_{20}+s)^2 +\frac12k_3(\delta_{30}-s)^2 +mg s\sin15^\circ$$

其中左側彈簧的變形量隨 $s$ 增加而減少，因此寫成 $\delta_{30}-s$；平方項的二次係數仍為 $k_3$。

對 $s$ 微分：