109 年 國立成功大學機械工程學系碩士班丙組《靜力學及專業英文》

此題主要考驗螺桿機構的力學分析，包含螺桿的幾何參數計算、施力與夾持力之間的轉換，以及自鎖條件的判斷。

(a) 螺桿導程角 (Lead Angle) 的計算

螺桿的導程角 $\lambda$ 定義為螺紋的導程 (lead) 與平均圓周之間的關係。
平均直徑 $d = 25 \, \text{mm}$
導程 (lead) $L = 5 \, \text{mm}$
導程角 $\lambda$ 的公式為：
$\tan \lambda = \frac{L}{\pi d}$
將已知數值代入：
$\tan \lambda = \frac{5 \, \text{mm}}{\pi \times 25 \, \text{mm}} = \frac{1}{5\pi}$
$\lambda = \arctan\left(\frac{1}{5\pi}\right)$
計算可得：
$\lambda \approx \arctan\left(\frac{1}{15.708}\right) \approx \arctan(0.06366) \approx 3.64^\circ$

【答案】螺桿導程角 $\lambda \approx 3.64^\circ$。

(b) 夾持力 (Clamping Force) 的計算

此小題需要利用自由體圖 (Free-Body Diagram, FBD) 來分析施力 $F$ 如何轉換為螺桿的軸向夾持力。

首先，分析槓桿 EHG 的 FBD。
槓桿 EHG 的長度：
EH = 200 mm + 200 mm = 400 mm
HG = 125 mm
施力 $F = 50 \, \text{N}$ 垂直作用於 E 點。
設螺桿在 C 點承受的水平力矩為 $M_C$。
對 G 點取力矩平衡：
$\sum M_G = 0$
$F \times (EH) - M_C = 0$
$50 \, \text{N} \times (0.4 \, \text{m}) - M_C = 0$
$M_C = 20 \, \text{N} \cdot \text{m}$
這個力矩 $M_C$ 是由螺桿 C 點施加的，用來轉動螺桿。

接下來，分析螺桿 C 點的 FBD。
螺桿的平均直徑 $d = 25 \, \text{mm} = 0.025 \, \text{m}$。
螺桿承受的力矩 $M_C = 20 \, \text{N} \cdot \text{m}$。
靜摩擦係數 $\mu_s = 0.3$。
螺桿導程角 $\lambda \approx 3.64^\circ$。
螺紋半角 $\alpha$ 對於方螺紋 (square-threaded screw) 為 $0^\circ$。

核心觀念

本題考查：

• 軸承反力的功能與自由體圖。
• 皮帶張力造成的扭矩平衡。
• 軸的力平衡與力矩平衡。
• Journal bearing 與 thrust bearing 所能提供的反力方向。

依圖建立座標：

• 軸線為 $x$ 軸，取 $C\to D$ 為 $+x$。
• $+y$ 方向取向右。
• $+z$ 方向鉛直向上。
• $C$ 至 $A$、$A$ 至 $B$、$B$ 至 $D$ 分別為 $300\ \text{mm}$、$250\ \text{mm}$、$200\ \text{mm}$。
• 因此 $CD=750\ \text{mm}$，$CA=300\ \text{mm}$，$CB=550\ \text{mm}$。

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(a) 軸承功能與反力

Journal bearing $C$

Journal bearing 主要限制軸在垂直於軸線方向的平移，因此可提供 $y$、$z$ 方向反力：

$$\mathbf{R}_C=C_y\mathbf{j}+C_z\mathbf{k}$$

不提供軸向反力，因此：

$$C_x=0$$

Thrust bearing $D$

Thrust bearing 除了提供垂直於軸線的 $y$、$z$ 方向反力，也能限制軸沿軸線方向的平移，因此可提供：

$$\mathbf{R}_D=D_x\mathbf{i}+D_y\mathbf{j}+D_z\mathbf{k}$$

本題外力沒有 $x$ 方向分量，所以由 $\sum F_x=0$ 可得：

$$D_x=0$$

自由體圖應畫出：

• $C_y,C_z$ 作用於 $C$。
• $D_x,D_y,D_z$ 作用於 $D$。
• 滑輪 $A$ 的皮帶力 $65\ \text{N}$、$80\ \text{N}$，皆鉛直向下。
• 滑輪 $B$ 的皮帶力 $50\ \text{N}$ 與 $T$。

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(b) $\theta=0^\circ$

1. 由扭矩平衡求 $T$

滑輪 $A$ 半徑為 $80\ \text{mm}$，其皮帶張力差產生的扭矩為：

$$M_A=(80-65)(0.08)$$ $$M_A=1.20\ \text{N}\cdot\text{m}$$

滑輪 $B$ 半徑為 $150\ \text{mm}$。當 $\theta=0^\circ$ 時，兩條皮帶力在 $y$ 方向，扭矩平衡為：

$$(50-T)(0.15)=1.20$$

因此：

$$50-T=8$$ $$\boxed{T=42.0\ \text{N}}$$

滑輪 $B$ 對軸的合力為：

$$F_{By}=50+T=92\ \text{N}$$

滑輪 $A$ 的合力為：

$$F_{Az}=-(65+80)=-145\ \text{N}$$

2. $y$ 方向力平衡與力矩平衡

取 $C$ 點求力矩：

$$\sum M_{C,z}=0$$ $$(0.55)(92)+(0.75)D_y=0$$ $$D_y=-67.47\ \text{N}$$

由 $\sum F_y=0$：

$$C_y+D_y+92=0$$ $$C_y=-24.53\ \text{N}$$

3. $z$ 方向力平衡與力矩平衡

取 $C$ 點求力矩：

$$\sum M_{C,y}=0$$ $$(0.30)(145)-(0.75)D_z=0$$ $$D_z=58.0\ \text{N}$$

由 $\sum F_z=0$：

$$C_z+D_z-145=0$$ $$C_z=87.0\ \text{N}$$

因此軸承反力為：

$$\boxed{\mathbf{R}_C=-24.53\,\mathbf{j}+87.0\,\mathbf{k}\ \text{N}}$$

核心觀念

本題利用剛體的虛功原理（或等效的力矩平衡）求門在任意角度 $\theta$ 下的平衡力 $P$。需要考慮：

1. 門的重力 $mg$；
2. 彈簧壓縮力 $kx$；
3. 滑輪繩張力，其張力大小等於 $P$；
4. 門與各作用力的幾何關係。

由圖可知：

• $OB=b$；
• $OA=AB=b/2$；
• $OC=b/2$；
• $D$ 位於 $O$ 左方距離 $b$ 處；
• 彈簧在門垂直時未變形。

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幾何關係

取 $O$ 為原點，門由垂直位置向左開啟 $\theta$ 角。

點 $B$ 與點 $A$ 的位置可表示為

$$B=(-b\sin\theta,\,-b\cos\theta),$$ $$A=\left(-\frac b2\sin\theta,\,-\frac b2\cos\theta\right).$$

繩段 $DB$ 的長度為

$$L_{DB} =b\sqrt{(1-\sin\theta)^2+\cos^2\theta} =b\sqrt{2(1-\sin\theta)}.$$

因此

$$-\frac{dL_{DB}}{d\theta} =\frac{b\cos\theta}{\sqrt{2(1-\sin\theta)}}.$$

點 $A$ 到滑環 $C$ 的距離為

$$L_{AC} =\frac b2\sqrt{(1+\sin\theta)^2+\cos^2\theta} =\frac b2\sqrt{2(1+\sin\theta)}.$$

門垂直時 $\theta=0$，故彈簧原長對應於

$$L_{AC,0}=\frac b{\sqrt2}.$$

所以彈簧壓縮量取為

$$x=L_{AC}-L_{AC,0} =\frac b{\sqrt2}\left(\sqrt{1+\sin\theta}-1\right).$$

其導數為

$$\frac{dx}{d\theta} =\frac{b\cos\theta}{2\sqrt{2(1+\sin\theta)}}.$$

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虛功平衡

門的質心位於 $A$，重力對 $\theta$ 的廣義力為

$$Q_g=\frac{mgb}{2}\sin\theta.$$

繩張力 $P$ 的廣義力為