108 年 國立成功大學機械工程學系碩士班丙組《靜力學及專業英文》

核心觀念

本題考查：

• 虛功原理：平衡時，所有外力對任意相容虛位移所作的虛功代數和為零。
• 剛體桿件繞固定鉸點轉動時，中點的位移為端點位移的一半。
• 連桿 $AB$ 長度固定，且套環 $A$ 只能沿水平桿水平移動。

設連桿 $AB$ 與水平線夾角為 $\theta$，桿 $BC$ 右端鉸接固定，且集中力 $P$ 作用於中點 $C$。

解題方法

令連桿 $AB$ 發生微小轉角 $\delta\theta$。

由幾何關係，連桿 $AB$ 長度為 $L$：

$x_B-x_A=L\cos\theta$

$y_A-y_B=L\sin\theta$

因為套環 $A$ 只能水平移動，所以：

$\delta y_A=0$

又因為桿 $BC$ 在題圖所示瞬間為水平，點 $B$ 的水平虛位移為零，因此由水平方向幾何關係：

$\delta x_B-\delta x_A=-L\sin\theta\,\delta\theta$

$\delta x_A=L\sin\theta\,\delta\theta$

由垂直方向幾何關係：

$\delta y_B=-L\cos\theta\,\delta\theta$

桿 $BC$ 繞右端固定鉸點轉動，且 $C$ 位於 $BC$ 中點，因此：

$$\delta y_C=\frac{1}{2}\delta y_B =-\frac{L\cos\theta}{2}\delta\theta$$

虛功方程式

力 $Q$ 的方向向左，而點 $A$ 的位移向右，因此其虛功為：

$\delta W_Q=-Q\,\delta x_A$

力 $P$ 方向向下，而點 $C$ 的虛位移向下，因此：

$\delta W_P=P\left(\frac{L\cos\theta}{2}\delta\theta\right)$

依虛功原理：

核心觀念

本題考查：

• 虛功原理：平衡時，所有外力對任意相容虛位移所作的虛功代數和為零。
• 剛體桿件繞固定鉸點轉動時，中點的位移為端點位移的一半。
• 連桿 $AB$ 長度固定，且套環 $A$ 只能沿水平桿水平移動。

設連桿 $AB$ 與水平線夾角為 $\theta$，桿 $BC$ 右端鉸接固定，且集中力 $P$ 作用於中點 $C$。

解題方法

令連桿 $AB$ 發生微小轉角 $\delta\theta$。

由幾何關係，連桿 $AB$ 長度為 $L$：

$x_B-x_A=L\cos\theta$

$y_A-y_B=L\sin\theta$

因為套環 $A$ 只能水平移動，所以：

$\delta y_A=0$

又因為桿 $BC$ 在題圖所示瞬間為水平，點 $B$ 的水平虛位移為零，因此由水平方向幾何關係：

$\delta x_B-\delta x_A=-L\sin\theta\,\delta\theta$

$\delta x_A=L\sin\theta\,\delta\theta$

由垂直方向幾何關係：

$\delta y_B=-L\cos\theta\,\delta\theta$

桿 $BC$ 繞右端固定鉸點轉動，且 $C$ 位於 $BC$ 中點，因此：

$$\delta y_C=\frac{1}{2}\delta y_B =-\frac{L\cos\theta}{2}\delta\theta$$

虛功方程式

力 $Q$ 的方向向左，而點 $A$ 的位移向右，因此其虛功為：

$\delta W_Q=-Q\,\delta x_A$

力 $P$ 方向向下，而點 $C$ 的虛位移向下，因此：

$\delta W_P=P\left(\frac{L\cos\theta}{2}\delta\theta\right)$

依虛功原理：

核心觀念

本題考察圓盤離合器摩擦轉矩的計算，使用下列關係：

• 微小環形面積：
  $dA=2\pi r\,dr$
• 微小環形上的正向力：
  $dF=p\,dA$
• 微小摩擦轉矩：
  $dT=fr\,dF$

其中 $f$ 為摩擦係數，$p$ 為接觸壓力，$r_i$、$r_o$ 分別為內、外半徑，$F$ 為軸向夾持力。

---

(a) 均勻壓力假設

均勻壓力表示整個摩擦襯片上的壓力相同：

$p=\text{常數}$

總夾持力為

$$F=\int_{r_i}^{r_o}dF =\int_{r_i}^{r_o}p(2\pi r\,dr)$$

因此

$$F=2\pi p\int_{r_i}^{r_o}r\,dr =\pi p(r_o^2-r_i^2)$$

故

$$p=\frac{F}{\pi(r_o^2-r_i^2)}$$

微小摩擦轉矩為

$$dT=fr\,dF =fr\cdot p(2\pi r\,dr) =2\pi fp r^2\,dr$$

積分得總轉矩：

$$T_p =2\pi fp\int_{r_i}^{r_o}r^2\,dr$$ $$T_p =\frac{2\pi fp}{3}(r_o^3-r_i^3)$$

代入 $p$：

$$\boxed{ T_p= \frac{2fF(r_o^3-r_i^3)} {3(r_o^2-r_i^2)} }$$

利用因式分解，也可寫成

$$T_p= \frac{2fF}{3} \frac{r_o^2+r_or_i+r_i^2}{r_o+r_i}$$

---

(b) 均勻磨耗假設

均勻磨耗表示各位置的磨耗量相同。由於磨耗量與接觸壓力及半徑乘積成正比，因此

$$pr=C$$

其中 $C$ 為常數，所以

$$p=\frac{C}{r}$$

總夾持力為

$$F=\int_{r_i}^{r_o}p\,dA =\int_{r_i}^{r_o}\frac{C}{r}(2\pi r\,dr)$$ $$F=2\pi C(r_o-r_i)$$

因此

$$C=\frac{F}{2\pi(r_o-r_i)}$$

微小摩擦轉矩為

$$dT=fr\,dF =fr\left(\frac{C}{r}2\pi r\,dr\right) =2\pi fCr\,dr$$

積分得

$$T_w =2\pi fC\int_{r_i}^{r_o}r\,dr$$ $$T_w =\pi fC(r_o^2-r_i^2)$$

代入 $C$：

核心觀念

本題考查：

• 靜力平衡：$\sum F_x=0$、$\sum F_y=0$、$\sum M=0$
• 極限靜摩擦：$F=\mu_s N$
• 前輪驅動且前輪即將打滑，因此前輪摩擦力達到最大值
• 拖曳繩張力同時作用於卡車與木頭，兩者大小相等

卡車總重為

$$W_T=(5\,\text{Mg})g$$

木頭質量設為 $m$，重量為 $mg$。

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(a) 自由體圖

木頭的自由體圖

木頭受到：

• 重力 $mg$，方向向下
• 地面正向力 $N_L$，方向向上
• 拖曳張力 $T$，方向向右
• 地面摩擦力 $F_L$，方向向左

木頭即將向右滑動，因此

$$F_L=\mu_L N_L$$

其中 $\mu_L=0.7$。

垂直方向平衡：

$$N_L=mg$$

因此

$$T=F_L=\mu_Lmg=0.7mg \tag{1}$$

卡車的自由體圖

卡車受到：

• 重力 $W_T$，作用於 $G$
• 前輪地面正向力 $N_A$，作用於 $A$
• 後輪地面正向力 $N_B$，作用於 $B$
• 前輪驅動摩擦力 $F_A$，方向向右
• 木頭對卡車的拉力 $T$，方向向左，作用點距地面 $0.5\,\text{m}$

後輪為自由滾動，因此不考慮後輪水平方向摩擦力。

前輪即將打滑，所以

$$F_A=\mu_T N_A=0.4N_A \tag{2}$$

由圖可得：

• $AB=1.6+1.2=2.8\,\text{m}$
• $G$ 到 $B$ 的水平距離為 $1.6\,\text{m}$
• $G$ 到 $A$ 的水平距離為 $1.2\,\text{m}$

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(b) 最大拖曳質量

卡車水平方向平衡

$$\sum F_x=0$$ $$F_A-T=0$$

所以

$$F_A=T \tag{3}$$

卡車垂直方向平衡

$$\sum F_y=0$$ $$N_A+N_B=W_T \tag{4}$$

對前輪接觸點 $A$ 取力矩

核心觀念

本題考查三維剛體平衡、球鉸（ball-and-socket joint）反力，以及沿鋼索方向的張力。

球鉸 $A$ 可限制物體在 $x、y、z$ 三方向的平移，因此具有三個未知反力分量：

$$A_x,\qquad A_y,\qquad A_z$$

球鉸允許構件自由轉動，因此不提供反力矩。

由圖取座標：

$$A=(0,0,0),\quad B=(0,2,0),\quad G=(0,1,0)$$ $$C=(-1,0,2),\quad D=(2,0,1)\ \text{m}$$

銘牌重量為

$$W=mg=120(9.81)=1177.2\ \text{N}$$

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(a) 球鉸功能與未知數

球鉸 $A$ 的功能是：

• 阻止構件沿 $x$、$y$、$z$ 三方向平移；
• 允許構件繞 $x$、$y$、$z$ 軸轉動；
• 不產生力偶反力。

因此，球鉸反力可表示為

$$\mathbf{R}_A=A_x\mathbf{i}+A_y\mathbf{j}+A_z\mathbf{k}$$

共有三個未知力分量，沒有未知反力矩。

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(b) 求鋼索 $BC$、$BD$ 的張力

自由體圖

取整個銘牌為研究物體，受力包括：

• $A$ 點球鉸反力：$A_x,A_y,A_z$；
• $B$ 點鋼索張力 $\mathbf{T}_{BC}$、$\mathbf{T}_{BD}$；
• $G$ 點重量 $W$，方向鉛直向下。

鋼索方向單位向量為

$$\mathbf{u}_{BC} =\frac{\overrightarrow{BC}}{|\overrightarrow{BC}|} =\frac{(-1,-2,2)}{\sqrt{1+4+4}} =\frac{1}{3}(-\mathbf{i}-2\mathbf{j}+2\mathbf{k})$$ $$\mathbf{u}_{BD} =\frac{\overrightarrow{BD}}{|\overrightarrow{BD}|} =\frac{(2,-2,1)}{\sqrt{4+4+1}} =\frac{1}{3}(2\mathbf{i}-2\mathbf{j}+\mathbf{k})$$

因此

$$\mathbf{T}_{BC} =\frac{T_{BC}}{3}(-\mathbf{i}-2\mathbf{j}+2\mathbf{k})$$ $$\mathbf{T}_{BD} =\frac{T_{BD}}{3}(2\mathbf{i}-2\mathbf{j}+\mathbf{k})$$

對 $A$ 點取力矩

由於 $A$ 點反力通過取矩點，對 $A$ 點力矩為零。

$$\mathbf{r}_{AB}=2\mathbf{j},\qquad \mathbf{r}_{AG}=1\mathbf{j}$$

先考慮 $z$ 方向力矩：

$$\sum M_{A,z}=0$$

核心觀念

本題考查科技與交通安全主題的中翻英，重點是精確翻譯專業名詞、煞車系統的作用機制，以及「同時減速」「維持穩定」「降低打滑或翻車風險」等因果關係。

文中第一次提到兩種系統時，須先寫出全名，再附上縮寫：防鎖死煞車系統為 anti-lock braking system (ABS)；前後連動煞車系統為 combined braking system (CBS)。後文即可直接使用縮寫。

解題方法

先依原文分成三個層次翻譯：調查結論、ABS 的功能與作動方式、CBS 的功能與煞車效果。再依英文常見句型安排資訊：先說明系統目的，再說明急煞時如何偵測與調節，最後交代 CBS 如何連動前後輪及其安全效益。

參考譯文

According to overseas survey data, installing an anti-lock braking system (ABS) or a combined braking system (CBS) has a significant effect on motorcycle rider safety. The purpose of ABS is to prevent the wheels from locking and skidding. During emergency braking, ABS uses wheel angular-velocity signals to assess the difference between wheel speed and vehicle speed, and then regulates braking force to prevent tir

核心觀念

本題考查英翻中的句意判讀與段落銜接，重點包括：

• 轉折語氣：「Nonetheless」表示「然而、儘管如此」，引出與前句不同的觀點。
• 代名詞指涉：「their green credentials」中的「their」指電動車，意為電動車的環保形象或環保表現。
• 列舉疑慮：冒號後的兩項說明，分別關於電動車及電池的製造，以及電力的來源。
• 結論推論：「Therefore」表示根據前述疑慮所得的結論，即車輛在整個生命週期中都不可能完全沒有排放。

解題方法

先抓出段落的論述脈絡：第一句指出電動車在某些情況下比傳統內燃機車更不傷害環境；第二句轉折，指出科學家對電動車的環保表現有所質疑；第三句列出質疑的兩個來源；最後一句由此推論，沒有真正的零排放車輛。

冒號後的兩句以「How」起首，功能是列出疑慮所關注的面向。翻譯時可將它們改寫成中文並列的名詞子句，使句意自然且前後一致。

詞語與句意解析

• In some circumstances：在某些情況下。這表示電動車的環境效益取決於條件，不能擴大解讀為任何情況下都較環保。