111 年 國立中正大學企業管理學系碩士班丙組《統計學》

核心觀念

本題屬於經典機率模型——巴拿赫火柴盒問題（Banach's Matchbox Problem）的變形，主要考驗以下核心機率觀念：

1. 獨立試驗與對稱性（Independence & Symmetry）：
   設兩箱分別為 A 箱與 B 箱，每次隨機取球相當於進行一次伯努力試驗，選取 A 箱或 B 箱的機率各為 $p = \frac{1}{2}$，各次試驗互相獨立。由對稱性可知，A 箱先被抽空與 B 箱先被抽空的機率均等。
2. 負二項分配之終止條件邏輯（Negative Binomial Logic）：
   試驗在「其中一箱恰好變空」的瞬間立即停止，這意味著最後一次抽取必定是從該空箱中取走其最後一顆球（即第 3 顆球）。
3. 離散隨機變數之機率質量函數（PMF）與期望值（Expected Value）：
   設隨機變數 $X$ 為試驗停止時另一箱所剩餘的球數，其期望值定義為： $$E(X) = \sum_{x} x \cdot P(X = x)$$

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解題方法

1. 模型設定與隨機變數之值域

• 初始狀態：A 箱有 3 顆球，B 箱有 3 顆球。

• 終止條件：當其中一箱的球被取完（即累計被抽中 3 次）時，試驗立即停止。

• 因兩箱不可能在同一步同時被取空，故停止時必恰有一箱是空的（取走 3 顆球），而另一箱被取走的球數可能為 $0$、 $1$ 或 $2$ 顆。

• 隨機變數 $X$ 定義為「另一箱剩餘的球數」：

  • 若另一箱被取走 $0$ 顆球，則剩餘 $X = 3 - 0 = 3$ 顆球。
  • 若另一箱被取走 $1$ 顆球，則剩餘 $X = 3 - 1 = 2$ 顆球。
  • 若另一箱被取走 $2$ 顆球，則剩餘 $X = 3 - 2 = 1$ 顆球。

  因此，$X$ 的可能取值範圍為 $X \in \{1, 2, 3\}$。

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2. (a) 計算機率 $P(X = 1)$

• 事件情境：
  當試驗結束時另一箱剩餘 $1$ 顆球（$X = 1$），表示空箱被抽了 3 次，另一箱被抽了 $3 - 1 = 2$ 次，試驗總共進行了 $3 + 2 = 5$ 次抽取。
• 機率推導：
  試驗結束可能有兩種互斥情況：
  1. A 箱先被抽空：
     • 第 5 次抽取必定選中 A 箱（取走 A 箱第 3 顆球而結束）。
     • 前 4 次抽取中，必須恰有 2 次選中 A 箱、2 次選中 B 箱。
     • 其排列數為 $\binom{4}{2} = 6$ 種。
     • 每一種長度為 5 的抽取序列發生的機率皆為 $\left(\frac{1}{2}\right)^5$。
     • 因此，A 箱先被抽空的機率為： $$\binom{4}{2} \left(\frac{1}{2}\right)^4 \times \frac{1}{2} = 6 \times \left(\frac{1}{2}\right)^5 = \frac{6}{32} = \frac{3}{16}$$
  2. B 箱先被抽空：
     • 由對稱性可知，其機率與 A 箱先被抽空完全相同，亦為 $\frac{3}{16}$。

將兩者相加，即得所求機率：

$$P(X = 1) = \frac{3}{16} + \frac{3}{16} = \frac{6}{16} = \frac{3}{8}$$

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3. (b) 計算期望值 $E(X)$

要計算 $E(X)$，需先求出 $X$ 的完整機率質量函數（PMF）：

1. 當 $X = 3$ 時（另一箱剩 3 顆球，即完全沒被抽過）：
   • 總共抽取 $3 + 0 = 3$ 次。
   • A 先空（序列為 AAA）的機率為 $\left(\frac{1}{2}\right)^3 = \frac{1}{8}$。

核心觀念

1. 累積分配函數（CDF）的定義：
   對於連續型隨機變數 $X$，其累積分配函數定義為： $$F_X(x) = P(X \le x) = \int_{-\infty}^{x} f_X(t) \, dt$$ 本題中 $X \sim \text{Exp}(\lambda = 1)$，為參數為 1 的指數分配。
2. 兩隨機變數的獨立性假設與聯合機率密度函數（Joint PDF）：
   在商管研究所入學考試中，若題目同時給出兩個邊際分配 $f_X(x)$ 與 $f_Y(y)$，且未給定共變異數或條件關係，通常隱含「$X$ 與 $Y$ 彼此獨立」之標準常規假設。
   當 $X$ 與 $Y$ 獨立時，其聯合機率密度函數為邊際機率密度函數的乘積： $$f_{X,Y}(x,y) = f_X(x) \cdot f_Y(y)$$
3. 二維連續型隨機變數事件機率的雙重積分：
   事件 $A = \{(x, y) \mid x > y\}$ 的機率可由聯合機率密度函數在該區域上的雙重積分求得： $$P(X > Y) = \iint_{x > y} f_{X,Y}(x,y) \, dx \, dy$$ 亦可利用全機率法則（Law of Total Probability）針對 $Y$ 取期望值： $$P(X > Y) = \int_{-\infty}^{\infty} P(X > y \mid Y = y) f_Y(y) \, dy = \int_{0}^{1} [1 - F_X(y)] f_Y(y) \, dy$$

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解題方法

(a) 求 $X$ 的累積分配函數 $F_X(x)$

給定機率密度函數 $f_X(x) = e^{-x},\ x \ge 0$（在 $x < 0$ 時 $f_X(x) = 0$）：

• 當 $x < 0$ 時： $$F_X(x) = \int_{-\infty}^{x} 0 \, dt = 0$$
• 當 $x \ge 0$ 時： $$F_X(x) = \int_{0}^{x} e^{-t} \, dt = \left[ -e^{-t} \right]_{0}^{x} = -e^{-x} - (-e^{0}) = 1 - e^{-x}$$

綜合上述，累積分配函數寫為分段函數：

$$F_X(x) = \begin{cases} 0, & x < 0 \\ 1 - e^{-x}, & x \ge 0 \end{cases}$$

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(b) 求機率 $P(X > Y)$

依考題常規，假設 $X$ 與 $Y$ 相互獨立。
已知 $Y \sim \text{Uniform}(0, 1)$，其支撐集（Support）為 $0 \le y \le 1$；$X \sim \text{Exp}(1)$，支撐集為 $x \ge 0$。

聯合機率密度函數在定義域上為：

$$f_{X,Y}(x,y) = f_X(x) f_Y(y) = e^{-x} \cdot 1 = e^{-x}, \quad x \ge 0, \ 0 \le y \le 1$$

核心觀念

本題評量單一母體平均數的單尾假設檢定（One-sample $t$-test），並融合了生產作業管理中的「單位時間」與「每小時產出」的單位轉換。

1. 基準值轉換：
   生產單件產品的標準時間為 $0.5\text{ 分鐘}$。換算為每小時標準產能（產出量）：
   $\mu_0 = \frac{60\text{ 分鐘}}{0.5\text{ 分鐘/件}} = 120\text{ 件/小時}$
2. 檢定統計量選擇：
   • 母體變異數 $\sigma^2$ 未知。
   • 樣本數 $n = 25 < 30$（小樣本），且假設每小時產量服從常態分配。
   • 採用單一樣本 $t$ 檢定統計量：
     $t = \frac{\bar{x} - \mu_0}{\frac{s}{\sqrt{n}}} \sim t(n-1)$
     自由度 $df = n - 1 = 25 - 1 = 24$。
3. 單尾檢定方向判定：
   主管想評估新員工是否「受訓完備足以勝任工作（well trained for work / ready for work）」，即產能是否已達標（$\mu \ge 120$）。若員工產能顯著低於標準（$\mu < 120$），則代表尚未準備好，因此對立假設設定為左尾檢定 $H_1: \mu < 120$。

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解題步驟與推導

(a) 建立虛無假設與對立假設 (Null and Alternative Hypotheses)

令 $\mu$ 代表該新員工每小時的平均產出件數。
標準生產速率下，每小時應產出 $\frac{60}{0.5} = 120$ 件。

欲檢定新員工是否產能未達標（未受充分訓練以致產量不足），假設設定如下：

• 虛無假設：$H_0: \mu \ge 120$（或寫為 $H_0: \mu = 120$，代表員工已達工作標準）
• 對立假設：$H_1: \mu < 120$（代表員工尚未準備好，產能顯著低於標準）

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(b) 當顯著水準 $\alpha = 0.05$ 時的檢定結論

1. 計算檢定統計量之值（$t_{\text{calc}}$）：
   已知 $n = 25$、$\bar{x} = 116$、$s = 10$、$\mu_0 = 120$。
   $t = \frac{\bar{x} - \mu_0}{\frac{s}{\sqrt{n}}} = \frac{116 - 120}{\frac{10}{\sqrt{25}}} = \frac{-4}{\frac{10}{5}} = \frac{-4}{2} = -2.00$

2. 決定拒絕域與臨界值：
   在顯著水準 $\alpha = 0.05$、自由度 $df = 24$ 下，左尾檢定的臨界值為：
   $-t_{0.05}(24) = -1.711$
   拒絕域（Rejection Region）為：$t < -1.711$。

3. 統計決策：
   因為 $t = -2.00 < -1.711$，落入拒絕域，故在 $\alpha = 0.05$ 水準下拒絕虛無假設 $H_0$。

核心觀念

本題評量母體比例的區間估計與樣本數決定（Sample Size Determination）：

1. 抽樣誤差（Margin of Error, $E$）：
   在信賴水準 $1 - \alpha$ 下，母體比例 $p$ 的雙尾估計誤差定義為： $$E = z_{\alpha/2} \sqrt{\frac{p(1-p)}{n}}$$
2. 樣本數決定公式： $$n = \left( \frac{z_{\alpha/2}}{E} \right)^2 p(1-p)$$
   • 當無任何事前資訊（no information is available）時，採取最保守的原則，取使變異數最大的估計值 $p = 0.5$，此時 $p(1-p) = 0.25$ 為最大值。
   • 計算出的樣本數若有小數點，為確保誤差不超過容許範圍，一律無條件進位至整數（Ceiling）。
3. 區間估計精確度驗證：
   給定固定樣本數 $n$ 與樣本比例 $\hat{p}$ 時，實際的邊際誤差為： $$E = z_{\alpha/2} \sqrt{\frac{\hat{p}(1-\hat{p})}{n}}$$ 檢驗所求得的實際誤差是否小於或等於主管要求的規格（$\pm 0.05$）。

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解題方法

(a) 無事前資訊下的必要樣本數

1. 參數設定：
   • 容許抽樣誤差 $E = 0.05$（即 within 5%）。
   • 顯著水準 $\alpha = 0.05 \implies$ 信賴水準為 $1 - \alpha = 0.95$。
   • 標準常態臨界值：查表得 $z_{0.025} = 1.96$。
   • 因無事前先驗資訊（no information is available），令 $p = 0.5$ 以保證保守估計。
2. 代入公式計算： $$n = \left( \frac{z_{\alpha/2}}{E} \right)^2 p(1-p) = \left( \frac{1.96}{0.05} \right)^2 \times (0.5) \times (1 - 0.5)$$ $$n = (39.2)^2 \times 0.25 = 1536.64 \times 0.25 = 384.16$$
3. 無條件進位：
   樣本數必須為整數且不能小於理論下限，故取 $n = 385$。

(b) 樣本數為 $n = 300$、$\hat{p} = 0.3$ 時的結論檢定

1. 計算現有樣本下的實際邊際誤差（Margin of Error）：
   • 已知 $n = 300$，$\hat{p} = 0.3$，信賴水準 $95\%$（$z_{0.025} = 1.96$）。
   • 樣本比例的標準誤（Standard Error, $SE$）：

核心觀念

本題屬於時間序列分析（Time Series Analysis）中的線性趨勢模式（Linear Trend Model）建立與預測，本質上即為以時間變數 $t$ 作為自變數（Independent Variable）的簡單線性迴歸（Simple Linear Regression, OLS）。

1. 線性趨勢方程式：

   $$\hat{Y}_t = b_0 + b_1 t$$

   其中：

   • $t$ 為時間變數（$t = 1, 2, \dots, n$）。
   • $Y_t$ 為觀測值（本題單位為千人）。
   • $b_1$ 為趨勢線之斜率（Slope），代表時間每增加 1 單位，預期變化的量。
   • $b_0$ 為趨勢線之截距（Intercept）。

2. 最小平方法（Ordinary Least Squares, OLS）估計式：

   $$b_1 = \frac{n\sum_{t=1}^n t Y_t - \left(\sum_{t=1}^n t\right)\left(\sum_{t=1}^n Y_t\right)}{n\sum_{t=1}^n t^2 - \left(\sum_{t=1}^n t\right)^2} = \frac{\sum_{t=1}^n (t - \bar{t})(Y_t - \bar{Y})}{\sum_{t=1}^n (t - \bar{t})^2}$$ $$b_0 = \bar{Y} - b_1 \bar{t}$$

   其中 $\bar{t} = \frac{\sum t}{n}$，$\bar{Y} = \frac{\sum Y_t}{n}$。

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解題方法

(a) 建立線性趨勢表達式（Linear Trend Expression）

樣本數 $n = 6$。依據題目給定之數據，建立計算輔助表：

$t$	$Y_t$	$t^2$	$t Y_t$
1	6.30	1	6.30
2	7.70	4	15.40
3	8.00	9	24.00
4	8.20	16	32.80
5	8.80	25	44.00
6	8.00	36	48.00
總和 $\sum$	47.00	91	170.50

• 計算總和與平均數：

  $$\sum_{t=1}^6 t = 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 = 21$$ $$\bar{t} = \frac{21}{6} = 3.5$$ $$\sum_{t=1}^6 Y_t = 6.30 + 7.70 + 8.00 + 8.20 + 8.80 + 8.00 = 47.00$$ $$\bar{Y} = \frac{47.00}{6} \approx 7.8333$$ $$\sum_{t=1}^6 t^2 = 1 + 4 + 9 + 16 + 25 + 36 = 91$$ $$\sum_{t=1}^6 t Y_t = 6.30 + 15.40 + 24.00 + 32.80 + 44.00 + 48.00 = 170.50$$

• 計算斜率 $b_1$：

核心觀念

本題探討雙獨立常態母體變異數之檢定（Two-Sample Test for Variances）。
設母體 1（Store A）與母體 2（Store B）互相獨立且皆服從常態分配：
$X_1 \sim N(\mu_1, \sigma_1^2), \quad X_2 \sim N(\mu_2, \sigma_2^2)$

1. 檢定假說：檢定兩母體變異數是否相等，屬於雙尾檢定。
2. 檢定統計量：在虛無假說 $H_0: \sigma_1^2 = \sigma_2^2$ 成立下，兩組樣本變異數之比值服從 $F$ 分配：
   $F = \frac{S_1^2}{S_2^2} \sim F(\nu_1, \nu_2)$
   其中分子自由度為 $\nu_1 = n_1 - 1$，分母自由度為 $\nu_2 = n_2 - 1$。
3. $p$-value（$p$ 值）與決策規則：
   對於雙尾檢定，若檢定統計量值 $F > 1$，$p$ 值為右尾機率的兩倍：
   $p\text{-value} = 2 \times P(F_{(\nu_1, \nu_2)} \ge F_{\text{calc}})$
   • 若 $p\text{-value} \le \alpha$，則拒絕 $H_0$。
   • 若 $p\text{-value} > \alpha$，則不拒絕 $H_0$。
     題目要求在 95% 信賴水準下檢定，代表顯著水準 $\alpha = 1 - 0.95 = 0.05$。

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解題方法與完整推導

(a) 建立虛無假說與對立假說 (Provide the hypotheses to be tested)

題目欲探討兩家店的銷售額變異數是否相等（whether or not the variances are equal），因此設定雙尾假說：
$H_0: \sigma_1^2 = \sigma_2^2 \quad (\text{或 } \frac{\sigma_1^2}{\sigma_2^2} = 1)$
$H_1: \sigma_1^2 \neq \sigma_2^2 \quad (\text{或 } \frac{\sigma_1^2}{\sigma_2^2} \neq 1)$

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(b) 計算檢定統計量 (Compute the test statistic)

由題目已知條件：

• Store A: $n_1 = 21 \implies \nu_1 = n_1 - 1 = 20$，$S_1^2 = 800$
• Store B: $n_2 = 16 \implies \nu_2 = n_2 - 1 = 15$，$S_2^2 = 400$

檢定統計量值為：
$F = \frac{S_1^2}{S_2^2} = \frac{800}{400} = 2.00$
自由度為 $(\nu_1, \nu_2) = (20, 15)$。

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(c) 計算 $p$ 值並進行假設檢定 (Compute the $p$-value and use it to test at 95% confidence)

核心觀念

本題評量卡方適合度檢定（Chi-Square Goodness-of-Fit Test）。
當母體被劃分為 $k$ 個互斥且周延的類別時，我們希望檢驗各類別的母體比例是否符合特定的理論分佈。

1. 虛無假設與對立假設：
   • 虛無假設 $H_0$：各類別比例等於特定假設值。
   • 對立假設 $H_1$：各類別比例不全等於假設值（至少有一個類別之母體比例發生改變）。
2. 期望次數（Expected Frequencies）：
   若樣本數為 $n$，第 $i$ 類之理論比例為 $p_i$，則該類的期望次數為： $$E_i = n \times p_i$$
3. 檢定統計量（Test Statistic）：
   比較觀察次數 $O_i$ 與期望次數 $E_i$ 之離差平方加權和： $$\chi^2 = \sum_{i=1}^{k} \frac{(O_i - E_i)^2}{E_i}$$ 在 $H_0$ 為真且各類別期望次數足夠大（一般要求 $E_i \ge 5$）的條件下，該統計量近似服從自由度為 $df = k - 1$ 的卡方分佈。
4. 拒絕域與決策法則：
   在顯著水準 $\alpha$ 下，臨界值為 $\chi^2_{\alpha}(k-1)$。若 $\chi^2 > \chi^2_{\alpha}(k-1)$，則拒絕 $H_0$。

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解題方法與逐步推導

總樣本戶數為：

$$n = 150 + 200 + 250 = 600$$

(a) 設立虛無假設與對立假設

令 $p_1, p_2, p_3$ 分別代表觀眾收看 ABC、CBS、NBC 晚間新聞的母體比例。

• 虛無假設 $H_0$：$p_1 = 0.31,\; p_2 = 0.34,\; p_3 = 0.35$（三大電視網收視觀眾比例未改變）
• 對立假設 $H_1$：比例不全等於假設值（至少有一個 $p_i$ 改變，即收視比例發生顯著改變）

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(b) 計算期望次數

依據公式 $E_i = n \times p_i$ 計算各電視網之期望戶數：

• ABC： $$E_1 = 600 \times 0.31 = 186$$
• CBS： $$E_2 = 600 \times 0.34 = 204$$
• NBC： $$E_3 = 600 \times 0.35 = 210$$

（驗算：$E_1 + E_2 + E_3 = 186 + 204 + 210 = 600 = n$，符合要求，且均大於 5，卡方大樣本性質成立。）

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(c) 計算檢定統計量

根據卡方適合度檢定公式：

$$\chi^2 = \sum_{i=1}^{3} \frac{(O_i - E_i)^2}{E_i}$$

分項計算如下：

• ABC： $$\frac{(150 - 186)^2}{186} = \frac{(-36)^2}{186} = \frac{1296}{186} \approx 6.9677$$
• CBS：