112 年 國立中正大學企業管理學系碩士班丙組《統計學》

這題考驗期望值的計算與公平賽局的定義。

核心觀念：

1. 期望值 (Expected Value)：在一隨機試驗中，所有可能結果的機率乘以該結果的價值，再加總即為期望值。
2. 公平賽局 (Fair Game)：期望值為零的賽局。

解題步驟：

首先，我們需要知道隨機選到哪個硬幣的機率。題目說「A coin is randomly selected」，假設三個硬幣被選到的機率是相等的，即各為 $1/3$。

我們將定義事件：

• $C_1$: 選到第一個硬幣，機率 $P(C_1) = 1/3$
• $C_2$: 選到第二個硬幣，機率 $P(C_2) = 1/3$
• $C_3$: 選到第三個硬幣，機率 $P(C_3) = 1/3$

各硬幣出現「正面」(Heads, H) 的機率分別為：

• $P(H|C_1) = 1/5$
• $P(H|C_2) = 2/5$
• $P(H|C_3) = 3/5$

則出現「反面」(Tails, T) 的機率為：

• $P(T|C_1) = 1 - P(H|C_1) = 1 - 1/5 = 4/5$
• $P(T|C_2) = 1 - P(H|C_2) = 1 - 2/5 = 3/5$
• $P(T|C_3) = 1 - P(H|C_3) = 1 - 3/5 = 2/5$

遊戲的規則是：

• 正面出現，贏 $m$ 元。
• 反面出現，輸 $n$ 元（即贏 $-n$ 元）。

(1) 這場硬幣翻轉遊戲的期望值是多少？ (5%)

我們需要計算總體出現正反面的機率，然後乘以對應的輸贏金額。

首先計算翻一次硬幣出現正面的總機率 $P(H)$：
$P(H) = P(H|C_1)P(C_1) + P(H|C_2)P(C_2) + P(H|C_3)P(C_3)$
$P(H) = (1/5)(1/3) + (2/5)(1/3) + (3/5)(1/3)$

此題考驗聯合機率密度函數的性質以及區域內隨機選點的機率計算。

核心觀念：

1. 聯合機率密度函數 (Joint Probability Density Function, PDF)：對於連續型隨機變數 $(X, Y)$，其聯合機率密度函數 $f(x,y)$ 必須滿足以下條件：
   • $f(x,y) \ge 0$ 對於所有 $x, y$。
   • $\iint f(x,y) \,dx\,dy = 1$，積分範圍為整個定義域。
2. 幾何機率 (Geometric Probability)：當機率密度函數是常數時，某事件發生的機率等於該事件發生的區域面積佔總定義域面積的比例。

解題步驟：

題目給定的聯合機率密度函數為 $f(x,y) = c$，且其定義域為 $1 \le x^2 + y^2 \le 4$ 的區域。這個區域是一個圓環，外圓半徑為 $R=2$，內圓半徑為 $r=1$。圖中顯示的陰影區域就是這個圓環。

(1) $c$ 的值是多少？ (5%)

根據聯合機率密度函數的性質，其在整個定義域上的積分必須等於 1。
$\iint_{D} f(x,y) \,dx\,dy = 1$
其中 $D$ 是定義域，即 $1 \le x^2 + y^2 \le 4$ 的區域。
由於 $f(x,y) = c$ 是一個常數，積分就是常數 $c$ 乘以定義域的面積。

定義域 $D$ 的面積 $A_D$ 是外圓面積減去內圓面積：
外圓半徑 $R = 2$，面積 $A_{outer} = \pi R^2 = \pi (2^2) = 4\pi$。
內圓半徑 $r = 1$，面積 $A_{inner} = \pi r^2 = \pi (1^2) = \pi$。
所以，定義域的面積 $A_D = A_{outer} - A_{inner} = 4\pi - \pi = 3\pi$。

現在，我們將積分設為 1：
$c \times A_D = 1$
$c \times (3\pi) = 1$
$c = \frac{1}{3\pi}$

這題考驗比例的信賴區間估計與樣本大小的決定。

核心觀念：

1. 比例的信賴區間 (Confidence Interval for Proportion)：用於估計母體比例 $p$ 的範圍。
2. 樣本大小決定 (Sample Size Determination)：在給定的信賴水準與誤差範圍下，計算所需的最小樣本數。

解題步驟：

題目給定：

• 樣本數 $n = 100$
• 樣本中購買新產品的數量 $x = 80$
• 信賴水準為 95%

我們首先計算樣本比例 $\hat{p}$：
$\hat{p} = \frac{x}{n} = \frac{80}{100} = 0.8$

同時，樣本中未購買的比例為 $\hat{q} = 1 - \hat{p} = 1 - 0.8 = 0.2$。

(1) 根據調查，建構市場佔有率的 95% 信賴區間。 (5%)

對於比例的信賴區間，公式為：
$\hat{p} \pm Z_{\alpha/2} \sqrt{\frac{\hat{p}\hat{q}}{n}}$

信賴水準為 95%，所以 $\alpha = 1 - 0.95 = 0.05$。
$Z_{\alpha/2} = Z_{0.05/2} = Z_{0.025}$。從標準常態分配表中查得 $Z_{0.025} = 1.96$。

標準誤 (Standard Error, SE) 為：
$SE = \sqrt{\frac{\hat{p}\hat{q}}{n}} = \sqrt{\frac{0.8 \times 0.2}{100}} = \sqrt{\frac{0.16}{100}} = \sqrt{0.0016} = 0.04$

信賴區間的邊際誤差 (Margin of Error, ME) 為：
$ME = Z_{\alpha/2} \times SE = 1.96 \times 0.04 = 0.0784$

95% 信賴區間為：
$\hat{p} \pm ME = 0.8 \pm 0.0784$
信賴區間下限：$0.8 - 0.0784 = 0.7216$
信賴區間上限：$0.8 + 0.0784 = 0.8784$

所以，95% 信賴區間為 $(0.7216, 0.8784)$。

【答案】市場佔有率的 95% 信賴區間為 $(0.7216, 0.8784)$。

(2) 如果銷售經理要求信賴區間的寬度小於 10%，還需要調查多少名顧客？ (5%)

這題考驗假設檢定的建立與進行。

核心觀念：

1. 假設檢定 (Hypothesis Testing)：一種統計方法，用於判斷樣本資料是否足以支持某個關於母體參數的陳述。
2. 虛無假設 (Null Hypothesis, $H_0$)：通常是「沒有改變」、「沒有影響」或「沒有差異」的陳述，是我們試圖推翻的假設。
3. 對立假設 (Alternative Hypothesis, $H_1$ 或 $H_a$)：與虛無假設相反，是我們希望找到證據支持的假設。
4. 顯著水準 (Significance Level, $\alpha$)：在虛無假設為真時，錯誤地拒絕虛無假設 (Type I Error) 的機率上限。

解題步驟：

題目給定：

• 評分範圍：1 到 5
• 「良好」的定義：分數大於 3 (即 $> 3$)
• 樣本數 $n = 50$
• 樣本平均數 $\bar{x} = 3.12$
• 樣本標準差 $s = 0.75$
• 顯著水準 $\alpha = 0.05$

我們要檢定的是 Mr. Yeh 的教學表現是否「良好」。

(1) 建構虛無假設與對立假設。 (5%)

「良好」的定義是分數大於 3。我們通常將我們希望證實的陳述設定為對立假設。
因此，我們想證明 Mr. Yeh 的平均分數 $\mu$ 大於 3。

• 對立假設 ($H_1$)：Mr. Yeh 的平均分數高於 3。
  $H_1: \mu > 3$

• 虛無假設 ($H_0$)：與對立假設相反，或者表示沒有達到「良好」的標準。由於「良好」是 $>3$，那麼「非良好」就是 $\le 3$。在假設檢定中，虛無假設通常包含等號，且與對立假設的邊界值有關。所以，如果對立假設是 $\mu > 3$，那麼虛無假設就是 $\mu \le 3$。然而，在實際檢定時，我們通常將虛無假設設為 $\mu = 3$，因為這是邊界情況。如果我們能拒絕 $\mu \le 3$ 的情況，就支持 $\mu > 3$。
  $H_0: \mu \le 3$
  或者，更常見的寫法是將邊界值設為檢定對象：
  $H_0: \mu = 3$

為了進行檢定，我們通常將虛無假設設定為等號，並檢定是否能拒絕這個等號的假設。
所以，我們設定：
$H_0: \mu = 3$ (Mr. Yeh 的平均教學評分是 3)
$H_1: \mu > 3$ (Mr. Yeh 的平均教學評分高於 3)

這是一個右尾檢定 (right-tailed test)。

這題考驗假設檢定的接受域與第二類錯誤的機率計算。

核心觀念：

1. 假設檢定 (Hypothesis Testing)：判斷樣本證據是否足以拒絕虛無假設。
2. 接受域 (Acceptance Region)：虛無假設 $H_0$ 不被拒絕的樣本結果範圍。
3. 第二類錯誤 (Type II Error)：當虛無假設 $H_0$ 為假時，卻未能拒絕 $H_0$ 的錯誤。其機率通常用 $\beta$ 表示。
4. Z-檢定 (Z-test)：當母體標準差 $\sigma$ 已知時，用於檢定母體平均數的統計方法。

解題步驟：

題目給定：

• 虛無假設 $H_0: \mu \ge 200$
• 對立假設 $H_1: \mu < 200$ (這是從 $H_0: \mu \ge 200$ 推導出來的)
• 樣本數 $n = 100$
• 母體標準差 $\sigma = 25$
• 顯著水準 $\alpha = 0.05$

由於母體標準差 $\sigma$ 已知，我們將使用 Z-檢定。

(1) 在 $\alpha = 0.05$ 的情況下，何種條件下應接受 $H_0$？ (5%)

首先，我們需要確定拒絕域 (Rejection Region) 和接受域 (Acceptance Region)。
虛無假設是 $H_0: \mu \ge 200$，對立假設是 $H_1: \mu < 200$。這是一個左尾檢定。

檢定統計量為：
$Z = \frac{\bar{x} - \mu_0}{\sigma/\sqrt{n}}$
其中 $\mu_0$ 是虛無假設的邊界值，即 200。

$Z = \frac{\bar{x} - 200}{25/\sqrt{100}} = \frac{\bar{x} - 200}{25/10} = \frac{\bar{x} - 200}{2.5}$

對於左尾檢定，在顯著水準 $\alpha = 0.05$ 下，拒絕域是 $Z < -Z_{\alpha}$。
$Z_{\alpha} = Z_{0.05} = 1.645$ (從標準常態分配表中查得)。
所以，拒絕域是 $Z < -1.645$。

也就是說，當 $\frac{\bar{x} - 200}{2.5} < -1.645$ 時，我們拒絕 $H_0$。
$\bar{x} - 200 < -1.645 \times 2.5$
$\bar{x} - 200 < -4.1125$

這題考驗獨立性檢定 (Chi-square Test for Independence)。

核心觀念：

1. 獨立性檢定 (Chi-square Test for Independence)：用於檢定兩個類別變數之間是否獨立。
2. 觀察次數 (Observed Frequencies, $O$)：實際調查數據。
3. 期望次數 (Expected Frequencies, $E$)：假設兩個變數獨立時，根據邊際機率計算出的理論次數。
4. 卡方統計量 (Chi-square Statistic, $\chi^2$)：衡量觀察次數與期望次數之間的差異。
5. P-value 方法與臨界值方法：兩種判斷統計顯著性的方法。

解題步驟：

題目給定一個列聯表 (Contingency Table)，我們要檢定「研究領域」(Field of study) 與「性別」(Gender) 是否獨立。

首先，我們需要計算期望次數 (Expected Frequencies, $E$)。
期望次數的計算公式為：
$E_{ij} = \frac{(\text{第 i 列總計}) \times (\text{第 j 行總計})}{\text{總計}}$

給定的觀察次數表：

Field of study	Male (j=1)	Female (j=2)	TOTAL (Row Sum)
Business (i=1)	60	20	80
Engineering (i=2)	160	40	200
TOTAL (Col Sum)	220	60	280

總計 (Grand Total) = 280。

計算各格子對應的期望次數：

• $E_{11}$ (Business, Male): $\frac{80 \times 220}{280} = \frac{17600}{280} = 62.857$
• $E_{12}$ (Business, Female): $\frac{80 \times 60}{280} = \frac{4800}{280} = 17.143$
• $E_{21}$ (Engineering, Male): $\frac{200 \times 220}{280} = \frac{44000}{280} = 157.143$
• $E_{22}$ (Engineering, Female): $\frac{200 \times 60}{280} = \frac{12000}{280} = 42.857$

驗證：$62.857 + 17.143 = 80$ (Business Total)
$157.143 + 42.857 = 200$ (Engineering Total)
$62.857 + 157.143 = 220$ (Male Total)
$17.143 + 42.857 = 60$ (Female Total)
$80 + 200 = 280$
$220 + 60 = 280$
計算正確。

虛無假設 $H_0$: 研究領域與性別是獨立的。
對立假設 $H_1$: 研究領域與性別不是獨立的。

顯著水準 $\alpha = 0.10$ (因為題目要求 90% 的信心水準)。

(a) 計算檢定統計量。 (5%)

這題考驗單因子變異數分析 (One-Way ANOVA)，用於比較三個或以上獨立樣本的平均數。

核心觀念：

1. 單因子變異數分析 (One-Way ANOVA)：用於檢定三個或以上獨立群體平均數是否相等。
2. 虛無假設 ($H_0$)：所有群體平均數均相等。
3. 對立假設 ($H_1$)：至少有一個群體平均數不同。
4. 整體平均數 (Overall Mean, $\bar{X}$)：所有樣本數據的總平均。
5. F 檢定統計量 (F-test statistic)：用於 ANOVA 的檢定統計量。
6. 臨界值 (Critical Value)：決定拒絕域的門檻值。

解題步驟：

題目給定三個不同專科的醫生年薪數據，要求檢定他們的平均年薪是否有顯著差異。
專科 (群體) 數量 $k = 3$。
樣本資訊：

• 兒科 (Pediatrics, 群體 1): $n_1 = 12$, $\bar{x}_1 = 120$, $s_1^2 = 16$
• 放射科 (Radiology, 群體 2): $n_2 = 10$, $\bar{x}_2 = 186$, $s_2^2 = 18$
• 病理科 (Pathology, 群體 3): $n_3 = 11$, $\bar{x}_3 = 240$, $s_3^2 = 20$

總樣本數 $N = n_1 + n_2 + n_3 = 12 + 10 + 11 = 33$。

(a) 計算整體平均數 $\bar{X}$。 (5%)

整體平均數是所有樣本數據的加權平均數，權重為各樣本的大小。
$\bar{X} = \frac{\sum_{i=1}^k n_i \bar{x}_i}{N}$
$\bar{X} = \frac{(12 \times 120) + (10 \times 186) + (11 \times 240)}{33}$
$\bar{X} = \frac{1440 + 1860 + 2640}{33}$
$\bar{X} = \frac{5940}{33}$
$\bar{X} = 180$

【答案】整體平均數 $\bar{X} = 180$ (千美元)。

(b) 陳述待檢定的虛無假設與對立假設。 (5%)

虛無假設 ($H_0$)：所有群體的平均數相等。
$H_0: \mu_1 = \mu_2 = \mu_3$
(即，兒科、放射科、病理科醫生的平均年薪沒有顯著差異。)

對立假設 ($H_1$)：至少有一個群體的平均數不同。
$H_1$: 至少有一個 $\mu_i \ne \mu_j$ (對某 $i \ne j$)
(即，至少有一個專科醫生的平均年薪與其他專科不同。)

【答案】
$H_0: \mu_1 = \mu_2 = \mu_3$
$H_1$: 至少有一個 $\mu_i \ne \mu_j$

(c) 虛無假設以 95% 的信心水準進行檢定。確定此檢定的臨界值。你的結論是什麼？ (5%)

ANOVA 的檢定統計量是 F 統計量，其分配為 F 分配。
F 統計量的計算涉及組間變異數 (Between-group variance) 和組內變異數 (Within-group

這題考驗複迴歸分析 (Multiple Regression Analysis) 的基本概念與應用，包含樣本數、判定係數、顯著性檢定等。

核心觀念：

1. 複迴歸模型 (Multiple Regression Model)：一個因變數與多個自變數之間的線性關係模型。
2. ANOVA 表：用於評估迴歸模型的整體適配度，包含自由度 (df)、平方和 (SS) 和均方 (MS)。
3. 判定係數 ($R^2$)：衡量自變數解釋因變數變異的比例。
4. t 檢定 (t-test)：用於檢定個別迴歸係數是否顯著不為零。
5. F 檢定 (F-test)：用於檢定整個迴歸模型是否顯著。

解題步驟：

模型：Sales ($y$) = $\beta_0 + \beta_1 \text{Price} + \beta_2 \text{Competitor's Price} + \beta_3 \text{Advertising} + \beta_4 \text{Type} + \epsilon$
其中 $y$ 的單位是 $10,000 美元。

給定的 ANOVA 表：

• Regression df = 4
• Residual df = 35
• Regression SS = 27641631.121
• Residual SS = 42277876.624
• Regression MS = 6910407.780
• Residual MS = 1207939.332

給定的迴歸係數估計值 ($\hat{\beta}_i$) 和標準誤 (Standard Error, SE)：

• Intercept: $\hat{\beta}_0$ (值未直接給出，但 SE = 2268.233)
• Price: $\hat{\beta}_1 = -0.803$, SE = 0.316
• Competitor's Price: $\hat{\beta}_2 = 0.859$, SE = 0.281
• Advertising: $\hat{\beta}_3 = 0.216$, SE = 0.079
• Type: $\hat{\beta}_4 = 567.806$, SE = 373.400

(a) 樣本數是多少？ (4%)

在 ANOVA 表中：

• Regression df (迴歸自由度) = 自變數的數量 ($p$)。
• Residual df (殘差自由度) = 樣本數 ($n$) - 自變數數量 ($p$) - 1 (截距項)。
  即，Residual df = $n - p - 1$。

根據題目，有四個自變數 (Price, Competitor's Price, Advertising, Type)，所以 $p = 4$。
從 ANOVA 表中，Residual df = 35。

因此，
$35 = n - 4 - 1$
$35 = n - 5$
$n = 35 + 5 = 40$

【答案】樣本數 $n = 40$。

(b) 決定多元判定係數。 (4%)

多元判定係數 ($R^2$) 表示迴歸模型解釋了因變數總變異的比例。
$R^2 = \frac{SSR}{SST}$
其中 SSR 是迴歸平方和 (Regression Sum of Squares)，SST 是總平方和 (Total Sum of Squares)。
SST = SSR + SSE (SSE 是殘差平方和，即 Residual SS)。

從 ANOVA 表中：
SSR (Regression SS) = 27641631.121
SSE (Residual SS) = 42277876.624

SST = SSR + SSE = 27641631.121 + 42277876.624 = 69919507.745

$R^2 = \frac{27641631.121}{69919507.745} \approx 0.3953$

【答案】多元判定係數 $R^2 \approx 0.3953$。

(c) 決定四個變數的 p-values。 (4%)

對於個別迴歸係數的顯著性檢定，我們使用 t 檢定。
t 統計量計算公式為：$t = \frac{\hat{\beta}_i - 0}{SE(\hat{\beta}_i)}$。
p-value 是在虛無假設 ($\beta_i = 0$) 為真時，觀察到 $|t| \ge |t_{observed}|$ 的機率。
自由度為 Residual df = 35。

• Price:
  $\hat{\beta}_1 = -0.803$, SE = 0.316
  $t = \frac{-0.803}{0.316} \approx -2.541$
  p-value = $P(|T_{35}| \ge 2.541)