108 年 國立中正大學企業管理學系碩士班丙組《統計學》

此題考驗連續型隨機變數的機率密度函數性質與期望值計算。

(1) 求 $k$ 的值
根據機率密度函數的性質，其在定義域上的積分值必須等於 1。
$\int_{-\infty}^{\infty} f_X(x) \, dx = 1$
在本題中，定義域為 $[1, 4]$，所以：
$\int_{1}^{4} k(x-1)^2 \, dx = 1$
令 $u = x-1$，則 $du = dx$。當 $x=1$ 時，$u=0$；當 $x=4$ 時，$u=3$。
$\int_{0}^{3} k u^2 \, du = 1$
$k \left[ \frac{u^3}{3} \right]_{0}^{3} = 1$
$k \left( \frac{3^3}{3} - \frac{0^3}{3} \right) = 1$
$k \left( \frac{27}{3} - 0 \right) = 1$
$9k = 1$
$k = \frac{1}{9}$
【答案】$k = \frac{1}{9}$

(2) 求 $E(X)$ 的值
期望值的定義為：
$E(X) = \int_{-\infty}^{\infty} x f_X(x) \, dx$
將 $k = \frac{1}{9}$ 代入：
$E(X) = \int_{1}^{4} x \cdot \frac{1}{9}(x-1)^2 \, dx$
$E(X) = \frac{1}{9} \int_{1}^{4} x(x^2 - 2x + 1) \, dx$
$E(X) = \frac{1}{9} \int_{1}^{4} (x^3 - 2x^2 + x) \, dx$
$E(X) = \frac{1}{9} \left[ \frac{x^4}{4} - \frac{2x^3}{3} + \frac{x^2}{2} \right]_{1}^{4}$

此題考驗條件機率、全機率法則以及聯合機率分佈的期望值計算。

(1) 求 $P(X \le 3)$
此問題需要使用全機率法則，因為 $X$ 的分佈取決於 $Y$ 的值。$Y$ 是一個離散隨機變數，其值為 1 到 6。$X$ 是一個連續隨機變數，其分佈為 $U(0, Y)$。
$P(X \le 3) = \sum_{k=1}^{6} P(X \le 3 | Y=k) P(Y=k)$
由於 $P(Y=k) = \frac{1}{6}$ 對於 $k \in \{1, 2, 3, 4, 5, 6\}$，我們計算每個條件機率 $P(X \le 3 | Y=k)$。
若 $Y=k$，則 $X \sim U(0, k)$。其機率密度函數為 $f_{X|Y}(x|k) = \frac{1}{k}$，對於 $0 \le x \le k$，否則為 0。

• 當 $k=1$: $X \sim U(0, 1)$。$P(X \le 3 | Y=1) = \int_{0}^{1} \frac{1}{1} dx = 1$ (因為 $X$ 必定小於或等於 1，所以小於等於 3 的機率為 1)。
• 當 $k=2$: $X \sim U(0, 2)$。$P(X \le 3 | Y=2) = \int_{0}^{2} \frac{1}{2} dx = 1$ (因為 $X$ 必定小於或等於 2，所以小於等於 3 的機率為 1)。
• 當 $k=3$: $X \sim U(0, 3)$。$P(X \le 3 | Y=3) = \int_{0}^{3} \frac{1}{3} dx = 1$ (因為 $X$ 必定小於或等於 3，所以小於等於 3 的機率為 1)。
• 當 $k=4$: $X \sim U(0, 4)$。$P(X \le 3 | Y=4) = \int_{0}^{3} \frac{1}{4} dx = \frac{3}{4}$。
• 當 $k=5$: $X \sim U(0, 5)$。$P(X \le 3 | Y=5) = \int_{0}^{3} \frac{1}{5} dx = \frac{3}{5}$。
• 當 $k=6$: $X \sim U(0, 6)$。

核心觀念

本題考查：

1. 母體平均數 $\mu$ 的信賴區間。
2. 母體標準差未知時，使用樣本標準差 $s$，以 $t$ 分配建立信賴區間。
3. 依照允許誤差反推所需樣本數。

已知：

$$n=20,\qquad \bar X=12.5,\qquad s=2.0$$

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（1）建立工作時間的 95% 信賴區間

因為母體標準差 $\sigma$ 未知，且樣本數為 $20$，應使用 $t$ 分配：

$$\bar X\pm t_{\alpha/2,n-1}\frac{s}{\sqrt n}$$

其中：

$$\alpha=0.05,\qquad \frac{\alpha}{2}=0.025,\qquad n-1=19$$

查表得：

$$t_{0.025,19}=2.093$$

標準誤為：

$$\frac{s}{\sqrt n} = \frac{2}{\sqrt{20}} \approx 0.4472$$

因此誤差界限為：

$$E = 2.093\left(\frac{2}{\sqrt{20}}\right) \approx 0.936$$

故母體平均工作時間 $\mu$ 的 95% 信賴區間為：

$$12.5\pm 0.936$$

即：

$$(11.564,\;13.436)$$

因此，可說在 95% 信賴水準下，該工作的平均時間約介於 $11.56$ 分鐘至 $13.44$ 分鐘之間。

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（2）所需的額外測量次數

最大誤差須小於平均數的 $5\%$，因此允許誤差為：

此題考驗兩個比例的假設檢定。

基本資訊：
男性樣本數 $n_1 = 1000$，有副作用者 $x_1 = 12$。
女性樣本數 $n_2 = 1200$，有副作用者 $x_2 = 15$。
顯著水準 $\alpha = 0.01$。

(1) 建立假設檢定 $H_0$ 和 $H_1$
開發者聲稱副作用在男性和女性之間是無差異的，這意味著男性有副作用的比例 $p_1$ 等於女性有副作用的比例 $p_2$。
虛無假設 $H_0$ 代表「無差異」或「無效果」。
對立假設 $H_1$ 代表我們要檢定的情況，通常是與 $H_0$ 相反。

$H_0$: $p_1 = p_2$ (男性與女性有副作用的比例相同)
$H_1$: $p_1 \ne p_2$ (男性與女性有副作用的比例不同)

這是一個雙尾檢定。

【答案】
$H_0: p_1 = p_2$
$H_1: p_1 \ne p_2$

(2) 在 $\alpha = 0.01$ 下，是否應拒絕開發者的主張？
我們計算樣本比例：
男性樣本比例 $\hat{p}_1 = \frac{x_1}{n_1} = \frac{12}{1000} = 0.012$
女性樣本比例 $\hat{p}_2 = \frac{x_2}{n_2} = \frac{15}{1200} = 0.0125$

在虛無假設 $H_0: p_1 = p_2$ 為真時，我們使用合併比例 (pooled proportion) $\hat{p}$ 來計算標準誤。

核心觀念

1. 單一母體平均數的單尾假設檢定（母體標準差 $\sigma$ 已知）：
   • 當母體標準差 $\sigma$ 已知，且樣本數足夠大（$n=400 \ge 30$，由中央極限定理），樣本平均數 $\bar{X}$ 的抽樣分佈近似常態分佈。
   • 檢定統計量使用 $Z$ 檢定： $$Z = \frac{\bar{X} - \mu_0}{\sigma / \sqrt{n}} \sim N(0, 1)$$
   • 假設施測邏輯：製造商宣稱電池壽命「至少」1,000 天（$\mu \ge 1000$）。在統計檢定架構中，若要檢驗此宣稱是否屬實（亦即檢驗是否有足夠證據「推翻」該宣稱），虛無假設為宣稱內容 $H_0: \mu \ge 1000$，對立假設為挑戰該宣稱的 $H_1: \mu < 1000$（左尾檢定）。
2. 檢定力（Statistical Power, $1 - \beta$）：
   • 型 II 錯誤機率 $\beta$ 為「當對立假設成立（此處給定特定母體真值 $\mu_a$）時，卻未拒絕 $H_0$ 的機率」，即 $\beta = P(\text{不拒絕 } H_0 \mid \mu = \mu_a)$。
   • 檢定力定義為「當真實母體參數為特定數值 $\mu_a$ 時，正確拒絕錯誤虛無假設的機率」： $$\text{Power} = 1 - \beta = P(\text{拒絕 } H_0 \mid \mu = \mu_a)$$

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解題方法與步驟

(1) 假設檢定（$\alpha = 0.05$）

• 步驟一：建立假設
  製造商宣稱「電池壽命至少 1,000 天」，檢定是否有顯著證據反駁其宣稱：

  $$H_0: \mu \ge 1000 \quad \text{vs.} \quad H_1: \mu < 1000$$

  （此處為顯著水準 $\alpha = 0.05$ 之左尾檢定）

• 步驟二：計算檢定統計量
  已知樣本數 $n = 400$、樣本平均數 $\bar{X} = 1020$、母體標準差 $\sigma = 200$，在 $\mu_0 = 1000$ 的條件下：

  $$Z^* = \frac{\bar{X} - \mu_0}{\sigma / \sqrt{n}} = \frac{1020 - 1000}{200 / \sqrt{400}} = \frac{20}{200 / 20} = \frac{20}{10} = 2.00$$

• 步驟三：判定拒絕域與決策

  • 在顯著水準 $\alpha = 0.05$ 下，左尾檢定的臨界值為 $-z_{\alpha} = -z_{0.05} = -1.645$。
  • 拒絕域為 $C = \{ Z \mid Z < -1.645 \}$。
  • 由於 $Z^* = 2.00 > -1.645$，檢定統計量未落在拒絕域內（$p\text{-value} = P(Z < 2.00) = 0.9772 > 0.05$）。
  • 結論：不拒絕 $H_0$。

此題考驗兩個分類變數之間的獨立性檢定，使用卡方檢定。

基本資訊：
總樣本數 $N = 500$
觀察到的次數表格：

Sex	Favor	Undecided	Oppose	TOTAL
Female	180	80	40	300
Male	150	20	30	200
TOTAL	330	100	70	500

顯著水準 $\alpha = 0.05$。
我們使用 p-value approach 來進行檢定。

1. 建立假設檢定：
虛無假設 $H_0$: 性別與投票意向是獨立的。
對立假設 $H_1$: 性別與投票意向不是獨立的 (即存在關聯性)。

2. 計算預期次數 (Expected Frequencies)：
如果 $H_0$ 為真，則性別與投票意向是獨立的。預期次數 $E_{ij}$ 的計算公式為：
$E_{ij} = \frac{(\text{Row } i \text{ Total}) \times (\text{Column } j \text{ Total})}{N}$
其中 $i$ 代表性別 (Female, Male)，$j$ 代表投票意向 (Favor, Undecided, Oppose)。

• 預期 Female, Favor: $E_{F,F} = \frac{300 \times 330}{500} = \frac{99000}{500} = 198$
• 預期 Female, Undecided: $E_{F,U} = \frac{300 \times 100}{500} = \frac{30000}{500} = 60$
• 預期 Female, Oppose: $E_{F,O} = \frac{300 \times 70}{500} = \frac{21000}{500} = 42$
• 預期 Male, Favor: $E_{M,F} = \frac{200 \times 330}{500} = \frac{66000}{500} = 132$
• 預期 Male, Undecided: $E_{M,U} = \frac{200 \times 100}{500} = \frac{20000}{500} = 40$
• 預期 Male, Oppose: $E_{M,O} = \frac{200 \times 70}{500} = \frac{14000}{500} = 28$

預期次數表格：

Sex	Favor	Undecided	Oppose	TOTAL
Female	198	60	42	300
Male	132	40	28	200

此題考驗簡單線性迴歸分析，包括迴歸方程式的建立、決定係數計算、斜率的顯著性檢定以及模型的整體顯著性檢定。

基本資訊：
樣本數 $n=10$
數據點 $(x_i, y_i)$：
(1.8, 26), (2.3, 31), (2.6, 28), (2.4, 30), (2.8, 34), (3.0, 38), (3.4, 41), (3.2, 44), (3.6, 40), (3.8, 43)

我們將 GPA ($x$) 作為自變數，工作表現分數 ($y$) 作為應變數。
迴歸方程式形式為：$\hat{y} = b_0 + b_1 x$

計算所需統計量：
$\sum x_i = 1.8+2.3+2.6+2.4+2.8+3.0+3.4+3.2+3.6+3.8 = 28.9$
$\sum y_i = 26+31+28+30+34+38+41+44+40+43 = 355$
$\sum x_i^2 = 1.8^2+2.3^2+2.6^2+2.4^2+2.8^2+3.0^2+3.4^2+3.2^2+3.6^2+3.8^2 = 3.24+5.29+6.76+5.76+7.84+9.00+11.56+10.24+12.96+14.44 = 87.1$
$\sum y_i^2 = 26^2+31^2+28^2+30^2+34^2+38^2+41^2+44^2+40^2+43^2 = 676+961+784+900+1156+1444+1681+1936+1600+1849 = 13987$
$\sum x_i y_i = (1.8 \times 26) + (2.3 \times 31) + (2.6 \times 28) + (2.4 \times 30) + (2.8 \times 34) + (3.0 \times 38) + (3.4 \times 41) + (3.2 \times 44) + (3.6 \times 40) + (3.8 \times 43) = 46.8 + 71.3 + 72.8 + 72.0 + 95.2 + 114.0 + 139.4 + 140.8 + 144.0 + 163.4 = 1069.7$

平均數：
$\bar{x} = \frac{28.9}{10} = 2.89$
$\bar{y} = \frac{355}{10} = 35.5$

(1) 建立最小平方估計迴歸方程式
斜率 $b_1$ 的計算公式：
$b_1 = \frac{n(\sum x_i y_i) - (\sum x_i)(\sum y_i)}{n(\sum x_i^2) - (\sum x_i)^2}$
$b_1 = \frac{10(1069.7) - (28.9)(355)}{10(87.1) - (28.9)^2}$
$b_1 = \frac{10697 - 10260.5}{871 - 835.21}$
$b_1 = \frac{436.5}{35.79} \approx 12.196$

截距 $b_0$ 的計算公式：
$b_0 = \bar{y} - b_1 \bar{x}$
$b_0 = 35.5 - (12.196)(2.89)$
$b_0 = 35.5 - 35.24644 \approx 0.25356$

因此，最小平方估計迴歸方程式為：
$\hat{y} = 0.25356 + 12.196 x$
(這裡 $y$ 是工作表現分數， $x$ 是 GPA)

【答案】$\hat{y} = 0.2536 + 12.196 x$ (四捨五入到小數點後第四位)

(2) 計算決定係數並評論迴歸關係的強度
決定係數 $R^2$ 的計算需要先計算總平方和 (SST) 和迴歸平方和 (SSR)。
首先計算 SSE (殘差平方和)。
$SST = \sum y_i^2 - \frac{(\sum y_i)^2}{n} = 13987 - \frac{(355)^2}{10} = 13987 - \frac{126025}{10} = 13987 - 12602.5 = 1384.5$
$SSR = b_1 (\sum x_i y_i - \frac{(\sum x_i)(\sum y_i)}{n}) = 12.196 (1069.7 - \frac{(28.9)(355)}{10}) = 12.196 (1069.7 - 1026.05) = 12.196 \times 43.65 \approx 532.18$
$SSE = SST - SSR = 1384.5 - 532.18 = 852.32$
(或者 SSE 可以用 $SSE = \sum (y_i - \hat{y}_i)^2$ 計算，或通過 $s_e^2$ 計算)

決定係數 $R^2 = \frac{SSR}{SST} = \frac{532.18}{1384.5} \approx 0.38436$
或者 $R^2 = 1 - \frac{SSE}{SST} = 1 - \frac{852.32}{1384.5} \approx 1 - 0.61564 = 0.38436$

評論迴歸關係的強度：
$R^2 \approx 0.3844$ 表示自變數 $x$ (GPA) 能解釋應變數 $y$ (工作表現分數) 變異的約 38.44%。
這是一個中等偏弱的迴歸關係。雖然存在正向關係，但 GPA 並不能完全解釋工作表現分數的變異，還有其他因素影響工作表現。

【答案】$R^2 \approx 0.3844$。迴歸關係的強度為中等偏弱。

核心觀念

本題考查時間數列的四季中心移動平均、季節指數及去季節化，採用乘法分解模型：

$$Y_t=T_tS_tI_t,$$

其中 $Y_t$ 為實際銷售額，$T_t$ 為趨勢循環成分，$S_t$ 為季節成分，$I_t$ 為不規則成分。

四季移動平均涵蓋一整年的季節循環，可用來平滑季節波動。但四季是偶數，平均值的位置落在兩季之間，因此須將相鄰兩個四季移動平均再取平均，才能對準實際季度。

接著以「實際銷售額除以中心移動平均」估計季節效果，按季度分組平均，再正規化，使四季季節指數的平均為 $1$，亦即總和為 $4$。

解題方法

（1）計算四季中心移動平均

依時間順序，令第 8 年第 1 季為 $t=1$，第 10 年第 4 季為 $t=12$。定義四季移動平均：

$$M_i=\frac{Y_i+Y_{i+1}+Y_{i+2}+Y_{i+3}}{4}, \qquad i=1,\ldots,9.$$

例如：

$$M_1=\frac{160+180+190+170}{4}=175,$$ $$M_6=\frac{210+260+230+210}{4}=227.50.$$

九個四季移動平均依序為：

$$175,\ 185,\ 192.50,\ 210,\ 225,\ 227.50,\ 235,\ 242.50,\ 250.$$

中心移動平均 $C_t$ 為：

$$C_t=\frac{M_{t-2}+M_{t-1}}{2}, \qquad t=3,\ldots,10.$$

例如，第 9 年第 3 季對應 $t=7$，故：

$$C_7=\frac{225+227.50}{2}=226.25.$$

完整結果如下；銷售額單位均為千美元。

年度	季度	中心化計算	四季中心移動平均
8	3	$(175+185)/2$	180.00
8	4	$(185+192.50)/2$	188.75
9	1	$(192.50+210)/2$	201.25
9	2	$(210+225)/2$	217.50
9	3	$(225+227.50)/2$	226.25
9	4	$(227.50+235)/2$	231.25
10	1	$(235+242.50)/2$	238.75
10	2	$(242.50+250)/2$	246.25

第 8 年前兩季及第 10 年後兩季，因兩側資料不足，無法計算四季中心移動平均。

（2）計算四季季節指數

採用移動平均比率法。先計算各期的季節比率：

$$R_t=\frac{Y_t}{C_t}.$$

以百分比表示的結果如下：

年度	季度	實際銷售額 $Y_t$	中心移動平均 $C_t$	季節比率 $100R_t$
8	3	190	180.00	105.5556%
8	4	170	188.75	90.0662%
9	1	200	201.25	99.3789%
9	2	210	217.50	96.5517%
9	3	260	226.25	114.9171%
9	4	230	231.25	99.4595%
10	1	210	238.75	87.9581%
10	2	240	246.25	97.4619%

此題為題組題 8 的第三小題，接續前兩小題的計算。

(3) 使用 Part b 開發的季節指數，移除 Year 9 銷售額的季節影響
要移除季節影響，我們將實際銷售額除以其對應的季節指數。這稱為「去季節化」(deseasonalizing)。
$\text{Deseasonalized Sales} = \frac{\text{Actual Sales}}{\text{Seasonal Index}}$

在 Part (2) 中，我們計算了調整後的四季平均季節指數：
Q1: 0.9299
Q2: 1.0024
Q3: 1.1185
Q4: 0.9489

現在，我們將 Year 9 的實際銷售額除以這些季節指數：

• Year 9, Quarter 1:
  實際銷售額 = 200 ($1000s) 季節指數 = 0.9299 去季節化銷售額 =$200 / 0.9299 \approx 215.08