113 年 國立中正大學企業管理學系碩士班丙組《統計學》

這題主要考驗對二項分佈的機率計算與期望值公式的理解。

核心觀念：

1. 二項分佈 (Binomial Distribution)： 當獨立的試驗重複進行固定次數，且每次試驗只有兩種結果（成功或失敗），則成功次數服從二項分佈。
2. 二項分佈的期望值： 對於一個服從二項分佈 $B(n, p)$ 的隨機變數，其期望值為 $E(X) = np$。

解題過程：

題目描述中，首先擲一個公平骰子，其結果用 $X$ 表示，集合為 $\{1,2,3,4,5,6\}$。
接著，將 $X$ 個公平的硬幣拋擲，並記錄出現的正面次數，這個次數用 $Y$ 表示，集合為 $\{0,1,2,3,4,5,6\}$。

這裡的關鍵在於理解「$X$ 個公平的硬幣拋擲」這個動作。這表示硬幣拋擲的次數 $n$ 是由骰子點數 $X$ 決定的，而 $X$ 本身是一個隨機變數。

a. What is the probability $P(Y \le 1)$?

我們需要計算 $P(Y \le 1) = P(Y=0) + P(Y=1)$。
由於硬幣拋擲的次數 $X$ 是隨機的，我們需要考慮所有可能的 $X$ 值。
令 $Y|X=x$ 表示在拋擲 $x$ 個硬幣時出現的正面次數。這服從一個二項分佈 $B(x, 0.5)$，因為硬幣是公平的，所以成功（正面）的機率 $p=0.5$。
因此，$P(Y=k | X=x) = \binom{x}{k} (0.5)^k (0.5)^{x-k} = \binom{x}{k} (0.5)^x$。

我們可以透過全機率公式來計算 $P(Y \le 1)$:
$P(Y \le 1) = \sum_{x=1}^{6} P(Y \le 1 | X=x) P(X=x)$
由於骰子是公平的，所以 $P(X=x) = \frac{1}{6}$ 對於 $x \in \{1,2,3,4,5,6\}$。

我們分別計算 $P(Y=0 | X=x)$ 和 $P(Y=1 | X=x)$:

• $P(Y=0 | X=x)$: 在拋擲 $x$ 個硬幣時，出現 0 個正面的機率。
  $P(Y=0 | X=x) = \binom{x}{0} (0.5)^x = 1 \cdot (0.5)^x = (0.5)^x$。
• $P(Y=1 | X=x)$: 在拋擲 $x$ 個硬幣時，出現 1 個正面的機率。
  $P(Y=1 | X=x) = \binom{x}{1} (0.5)^x = x \cdot (0.5)^x$。

現在，我們計算 $P(Y \le 1 | X=x) = P(Y=0 | X=x) + P(Y=1 | X=x) = (0.5)^x + x(0.5)^x = (1+x)(0.5)^x$。

這題旨在測驗考生對機率論中兩個重要定理的理解與解釋能力。

核心觀念：

1. 大數法則 (Law of Large Numbers)： 描述當進行大量獨立同分佈的隨機試驗時，樣本平均值會趨近於其理論期望值。
2. 中央極限定理 (Central Limit Theorem)： 描述當從任何分佈中抽取足夠大的隨機樣本時，樣本平均值（或樣本總和）的分佈會近似於常態分佈，與原始總體的實際分佈無關。

解題過程：

a. The law of large numbers.

解釋：
大數法則指出，如果我們重複進行一個隨機實驗很多次，並且每次實驗的結果都是獨立且具有相同的機率分佈（即獨立同分佈，i.i.d.），那麼這些實驗結果的算術平均值將會越來越接近該隨機變數的理論期望值。換句話說，隨著樣本數量的增加，樣本平均值與真實期望值之間的差異會趨近於零。

舉例說明：
想像你正在擲一枚公平的硬幣。每次擲硬幣，出現正面的機率是 $0.5$。

• 如果你只擲 10 次，你可能會得到 3 次正面（機率 $0.3$）或 7 次正面（機率 $0.7$）。此時的樣本比例 $0.3$ 或 $0.7$ 可能會遠離理論值 $0.5$。
• 但是，如果你擲 1000 次，你很可能會得到接近 500 次正面（機率 $0.5$）。即使不是正好 500 次，例如 490 次或 510 次，樣本比例（$0.49$ 或 $0.51$）也會非常接近理論值 $0.5$。
• 如果你擲 1,000,000 次，樣本平均值（正面比例）將會非常非常接近 $0.5$。

這題考驗獨立樣本 t 檢定（兩母體平均數比較），且假設母體變異數相等。

核心觀念：

1. 獨立雙樣本 t 檢定 (Independent Two-Sample t-test)： 用於比較兩個獨立樣本的平均數是否存在顯著差異。
2. 假設變異數相等 (Pooled Variance)： 當假設兩個母體的變異數相等時，我們需要計算一個合併變異數 (pooled variance) 來估計共同的母體變異數。
3. 假設檢定步驟： 建立虛無與對立假設 → 計算檢定統計量 → 決定臨界值或計算 p-value → 做出結論。

解題過程：

題目給定：

• 樣本 A：$n_A = 60$, $\bar{X}_A = 122.5$, $S_A = 21.8$
• 樣本 B：$n_B = 60$, $\bar{X}_B = 131.6$, $S_B = 23.1$
• 假設母體服從常態分佈，且母體變異數相等 ($\sigma_A^2 = \sigma_B^2$)。
• 檢定水準 $\alpha = 0.05$。

a. Establish the null and alternative hypotheses.

我們要檢定兩種治療方法 A 和 B 的效果是否相同。效果通常用平均值來衡量。

• 虛無假設 ($H_0$)：兩種治療方法的平均效果相同。
• 對立假設 ($H_1$)：兩種治療方法的平均效果不同。

數學表達式：
$H_0: \mu_A = \mu_B$ (或 $\mu_A - \mu_B = 0$)
$H_1: \mu_A \ne \mu_B$ (或 $\mu_A - \mu_B \ne 0$)
這是一個雙尾檢定 (two-tailed test)。

【答案】
$H_0: \mu_A = \mu_B$
$H_1: \mu_A \ne \mu_B$

b. Compute the test statistic for the hypothesis testing in (1).

由於假設母體變異數相等，我們首先計算合併變異數 (pooled variance, $S_p^2$)：
$S_p^2 = \frac{(n_A - 1)S_A^2 + (n_B - 1)S_B^2}{n_A + n_B - 2}$
$S_p^2 = \frac{(60 - 1)(21.8)^2 + (60 - 1)(23.1)^2}{60 + 60 - 2}$
$S_p^2 = \frac{59 \cdot (475.24) + 59 \cdot (533.61)}{118}$
$S_p^2 = \frac{28039.16 + 31482.99}{118}$

這題考驗單一樣本 t 檢定（檢定母體平均數是否大於某值）以及第二類錯誤 (Type II error) 的計算。

核心觀念：

1. 單一樣本 t 檢定 (One-Sample t-test)： 用於檢定單一樣本的平均數與一個已知的母體平均數或特定值之間是否存在顯著差異。
2. 檢定方向： 題目詢問「改善」效果，表示我們關心的是平均產量是否「增加」，因此是單尾檢定。
3. 第二類錯誤 (Type II Error)： 當虛無假設 $H_0$ 為假，但我們卻未能拒絕 $H_0$ 時，所犯的錯誤。其機率以 $\beta$ 表示。

解題過程：

已知資訊：

• 原製程平均產量：$\mu_0 = 50$ (來自歷史數據)
• 原製程標準差：$\sigma_0 = 10$ (注意：這裡給的是原製程的標準差，用於建立檢定基準。對於新製程的樣本，我們將使用樣本標準差來估計新製程的標準差，但問題中並未給出新製程的樣本標準差，這是一個潛在的問題，我們稍後處理。)
• 新製程樣本：$n = 25$, $\bar{X} = 54$
• 檢定水準 $\alpha = 0.05$

重要說明： 題目提到「原製程...標準差為 10」，但對於新製程的分析，我們只有樣本平均數 54，而沒有樣本標準差。若要進行 t 檢定，我們需要樣本標準差。然而，如果題目意圖是假設新製程的標準差也與原製程相同，即 $\sigma = 10$，那麼我們可以使用 z 檢定。但通常情況下，若未明確說明，我們應假設新製程的標準差未知，並應使用樣本標準差。
在沒有樣本標準差的情況下，常見的處理方式有兩種：

1. 假設新製程的標準差與舊製程相同 ($\sigma=10$)，則使用 z-test。
2. 題目可能漏給了新製程的樣本標準差，或者期望我們從其他資訊推導。

假設我們採用 z-test，並假設新製程的標準差 $\sigma = 10$ (與原製程相同)。

a. Establish the null and alternative hypotheses.

管理者想知道新方法是否「有效改善」製程，這表示平均產量是否大於原來的 50 件。

• 虛無假設 ($H_0$)：新製程的平均產量不超過原製程的平均產量。
• 對立假設 ($H_1$)：新製程的平均產量顯著高於原製程的平均產量。

數學表達式：
$H_0: \mu \le 50$ (或 $\mu = 50$，因為檢定時通常以邊界值 $\mu=50$ 為基礎)
$H_1: \mu > 50$
這是一個右尾檢定 (right-tailed test)。

【答案】
$H_0: \mu \le 50$
$H_1: \mu > 50$

b. Can manager claim that the new method does effectively improve the process at $\alpha = 5\%$ ?

使用 z-test，因為我們假設 $\sigma = 10$。
檢定統計量：
$z = \frac{\bar{X} - \mu_0}{\sigma / \sqrt{n}}$
$z = \frac{54 - 50}{10 / \sqrt{25}}$
$z = \frac{4}{10 / 5}$
$z = \frac{4}{2} = 2$

檢定水準 $\alpha = 0.05$，右尾檢定。
從標準常態分佈表查找，對應 $\alpha=0.05$ 的臨界值 $z_{0.05} \approx 1.645$。

比較 z 值與臨界值：
$z = 2$
臨界值 $\approx 1.645$。

因為 $z (2) > 臨界值 (1.645)$，所以我們拒絕虛無假設 $H_0$。

結論：
在 5% 的顯著水準下，管理者可以聲稱新方法確實有效地改善了製程，因為新製程的平均產量 (54) 顯著高於原製程的平均產量 (50)。

【答案】 是的，管理者可以聲稱新方法有效地改善了製程。

這題考驗適合度檢定 (Goodness-of-Fit Test)，特別是卡方檢定 (Chi-square test)，用來檢定觀察到的樣本頻率是否與預期的比例相符。

核心觀念：

1. 適合度檢定 (Goodness-of-Fit Test)： 檢定一個樣本的觀察分佈是否來自一個特定的理論分佈（或比例）。
2. 卡方適合度檢定： 當研究類別變數的觀察次數與預期次數之間的差異時，使用卡方統計量。
3. 卡方統計量公式： $\chi^2 = \sum_{i=1}^{k} \frac{(O_i - E_i)^2}{E_i}$，其中 $O_i$ 是觀察次數，$E_i$ 是預期次數，$k$ 是類別的數量。
4. 自由度： 對於適合度檢定，自由度為 $df = k - 1 - m$，其中 $k$ 是類別數， $m$ 是在計算預期次數時估計的參數數量（在此題中，預期比例是給定的，所以 $m=0$）。

解題過程：

已知資訊：

• 總樣本大小：$n = 300$
• 過去的銷售比例：
  • 30 歲以下：$p_1 = 0.40$
  • 30-50 歲：$p_2 = 0.45$
  • 50 歲以上：$p_3 = 0.15$
    (注意：$0.40 + 0.45 + 0.15 = 1.00$)
• 樣本觀察次數：
  • 30 歲以下：$O_1 = 100$
  • 30-50 歲：$O_2 = 150$
  • 50 歲以上：$O_3 = 50$
    (注意：$100 + 150 + 50 = 300$)
• 檢定水準 $\alpha = 0.01$。
• 類別數量 $k = 3$。

a. State the null and alternative hypotheses to be tested.

我們要檢定的是，當前的市場結構（銷售比例）是否與過去的市場結構相同。

• 虛無假設 ($H_0$)：當前銷售的年齡結構比例與過去相同。
  即，$p_1 = 0.40, p_2 = 0.45, p_3 = 0.15$。
• 對立假設 ($H_1$)：當前銷售的年齡結構比例與過去不同。
  即，至少有一個比例 $p_i$ 與過去的比例不同。

【答案】
$H_0: p_1 = 0.40, p_2 = 0.45, p_3 = 0.15$
$H_1:$ 至少一個 $p_i$ 不等於其對應的假設值。

b. Compute the test statistic.

這題考驗的是 F 檢定，用於比較兩個嵌套模型 (nested models) 的擬合優度，判斷新增的變數是否顯著提升模型的解釋力。

核心觀念：

1. 嵌套模型 (Nested Models)： 一個模型是另一個模型的子集，即大模型包含小模型的所有變數，再加上額外的變數。
2. F 檢定 (F-test for comparing nested models)： 用於檢定新增變數所解釋的變異量是否顯著。
3. F 統計量公式： $F = \frac{(SSE_{small} - SSE_{large}) / (df_{small} - df_{large})}{SSE_{large} / df_{large}}$
   其中 $SSE$ 是殘差平方和 (Sum of Squared Errors)，$df$ 是自由度。
   $df_{small} = n - k_{small} - 1$ (這裡 $k_{small}$ 是小模型中自變數的個數)
   $df_{large} = n - k_{large} - 1$ (這裡 $k_{large}$ 是大模型中自變數的個數)
   $df_{small} - df_{large}$ 是新增變數的個數。
4. p-value 方法： 透過計算統計量對應的 p-value，並與顯著水準 $\alpha$ 比較。若 $p < \alpha$，則拒絕虛無假設。

解題過程：

已知資訊：

• 樣本大小 $n = 45$。
• 模型 1 (小模型)：包含 2 個自變數 ($x_1, x_2$)。
  $\hat{Y} = .408 +1.3387x_1 + 2x_2$
  $SSE_{small} = 49$
  自變數個數 $k_{small} = 2$。
  小模型的自由度 $df_{small} = n - k_{small} - 1 = 45 - 2 - 1 = 42$。
• 模型 2 (大模型)：包含 4 個自變數 ($x_1, x_2, x_3, x_4$)。
  $\hat{Y} = 1.2 + 3x_1 + 12x_2+4x_3 + 8x_4$
  $SSE_{large} = 40$
  自變數個數 $k_{large} = 4$。
  大模型的自由度 $df_{large} = n - k_{large} - 1 = 45 - 4 - 1 = 40$。
• 新增變數個數：$k_{large} - k_{small} = 4 - 2 = 2$。
• 顯著水準 $\alpha = 0.05$。

a. State the null and alternative hypotheses.

我們要檢定的是，額外加入的兩個自變數 ($x_3, x_4$) 是否顯著地提高了模型的解釋力。

• 虛無假設 ($H_0$)：額外加入的兩個自變數 ($x_3, x_4$) 對模型的貢獻不顯著。也就是說，牠們的迴歸係數同時為零。

這題考驗時間序列分析中的移動平均法 (Moving Average) 和季節性指數計算 (Seasonal Index)。

核心觀念：

1. 移動平均法 (Moving Average)： 用於平滑時間序列數據，去除短期波動（如季節性或隨機波動），以顯示長期趨勢。
2. 中央移動平均 (Centered Moving Average, CMA)： 當計算偶數期數的移動平均時，需要進行二次平均以使其「居中」。例如，計算 4 週期數的移動平均，需要將前後兩個 4 週期數移動平均值取平均。
3. 季節性指數 (Seasonal Index)： 表示某個季節的數值相較於全年平均值的倍數。
4. 季節調整 (Seasonal Adjustment)： 將原始時間序列數據除以其季節性指數，以去除季節性成分。

解題過程：

**原始數據 (Sales in