109 年 國立中正大學企業管理學系碩士班丙組《統計學》

此題考驗對三角分佈機率密度函數的理解，包含求解參數與計算期望值。

核心觀念：

1. 機率密度函數的總積分必須為 1。
2. 三角分佈的期望值公式。

解題過程：
這是一個三角分佈，其機率密度函數 (PDF) 為一個三角形。從圖形中，我們可以觀察到：

• 分佈的範圍是從 $x=1$ 到 $x=4$。
• 在 $x=2$ 處達到峰值，其高度為 $a$。
• 在 $x=1$ 和 $x=4$ 處，PDF 的值為 0。

(1) 求解 $a$：
一個機率密度函數的總面積必須等於 1。這個三角形的底長為 $4 - 1 = 3$，高為 $a$。
因此，三角形面積為 $\frac{1}{2} \times \text{底} \times \text{高} = \frac{1}{2} \times 3 \times a$。
令總面積等於 1：
$\frac{1}{2} \times 3 \times a = 1$
$3a = 2$
$a = \frac{2}{3}$

(2) 計算期望值 $E(X)$：
對於一個三角分佈，其期望值 (平均值) 可以透過幾何方式或公式計算。
幾何方法：
三角分佈的期望值是其分佈範圍的中點，或者更精確地說，是三角形頂點所在位置的 $x$ 值，如果分佈是對稱的話。
在這個例子中，分佈範圍是 $[1, 4]$，最高點在 $x=2$。
由於 PDF 在 $x=2$ 處最高，且從 $x=1$ 到 $x=2$ 的斜率與從 $x=2$ 到 $x=4$ 的斜率不同，我們不能直接取中點 $(1+4)/2 = 2.5$。
我們需要計算 PDF 的形式：

• 對於 $1 \le x \le 2$：斜率為 $\frac{a - 0}{2 - 1} = a$。方程式為 $f(x) = a(x-1)$。
• 對於 $2 \le x \le 4$：斜率為 $\frac{0 - a}{4 - 2} = -\frac{a}{2}$。方程式為 $f(x) = a - \frac{a}{2}(x-2)$。

期望值 $E(X) = \int_{-\infty}^{\infty} x f(x) dx$。
$E(X) = \int_{1}^{2} x \cdot a(x-1) dx + \int_{2}^{4} x \cdot (a - \frac{a}{2}(x-2)) dx$
$E(X) = a \int_{1}^{2} (x^2 - x) dx + a \int_{2}^{4} (1 - \frac{1}{2}(x-2)) x dx$

核心觀念

每次擲硬幣時：

• 出現正面的機率為 $p$。
• 出現反面的機率為 $1-p$。

隨機變數 $X$ 表示「第一次出現正面以前，所出現的反面次數」，因此 $X$ 服從以「第一次成功前失敗次數」為定義的幾何分配：

$$P(X=x)=(1-p)^x p,\qquad x=0,1,2,\ldots$$

其中，反面視為失敗，正面視為成功。

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解題方法

（1）求 $P(X\ge 2)$

事件 $X\ge 2$ 表示在第一次出現正面以前，至少出現兩次反面。

要使 $X\ge 2$，前兩次擲硬幣必須都是反面：

$$P(X\ge 2)=P(\text{前兩次皆為反面})$$

由於各次擲硬幣彼此獨立：

$$P(X\ge 2)=(1-p)(1-p)$$

因此：

$$P(X\ge 2)=(1-p)^2$$

也可由幾何分配的尾端機率得到：

$$P(X\ge k)=(1-p)^k$$

代入 $k=2$，同樣得到 $(1-p)^2$。

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（2）求期望值 $E(X)$

對於「第一次成功前失敗次數」的幾何分配，其期望值為：

$$E(X)=\frac{1-p}{p}$$

以下以遞迴方式推導。

第一次擲硬幣有兩種情況：

此題考驗對信賴區間和樣本數決定的應用，特別是如何根據預期的誤差範圍來決定所需樣本數。

核心觀念：

1. 當母體標準差未知時，使用 $t$ 分佈來建構信賴區間。
2. 信賴區間的寬度與樣本數、標準差和信賴水準的關係。
3. 估計所需樣本數的公式。

解題過程：
管理者希望估計工作的標準時間，並要求最大誤差 (Margin of Error, MOE) 不超過 0.5 分鐘，信心水準為 95%。我們有 20 個樣本數據。

首先，我們需要根據這 20 個樣本數據計算樣本平均值 ($\bar{x}$) 和樣本標準差 ($s$)。

樣本數據：28, 29, 32, 29, 31, 32, 29, 31, 29, 32, 32, 31, 28, 32, 28, 31, 28, 29, 31, 28
共有 $n=20$ 個觀測值。

計算樣本平均值 $\bar{x}$：
$\bar{x} = \frac{28+29+32+29+31+32+29+31+29+32+32+31+28+32+28+31+28+29+31+28}{20}$
$\bar{x} = \frac{610}{20} = 30.5$

計算樣本標準差 $s$：
為了計算樣本標準差，我們需要先計算樣本變異數 $s^2$。
首先計算每個數據與平均值的差的平方：
$(28-30.5)^2 = (-2.5)^2 = 6.25$
$(29-30.5)^2 = (-1.5)^2 = 2.25$
$(32-30.5)^2 = (1.5)^2 = 2.25$
$(29-30.5)^2 = (-1.5)^2 = 2.25$
$(31-30.5)^2 = (0.5)^2 = 0.25$
$(32-30.5)^2 = (1.5)^2 = 2.25$
$(29-30.5)^2 = (-1.5)^2 = 2.25$
$(31-30.5)^2 = (0.5)^2 = 0.25$
$(29-30.5)^2 = (-1.5)^2 = 2.25$
$(32-30.5)^2 = (1.5)^2 = 2.25$
$(32-30.5)^2 = (1.5)^2 = 2.25$
$(31-30.5)^2 = (0.5)^2 = 0.25$
$(28-30.5)^2 = (-2.5)^2 = 6.25$
$(32-30.5)^2 = (1.5)^2 = 2.25$
$(28-30.5)^2 = (-2.5)^2 = 6.25$
$(31-30.5)^2 = (0.5)^2 = 0.25$
$(28-30.5)^2 = (-2.5)^2 = 6.25$
$(29-30.5)^2 = (-1.5)^2 = 2.25$
$(31-30.5)^2 = (0.5)^2 = 0.25$
$(28-30.5)^2 = (-2.5)^2 = 6.25$

總和為：
$6.25 \times 5 + 2.25 \times 8 + 0.25 \times 7 = 31.25 + 18 + 1.75 = 51$
(注意：仔細數一下數據的頻率：28出現5次, 29出現5次, 31出現5次, 32出現5次。平均值是30.5。
28: 5 * (-2.5)^2 = 5 * 6.25 = 31.25
29: 5 * (-1.5)^2 = 5 * 2.25 = 11.25
31: 5 * (0.5)^2 = 5 * 0.25 = 1.25
32: 5 * (1.5)^2 = 5 * 2.25 = 11.25
總和 = 31.25 + 11.25 + 1.25 + 11.25 = 55)

∑(xᵢ - $\bar{x}$)$^2$ = 55
樣本變異數 $s^2 = \frac{\sum(x_i - \bar{x})^2}{n-1} = \frac{55}{20-1} = \frac{55}{19} \approx 2.8947$
樣本標準差 $s = \sqrt{\frac{55}{19}} \approx 1.7014$

現在我們有：
$\bar{x} = 30.5$
$s \approx 1.7014$
$n = 20$
信心水準 = 95%，所以 $\alpha = 0.05$。
由於我們使用樣本標準差，並且樣本數不大 ($n=20$)，我們需要使用 $t$ 分佈。
自由度 $df = n-1 = 20-1 = 19$。
查 $t$ 分佈表，在 $df=19$ 和 $\alpha/2 = 0.025$ 的地方，臨界值 $t_{\alpha/2, df} = t_{0.025, 19} \approx 2.093$。

此題考驗對變異數同質性檢定 (Test for Equality of Variances)，特別是使用 F 檢定來比較兩個獨立樣本的變異數。

核心觀念：

1. 變異數同質性檢定的目的：判斷兩個母體的變異數是否相等。
2. F 檢定的統計量、自由度以及臨界值。
3. 虛無假設與對立假設的設定。

解題過程：
我們需要檢定兩個物種 (原始物種和新物種) 的變異數是否相等。
給定的數據如下：
原始物種：樣本數 $n_1 = 20$，樣本變異數 $s_1^2 = 450$。
新物種：樣本數 $n_2 = 30$，樣本變異數 $s_2^2 = 550$。
顯著水準 $\alpha = 10\% = 0.10$。

(1) 設定虛無假設 ($H_0$) 與對立假設 ($H_1$)：
我們想知道兩個物種的「多樣性特徵」是否可能不同，這可以透過檢定它們的變異數是否相等來判斷。如果變異數顯著不同，則表示多樣性特徵可能不同。
$H_0$: $\sigma_1^2 = \sigma_2^2$ (兩個物種的母體變異數相等)
$H_1$: $\sigma_1^2 \ne \sigma_2^2$ (兩個物種的母體變異數不相等)
這是一個雙尾檢定。

(2) 計算檢定統計量 F：
F 檢定的統計量是兩個樣本變異數的比值。通常，我們將較大的樣本變異數放在分子，以確保 F 值大於 1，這有助於查找單尾的 F 分佈表。
$s_{larger}^2 = s_2^2 = 550$ (新物種)
$s_{smaller}^2 = s_1^2 = 450$ (原始物種)
檢定統計量 $F = \frac{s_{larger}^2}{s_{smaller}^2} = \frac{550}{450} = \frac{55}{45} = \frac{11}{9} \approx 1.222$

此題考驗對比例檢定 (Test for Proportions) 的應用，特別是比較兩個不同時間點的比例，以判斷比例是否有顯著下降。

核心觀念：

1. 兩個獨立比例的比較檢定。
2. 虛無假設與對立假設的設定，以及顯著水準的應用。
3. 檢定統計量的計算與臨界值的判斷。

解題過程：
我們需要檢定在 11 月和 12 月之間，支持候選人 X 的選民比例是否有顯著下降。
樣本數據：
11 月：總選民數 $n_1 = 10,000$，支持候選人 X 的選民數 $x_1 = 2,500$。
12 月：總選民數 $n_2 = 10,000$，支持候選人 X 的選民數 $x_2 = 2,300$。
顯著水準 $\alpha = 5\% = 0.05$。

(1) 設定虛無假設 ($H_0$) 與對立假設 ($H_1$)：
我們想檢定比例是否「下降」，這表示 12 月的比例應小於 11 月的比例。
$H_0$: $p_1 \le p_2$ (11 月支持比例不小於 12 月支持比例，即比例沒有顯著下降)
$H_1$: $p_1 > p_2$ (11 月支持比例大於 12 月支持比例，即比例顯著下降)
這是一個單尾檢定。

(2) 計算樣本比例：
11 月的樣本比例 $\hat{p}_1 = \frac{x_1}{n_1} = \frac{2500}{10000} = 0.25$。
12 月的樣本比例 $\hat{p}_2 = \frac{x_2}{n_2} = \frac{2300}{10000} = 0.23$。

(3) 計算合併比例 (pooled proportion)，用於虛無假設下的檢定：
在檢定比例時，如果虛無假設是兩個比例相等，我們通常會計算一個合併比例。

此題考驗對單因子變異數分析 (One-Way ANOVA) 的理解，包含設定假設、計算檢定統計量以及解讀 p-value。

核心觀念：

1. ANOVA 的目的：比較三個或更多母體平均數是否相等。
2. ANOVA 的假設檢定：虛無假設與對立假設。
3. ANOVA 的檢定統計量：F 統計量。
4. p-value 的概念與解讀。

解題過程：
這是一個單因子變異數分析 (ANOVA) 的題目，我們有三個母體，每個母體抽取了 8 個樣本，總樣本數為 $N = 3 \times 8 = 24$。
提供的數據是 ANOVA 表的一部分：
Between Treatments Sum of Squares (SST) = 216
Within Treatments Sum of Squares (SSE) = 252

(1) 設定虛無假設 ($H_0$) 與對立假設 ($H_1$)：
ANOVA 的目的是檢定三個或更多母體的平均數是否相等。
$H_0$: $\mu_1 = \mu_2 = \mu_3$ (三個母體的平均數相等)
$H_1$: 至少有一個母體的平均數與其他不同 (即 $\mu_i$ 不全相等)
顯著水準 $\alpha = 0.05$。

(2) 計算檢定統計量 (F 統計量)：
要計算 F 統計量，我們需要先計算各個自由度 (Degrees of Freedom, df) 和均方 (Mean Square, MS)。

• Between Treatments (組間) 的自由度:
  $df_{Between} = k - 1$，其中 $k$ 是群組 (母體) 的數量。
  在此題中，$k=3$ (三個母體)。
  $df_{Between} = 3 - 1 = 2$。

• Within Treatments (組內 / 誤差) 的自由度:
  $df_{Within} = N - k$，其中 $N$ 是總樣本數。
  $df_{Within} = 24 - 3 = 21$。

• 組間均方 (Mean Square Between, MSB):
  $MSB = \frac{SST}{df_{Between}} = \frac{216}{2} = 108$。

• 組內均方 (Mean Square Within, MSW):
  $MSW = \frac{SSE}{df_{Within}} = \frac{252}{21} = 12$。

• F 統計量:
  $F = \frac{MSB}{MSW} = \frac{108}{12} = 9$。

將計算出的 df 和 MS 填入 ANOVA 表：

此題考驗對簡單線性迴歸的綜合應用，包含樣本數、假設檢定、迴歸係數的解釋以及預測。

核心觀念：

1. 迴歸分析的 ANOVA 表與樣本數的關係。
2. 迴歸係數的 t 檢定。
3. 判定係數 ($R^2$) 的計算與解釋。
4. 迴歸方程式的應用進行預測。

解題過程：
這是一個簡單線性迴歸問題，其中 $y$ 代表銷售額 (百萬美元)，$x$ 代表廣告支出 (千美元)。

(1) 樣本數的判斷：
迴歸分析的 ANOVA 表提供了 Error 的自由度 (df)。
對於簡單線性迴歸 (一個自變數)，Error 的自由度為 $df_{Error} = n - 2$，其中 $n$ 是樣本數。
從表格中得知，$df_{Error} = 18$。
所以，$n - 2 = 18 \implies n = 20$。
總樣本數為 20。

(2) 廣告支出與銷售額的關係檢定 (t 檢定)：
我們需要檢定自變數 $x$ (廣告支出) 的迴歸係數是否顯著不為零。
虛無假設 $H_0: \beta_1 = 0$ (廣告支出與銷售額無關)
對立假設 $H_1: \beta_1 \ne 0$ (廣告支出與銷售額有關)
顯著水準 $\alpha = 0.05$。

從迴歸輸出表格中，我們可以看到：
自變數 $x$ 的係數 (Coefficient) $\hat{\beta}_1 = 0.12$。
自變數 $x$ 的標準誤 (Standard Error) $SE(\hat{\beta}_1) = 0.045$。

檢定統計量 $t = \frac{\hat{\beta}_1 - 0}{SE(\hat{\beta}_1)} = \frac{0.12}{0.045}$。
$t = \frac{120}{45} = \frac{8}{3} \approx 2.667$。

自由度為 $df = n - 2 = 20 - 2 = 18$。
對於雙尾檢定，$\alpha = 0.05$，我們需要查找 $t_{\alpha/2, df} = t_{0.025, 18}$ 的臨界值。
查閱 t 分佈表 (Page 5)，在 $df=18$ 和 $\alpha/2 = 0.025$ 的地方，臨界值 $t_{0.025, 18} \approx 2.101$。

比較檢定統計量與臨界值：
$|t| = 2.667 > 2.101$。
因此，我們拒絕虛無假設 $H_0$。
結論：在 5% 的顯著水準下，廣告支出與銷售額之間存在顯著的線性關係。

(3) 計算判定係數 ($R^2$)：
判定係數 $R^2$ 可以從 ANOVA 表計算得出，或者通過迴歸係數的平方比值計算。
$R^2 = \frac{SS_{Regression}}{SS_{Total}}$
$SS_{Total} = SS_{Regression} + SS_{Error}$
從 ANOVA 表中，我們有 $SS_{Regression} = 1400$ 和 $SS_{Error} = 3600$。

此題考驗對時間序列分析的幾種基本預測方法的應用，包含移動平均法、指數平滑法，以及預測準確度的評估。

核心觀念：

1. 移動平均法 (Moving Average)：計算過去 k 期數據的平均值作為下一期的預測。
2. 平均平方誤差 (Mean Squared Error, MSE)：衡量預測值與實際值之間的平均差異平方。
3. 指數平滑法 (Exponential Smoothing)：一種加權平均法，近期數據權重較大。
4. 預測方法的選擇與應用。

解題過程：
時間序列數據：
Month (t): 1, 2, 3, 4, 5, 6
Units Sold (Yt) (Thousands): 8, 3, 4, 5, 12, 10

(1) 計算三個月移動平均 (3-Month Moving Averages, MA(3))：
移動平均值用於預測下一期的數值。因此，三個月移動平均值將用來預測第 4, 5, 6 期。
MA(3) for period $t$ is the average of $Y_{t-1}, Y_{t-2}, Y_{t-3}$。

• 預測第 4 期 ($t=4$)：MA(3) = $(Y_1 + Y_2 + Y_3) / 3 = (8 + 3 + 4) / 3 = 15 / 3 = 5$。
• 預測第 5 期 ($t=5$)：MA(3) = $(Y_2 + Y_3 + Y_4) / 3 = (3 + 4 + 5) / 3 = 12 / 3 = 4$。
• 預測第 6 期 ($t=6$)：MA(3) = $(Y_3 + Y_4 + Y_5) / 3 = (4 + 5 + 12) / 3 = 21 / 3 = 7$。

計算結果：
預測值 $\hat{Y}_4 = 5$
預測值 $\hat{Y}_5 = 4$
預測值 $\hat{Y}_6 = 7$

(2) 計算三個月移動平均的平均平方誤差 (MSE)：
MSE = $\frac{1}{n'} \sum_{t=t_0}^{t_0+n'-1} (Y_t - \hat{Y}_t)^2$，其中 $n'$ 是可計算預測值的時期數。
在此，我們可以計算第 4, 5, 6 期 (共 3 期) 的 MSE。

• 第 4 期誤差：$e_4 = Y_4 - \hat{Y}_4 = 5 - 5 = 0$。
• 第 5 期誤差：$e_5 = Y_5 - \hat{Y}_5 = 12 - 4 = 8$。
• 第 6 期誤差：$e_6 = Y_6 - \hat{Y}_6 = 10 - 7 = 3$。

誤差平方：
$e_4^2 = 0^2 = 0$
$e_5^2 = 8^2 = 64$
$e_6^2 = 3^2 = 9$

MSE = $\frac{e_4^2 + e_5^2 + e_6^2}{3} = \frac{0 + 64 + 9}{3} = \frac{73}{3} \approx 24.333$。

(3) 使用 $\alpha = 0.2$ 計算指數平滑值：
指數平滑法的公式為：$\hat{Y}_t = \alpha Y_{t-1} + (1-\alpha) \hat{Y}_{t-1}$。
我們需要一個初始的預測值 $\hat{Y}_1$。通常可以使用第一個數據點 $Y_1$ 作為 $\hat{Y}_1$ 的初始值，或者取前幾期的平均值。這裡我們假設 $\hat{Y}_1 = Y_1 = 8$。
平滑係數 $\alpha = 0.2$。

• $\hat{Y}_2 = \alpha Y_1 + (1-\alpha) \hat{Y}_1 = 0.2 \times 8 + (1-0.2) \times 8 = 0.2 \times 8 + 0.8 \times 8 = 8$。
• $\hat{Y}_3 = \alpha Y_2 + (1-\alpha) \hat{Y}_2 = 0.2 \times 3 + 0.8 \times 8 = 0.6 + 6.4 = 7$。