114 年 國立中正大學企業管理學系碩士班丙組《統計學》

此題考驗機率的計算，包含離散隨機變數的定義、聯合機率以及條件機率。

核心觀念：

1. 離散隨機變數 $Y$ 的定義：兩次骰子點數的最小值。
2. 離散隨機變數 $Z$ 的定義：投擲 $Y$ 次公平硬幣出現的正面次數。
3. 計算聯合機率 $P(Y=Z)$。
4. 計算邊際機率 $P(Z=1)$。

解題步驟：

首先，我們需要確定 $Y$ 的可能取值及其機率分佈。$Y$ 是兩次骰子點數的最小值，所以 $Y$ 的可能取值為 $\{1, 2, 3, 4, 5, 6\}$。
計算 $P(Y=y)$：
$P(Y=1)$: 至少一次出現 1。這表示兩次點數為 (1,1), (1,2), (1,3), (1,4), (1,5), (1,6), (2,1), (3,1), (4,1), (5,1), (6,1)。共有 11 種組合。總共有 $6 \times 6 = 36$ 種可能結果。所以 $P(Y=1) = \frac{11}{36}$。
或者，用補集法：$P(Y=1) = 1 - P(Y > 1)$。$P(Y > 1)$ 表示兩次點數都大於 1，即點數都在 $\{2,3,4,5,6\}$。有 $5 \times 5 = 25$ 種組合。所以 $P(Y > 1) = \frac{25}{36}$。因此 $P(Y=1) = 1 - \frac{25}{36} = \frac{11}{36}$。

$P(Y=2)$: 最小值為 2。這表示兩次點數都大於等於 2，且至少一次出現 2。
兩次點數都在 $\{2,3,4,5,6\}$ 的組合有 $5 \times 5 = 25$ 種。
其中，兩次點數都大於 2 (即都在 $\{3,4,5,6\}$) 的組合有 $4 \times 4 = 16$ 種。
所以，最小值為 2 的組合數為 $25 - 16 = 9$ 種。
$P(Y=2) = \frac{9}{36}$。

$P(Y=3)$: 最小值為 3。兩次點數都在 $\{3,4,5,6\}$ 的組合數為 $4 \times 4 = 16$。
兩次點數都大於 3 (即都在 $\{4,5,6\}$) 的組合數為 $3 \times 3 = 9$。
所以，最小值為 3 的組合數為 $16 - 9 = 7$ 種。
$P(Y=3) = \frac{7}{36}$。

$P(Y=4)$: 最小值為 4。兩次點數都在 $\{4,5,6\}$ 的組合數為 $3 \times 3 = 9$。
兩次點數都大於 4 (即都在 $\{5,6\}$) 的組合數為 $2 \times 2 = 4$。
所以，最小值為 4 的組合數為 $9 - 4 = 5$ 種。
$P(Y=4) = \frac{5}{36}$。

$P(Y=5)$: 最小值為 5。兩次點數都在 $\{5,6\}$ 的組合數為 $2 \times 2 = 4$。
兩次點數都大於 5 (即都在 $\{6\}$) 的組合數為 $1 \times 1 = 1$。
所以，最小值為 5 的組合數為 $4 - 1 = 3$ 種。
$P(Y=5) = \frac{3}{36}$。

$P(Y=6)$: 最小值為 6。只有一種組合 (6,6)。
$P(Y=6) = \frac{1}{36}$。

驗證機率總和：$\frac{11+9+7+5+3+1}{36} = \frac{36}{36} = 1$。

(1) 計算 $P(Y = Z)$：
$Z$ 是投擲 $Y$ 次公平硬幣出現的正面次數，所以 $Z$ 服從二項分佈 $B(Y, 0.5)$。
$P(Y=Z) = \sum_{y=1}^{6} P(Y=Z | Y=y) P(Y=y)$
$P(Y=Z | Y=y) = P(Z=y | Y=y)$。在 $Y=y$ 的條件下，我們投擲 $y$ 次硬幣，正面次數為 $Z$。因此 $P(Z=y | Y=y)$ 是投擲 $y$ 次硬幣恰好出現 $y$ 次正面的機率，即 $P(Z=y) = \binom{y}{y} (0.5)^y (0.5)^{y-y} = (0.5)^y$。

所以，$P(Y=Z) = \sum_{y=1}^{6} P(Z=y | Y=y) P(Y=y) = \sum_{y=1}^{6} (0.5)^y P(Y=y)$

此題考驗對二項分佈的理解，包括其期望值、變異數的計算，以及在試驗次數較多時，利用常態分佈近似二項分佈計算機率。

核心觀念：

1. 二項分佈的期望值 $E(X) = np$。
2. 二項分佈的變異數 $Var(X) = np(1-p)$。
3. 當 $n$ 夠大，$np \ge 5$ 且 $n(1-p) \ge 5$ 時，二項分佈可用常態分佈近似。
4. 常態分佈近似二項分佈時，需使用連續性修正 (continuity correction)。

解題步驟：

此隨機實驗為進行 $n=50$ 次獨立試驗，每次試驗成功的機率為 $p=0.3$。
隨機變數 $X$ 表示成功的次數，因此 $X$ 服從二項分佈 $X \sim B(n, p)$，即 $X \sim B(50, 0.3)$。

(1) 計算 $E(X)$ 和 $Var(X)$：
期望值 (Mean):
$E(X) = np = 50 \times 0.3 = 15$。

變異數 (Variance):
$Var(X) = np(1-p) = 50 \times 0.3 \times (1 - 0.3) = 50 \times 0.3 \times 0.7 = 15 \times 0.7 = 10.5$。

此題考驗對單一樣本比例檢定 (或平均數檢定，這裡視為比例) 的理解，包含建立假設、執行檢定與計算檢定力。雖然題目敘述為 "yield rate"，但提供的樣本資訊是平均值 (75%)，且原始製程的 "yield rate" (70%) 也是一個比例值。若將 "yield rate" 解讀為成功機率 (比例)，則應使用比例檢定。若解讀為平均值，則需使用平均數檢定。根據題目常見的 "yield rate" 語境，通常指成功率，故此處採用比例檢定。若題目意圖為平均數檢定，則需使用 Z 檢定或 t 檢定 (若母體變異數未知)。由於樣本數 400 很大，Z 檢定是合適的。

核心觀念：

1. 建立單尾檢定的虛無假設 ($H_0$) 與對立假設 ($H_1$)。
2. 執行 Z 檢定，計算檢定統計量並與臨界值比較，或計算 p-value。
3. 計算檢定力 (Power of the test)，即當對立假設為真時，正確拒絕虛無假設的機率，即 $1 - \beta$，其中 $\beta$ 是第二類錯誤的機率。

解題步驟：

原始製程的 yield rate (成功率) 為 $p_0 = 0.70$。
從改進後的製程中抽取樣本，樣本大小 $n=400$。
樣本平均 yield rate $\bar{p} = 0.75$。

(1) 建立虛無與對立假設：
管理者想知道改進後的製程是否 "更好"，這表示 yield rate 是否顯著高於 70%。因此，這是一個單尾檢定。
虛無假設 ($H_0$): 改進後製程的 yield rate 不優於原始製程。
對立假設 ($H_1$): 改進後製程的 yield rate 優於原始製程。

符號表示：
令 $p$ 為改進後製程的真實 yield rate。
$H_0: p \le 0.70$ (或 $H_0: p = 0.70$，在檢定時通常使用等號)
$H_1: p > 0.70$

(2) 在 $\alpha = 5\%$ 下，管理者是否能聲稱改進製程更好？
這是一個單一比例的 Z 檢定。
檢定統計量為：
$Z = \frac{\bar{p} - p_0}{\sqrt{\frac{p_0(1-p_0)}{n}}}$
其中 $\bar{p}$ 是樣本比例， $p_0$ 是虛無假設下的母體比例， $n$ 是樣本大小。

代入數值：
$p_0 = 0.70$
$\bar{p} = 0.75$
$n = 400$
$\sqrt{\frac{p_0(1-p_0)}{n}} = \sqrt{\frac{0.70(1-0.70)}{400}} = \sqrt{\frac{0.70 \times 0.30}{400}} = \sqrt{\frac{0.21}{400}} = \sqrt{0.000525} \approx 0.02291$。

檢定統計量：
$Z = \frac{0.75 - 0.70}{0.02291} = \frac{0.05}{0.02291} \approx 2.182$。

顯著水準 $\alpha = 0.05$。由於是對立假設 $p > 0.70$ 進行單尾檢定，我們需要找出 $\alpha = 0.05$ 時的 Z 臨界值。
查標準常態分佈表， $P(Z > z_{\alpha}) = 0.05$，得到 $z_{0.05} \approx 1.645$。

比較檢定統計量與臨界值：
$Z_{computed} = 2.182 > z_{critical} = 1.645$。
因為檢定統計量大於臨界值，我們拒絕虛無假設 $H_0$。

此題考驗對兩獨立樣本比例檢定 (Two-sample proportion test) 的理解，包含建立假設、計算檢定統計量並解釋結果。

核心觀念：

1. 建立虛無假設 ($H_0$) 與對立假設 ($H_1$) 來比較兩個母體比例。
2. 計算樣本比例，並在虛無假設成立的條件下，合併樣本比例以估計共同的母體比例。
3. 計算 Z 檢定統計量。
4. 根據檢定統計量和顯著水準，做出結論。

解題步驟：

令 $p_1$ 為製程一的真實比例 defective， $p_2$ 為製程二的真實比例 defective。
樣本一：$n_1 = 200$，樣本 defective 數 $x_1 = 15$。樣本比例 $\hat{p}_1 = \frac{15}{200} = 0.075$。
樣本二：$n_2 = 200$，樣本 defective 數 $x_2 = 10$。樣本比例 $\hat{p}_2 = \frac{10}{200} = 0.05$。

(1) 建立虛無與對立假設：
品質工程師想檢驗兩種技術下的 defective 比例是否不同。這是一個雙尾檢定。
虛無假設 ($H_0$): 兩種技術的 defective 比例相同。
對立假設 ($H_1$): 兩種技術的 defective 比例不同。

符號表示：
$H_0: p_1 = p_2$ (或 $p_1 - p_2 = 0$)
$H_1: p_1 \ne p_2$ (或 $p_1 - p_2 \ne 0$)

(2) 計算檢定統計量：
檢定統計量為 Z 統計量，公式為：
$Z = \frac{(\hat{p}_1 - \hat{p}_2) - (p_1 - p_2)_0}{\sqrt{\hat{p}_c (1-\hat{p}_c) (\frac{1}{n_1} + \frac{1}{n_2})}}$
其中 $(p_1 - p_2)_0$ 是虛無假設下的差值，在此為 0。
$\hat{p}_c$ 是合併樣本比例 (pooled proportion)，當 $H_0$ 假設 $p_1 = p_2$ 時使用。
$\hat{p}_c = \frac{x_1 + x_2}{n_1 + n_2}$

此題考驗對多元迴歸分析結果的解讀，包含樣本數估計、個別迴歸係數的顯著性檢定、信賴區間的計算，以及對平均預測值的信賴區間計算。

核心觀念：

1. 多元迴歸中的自由度 (DF) 與樣本數 (n) 的關係。
2. 迴歸係數的 t 檢定與 p-value (或 t 臨界值) 的判斷。
3. 迴歸係數的信賴區間計算。
4. 平均預測值的信賴區間計算。

解題步驟：

迴歸模型為：$Y = \beta_0 + \beta_1 X_{\text{INCOME}} + \beta_2 X_{\text{DEPEND}} + \beta_3 X_{\text{SELFEMP}} + \beta_4 X_{\text{MORTG}} + \epsilon$
根據輸出：
$\hat{Y} = -3483 + 0.4051 X_{\text{INCOME}} - 1063.6 X_{\text{DEPEND}} - 1007.6 X_{\text{SELFEMP}} - 3.846 X_{\text{MORTG}}$

(1) 迴歸方程式的樣本數為何？
多元迴歸分析的輸出中，通常會提供自由度 (DF)。
Error DF (殘差自由度) = $n - k - 1$
其中 $n$ 是樣本數， $k$ 是自變數的個數。
從表格中，Error DF = 15。
自變數有：INCOME, DEPEND, SELFEMP, MORTG，共 $k=4$ 個。
所以，$15 = n - 4 - 1$
$15 = n - 5$
$n = 15 + 5 = 20$。

因此，迴歸方程式是基於 $n=20$ 的樣本數。

(2) 在 $\alpha = 0.05$ 的顯著水準下，哪個斜率不顯著異於零？
我們需要檢視每個自變數的 t-ratio (t 統計量) 與其對應的顯著水準 $\alpha=0.05$。
對於一個雙尾檢定，若 $|t\text{-ratio}| < t_{\alpha/2, n-k-1}$，則該係數不顯著異於零。
在這裡，$n-k-1 = 15$ (Error DF)。
查 t 分配表，自由度為 15， $\alpha=0.05$ 的雙尾臨界值 $t_{0.025, 15} \approx 2.131$。

檢視各變數的 t-ratio：

• INCOME: t-ratio = 11.22。$|11.22| > 2.131$，顯著。
• DEPEND: t-ratio = -3.16。$|-3.16| > 2.131$，顯著。
• SELFEMP: t-ratio = -1.07。$|-1.07| < 2.131$，不顯著。
• MORTG: t-ratio = -2.55。$|-2.55| > 2.131$，顯著。

此題考驗對指數平滑法的理解與應用，包含計算預測值、平均平方誤差 (MSE)，以及如何選擇最佳平滑常數。

核心觀念：

1. 一次指數平滑法的公式：$\hat{y}_t = \alpha y_{t-1} + (1-\alpha) \hat{y}_{t-1}$。
2. 平均平方誤差 (MSE) 的計算：$MSE = \frac{1}{T} \sum_{t=1}^{T} (y_t - \hat{y}_t)^2$。
3. 選擇最佳平滑常數的原則：通常選擇能使 MSE 最小的常數。

解題步驟：

給定資料：
$y_1=82, y_2=80, y_3=84, y_4=83, y_5=80, y_6=79, y_7=82$
平滑常數 $\alpha = 0.2$。
第一次預測值 $\hat{y}_1$ 通常設為 $y_1$ 或 $\bar{y}$。這裡我們設 $\hat{y}_1 = y_1 = 82$。

(1) 使用 $\alpha = 0.2$ 的指數平滑法計算預測值：
公式：$\hat{y}_t = \alpha y_{t-1} + (1-\alpha) \hat{y}_{t-1}$
$\hat{y}_1 = 82$ (起始值)

$t=2$:
$\hat{y}_2 = \alpha y_1 + (1-\alpha) \hat{y}_1 = 0.2 \times 82 + (1-0.2) \times 82 = 0.2 \times 82 + 0.8 \times 82 = 82$。
(注意：如果 $\hat{y}_1 = y_1$，則 $\hat{y}_2 = y_1$。如果 $\hat{y}_1$ 是其他值，則會不同。)
讓我們採用常見做法： $\hat{y}_1$ 設為 $y_1$，然後從 $t=2$ 開始計算。

$t=1$: $y_1=82$, $\hat{y}_1=82$ (起始值)
$t=2$: $y_2=80$, $\hat{y}_2 = 0.2 y_1 + 0.8 \hat{y}_1 = 0.2(82) + 0.8(82) = 82$
$t=3$: $y_3=84$, $\hat{y}_3 = 0.2 y_2 + 0.8 \hat{y}_2 = 0.2(80) + 0.8(82) = 16 + 65.6 = 81.6$
$t=4$: $y_4=83$, $\hat{y}_4 = 0.2 y_3 + 0.8 \hat{y}_3 = 0.2(84) + 0.8(81.6) = 16.8 + 65.28 = 82.08$
$t=5$: $y_5=80$, $\hat{y}_5 = 0.2 y_4 + 0.8 \hat{y}_4 = 0.2(83) + 0.8(82.08) = 16.6 + 65.664 = 82.264$
$t=6$: $y_6=79$, $\hat{y}_6 = 0.2 y_5 + 0.8 \hat{y}_5 = 0.2(80) + 0.8(82.264) = 16 + 65.8112 = 81.8112$
$t=7$: $y_7=82$, $\hat{y}_7 = 0.2 y_6 + 0.8 \hat{y}_6 = 0.2(79) + 0.8(81.8112) = 15.8 + 65.44896 = 81.24896$

以下是預測值列表 (保留小數點後 3 位)：
$\hat{y}_1 = 82.000$
$\hat{y}_2 = 82.000$
$\hat{y}_3 = 81.600$
$\hat{y}_4 = 82.080$
$\hat{y}_5 = 82.264$
$\hat{y}_6 = 81.811$
$\hat{y}_7 = 81.249$

(2) 計算 $\alpha = 0.2$ 時的平均平方誤差 (MSE)：
MSE $= \frac{1}{T} \sum_{t=1}^{T} (y_t - \hat{y}_t)^2$。這裡的 $T$ 是實際的觀測天數。
我們有 7 天的資料，但預測值 $\hat{y}_t$ 是從 $t=2$ 開始才真正是預測。$\hat{y}_1$ 是起始值。
通常，MSE 的計算是基於有預測值和實際值的配對。所以我們從 $t=2$ 開始計算。
考慮 $T=6$ (從 $t=2$ 到 $t=7$)。
$e_t = y_t - \hat{y}_t$
$e_2 = y_2 - \hat{y}_2 = 80 - 82.000 = -2.000$
$e_3 = y_3 - \hat{y}_3 = 84 - 81.600 = 2.400$
$e_4 = y_4 - \hat{y}_4 = 83 - 82.080 = 0.920$
$e_5 = y_5 - \hat{y}_5 = 80 - 82.264 = -2.264$
$e_6 = y_6 - \hat{y}_6 = 79 - 81.811 = -2.811$
$e_7 = y_7 - \hat{y}_7 = 82 - 81.249 = 0.751$

$e_t^2$:
$e_2^2 = (-2.000)^2 = 4.000$
$e_3^2 = (2.400)^2 = 5.760$
$e_4^2 = (0.920)^2 = 0.8464$
$e_5^2 = (-2.264)^2 = 5.125956$
$e_6^2 = (-2.811)^2 = 7.899721$

此題考驗對卡方獨立性檢定 (Chi-square test of independence) 的理解，包含建立假設、計算期望次數、卡方檢定統計量，以及根據 p-value 或臨界值做出結論。

核心觀念：

1. 卡方獨立性檢定的假設：虛無假設 ($H_0$) 是兩個分類變數獨立，對立假設 ($H_1$) 是兩個變數不獨立。
2. 期望次數的計算：$E_{ij} = \frac{(\text{Row Total}_i) \times (\text{Column Total}_j)}{\text{Grand Total}}$。
3. 卡方檢定統計量：$\chi^2 = \sum \frac{(O_{ij} - E_{ij})^2}{E_{ij}}$。
4. 自由度 (df) 的計算：df = (Number of Rows - 1) $\times$ (Number of Columns - 1)。
5. 根據 $\alpha$ 和 df 查卡方分配表，得出臨界值，或計算 p-value。

解題步驟：

首先，列出觀察次數 (Observed Frequencies, $O_{ij}$) 的列聯表：

Major	Top Management (Col 1)	Middle Management (Col 2)	Row Total
Management	65 ($O_{11}$)	60 ($O_{12}$)	125 ($R_1$)
Marketing	30 ($O_{21}$)	20 ($O_{22}$)	50 ($R_2$)
Accounting	25 ($O_{31}$)	50 ($O_{32}$)	75 ($R_3$)
Column Total	120 ($C_1$)	130 ($C_2$)	250 (N)

總樣本數 $N = 250$。
有 3 個列 (Major) 和 2 個欄 (Position in Management)。

(1) 建立虛無與對立假設：
$H_0$: 管理者的職位與其專業領域是獨立的。
$H_1$: 管理者的職位與其專業領域是不獨立的 (有關聯)。

(2) 計算期望次數 ($E_{ij}$)：
$E_{11} = \frac{R_1 \times C_1}{N} = \frac{125 \times 120}{250} = \frac{15000}{250} = 60$
$E_{12} = \frac{R_1 \times C_2}{N} = \frac{125 \times 130}{250} = \frac{16250}{250} = 65$