112 年 國立中正大學企業管理學系碩士班乙組《經濟學》

核心觀念

本題考查不確定性下的選擇（Choice under Uncertainty）與期望效用理論（Expected Utility Theory）。

在面臨不確定性時，理性決策者會選擇能極小化風險或極大化**期望效用（Expected Utility, $EU$）**的方案。

1. 期望報酬（Expected Value, $EV$）：各結果報酬乘以其對應發生機率之總和。
   $EV = \sum_{i} P_i \times I_i$
2. 期望效用（Expected Utility, $EU$）：各結果效用乘以其對應發生機率之總和。
   $EU = \sum_{i} P_i \times U(I_i)$
3. 風險偏好（Risk Attitude）：當決策者的效用函數為 $U(I) = I$ 時，邊際效用為常數（$U''(I) = 0$），代表該決策者為風險中立者（Risk-Neutral）。對風險中立者而言，比較期望效用 $EU$ 等同於直接比較期望報酬 $EV$。

解題方法與推導

題目給定 Bob 的效用函數為 $U = I$。欲判斷 Bob 會選擇哪一個投資方案（Investment X 或 Investment Y），需計算並比較兩方案的期望效用 $EU_X$ 與 $EU_Y$。

步驟一：計算 Investment X 的期望效用 $EU_X$

根據投資 X 的報酬與機率分佈：

• Payoff = $200, 機率 = $20\% = 0.2$
• Payoff = $400, 機率 = $60\% = 0.6$
• Payoff = $600, 機率 = $20\% = 0.2$

$EU_X = 0.2 \times U(200) + 0.6 \times U(400) + 0.2 \times U(600)$

因 $U(I) = I$：
$EU_X = 0.2 \times 200 + 0.6 \times 400 + 0.2 \times 600 = 40 + 240 + 120 = 400$

步驟二：計算 Investment Y 的期望效用 $EU_Y$

根據投資 Y 的報酬與機率分佈：

• Payoff = $200, 機率 = $30\% = 0.3$
• Payoff = $400, 機率 = $40\% = 0.4$

核心觀念

本題考查不確定性下的選擇（Choice under Uncertainty）與期望效用理論（Expected Utility Theory, EUT）。

在面臨不確定性時，具有風險偏好的個體不會僅憑「期望金額（Expected Value, EV）」決定選擇，而是會根據「期望效用（Expected Utility, EU）」最大化來決定購買哪一個投資案（彩券）：
$EU(I) = \sum_{i=1}^{n} P_i \cdot U(I_i)$
其中，$P_i$ 為發生狀況 $i$ 的機率，$I_i$ 為狀況 $i$ 下的報酬（Payoff），$U(I_i)$ 為該報酬帶給決策者的效用。

解題方法

首先留意題目中的選項標示（A, B）與題幹中的投資標的名稱（X, Y）之對應關係。在標準考題設定中，選項的 A 即代表投資案 X（Investment X），B 即代表投資案 Y（Investment Y）。

決策流程如下：

1. 分別計算 Al 購買投資案 X 與投資案 Y 的期望效用 $EU_X$ 與 $EU_Y$。
2. 比較兩者的期望效用大小：
   • 若 $EU_X > EU_Y$，則選擇 A（X）。
   • 若 $EU_Y > EU_X$，則選擇 B（Y）。
   • 若 $EU_X = EU_Y$，則選擇 A 或 B（X 或 Y 皆可）。

已知 Al 的效用函數為 $U(I) = \sqrt{I}$。

關鍵計算步驟：

1. 投資案 X（Investment X）的期望效用 $EU_X$：
   $EU_X = 0.2 \cdot \sqrt{200} + 0.6 \cdot \sqrt{400} + 0.2 \cdot \sqrt{600}$
   化簡各項根號數值：

   • $\sqrt{200} = 10\sqrt{2} \approx 10 \times 1.414 = 14.14$
   • $\sqrt{400} = 20$
   • $\sqrt{600} = 10\sqrt{6} \approx 10 \times 2.449 = 24.49$

   代入計算：
   $EU_X = 0.2 \times (10\sqrt{2}) + 0.6 \times 20 + 0.2 \times (10\sqrt{6})$
   $EU_X = 2\sqrt{2} + 12 + 2\sqrt{6} \approx 2 \times 1.414 + 12 + 2 \times 2.449$
   $EU_X \approx 2.828 + 12 + 4.898 = 19.726$

2. 投資案 Y（Investment Y）的期望效用 $EU_Y$：

核心觀念

本題考驗賽局理論（Game Theory）中**混合策略納什均衡（Mixed-Strategy Nash Equilibrium, MSNE）**的無差異原則（Indifference Principle）。

當玩家 B 採取混合策略且給定其選擇 green 的機率為 $\text{Prob.(green)} = \frac{1}{2}$ 時，若這構成混合策略納什均衡，則玩家 A 選擇策略 green 的期望報酬必須等於選擇策略 blue 的期望報酬（即玩家 A 對於選擇 green 或 blue 感到無差異）。

解題方法與推導過程

1. 定義變數與機率：
   設玩家 B 選擇 green 的機率為 $q = \text{Prob.(green)} = \frac{1}{2}$，則選擇 blue 的機率為 $1 - q = \frac{1}{2}$。

2. 計算玩家 A 的期望報酬：

   • 若玩家 A 選擇 green，其期望報酬為：
     $E_A(\text{green}) = q \times (4 + a) + (1 - q) \times 8$
     代入 $q = \frac{1}{2}$：
     $E_A(\text{green}) = \frac{1}{2}(4 + a) + \frac{1}{2}(8) = 2 + \frac{a}{2} + 4 = 6 + \frac{a}{2}$

   • 若玩家 A 選擇 blue，其期望報酬為：
     $E_A(\text{blue}) = q \times 16 + (1 - q) \times 4$
     代入 $q = \frac{1}{2}$：
     $E_A(\text{blue}) = \frac{1}{2}(16) + \frac{1}{2}(4) = 8 + 2 = 10$

核心觀念

本題考查賽局理論（Game Theory）中**混合策略納什均衡（Mixed-Strategy Nash Equilibrium, MSNE）**的解法與無差異原則（Indifference Principle）。

在混合策略均衡中，當廠商 A 選擇以隨機化（混合策略）的方式在 $\text{green}$ 與 $\text{blue}$ 之間做抉擇時，代表這兩種純策略帶給廠商 A 的期望報酬必須相同。同理，廠商 B 會選擇混合策略（$\text{Prob.(green)}=\frac{1}{2}$），前提也是廠商 B 選擇 $\text{green}$ 與 $\text{blue}$ 的期望報酬必須相等。

無差異原則公式：
$E_B(\text{green}) = E_B(\text{blue})$

其中：

• $E_B(\text{green})$：廠商 B 選擇 $\text{green}$ 時，面對廠商 A 的混合策略所獲得的期望報酬。
• $E_B(\text{blue})$：廠商 B 選擇 $\text{blue}$ 時，面對廠商 A 的混合策略所獲得的期望報酬。

解題方法

1. 定義廠商 A 的混合策略機率：
   根據題意，廠商 A 選擇 $\text{blue}$ 的機率為 $\text{Prob.(blue)} = \frac{2}{3}$，因此廠商 A 選擇 $\text{green}$ 的機率為：
   $\text{Prob.(green)} = 1 - \text{Prob.(blue)} = 1 - \frac{2}{3} = \frac{1}{3}$

2. 計算廠商 B 選擇各策略的期望報酬：

   • 若廠商 B 選擇 $\text{green}$：
     $E_B(\text{green}) = \text{Prob.(green)}_A \times 4 + \text{Prob.(blue)}_A \times 8 = \frac{1}{3} \times 4 + \frac{2}{3} \times 8 = \frac{4 + 16}{3} = \frac{20}{3}$
   • 若廠商 B 選擇 $\text{blue}$：
     $E_B(\text{blue}) = \text{Prob.(green)}_A \times (16+b) + \text{Prob.(blue)}_A \times 4 = \frac{1}{3} \times (16+b) + \frac{2}{3} \times 4 = \frac{16+b+8}{3} = \frac{24+b}{3}$

核心觀念

本題考查個體經濟學與賽局理論（Game Theory）中的被劣勢策略（Dominated Strategy），具體為**嚴格被劣勢策略（Strictly Dominated Strategy）與弱被劣勢策略（Weakly Dominated Strategy）**的判定。

1. 策略表示與報酬矩陣（Payoff Matrix）：
   • 矩陣中每一格之數值 $(u_C, u_M)$ 代表在特定策略組合下，列玩家 Chuck 的報酬（前數 $u_C$）與行玩家 Mike 的報酬（後數 $u_M$）。
2. 被劣勢策略定義：
   • 對於某玩家而言，若存在另一個策略（或混合策略），不論對方選擇何種策略，該策略所獲得的報酬總是小於（嚴格劣勢）或不大於且至少在一種情況下嚴格小於（弱劣勢）另一個策略，則該策略即為被劣勢策略。
   • **Chuck（列玩家）**比較不同列在同一欄下的第一數字（$u_C$）。
   • **Mike（行玩家）**比較不同欄在同一列下的第二數字（$u_M$）。

解題方法

本題切入點為分別針對列玩家 Chuck 與行玩家 Mike 的所有純策略（Pure Strategies）進行兩兩比較：

1. 分析 Chuck 的策略（比較各列第一個數值 $u_C$）：

• 比較 $A$ 與 $C$：

  • 當 Mike 選 $f$ 時，$u_C(A, f) = 0 < u_C(C, f) = 4$
  • 當 Mike 選 $g$ 時，$u_C(A, g) = 2 > u_C(C, g) = 0$
  • （$A$ 與 $C$ 互有優劣，無支配關係）

• 比較 $B$ 與 $C$：

  • 當 Mike 選 $f$ 時，$u_C(B, f) = -4 < u_C(C, f) = 4$
  • 當 Mike 選 $g$ 時，$u_C(B, g) = 0 < u_C(C, g) = 0$（在 $g$ 時 $C$ 報酬等於 $B$）
  • 當 Mike 選 $h$ 時，$u_C(B, h) = -6 < u_C(C, h) = 2$
  • 結論：對 Chuck 而言，無論 Mike 選擇 $f, g, h$ 何者，策略 $C$ 的報酬永遠大於或等於策略 $B$（且在 $f$ 與 $h$ 時嚴格大於），因此策略 $B$ 為 Chuck 的弱被劣勢策略（Weakly Dominated Strategy）。

2. 分析 Mike 的策略（比較各欄第二個數值 $u_M$）：

• 比較 $f$ 與 $g$：

  • 當 Chuck 選 $A$ 時，$u_M(A, f) = 0 < u_M(A, g) = 4$
  • 當 Chuck 選 $B$ 時，$u_M(B, f) = 4 > u_M(B, g) = 0$
  • （$f$ 與 $g$ 互有優劣，無支配關係）

• 比較 $h$ 與 $g$：

  • 當 Chuck 選 $A$ 時，$u_M(A, h) = -4 < u_M(A, g) = 4$
  • 當 Chuck 選 $B$ 時，$u_M(B, h) = 2 > u_M(B, g) = 0$
  • （$h$ 與 $g$ 互有優劣，無支配關係）

核心觀念

本題考察賽局理論（Game Theory）中的純策略納許均衡（Pure Strategy Nash Equilibrium, PSNE）。

1. 純策略納許均衡的定義：在一個賽局中，若給定其他玩家的策略不變，沒有任何玩家有動機單方面改變自己的策略，則該策略組合即為納許均衡。
2. 最佳反應法（Best Response Method / Underline Method）：
   • 對於列玩家（Row Player, Chuck）的每個策略，找出行玩家（Column Player, Mike）報酬最大的策略（即 Mike 的最佳反應）。
   • 對於行玩家（Column Player, Mike）的每個策略，找出列玩家（Row Player, Chuck）報酬最大的策略（即 Chuck 的最佳反應）。
   • 若某個策略組合 $(R_i, C_j)$ 中，兩位玩家的報酬皆為各自的最佳反應，則該策略組合即為純策略納許均衡。

解題方法

矩陣中的報酬表示法為 $(\pi_{\text{Chuck}}, \pi_{\text{Mike}})$。我們利用**劃線法（Underline Method）**來標示各玩家的最佳反應：

1. 求解 Chuck（列玩家）的最佳反應

• 當 Mike 選擇 $f$ 時：Chuck 選擇 $A$ 得到 $0$、選擇 $B$ 得到 $-4$、選擇 $C$ 得到 $4$。
  $\max(0, -4, 4) = 4 \implies \text{Chuck 的最佳反應為 } C$
• 當 Mike 選擇 $g$ 時：Chuck 選擇 $A$ 得到 $2$、選擇 $B$ 得到 $0$、選擇 $C$ 得到 $0$。
  $\max(2, 0, 0) = 2 \implies \text{Chuck 的最佳反應為 } A$
• 當 Mike 選擇 $h$ 時：Chuck 選擇 $A$ 得到 $-2$、選擇 $B$ 得到 $-6$、選擇 $C$ 得到 $2$。
  $\max(-2, -6, 2) = 2 \implies \text{Chuck 的最佳反應為 } C$

2. 求解 Mike（行玩家）的最佳反應

• 當 Chuck 選擇 $A$ 時：Mike 選擇 $f$ 得到 $0$、選擇 $g$ 得到 $4$、選擇 $h$ 得到 $-4$。
  $\max(0, 4, -4) = 4 \implies \text{Mike 的最佳反應為 } g$
• 當 Chuck 選擇 $B$ 時：Mike 選擇 $f$ 得到 $4$、選擇 $g$ 得到 $0$、選擇 $h$ 得到 $2$。
  $\max(4, 0, 2) = 4 \implies \text{Mike 的最佳反應為 } f$
• 當 Chuck 選擇 $C$ 時：Mike 選擇 $f$ 得到 $2$、選擇 $g$ 得到 $0$、選擇 $h$ 得到 $0$。
  $\max(2, 0, 0) = 2 \implies \text{Mike 的最佳反應為 } f$

3. 找出雙方皆為最佳反應的交集

標示雙方最佳反應後的報酬矩陣如下（加上底線者代表最佳反應）：

核心觀念

本題考查博弈論（Game Theory）中的混合策略納許均衡（Mixed Strategy Nash Equilibrium, MSNE）。

1. 嚴格劣勢策略刪除法（Iterative Elimination of Strictly Dominated Strategies, IESDS）：
   若某純策略對玩家而言，不論對手採取何種策略，其獲得的報酬始終嚴格小於另一個策略（或策略組合），則該策略為嚴格劣勢策略（Strictly Dominated Strategy），不會在納許均衡中被選取，可優先將其刪除以簡化賽局矩陣。

2. 無差異原理（Indifference Principle）：
   在混合策略納許均衡中，玩家若對多個純策略賦予正的機率（即混合策略的支撐），則這些純策略帶給該玩家的期望報酬必須相等。因此，對手必須調整其策略機率分配，使該玩家在這些純策略之間「無差異（Indifferent）」。

解題方法

第一步：化簡賽局矩陣（尋找嚴格劣勢策略）

觀察玩家 Chuck（列玩家）與 Mike（行玩家）的報酬矩陣（格式為 $(\text{Chuck}, \text{Mike})$）：

1. 分析 Chuck 的策略：

   • 比較策略 $A$ 與策略 $B$：
     • 若 Mike 選 $f$：Chuck 選 $A$ 得 $0 > -4$
     • 若 Mike 選 $g$：Chuck 選 $A$ 得 $2 > 0$
     • 若 Mike 選 $h$：Chuck 選 $A$ 得 $-2 > -6$
   • 在 Mike 的任何策略下，Chuck 選擇策略 $A$ 的報酬均嚴格大於策略 $B$。
   • 因此，策略 $B$ 是 Chuck 的嚴格劣勢策略，Chuck 絕不會選擇 $B$（即 $p_B = 0$）。將 $B$ 列刪除。

2. 分析 Mike 的策略：
   刪除 $B$ 後，賽局簡化為 $2 \times 3$ 矩陣：

• 比較 Mike 的策略 $g$ 與策略 $h$：
  • 若 Chuck 選 $A$：Mike 選 $g$ 得 $4 > -4$
  • 若 Chuck 選 $C$：Mike 選 $g$ 得 $0 > 0$（相同）
  • 若考慮 Chuck 以任何正機率混合 $A$ 與 $C$（設選 $A$ 的機率為 $p > 0$），Mike 選擇 $g$ 的期望報酬為 $4p + 0(1-p) = 4p$，選 $h$ 的期望報酬為 $-4p + 0(1-p) = -4p$。由於 $p > 0$，必有 $4p > -4p$。
  • 因此，策略 $h$ 被策略 $g$ 弱劣勢（或在混合時嚴格劣勢），Mike 不會選擇 $h$（即 $q_h = 0$）。將 $h$ 行刪除。

經過化簡後，賽局縮減為 $2 \times 2$ 的精簡矩陣：

第二步：求解混合策略納許均衡

設 Chuck 選擇策略 $A$ 的機率為 $p$，選擇策略 $C$ 的機率為 $1-p$（其中 $0 < p < 1$）；
設 Mike 選擇策略 $f$ 的機率為 $q$，選擇策略 $g$ 的機率為 $1-q$（其中 $0 < q < 1$）。

核心觀念

本題考查個體經濟學中「消費者選擇理論」（Consumer Choice Theory）的核心概念——邊際替代率（Marginal Rate of Substitution, MRS）。

1. 邊際效用（Marginal Utility, MU）：
   邊際效用是指消費者每增加一單位某商品的消費所獲得的額外效用量。

   • $Z$ 的邊際效用：$MU_Z = \frac{\partial U}{\partial Z}$
   • $Y$ 的邊際效用：$MU_Y = \frac{\partial U}{\partial Y}$

2. 邊際替代率（MRS）：
   邊際替代率是指在維持總效用不變（即沿著同一條無異曲線）的前提下，消費者為了多消費一單位橫軸商品（$Z$），所願意放棄縱軸商品（$Y$）的最大數量。數學定義為無異曲線斜率的負值：
   $MRS_{Z, Y} = -\left. \frac{dY}{dZ} \right|_{U = \bar{U}} = -\frac{MU_Z}{MU_Y}$

解題方法

求解步驟如下：

第一步：求出商品 $Z$ 與 $Y$ 的邊際效用（$MU_Z$ 與 $MU_Y$）
已知效用函數 $U(Z, Y) = \sqrt{Z} + \sqrt{Y} = Z^{\frac{1}{2}} + Y^{\frac{1}{2}}$。

• 對 $Z$ 偏微分得到 $MU_Z$：
  $MU_Z = \frac{\partial U}{\partial Z} = \frac{1}{2} Z^{-\frac{1}{2}} = \frac{1}{2\sqrt{Z}}$
• 對 $Y$ 偏微分得到 $MU_Y$：
  $MU_Y = \frac{\partial U}{\partial Y} = \frac{1}{2} Y^{-\frac{1}{2}} = \frac{1}{2\sqrt{Y}}$

本題為延伸題，依據第 8 題的效用函數：
$U(X, Y) = \min\{2X, 3Y\}$

核心觀念

本題旨在考驗**偏好與效用函數的凸性（Convexity）與嚴格凸性（Strict Convexity）**判定。

1. 凸性（Convexity）／無相異性無差異曲線呈凸向原點：
   對於任意兩組能提供相同效用（或至少相同效用）的消費組合 $A = (x_1, y_1)$ 與 $B = (x_2, y_2)$，其凸組合（Convex Combination） $C = \alpha A + (1-\alpha)B$（其中 $0 < \alpha < 1$）所帶來的效用必然不小於原組合效用，即：
   $U(\alpha A + (1-\alpha)B) \ge \min\{U(A), U(B)\}$
   這代表上界集合（Upper Contour Set）為凸集合（Convex Set）。幾何上表現為「無差異曲線凸向原點（無凹陷）」。
2. 嚴格凸性（Strict Convexity）：
   對於任意兩組相異且效用相同的消費組合 $A \neq B$，其凸組合 $C$ 所帶來的效用必然嚴格大於原組合效用，即：
   $U(\alpha A + (1-\alpha)B) > U(A) = U(B)$
   幾何上表現為無差異曲線沒有任何直線區段（如里昂惕夫型的水平與垂直直線段、或完全替代型的負斜率直線段）。

解題方法

1. 形狀特徵分析：
   效用函數 $U(X, Y) = \min\{2X, 3Y\}$ 為典型的完全互補型偏好（Leontief Utility Function），其無差異曲線在第一象限呈現 L 型（以點 $(X, Y)$ 滿足 $2X = 3Y$ 為轉折點，延伸出水平與垂直射線）。
2. 凸性（Convexity）檢驗：
   • 考慮無差異曲線 $U(X, Y) = k$（$k > 0$）對應的上界集合 $S_k = \{(X, Y) \mid 2X \ge k, 3Y \ge k\}$。
   • $S_k$ 為兩個半平面的交集：$X \ge \frac{k}{2}$ 與 $Y \ge \frac{k}{3}$。由於半平面的交集仍為凸集（Convex Set），故 Leontief 效用函數對應的偏好滿足凸性（Convexity）。
3. 嚴格凸性（Strict Convexity）檢驗：
   • 取同一直線區段上的兩個相異組合，例如在 $U = 6$ 的無差異曲線上：

核心觀念

本題旨在考驗個體經濟學中消費者選擇理論（Consumer Choice Theory）關於**凸偏好（Convex Preferences）與凹偏好（Concave Preferences）對邊角解（Corner Solution）與內部解（Interior Solution）**影響之分析。

1. 效用函數型態：Jane 的效用函數為 $U(X,Y)=X^2+Y^2$。這是一個嚴格凸函數（Strictly Convex Function），對應的無異曲線（Indifference Curve）為以原點為圓心的圓弧（對原點凹，即凹偏好 Concave Preferences）。
2. 邊際替代率（MRS）：邊際效用分別為 $MU_X = \frac{\partial U}{\partial X} = 2X$ 與 $MU_Y = \frac{\partial U}{\partial Y} = 2Y$。邊際替代率 $MRS_{XY} = \frac{MU_X}{MU_Y} = \frac{X}{Y}$。隨著 $X$ 增加、$Y$ 減少，$MRS_{XY}$ 會隨之遞增（邊際替代率遞增法則），表示無異曲線呈對原點凹（Concave to the origin）的型態。
3. 極值判斷：當無異曲線對原點凹時，效用極大化的最適解必定發生在預算線與座標軸交點的邊角解（Corner Solution），而非無異曲線與預算線相切的內部解（內部切點反而是效用極小化點）。

解題方法

1. 建立限制條件下極大化問題
Jane 擁有總金額 $500 分配給 Paul（$X$）與 John（$Y$），且 $X \ge 0, Y \ge 0$。
預算限制式（Budget Constraint）為：
$X + Y = 500$

目標為極大化效用：
$\max_{X,Y} U(X, Y) = X^2 + Y^2 \quad \text{s.t.} \quad X + Y = 500, \, X \ge 0, \, Y \ge 0$

2. 將限制式代入目標函數推導
將 $Y = 500 - X$ 代入效用函數中，將問題簡化為單變數函數極值問題：
$f(X) = X^2 + (500 - X)^2 \quad (0 \le X \le 500)$
$f(X) = X^2 + 250000 - 1000X + X^2 = 2X^2 - 1000X + 250000$

3. 求微分判斷極值點

• 一階微分（求臨界點）：
  $f'(X) = 4X - 1000 = 0 \implies X = 250$
  當 $X = 250$ 時，$Y = 250$。此時效用為：
  $U(250, 250) = 250^2 + 250^2 = 62,500 + 62,500 = 125,000$
• 二階微分（檢驗極值性質）：
  $f''(X) = 4 > 0$

核心觀念

本題考查個體經濟學中「效用極大化問題（Utility Maximization Problem, UMP）」與「對數效用函數（Logarithmic Utility Function）」的最適決算配置。

1. 極大化目標與約束條件：
   設 $X$ 為分配給第一個孩子 Paul 的金額，$Y$ 為分配給第二個孩子 John 的金額。

   • 效用函數：$U(X, Y) = \log X + \log Y$
   • 預算限制（Budget Constraint）：$X + Y = 500$（其中 $X > 0, Y > 0$，因為對數函數在 $X \le 0$ 或 $Y \le 0$ 時無定義）。

2. Cobb-Douglas 效用函數特例：
   對數效用函數 $U(X, Y) = \log X + \log Y = \log(XY)$，等價於 Cobb-Douglas 效用函數 $V(X, Y) = X Y$（兩者互為嚴格遞增單調變換，邊際替代率相同）。因此，此題具有 Cobb-Douglas 效用函數「固定支出比例（Equal Share Factor Distribution）」的性質。

解題方法

我們可以採用極值一階條件（First-Order Condition, FOC）或邊際替代率（MRS）等於價格比的方法進行推導：

步驟 1：建立拉格朗日函數（Lagrangian Function）

將預算限制條件 $X + Y = 500$ 代入極大化問題：
$\max_{X, Y} \quad U(X, Y) = \log X + \log Y \quad \text{s.t.} \quad X + Y = 500$

建立拉格朗日函數：
$\mathcal{L}(X, Y, \lambda) = \log X + \log Y + \lambda (500 - X - Y)$

步驟 2：求一階條件（FOC）

分別對 $X$、$Y$ 與 $\lambda$ 偏微分並令其為 0：
$\frac{\partial \mathcal{L}}{\partial X} = \frac{1}{X} - \lambda = 0 \implies \lambda = \frac{1}{X}$
$\frac{\partial \mathcal{L}}{\partial Y} = \frac{1}{Y} - \lambda = 0 \implies \lambda = \frac{1}{Y}$

步驟 3：求解最適配置 $X^*$ 與 $Y^*$

由一階條件可知：
$\frac{1}{X} = \frac{1}{Y} \implies X = Y$

此結果亦即邊際替代率等於價格比：

核心觀念

本題考查個體經濟學中消費者選擇理論的互補品與替代品混合型效用函數（Leontief 與線性效用的組合）。

1. 效用函數型態：
   效用函數為 $U(X, Y, Z) = \min\{X, 3Y+2Z\}$。

   • 外部結構為 Leontief 互補型效用函數：極大化效用時，必須滿足 $X = 3Y + 2Z$。
   • 內部結構 $3Y + 2Z$ 為完全替代型效用函數：說明物品 $Y$ 與 $Z$ 之間可以完全替代，其邊際替代率（MRS）為固定常數。

2. 效用極大化條件：

   • 第一階段：在相同的效用合成單位下，消費者會比較購買 $Y$ 與購買 $Z$ 的邊際成本（或每單位效益的價格），選擇成本較低（價格較划算）的物品來滿足 $3Y + 2Z$。
   • 第二階段：將 $Y$ 與 $Z$ 簡化為單一的「合成效用來源」，與物品 $X$ 依 Leontief 固定的比例共同消費。

解題方法

步驟一：分析物品 $Y$ 與物品 $Z$ 的邊際效用價格比（性價比）

要達到一單位的合成效果（即 $3Y + 2Z = 1$）：

• 若全部使用物品 $Y$（即 $Z = 0$）：需要 $Y = \frac{1}{3}$ 單位。
  其所需成本為 $\frac{1}{3} \times P_Y = \frac{1}{3} \times$$$5 =$$$\frac{5}{3} \approx$$1.67。
• 若全部使用物品 $Z$（即 $Y = 0$）：需要 $Z = \frac{1}{2}$ 單位。
  其所需成本為 $\frac{1}{2} \times P_Z = \frac{1}{2} \times$$$7 =$$$\frac{7}{2} =$$3.5。

因為 $$\frac{5}{3} <$$$\frac{7}{2}$，代表用物品 $Y$ 來提供效用比物品 $Z$ 更便宜、更划算。因此 Mike 會將所有用於滿足 $3Y + 2Z$ 的預算全部購買 $Y$，而完全不購買 $Z$（即 $Z^* = 0$）。

步驟二：簡化效用函數與最適消費條件

由於 $Z^* = 0$，Mike 的效用函數簡化為：
$U(X, Y) = \min\{X, 3Y\}$

Leontief 效用函數極大化的頂點條件（不動點）為：
$X = 3Y \implies Y = \frac{X}{3}$

步驟三：代入預算限制式求解需求量

Mike 的預算限制式為：
$P_X X + P_Y Y + P_Z Z = I$

核心觀念

本題考查個體經濟學中**消費理論（Consumer Theory）**的替代效果（Substitution Effect）。

1. 替代效果（Substitution Effect, SE）的定義：
   當某商品價格下降時，相對價格發生變化（該商品變得相對便宜），消費者為了追求效用極大化，會以相對便宜的商品替代相對昂貴的商品，從而增加該相對便宜商品的消費量。
2. 替代效果的符號法則（Law of Substitution Effect）：
   替代效果的方向恆與價格變動方向相反（即 $\frac{\partial x^{h}}{\partial P_x} < 0$）。因此，只要某商品價格下降（$P_x \downarrow$），在純粹替代效果下，該商品需求量必然增加（$x \uparrow$），無視該商品屬於正常財（Normal Good）、劣等財（Inferior Good）或吉芬財（Giffen Good）。
3. 所得效果與財貨性質：
   財貨劃分（正常財、劣等財、吉芬財）是由**所得效果（Income Effect, IE）**的方向來決定，而非替代效果：
   • 正常財：名目價格下降 $\rightarrow$ 實質所得上升 $\rightarrow$ 消費量增加 ($IE > 0$)。
   • 劣等財：名目價格下降 $\rightarrow$ 實質所得上升 $\rightarrow$ 消費量減少 ($IE < 0$)。
   • 吉芬財：屬於劣等財的一種特例，其負向所得效果的強度大於正向替代效果 ($|IE| > |SE|$)，導致總效果為需求量減少。

解題方法

本題切入點為區分**總效果（Total Effect）與替代效果（Substitution Effect）**的範疇：

• 題目明確詢問「價格下降時，**替代效果（substitution effect）**的敘述何者正確」。
• 根據希克斯（Hicks）或史拉茨基（Slutsky）的替代效果分解，當 $P_x \downarrow$ 時，為了維持實質所得或原效用水準不變，替代效果必然促使消費者增加 $x$ 商品的購買。

核心觀念

本題主要測驗彈性（Elasticity）的經濟學定義與財貨屬性的判定：

1. 所得彈性（Income Elasticity of Demand, $E_I$）：
   衡量消費者所得變動 1% 時，對某商品需求量變動的百分比。
   $E_I = \frac{\% \Delta Q_Z}{\% \Delta I}$

   • 若 $E_I > 0$，代表該商品為正常財（Normal Good）。
   • 若 $E_I < 0$，代表該商品為劣等財（Inferior Good）。

2. 交叉價格彈性（Cross-Price Elasticity of Demand, $E_{ZX}$）：
   衡量財貨 $X$ 的價格變動 1% 時，財貨 $Z$ 的需求量變動的百分比。
   $E_{ZX} = \frac{\% \Delta Q_Z}{\% \Delta P_X}$

   • 若 $E_{ZX} > 0$，代表財貨 $X$ 與財貨 $Z$ 為替代品（Substitute Goods）（$X$ 漲價使消費者轉為購買 $Z$）。
   • 若 $E_{ZX} < 0$，代表財貨 $X$ 與財貨 $Z$ 為互補品（Complementary Goods）（$X$ 漲價使消費者同時減少購買 $X$ 與 $Z$）。

解題方法

1. 題目已知條件：

   • 財貨 $Z$ 的所得彈性小於零（$E_I < 0$）。
   • 財貨 $Z$ 與財貨 $X$ 之間的交叉價格彈性小於零（$E_{ZX} < 0$）。

2. 邏輯推導步驟：

   • 根據所得彈性定義，當 $E_I < 0$ 時，財貨 $Z$ 必定為劣等財（Inferior Good）。
   • 根據交叉價格彈性定義，當 $E_{ZX} < 0$ 時，財貨 $Z$ 對財貨 $X$ 而言必定為互補品（Complement）。
   • 結合兩者，財貨 $Z$ 必定是「劣等財（Inferior Good）」且為「$X$ 的互補品（Complement to $X$）」。

核心觀念

本題考查個體經濟學中「消費者選擇理論」（Consumer Choice Theory）關於價格變動的雙重效果——替代效果（Substitution Effect, SE）與所得效果（Income Effect, IE），以及**交叉價格效果（Cross-Price Effect）**在不同效果間的消長關係。

當物品 $X$ 的價格 $P_X$ 上升時，對物品 $Z$ 的需求量改變可分解為：
$\frac{\partial Z}{\partial P_X} = \left.\frac{\partial Z}{\partial P_X}\right|_{U=\text{常數}} - Z \cdot \frac{\partial Z}{\partial I}$

1. 替代效果（SE）：根據凸性偏好（Convex Preferences），若物品 $X$ 變貴，消費者會減少購買 $X$，轉而以相對便宜的替代品 $Z$ 替代。因此替代效果必定促使物品 $Z$ 的消費量增加（$\text{SE} > 0$）。
2. 所得效果（IE）：當 $P_X$ 上升時，消費者的實質所得（Real Income）下降。若物品 $Z$ 為正常財（Normal Good），實質所得下降會導致物品 $Z$ 的消費量減少（$\text{IE} < 0$）。
3. 總效果（Total Effect, TE）：題目給定「$P_X$ 上升導致 $Z$ 消費量減少」，即總效果為負（$\text{TE} < 0$）。由於替代效果促使 $Z$ 增加（$\text{SE} > 0$），總效果要為負值，必然是促使 $Z$ 減少的所得效果主導（支配）了替代效果（$|\text{IE}| > |\text{SE}|$），且物品 $Z$ 必須為正常財。

解題方法

題目敘述中提到：$P_X \uparrow \implies Z \downarrow$（總效果為負）。

我們可以依據價格效果的拆解進行切入分析：

• 替代效果（SE）：$P_X \uparrow \implies$ 物品 $Z$ 相對便宜 $\implies Z$ 的消費量增加（$Z_{\text{SE}} \uparrow$）。
• 所得效果（IE）：$P_X \uparrow \implies$ 實質所得下降 $\implies$ 若 $Z$ 為正常財，則 $Z$ 的消費量減少（$Z_{\text{IE}} \downarrow$）。

欲使總效果最終呈現 $Z$ 的消費量下降（$Z \downarrow$），必然要求所得效果的作用力大於替代效果，即所得效果支配了替代效果（The income effect dominates the substitution effect for good $Z$）。

選項分析

核心觀念

本題考驗無異曲線為折線（Leontief 或多段線性分段極小化效用函數）時的效用極大化與消費均衡條件（Utility Maximization Problem, UMP）。

1. 極小化效用函數（Min Utility Function）：
   效用函數 $U(X, Y) = \min(3X + 2Y, 2X + 5Y)$ 表示消費者最終能獲得的效用由 $3X + 2Y$ 與 $2X + 5Y$ 中的較小者決定。無異曲線在 $3X + 2Y = 2X + 5Y$（即 $X = 3Y$）這條射線上存在折點（kink point）。

2. 邊際替代率（MRS）與最適消費區間：

   • 當 $X > 3Y$ 時，$3X + 2Y > 2X + 5Y$，此時 $U(X, Y) = 2X + 5Y$（直線無異曲線，斜率之絕對值 $MRS = \frac{MU_X}{MU_Y} = \frac{2}{5}$）。
   • 當 $X < 3Y$ 時，$3X + 2Y < 2X + 5Y$，此時 $U(X, Y) = 3X + 2Y$（直線無異曲線，斜率之絕對值 $MRS = \frac{MU_X}{MU_Y} = \frac{3}{2}$）。
   • 當 $X = 3Y$ 時，位於折點處，無異曲線不不可導，其極大化均衡條件需檢驗價格比 $\frac{P_X}{P_Y}$ 是否落在無異曲線兩側邊際替代率之間（即內部解條件），或落在某個直線段（邊界解/角隅解）。

3. 預算約束線（Budget Constraint）：
   預算式為 $P_X \cdot X + P_Y \cdot Y = I$，其中 $P_X$ 為 $X$ 之單價，$P_Y$ 為 $Y$ 之單價，$I$ 為所得（Income）。

解題方法

1. 判斷給定點 $(X, Y) = (12, 20)$ 所在的區域：
   將 $(X, Y) = (12, 20)$ 代入兩部分算式：
   $3X + 2Y = 3(12) + 2(20) = 36 + 40 = 76$
   $2X + 5Y = 2(12) + 5(20) = 24 + 100 = 124$
   由於 $76 < 124$，因此在點 $(12, 20)$ 附近，效用函數為：
   $U(X, Y) = 3X + 2Y$
   此區域之邊際效用分別為 $MU_X = 3$ 與 $MU_Y = 2$。

2. 確定極大化均衡之價格條件：
   當效用函數呈線性 $U = 3X + 2Y$ 時，無異曲線為負斜率直線，斜率絕對值 $MRS_{XY} = \frac{MU_X}{MU_Y} = \frac{3}{2} = 1.5$。