108 年 國立中山大學企業管理學系碩士甲班丙組《微積分》

核心觀念

本題考查鏈鎖律：若 $y$ 是 $w$ 的函數，而 $w$ 又是 $x$ 的函數，則

$$\frac{dy}{dx}=\frac{dy}{dw}\cdot\frac{dw}{dx}.$$

也可先將 $y$ 改寫成 $x$ 的函數，再直接微分。

解題方法

由

$$y=\frac{w}{w+1},$$

對 $w$ 微分，使用商數法則：

$$\frac{dy}{dw} =\frac{(w+1)\cdot 1-w\cdot 1}{(w+1)^2} =\frac{1}{(w+1)^2}.$$

又因為

$$w=\frac{x}{x+1},$$

所以

$$\frac{dw}{dx} =\frac{(x+1)\cdot 1-x\cdot 1}{(x+1)^2} =\frac{1}{(x+1)^2}.$$

套用鏈鎖律：

$$\frac{dy}{dx} =\frac{1}{(w+1)^2}\cdot\frac{1}{(x+1)^2}.$$

將 $w=\frac{x}{x+1}$ 代入：

核心觀念

本題考隱函數微分。當 $x$ 與 $y$ 由方程式共同決定時，對方程式兩側同時對 $x$ 微分，並把 $y$ 視為 $x$ 的函數；因此遇到含 $y$ 的項時，須使用鏈鎖律，將 $y$ 的導數 $dy/dx$ 一併乘上。

本題使用的冪函數微分公式為

$$\frac{d}{dx}u^a=a u^{a-1}\frac{du}{dx}.$$

解題方法

原式為

$$x^{3/4}+y^{3/4}=2.$$

對兩側同時對 $x$ 微分。第一項直接使用冪次法則；第二項因為 $y$ 是 $x$ 的函數，須使用鏈鎖律：

$$\frac{3}{4}x^{-1/4} +\frac{3}{4}y^{-1/4}\frac{dy}{dx} =0.$$

將含 $\frac{dy}{dx}$ 的項留在一側：

核心觀念

本題考自然對數函數的鏈鎖律。若 $y=\ln u(x)$，則

$$\frac{dy}{dx}=\frac{u'(x)}{u(x)}$$

因此，先對對數內部的函數求導，再除以原函數即可。

解題方法

令

$$u(x)=x+e^{-3x}$$

由指數函數的鏈鎖律，

$$u'(x)=1+e^{-3x}\cdot(-3)=1-3e^{-3x}$$

套用自然對數的微分公式：

核心觀念

題目原頁給的是 $f(x)=8x^5-5x^4-20x^3$，要求標示局部極值、反曲點、凹凸區間與漸近線。這是利用一階導數判斷遞增遞減與極值，再用二階導數判斷凹凸及反曲點；多項式函數沒有垂直漸近線或水平漸近線。

解題方法

先求一階導數，找出可能的極值點，再以導數正負判定函數變化；接著求二階導數，分析凹凸性是否改變。因為 $f(x)$ 是五次多項式，首項係數為正，所以 $x\to-\infty$ 時 $f(x)\to-\infty$，而 $x\to+\infty$ 時 $f(x)\to+\infty$。

將函數因式分解：

$$f(x)=x^3(8x^2-5x-20)$$

因此 $x$ 軸交點為

$$x=0,\qquad x=\frac{5-\sqrt{665}}{16},\qquad x=\frac{5+\sqrt{665}}{16}$$

約為 $-1.299$、$0$、$1.924$。

一階導數為

$$f'(x)=40x^4-20x^3-60x^2 =20x^2(2x-3)(x+1)$$

臨界點為 $x=-1,0,\frac32$。因 $20x^2\geq 0$，導數符號由 $(2x-3)(x+1)$ 決定：

• $x<-1$ 時 $f'(x)>0$，函數遞增。
• $-1<x<\frac32$ 時 $f'(x)<0$，函數遞減；$x=0$ 處導數為零，但兩側仍遞減。
• $x>\frac32$ 時 $f'(x)>0$，函數遞增。

所以 $x=-1$ 為局部極大點，且

$$f(-1)=7$$

$x=\frac32$ 為局部極小點，且

$$f\left(\frac32\right)=-\frac{513}{16}$$

二階導數為

$$f''(x)=160x^3-60x^2-120x =20x(8x^2-3x-6)$$

令 $f''(x)=0$，得

核心觀念

本題考定積分的基本計算：先求被積函數的不定積分，再代入積分上下限相減。由鏈鎖律可知，$\sin(3t)$ 的原函數為 $-\frac{1}{3}\cos(3t)$。

解題方法

利用公式 $\int \sin u\,du=-\cos u$，並補上內層函數 $3t$ 的導數所對應的係數 $\frac{1}{3}$：

$$\int_0^{\pi/3}\sin 3t\,dt = \left[-\frac{1}{3}\cos(3t)\right]_0^{\pi/3}$$

代入上、下限：

核心觀念

這是廣義積分，因為積分區間向負無窮延伸。依定義，須先將無窮下限改寫為極限：

$$\int_{-\infty}^{0}\frac{dx}{\sqrt{4-x}} = \lim_{a\to-\infty}\int_a^0\frac{dx}{\sqrt{4-x}}.$$

只有當此極限存在且為有限值時，廣義積分才收斂。

解題方法

對被積函數積分：

$$\int \frac{dx}{\sqrt{4-x}} = -2\sqrt{4-x}+C.$$

因此，對有限下限 $a$，

核心觀念

分母 $x^2-x-6$ 可因式分解為 $(x-3)(x+2)$。對兩個相異的一次因式，使用部分分式分解，將原分式改寫成兩個較簡單的分式，再逐項積分。

解題方法

先因式分解分母：

$$x^2-x-6=(x-3)(x+2)$$

設部分分式為

$$\frac{1}{(x-3)(x+2)} = \frac{A}{x-3}+\frac{B}{x+2}$$

兩邊同乘 $(x-3)(x+2)$，得到

$$1=A(x+2)+B(x-3)$$

比較 $x$ 的係數與常數項：

$$A+B=0,\qquad 2A-3B=1$$

解得 $A=\frac15$、$B=-\frac15$。因此

$$\frac{1}{x^2-x-6} = \frac{1}{5}\frac{1}{x-3} - \frac{1}{5}\frac{1}{x+2}$$

核心觀念

本題考查變數代換法與冪次積分公式。根號內是 $x+1$，令 $u=x+1$ 可直接改寫根式；同時把 $x$ 也用 $u$ 表示，再逐項積分。

冪次積分公式為

$$\int u^n\,du=\frac{u^{n+1}}{n+1}+C\qquad(n\ne -1).$$

解題方法

令

$$u=x+1,\qquad x=u-1,\qquad dx=du.$$

代入原積分：

核心觀念

被積分式含有 $\sqrt{x}$，令 $t=\sqrt{x}$ 可將根式消去。由於 $t=\sqrt{x}$，需注意 $x>0$，且微分關係為 $dx=2t\,dt$。

解題方法

令

$$t=\sqrt{x},$$

則

$$x=t^2,\qquad dx=2t\,dt.$$

代入原積分：

$$\int\frac{dx}{\sqrt{x}(2+\sqrt{x})^2} =\int\frac{2t\,dt}{t(2+t)^2} =2\int(2+t)^{-2}\,dt.$$

利用冪次積分公式 $\int u^{-2}\,du=-u^{-1}+C$，得到

核心觀念

本題考查反導函數的辨認與變數代換。若分母中的函數，其導數恰好出現在分子中，積分可套用公式

$$\int \frac{f'(x)}{f(x)}\,dx=\ln|f(x)|+C.$$

解題方法

令分母內的函數為

$$u=1+e^{3x},$$

則

$$du=3e^{3x}\,dx, \qquad e^{3x}\,dx=\frac{1}{3}\,du.$$

代入原積分：

$$\int\frac{e^{3x}}{1+e^{3x}}\,dx =\frac{1}{3}\int\frac{1}{u}\,du =\frac{1}{3}\ln|u|+C.$$

核心觀念

本題考查指數函數的成長比較與數列極限。若 $r>1$，則幾何數列 $r^n$ 隨 $n$ 增大而趨向 $+\infty$；若 $0<r<1$，則 $r^n\to 0$。

解題方法

先將分子各項分別除以 $e^n$：

$$a_n=\frac{3^n+5}{e^n} =\left(\frac{3}{e}\right)^n+\frac{5}{e^n} =\left(\frac{3}{e}\right)^n+5\left(\frac{1}{e}\right)^n.$$

因為 $e\approx 2.718<3$，所以 $\frac{3}{e}>1$，因此

核心觀念

本題考查冪級數的收斂區間，以及利用等比級數求冪級數和。當 $|x|<1$ 時，等比級數滿足

$$\sum_{n=0}^{\infty}x^n=\frac{1}{1-x}.$$

冪級數可在收斂半徑內逐項微分，因此可由等比級數推得 $\sum_{n=1}^{\infty}nx^n$ 的和。

解題方法

先由等比級數公式開始：

$$\sum_{n=0}^{\infty}x^n=\frac{1}{1-x},\qquad |x|<1.$$

在 $|x|<1$ 的範圍內，對 $x$ 逐項微分：

$$\sum_{n=1}^{\infty}n x^{n-1}=\frac{1}{(1-x)^2}.$$

兩邊再乘以 $x$，得到

核心觀念

判斷商的極限時，先分別觀察分子與分母的極限。本題中，分子趨近非零常數 $\ln 3>0$，分母趨近 $0$；因此須進一步依分母從正側或負側趨近 $0$，判斷商的符號。

解題方法

當 $x\to0$ 時，

$$\ln(3+x)\to\ln3>0,\qquad x\to0.$$

若 $x\to0^+$，分母為正且趨近 $0$，所以

$$\lim_{x\to0^+}\frac{\ln(3+x)}{x}=+\infty.$$

核心觀念

利用 $\ln(1+x)$ 在 $x=0$ 的泰勒展開：

$$\ln(1+x)=x-\frac{x^2}{2}+\frac{x^3}{3}-\frac{x^4}{4}+\cdots, \qquad |x|<1.$$

當 $0<x<1$ 時，這是項的絕對值逐漸減小的交錯級數；截斷後的誤差絕對值不超過下一項的大小。

解題方法

令 $x=0.11$，代入泰勒展開，取前四項：

核心觀念

連續型隨機變數 $X$ 落在區間 $[a,b]$ 的機率，等於機率密度函數在該區間下方的面積：

$$P(a\le X\le b)=\int_a^b f(x)\,dx$$

題目所求「最多到一半的道路需要維修」，對應事件 $X\le \frac12$，因此要計算密度函數從 $0$ 到 $\frac12$ 的積分。

解題方法

已知

$$f(x)=12x^2(1-x),\qquad 0\le x\le 1$$

由連續型隨機變數的機率公式：