114 年 國立臺北大學金融與合作經營學系碩士班《統計學》

本題考驗柴比雪夫不等式 (Chebyshev's Inequality) 的應用。柴比雪夫不等式提供了一個隨機變數落在某區間內的機率下界，不需知道其機率分佈的具體形式。

給定隨機變數 $X$，其期望值 $E(X) = \mu = 3$ 且二階矩 $E(X^2) = 25$。
首先計算變異數 $\sigma^2 = Var(X) = E(X^2) - (E(X))^2 = 25 - 3^2 = 25 - 9 = 16$。
標準差 $\sigma = \sqrt{16} = 4$。

我們欲計算 $Pr(-5 < X < 11)$ 的下界。
首先將此區間轉換成與期望值 $\mu=3$ 的差距。
$-5 < X < 11$
$-5 - 3 < X - 3 < 11 - 3$
$-8 < X - 3 < 8$
即 $|X - 3| < 8$。

本題考驗指數分佈與卜瓦松分佈之間的關係，以及如何利用指數分佈的參數計算卜瓦松分佈的平均數。

題目指出，兩通客服電話之間的間隔時間 $X$ 服從指數分佈，其機率密度函數 (p.d.f.) 為 $f(x) = \frac{1}{3} e^{-x/3}$，其中 $x \ge 0$。
指數分佈的 p.d.f. 一般形式為 $f(x) = \lambda e^{-\lambda x}$，其中 $\lambda$ 是平均每單位時間的事件發生率。
比較給定的 p.d.f. 與一般形式，我們可以得到 $\lambda = \frac{1}{3}$。這表示平均每分鐘有 $\frac{1}{3}$ 通電話。

卜瓦松分佈用於描述在固定時間或空間區間內，隨機獨立事件發生的次數。如果事件發生的平均發生率是 $\lambda$ (每單位時間)，那麼在一個長度為 $t$ 的時間區間內，事件發生的平均次數 (期望值) 為 $\mu = \lambda t$。

本題考驗隨機變數的變換，需要從已知隨機變數 $X$ 的機率密度函數 (p.d.f.) 推導出由 $X$ 轉換而來的新隨機變數 $Y$ 的 p.d.f.。

已知 $X$ 的 p.d.f. 為 $f_X(x) = \frac{2}{\pi(1+x^2)}$，定義域為 $x > 0$。
令 $Y = \ln X$。由於 $X > 0$，所以 $Y$ 的定義域為 $(-\infty, \infty)$。
我們可以透過反向求解 $X$ 與 $Y$ 的關係來推導 $Y$ 的 p.d.f.。
由 $Y = \ln X$，我們可以得到 $X = e^Y$。
由於 $X > 0$，而 $e^Y$ 對於所有實數 $Y$ 恆大於 0，所以此轉換是有效的。

求 $X$ 對於 $Y$ 的導數：
$\frac{dX}{dY} = \frac{d}{dY}(e^Y) = e^Y$。
其絕對值為 $|\frac{dX}{dY}| = |e^Y| = e^Y$。

隨機變數變換的公式為：
$f_Y(y) = f_X(x(y)) \left|\frac{dX}{dY}\right|$
其中 $x(y)$ 是將 $y$ 代入 $X$ 的函數。

將 $X = e^Y$ 代入 $f_X(x)$：
$f_X(e^Y) = \frac{2}{\pi(1+(e^Y)^2)} = \frac{2}{\pi(1+e^{2Y})}$。

將 $f_X(e^Y)$ 和 $|\frac{dX}{dY}|$ 代入公式：
$f_Y(y) = \frac{2}{\pi(1+e^{2Y})} \times e^Y$。

本題考驗條件機率分佈、聯合機率分佈、協方差 (Covariance) 和變異數 (Variance) 的計算，特別是涉及條件期望值的處理。

我們已知：

1. $X \sim \text{Uniform}(0,1)$，其 p.d.f. 為 $f_X(x) = 1$ for $0 < x < 1$，否則為 0。
2. $Y|X=x \sim \text{Uniform}(0, x)$，其條件 p.d.f. 為 $f_{Y|X}(y|x) = \frac{1}{x}$ for $0 < y < x$，否則為 0。

首先，我們需要計算聯合 p.d.f. $f_{X,Y}(x,y)$。
$f_{X,Y}(x,y) = f_{Y|X}(y|x) f_X(x) = \frac{1}{x} \times 1 = \frac{1}{x}$。
此聯合 p.d.f. 的定義域為 $0 < y < x < 1$。

(a) 計算 $Cov(X, Y)$。
協方差的公式為 $Cov(X, Y) = E(XY) - E(X)E(Y)$。

首先計算 $E(X)$ 和 $E(Y)$。
$E(X) = \int_{-\infty}^{\infty} x f_X(x) dx = \int_{0}^{1} x \cdot 1 dx = [\frac{x^2}{2}]_0^1 = \frac{1}{2}$。

計算 $E(Y)$。我們可以使用全期望定理 $E(Y) = E[E(Y|X)]$。
首先計算條件期望 $E(Y|X=x)$。
$E(Y|X=x) = \int_{-\infty}^{\infty} y f_{Y|X}(y|x) dy = \int_{0}^{x} y \cdot \frac{1}{x} dy = \frac{1}{x} [\frac{y^2}{2}]_0^x = \frac{1}{x} \cdot \frac{x^2}{2} = \frac{x}{2}$。
現在計算 $E(Y) = E[E(Y|X)] = E[\frac{X}{2}]$。
$E(Y) = \int_{-\infty}^{\infty} \frac{x}{2} f_X(x) dx = \int_{0}^{1} \frac{x}{2} \cdot 1 dx = \frac{1}{2} [\frac{x^2}{2}]_0^1 = \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2} = \frac{1}{4}$。

接下來計算 $E(XY)$。
$E(XY) = \int_{-\infty}^{\infty} \int_{-\infty}^{\infty} xy f_{X,Y}(x,y) dy dx$
積分區域為 $0 < y < x < 1$。
$E(XY) = \int_{0}^{1} \int_{0}^{x} xy \cdot \frac{1}{x} dy dx = \int_{0}^{1} \int_{0}^{x} y dy dx$
$E(XY) = \int_{0}^{1} [\frac{y^2}{2}]_0^x dx = \int_{0}^{1} \frac{x^2}{2} dx = [\frac{x^3}{6}]_0^1 = \frac{1}{6}$。

現在可以計算協方差：
$Cov(X, Y) = E(XY) - E(X)E(Y) = \frac{1}{6} - (\frac{1}{2})(\frac{1}{4}) = \frac{1}{6} - \frac{1}{8} = \frac{4-3}{24} = \frac{1}{24}$。

核心觀念

• 中位數 $m$ 的定義：$P(X\le m)=\frac12$，即 $\displaystyle\int_{-\infty}^{m}f(x)\,dx=\frac12$。
• 絕對值期望 $E(|X-b|)$ 可寫成分段積分：
  $E(|X-b|)=\int_{-\infty}^{b}(b-x)f(x)\,dx+\int_{b}^{\infty}(x-b)f(x)\,dx.$
• 若 $b<m$ 或 $b>m$，積分區間會分成三段：$\;(-\infty,m)$、$[m,b]$（若 $b>m$）或 $[b,m]$（若 $b<m$）、$(b,\infty)$。
• 利用中位數性質，可得到兩側期望的平衡關係

解題方法

(a) 推導等式

先把 $E(|X-b|)$ 按照 $X$ 與 $b$ 的相對位置分段：

$E(|X-b|)=\int_{-\infty}^{b}(b-x)f(x)\,dx+\int_{b}^{\infty}(x-b)f(x)\,dx .$

同理，$E(|X-m|)$ 為

$E(|X-m|)=\int_{-\infty}^{m}(m-x)f(x)\,dx+\int_{m}^{\infty}(x-m)f(x)\,dx .$

把 $E(|X-b|)$ 中的第一段積分再拆成 $(-\infty,m)$ 與 $[m,b]$（假設 $b>m$；若 $b<m$，符號相反，最終式子相同）：

$$\int_{-\infty}^{b}(b-x)f(x)dx =\int_{-\infty}^{m}(b-x)f(x)dx+\int_{m}^{b}(b-x)f(x)dx .$$

同理，第二段積分可寫成

$$\int_{b}^{\infty}(x-b)f(x)dx =\int_{m}^{\infty}(x-b)f(x)dx-\int_{m}^{b}(x-b)f(x)dx .$$

將上述四個積分相加，得到

$$\begin{aligned} E(|X-b|)&=\Bigl[\int_{-\infty}^{m}(b-x)f(x)dx+\int_{m}^{\infty}(x-b)f(x)dx\Bigr] \\ &\qquad+ \Bigl[\int_{m}^{b}(b-x)f(x)dx-\int_{m}^{b}(x-b)f(x)dx\Bigr]. \end{aligned}$$

注意到 $b-x=-(x-b)$，故最後一括號內的兩個積分相等，合併後變成 $2\int_{m}^{b}(b-x)f(x)dx$。
而第一括號可寫成

本題考驗隨機變數的變換，特別是將一個變數的平方轉換成另一個變數的機率密度函數 (p.d.f.)。

已知 $X$ 的 p.d.f. 為 $f_X(x) = 2xe^{-x^2}$，定義域為 $x > 0$。
令 $Y = X^2$。由於 $X > 0$，所以 $Y$ 的定義域為 $(0, \infty)$。
我們可以透過反向求解 $X$ 與 $Y$ 的關係來推導 $Y$ 的 p.d.f.。
由 $Y = X^2$，我們可以得到 $X = \sqrt{Y}$ (因為 $X>0$)。

求 $X$ 對於 $Y$ 的導數：
$\frac{dX}{dY} = \frac{d}{dY}(\sqrt{Y}) = \frac{d}{dY}(Y^{1/2}) = \frac{1}{2} Y^{-1/2} = \frac{1}{2\sqrt{Y}}$。
其絕對值為 $|\frac{dX}{dY}| = |\frac{1}{2\sqrt{Y}}| = \frac{1}{2\sqrt{Y}}$ (因為 $Y>0$, $\sqrt{Y}>0$)。

核心觀念

• 全機率與補集合：$P(A^c)=1-P(A)$，$(A\cup B)^c=A^c\cap B^c$。
• 包含-排除原理：

$P(A\cup B)=P(A)+P(B)-P(A\cap B)$

• 條件機率：$P(A\mid B)=\dfrac{P(A\cap B)}{P(B)}$，其中 $P(B)=P(A\cap B)+P(A^c\cap B)$。

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(a) 求 $P(A\cap B)$

已知

$P(A)=0.7,\qquad P(A^c\cap B^c)=0.1$

1. 由補集合得到

$P(A^c)=1-P(A)=0.3$

2. 以四分割表（Venn Diagram）把樣本空間分成四個不相交的區塊：

$$\begin{aligned} &\underbrace{P(A\cap B)}_{\text{未知}}\\ &\underbrace{P(A\cap B^c)}_{=P(A)-P(A\cap B)=0.7-P(A\cap B)}\\ &\underbrace{P(A^c\cap B)}_{\text{待求}}\\ &\underbrace{P(A^c\cap B^c)}_{=0.1} \end{aligned}$$

3. 由

$P(A^c)=P(A^c\cap B)+P(A^c\cap B^c)=0.3$

可得

$P(A^c\cap B)=0.3-0.1=0.2$

4. 全機率：四個區塊的機率和必為 1：

$P(A\cap B)+\bigl(0.7-P(A\cap B)\bigr)+0.2+0.1=1$

化簡後恰好得到恆等式 $0.7+0.2+0.1=1$，未產生 $P(A\cap B)$ 的限制。因此僅憑題目所給資訊，$P(A\cap B)$ 無法唯一決定，只能根據基本不等式取得可行範圍：

本題考驗假設檢定與信賴區間的觀念，特別是針對兩個獨立樣本比例的比較。

題目設定：

• 兩個獨立樣本，分別來自日間生產線 ($p_1$) 和夜間生產線 ($p_2$)。
• 樣本大小皆為 $n_1 = n_2 = 1000$。
• 檢定虛無假設 $H_0: p_1 = p_2$。
• 對立假設為雙邊檢定：$H_a: p_1 \ne p_2$。
• 顯著水準 $\alpha = 0.05$。

(a) 定義檢定統計量與拒絕域。
當樣本大小足夠大時 (通常 $np \ge 5$ 且 $n(1-p) \ge 5$)，兩個比例的差值可以用常態分佈來近似。
在虛無假設 $H_0: p_1 = p_2$ 下，我們估計一個共同的比例 $\hat{p}$。
$\hat{p} = \frac{y_1 + y_2}{n_1 + n_2}$。
檢定統計量 $Z$ 的公式為：
$Z = \frac{(\hat{p}_1 - \hat{p}_2) - (p_1 - p_2)_0}{\sqrt{\hat{p}(1-\hat{p})(\frac{1}{n_1} + \frac{1}{n_2})}}$
其中 $\hat{p}_1 = y_1/n_1$ 和 $\hat{p}_2 = y_2/n_2$ 是樣本比例，$(p_1 - p_2)_0$ 是虛無假設下的比例差值，即 0。

在 $H_0$ 下，$p_1 = p_2 = p$，我們使用合併比例 $\hat{p} = \frac{n_1\hat{p}_1 + n_2\hat{p}_2}{n_1 + n_2} = \frac{y_1 + y_2}{n_1 + n_2}$ 作為 $p$ 的估計。
檢定統計量為：
$Z = \frac{\hat{p}_1 - \hat{p}_2}{\sqrt{\hat{p}(1-\hat{p})(\frac{1}{n_1} + \frac{1}{n_2})}}$

顯著水準 $\alpha = 0.05$，且為雙邊檢定。
拒絕域為 $|Z| > z_{\alpha/2}$。
$z_{\alpha/2} = z_{0.05/2} = z_{0.025}$。
查標準常態分佈表， $P(Z > 1.96) = 0.025$，所以 $z_{0.025} = 1.96$。
拒絕域為 $|Z| > 1.96$。

(b) 計算檢定統計量並下結論。
給定：
$n_1 = 1000$, $y_1 = 37$ (日間缺陷數)
$n_2 = 1000$, $y_2 = 53$ (夜間缺陷數)

樣本比例：
$\hat{p}_1 = \frac{y_1}{n_1} = \frac{37}{1000} = 0.037$
$\hat{p}_2 = \frac{y_2}{n_2} = \frac{53}{1000} = 0.053$

合併比例 $\hat{p}$：
$\hat{p} = \frac{y_1 + y_2}{n_1 + n_2} = \frac{37 + 53}{1000 + 1000} = \frac{90}{2000} = 0.045$。
$1 - \hat{p} = 1 - 0.045 = 0.955$。

計算檢定統計量 $Z$：
$Z = \frac{\hat{p}_1 - \hat{p}_2}{\sqrt{\hat{p}(1-\hat{p})(\frac{1}{n_1} + \frac{1}{n_2})}}$
$Z = \frac{0.037 - 0.053}{\sqrt{0.045(0.955)(\frac{1}{1000} + \frac{1}{1000})}}$
$Z = \frac{-0.016}{\sqrt{0.045(0.955)(\frac{2}{1000})}}$
$Z = \frac{-0.016}{\sqrt{0.042975 \times 0.002}}$