114 年 國立臺北大學金融與合作經營學系碩士班《經濟學》

本題考查封閉經濟體系下，商品市場（IS曲線）與貨幣市場（LM曲線）同時均衡時的所得與利率水準。

首先，我們需要建立商品市場均衡的 IS 方程式。商品市場均衡條件為總合支出等於總合所得，即 $Y = C + I + G$。
將題目所給的各項方程式代入：
$Y = (400 + 0.8Y) + (400 - 100i) + 200$
$Y = 1000 + 0.8Y - 100i$
$0.2Y = 1000 - 100i$
$Y = 5000 - 500i$
這就是 IS 曲線的方程式。

接著，我們建立貨幣市場均衡的 LM 方程式。貨幣市場均衡條件為實質貨幣供給等於實質貨幣需求，即 $\frac{M^s}{P} = L$。
題目給予名目貨幣供給 $M^s = 2900$，價格水準 $P = 2$。
所以，實質貨幣供給為 $\frac{2900}{2} = 1450$。
將實質貨幣需求方程式代入：
$1450 = 800 + 0.4Y - 100i$
$650 = 0.4Y - 100i$

核心觀念

• 跨期消費與預算限制：在零利率、零時間折現下，所有期的即期消費的期望加總必須等於當期所得。
• 不確定生存期：在第一期結束後才會知道是否會活到第三期，故第三期的消費只能以 50% 的機率 加入期望效用與預算。
• 效用函數的邊際效用相等原則：在可借貸且無利率的環境下，最適消費配置使每一單位消費的期望邊際效用相等（拉格朗日乘數法）。

---

解題方法

1. 設定變數與期望效用

   令 $c_1,c_2,c_3$ 為第一、第二、第三期的消費（$c_3$ 為條件在存活至第三期時才會發生）。

   • 當出生存至第三期的機率 $p=0.5$。
   • 期望效用

$E[U]=\ln c_1+\ln c_2+0.5\,\ln c_3 .$

2. 期望預算限制

   第一期間只有 1 單位的勞動收入，且零利率、零折現：

$c_1 + c_2 + 0.5\,c_3 = 1 .$

3. 拉格朗日函數

$$\mathcal L = \ln c_1+\ln c_2+0.5\ln c_3 +\lambda\bigl(1-c_1-c_2-0.5c_3\bigr).$$

4. 第一階條件（FOC）

$$\frac{\partial\mathcal L}{\partial c_1}= \frac{1}{c_1}-\lambda =0 \;\Rightarrow\; \lambda=\frac{1}{c_1}.$$ $$\frac{\partial\mathcal L}{\partial c_2}= \frac{1}{c_2}-\lambda =0 \;\Rightarrow\; c_1=c_2.$$ $$\frac{\partial\mathcal L}{\partial c_3}= \frac{0.5}{c_3}-0.5\lambda =0 \;\Rightarrow\; \lambda=\frac{1}{c_3} \;\Rightarrow\; c_1=c_3.$$

因此

$c_1=c_2=c_3\equiv c .$

5. 代入預算限制求解

$$c + c + 0.5c = 2.5c = 1 \;\Rightarrow\; c = \frac{1}{2.5}=0.4 .$$

故 第一期消費 $c_1=0.4$。

---

(2) 若效用函數改為二次型，最適消費會較高或較低？

1. 二次效用形式（常見寫法）

核心觀念

• 兩期消費模型：​$c_{1}+c_{2}=w_{1}=2$（零利率、零折現率，允許在兩期間自由儲蓄/借貸）。
• 期望效用：​$E[U]=u_{1}(c_{1})+p\;u_{2}(c_{2})$，其中 $p$ 為存活到第二期的機率。
• 對數效用的邊際效用遞減性：$u'(c)=1/c$。
• 當第二期效用有「門檻」$\bar c$ 時，產生非凸的「分段效用」：

$$u_{2}(c_{2})= \begin{cases} \ln c_{2}, & c_{2}\ge \bar c\\[2mm] K , & c_{2}<\bar c \end{cases}$$

---

(1) $u_{2}(c_{2})=\ln c_{2}$ 時的最適消費

設定 Lagrange 函數

$\mathcal L= \ln c_{1}+p\ln c_{2}+ \lambda\,(2-c_{1}-c_{2})$

一階條件

$\frac{\partial\mathcal L}{\partial c_{1}}:\quad \frac{1}{c_{1}}-\lambda =0\quad\Longrightarrow\quad \lambda=\frac{1}{c_{1}}$

$\frac{\partial\mathcal L}{\partial c_{2}}:\quad \frac{p}{c_{2}}-\lambda =0\quad\Longrightarrow\quad \lambda=\frac{p}{c_{2}}$

聯立得

$\frac{1}{c_{1}}=\frac{p}{c_{2}}\;\Longrightarrow\;c_{2}=p\,c_{1}$

預算限制

$c_{1}+c_{2}=2\;\Longrightarrow\;c_{1}+p\,c_{1}=2\;\Longrightarrow\;c_{1}(1+p)=2$

最適解

$$\boxed{c_{1}^{*}= \dfrac{2}{1+p}},\qquad \boxed{c_{2}^{*}= \dfrac{2p}{1+p}}$$

---

(2) 分段效用 $u_{2}(c_{2})$ 時的最適 $c_{1}$

步驟 1：寫出期望效用函數

$$E[U]=\ln c_{1}+p\; \begin{cases} \ln c_{2}, & c_{2}\ge\bar c\\[1mm] K, & c_{2}<\bar c \end{cases}$$

且 $c_{2}=2-c_{1}$。

步驟 2：區分兩個消費區間

區間	條件	效用形式
A	$c_{2}\ge\bar c\;\Longleftrightarrow\;c_{1}\le 2-\bar c$	$\ln c_{1}+p\ln(2-c_{1})$
B	$c_{2}<\bar c\;\Longleftrightarrow\;c_{1}>2-\bar c$	$\ln c_{1}+pK$

步驟 3：求區間 A 的最適點（若可行）

對 $U_A(c_{1})=\ln c_{1}+p\ln(2-c_{1})$ 求導：

$$\frac{dU_A}{dc_{1}}=\frac{1}{c_{1}}-\frac{p}{2-c_{1}}=0 \;\Longrightarrow\; c_{1}= \frac{2}{1+p},\qquad c_{2}= \frac{2p}{1+p}$$

此解需滿足約束 $c_{1}\le 2-\bar c$，即

$$\frac{2}{1+p}\le 2-\bar c \;\Longleftrightarrow\; \boxed{\bar c\le\frac{2p}{1+p}} .$$

本題考查貨幣學中「劣幣驅逐良幣」法則（Gresham's Law），以及其解決方案。

核心概念：當兩種貨幣在法定價值相同，但市場價值不同時，人們會傾向於保留市場價值較高的貨幣（良幣），而流通使用市場價值較低的貨幣（劣幣），導致良幣退出流通。

Part 1: 劣幣驅逐良幣的經濟學理論與圖示

理論說明：
「劣幣驅逐良幣」法則是由英國皇家鑄幣局長湯瑪斯·葛萊姆（Thomas Gresham）提出。該法則指出，在兩種貨幣（或鑄幣）同時作為法定貨幣流通，且其名目價值（法定價值）相同，但實際內含金屬價值（或市場價值）不同時，人們會傾向於持有內含價值較高的貨幣（良幣），而將內含價值較低的貨幣（劣幣）用於支付和流通。因為人們不願意用較值錢的貨幣去購買原本可以用較不值錢的貨幣購買的商品。結果是，劣幣在市場上流通，而良幣則被儲藏、熔化或輸出國外，最終退出流通。

圖示說明：
我們可以透過供需模型來解釋這個現象。假設有兩種貨幣：A（良幣）和 B（劣幣）。它們都被政府規定為法定貨幣，且具有相同的名目價值（例如，一枚A幣和一枚B幣都等於1美元）。然而，A幣的實際金屬價值（例如含金量）高於B幣。

1. 貨幣的價值：

   • 良幣 A：實際價值 $V_A$ (例如，A幣內含黃金價值為 1.2 美元)。
   • 劣幣 B：實際價值 $V_B$ (例如，B幣內含黃金價值為 0.8 美元)。
   • 法定價值：$P_A = P_B = 1$ 美元。

2. 市場行為：

   • 持有者： 人們會將 A 幣儲藏起來，因為其內含價值 $V_A = 1.2$ 美元，高於其法定價值 $P_A = 1$ 美元。他們樂於將 A 幣視為一種儲蓄或投資。
   • 流通者： 當需要進行支付時，人們會優先使用 B 幣，因為其內含價值 $V_B = 0.8$ 美元，低於其法定價值 $P_B = 1$ 美元。他們寧願用 1 美元的法定價值的 B 幣去支付，也不願用 1.2 美元的市場價值的 A 幣去支付。

3. 供需圖：
   我們可以繪製貨幣 B（劣幣）在市場上的供需圖。

   • 供給曲線 (Supply of B)： 由於人們傾向於使用 B 幣進行支付，並且 B 幣的內含價值低於其法定價值，因此人們願意「供給」B 幣用於流通。供給曲線是向右上方傾斜的，表示在較高的「法定購買力」（即市場願意支付的價格）下，人們更願意將 B 幣釋放到市場上。
   • 需求曲線 (Demand for B)： 市場對 B 幣的需求來自於需要進行支付的個人和企業。由於 B 幣是劣幣，其內含價值低，人們願意用較低的實際價值來交換 B 幣。需求曲線是向右下方傾斜的，表示在較低的「法定購買力」下，市場對 B 幣的需求較高。

   均衡點： 供給與需求相交於一點。然而，更關鍵的是，由於 A 幣（良幣）被儲藏起來，實際上進入流通的貨幣主要是 B 幣。

   圖示：
   縱軸：法定價值（例如，美元）
   橫軸：劣幣 B 的數量

   • 繪製一條向右上方傾斜的供給曲線 $S_B$。
   • 繪製一條向右下方傾斜的需求曲線 $D_B$。
   • 兩條曲線的交點決定了劣幣 B 的均衡流通量和「法定購買力」。

   良幣 A 的情況：
   良幣 A 的需求曲線會在其法定價值（1 美元）處非常強勁（人們願意儲藏它），但其供給進入流通市場的意願則很低。
   可以想像，良幣 A 的需求曲線在法定價值 1 美元之上非常高，但在流通市場上的供給則非常少。

   圖例：
   假設法定價值為 1。
   A 幣：內含價值 $V_A = 1.2$。人們願意以 1 元法定價持有 A 幣，但若要用 A 幣支付，則等於損失了 0.2 元。因此，A 幣不會進入流通，主要被儲藏。
   B 幣：內含價值 $V_B = 0.8$。人們願意用 1 元法定價接受 B 幣，因為他們知道 B 幣只值 0.8 元。因此，B 幣被用於支付，並在市場上流通。

本題考查政府對租金市場進行價格管制的經濟學分析，屬於供給與需求模型在實際政策應用中的考題。

核心概念：價格管制（在此為租金上限或租金管制）對市場均衡、消費者剩餘、生產者剩餘、社會總剩餘以及市場效率的影響。

政府是否應針對房租價格進行管制？

我的論點是：政府不應廣泛且長期的實施房租價格管制，但可以在特定情況下考慮短期或有針對性的介入。

理由與經濟學分析：

價格管制，尤其是設定「租金上限」（Price Ceiling），會對市場產生一系列的影響。

1. 租金管制（Rent Control）的經濟學分析：

• 模型設定：

  • 縱軸：房租價格（$P$）
  • 橫軸：房屋數量（$Q$）
  • 供給曲線 ($S$)：向右上方傾斜，表示在較高的租金下，房東（供給者）願意提供的房屋數量較多。
  • 需求曲線 ($D$)：向右下方傾斜，表示在較低的租金下，租客（需求者）願意租賃的房屋數量較多。
  • 均衡點 ($E$)：供給與需求曲線的交點，決定了市場均衡租金 ($P_e$) 和均衡房屋數量 ($Q_e$)。

• 實施租金上限：
  政府設定一個法定租金上限 $P_{max}$，且 $P_{max} < P_e$。

• 圖示說明：

     ^ P (房租)
     |
     |        S
     |       /
  P_e|------*------- E (均衡點)
     |     / \
  P_max|----*---*---  (租金上限)
     |   /|   |\
     |  / |   | \
     | /  |   |  \
     |/   |   |   \
     +----------------> Q (房屋數量)
         Q_s  Q_e  Q_d
  

  • 均衡點 E： 在均衡租金 $P_e$ 下，市場交易量為 $Q_e$。
  • 租金上限 $P_{max}$： 當租金被限制在 $P_{max}$ 以下時，由於租金低於均衡水平，租客的需求量會增加（由 $Q_e$ 增加到 $Q_d$），而房東提供的房屋數量會減少（由 $Q_e$ 減少到 $Q_s$）。
  • 結果： 產生房屋短缺（Quantity Shortage），即 $Q_d > Q_s$。

• 租金管制造成的負面影響：

  • 房屋短缺 (Shortage)： 如圖所示，在較低的租金下，需求量大於供給量，導致大量租客無法租到房屋。
  • 黑市 (Black Market)： 為了規避租金上限，可能會出現非法的「紅包」或「裝潢費」等額外費用，實際租金可能高於法定上限。
  • 房屋品質下降 (Deterioration of Housing Quality)： 房東因租金收入減少，缺乏足夠的資金和動力來進行房屋的維護和修繕，導致房屋的整體品質下降。
  • 市場效率損失 (Deadweight Loss)： 由於管制導致交易量從 $Q_e$ 減少到 $Q_s$，社會總剩餘（消費者剩餘 + 生產者剩餘）減少。圖中由 $Q_s$ 到 $Q_e$ 之間，供給曲線和需求曲線之間的三角形區域即為社會福利損失。