115 年 國立臺北大學金融與合作經營學系碩士班《經濟學》

本題主要考查關稅政策對商品市場的影響，包含進口數量、消費者剩餘、生產者剩餘以及無謂損失。

核心觀念：
關稅是針對進口商品所課徵的一種稅費，會提高進口商品的價格，進而影響國內市場的供需結構。

繪圖與說明：
我們可以使用標準的供需模型來分析關稅的影響。假設在沒有關稅的情況下，國內市場的均衡價格為 $P_0$，均衡數量為 $Q_0$。假設美國是一個小型開放經濟體，國內的生產者無法影響世界市場價格 $P_w$。

1. 無關稅情況：

   • 國內需求曲線 $D_D$ 和國內供給曲線 $S_D$。
   • 國際市場價格為 $P_w$。
   • 在 $P_w$ 下，國內供給為 $Q_{SD}$，國內需求為 $Q_{DD}$。
   • 進口量為 $M = Q_{DD} - Q_{SD}$。
   • 消費者剩餘 (CS) 是需求曲線下方、價格上方所圍成的區域。
   • 生產者剩餘 (PS) 是供給曲線上方、價格下方所圍成的區域。

2. 課徵關稅後 (假設為從量關稅 $t$ 或從價關稅 $r$，使進口商品價格提高至 $P_w + t$ 或 $P_w(1+r)$)：

   • 進口商品抵達國內市場的價格為 $P_t = P_w + t$ (或 $P_t = P_w(1+r)$)。
   • 在新的價格 $P_t$ 下，國內供給增加至 $Q'_{SD}$，國內需求減少至 $Q'_{DD}$。
   • 新的進口量為 $M' = Q'_{DD} - Q'_{SD}$。
   • 影響：
     • 進口商品數量： 關稅提高了進口商品的價格，導致國內需求量減少，國內供給量增加，因此進口量 $M'$ 會小於原來的進口量 $M$。

本題考查消費者選擇理論中，價格變動對消費者行為的影響，特別是替代效果、所得效果和總效果。

核心觀念：
當一種商品（在此指進口商品）的價格上漲時，消費者的購買行為會受到影響，這可以分解為替代效果和所得效果。

消費者選擇理論：
假設消費者在預算線的約束下，追求效用最大化。消費者的效用函數為 $U(x, y)$，其中 $x$ 代表進口商品，$y$ 代表其他商品（或所有其他商品）。預算線方程為 $P_x x + P_y y = I$，其中 $P_x$ 是進口商品價格，$P_y$ 是其他商品價格，$I$ 是所得。

價格變動的分解：
當進口商品價格 $P_x$ 上漲到 $P'_x$ 時（由於關稅），這會導致消費者選擇的改變。我們可以透過希克斯 (Hicks) 或斯拉茨基 (Slutsky) 的方法來分解這個總效果（價格效果）為替代效果和所得效果。這裡我們採用斯拉茨基分解，將預算線的改變分解為平行移動和斜率改變。

繪圖與說明：
我們使用無異曲線 (Indifference Curve, IC) 和預算線 (Budget Line, BL) 來分析。

1. 初始狀態：

   • 消費者在無異曲線 $IC_1$ 上，於點 $E_1$ 達到效用最大化，消費進口商品 $x_1$ 和其他商品 $y_1$。
   • 預算線為 $BL_1$，斜率為 $-P_x / P_y$。

2. 價格上漲後：

   • 進口商品價格 $P_x$ 上漲至 $P'_x$。
   • 新的預算線 $BL_2$ 的斜率變為 $-P'_x / P_y$，且由於價格上漲，預算線會向內旋轉，通過點 $E_1$ 的預算線會向左下方移動。
   • 在新的預算線 $BL_2$ 下，消費者選擇點 $E_2$ 達到效用最大化，消費進口商品 $x_2$ 和其他商品 $y_2$。
   • 總效果 (Total Effect, TE)： $x_2 - x_1$ (進口商品消費量的減少)。

3. 斯拉茨基分解：

   • 虛擬預算線 $BL_{sub}$： 畫一條與新的預算線 $BL_2$ 平行的預算線，使其能達到原來的無異曲線 $IC_1$。這條虛擬預算線代表在保持原有購買力的情況下，消費者如何適應新的價格比率。

一、核心觀念

概念	定義/公式	與本題關聯
預算線	$p_x x + p_y y = M$（$p_x$、$p_y$ 為兩商品價格，$M$ 為所得）	政府調高基本薪資等同於把 $M$ 向右平行移動
無差異曲線	表示消費者對 $(x,y)$ 的相同效用 $U$，斜率為 $-\frac{MU_x}{MU_y}$（邊際替代率）	用來找出在新預算線上最適的消費組合
收入效應	所得變動引起的需求變化，等同於預算線平行移動後的需求變化	所得提升會使進口商品需求上升
價格效應	價格變動（直接或間接）引起的需求變化，分為替代效應與收入效應	若需求上升足以推高世界價格，會產生價格效應
恩格爾曲線 (Engel Curve)	$x = f(M)$，即某一商品的需求量隨所得的函數關係	由新均衡點的 $x$ 隨 $M$ 的變化得到

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二、解題方法

1. 設定模型

   • 選取兩商品：進口商品 $x$（價格 $p_x$）與國內其他商品 $y$（價格 $p_y$）。
   • 假設消費者偏好滿足常規條件（連續、遞減的邊際效用），因此無差異曲線向右上方凸向原點。

2. 描繪原始均衡

   • 原始預算線：$p_x x + p_y y = M_0$（$M_0$ 為調升前的所得）。
   • 與一條無差異曲線 $U_0$ 接觸於點 $A(x_0,y_0)$。此點滿足 條件
     $\frac{MU_x}{MU_y} = \frac{p_x}{p_y} \quad\text{且}\quad p_x x_0 + p_y y_0 = M_0$

3. 所得提升（調高基本薪資）

   • 所得變為 $M_1 > M_0$，預算線平行外移至 $p_x x + p_y y = M_1$。
   • 由於價格未變，斜率仍為 $-\frac{p_x}{p_y}$。

4. 找出新均衡點 $B$

   • 新預算線與更高的無差異曲線 $U_1$（$U_1 > U_0$）相切於 $B(x_1,y_1)$，滿足
     $\frac{MU_x}{MU_y}\Big|_{B}= \frac{p_x}{p_y},\qquad p_x x_1 + p_y y_1 = M_1$
   • 由於無差異曲線向外凸，$x_1 > x_0$（收入效應正向）。

5. 價格效果的可能來源

   • 小國假設：世界市場價格 $p_x$ 不受單一國家需求變動影響，故 $p_x$ 不變，只有需求量上升。
   • 大國（或區域）假設：整體需求上升導致 $p_x$ 上升。
     • 需求曲線 $D_x(p_x)$ 向右平移，使均衡價格由 $p_x^0$ 上升至 $p_x^1$。
     • 在圖形上，需求曲線右移相當於價格效應（$p_x$ 提高同時收入效應仍為正）。

6. 推導恩格爾曲線

   • 把所有可能的所得 $M$（從 $M_0$ 到 $M_1$）代入預算線，求出對應的最適 $x(M)$。
   • 數學上，若效用函數可寫成 $U(x,y)=x^\alpha y^{1-\alpha}$（柯布-道格拉斯），則需求函數為
     $x(M)=\alpha\frac{M}{p_x}$

本題考查 Ramsey 模型中，社會福利函數 (或稱社會效用函數) 的有限性條件。

核心觀念：
在 Ramsey 模型中，社會福利函數是跨期效用函數的總和，其形式為一個積分。為了使這個積分有意義（即社會福利是有限的），積分中的被積函數必須在時間趨於無窮大時趨於零，或者積分的收斂性必須得到保證。

Ramsey 模型中的社會福利函數：
社會福利函數 (價值函數) $V$ 定義為：
$V = \int_0^\infty e^{-\pi t} U(c(t)) N(t) dt$
其中：

• $e^{-\pi t}$ 是時間折現因子，$\pi > 0$ 是時間偏好率 (time preference rate)。
• $U(c(t))$ 是每一時期每個人的即期效用，假設為 $U(c) = \frac{c^{1-\theta}}{1-\theta}$ (CRRA 形式)，其中 $\theta > 0$ 是相對風險厭惡係數 (coefficient of relative risk aversion)。
• $N(t)$ 是在時間 $t$ 時的人口數。
• $N(t) = N_0 e^{nt}$，其中 $n > 0$ 是人口增長率。

使效用函數有限的條件：
要使上述積分 $V$ 有限，被積函數 $e^{-\pi t} U(c(t)) N(t)$ 在 $t \to \infty$ 時必須足夠快地趨近於零。

考慮 CRRA 效用函數 $U(c) = \frac{c^{1-\theta}}{1-\theta}$。
代入福利函數：
$V = \int_0^\infty e^{-\pi t} \frac{c(t)^{1-\theta}}{1-\theta} N_0 e^{nt} dt$
$V = \frac{N_0}{1-\theta} \int_0^\infty e^{-(\pi-n) t} c(t)^{1-\theta} dt$

為了使這個積分收斂，我們需要關注指數項 $e^{-(\pi-n) t}$ 和 $c(t)^{1-\theta}$ 的行為。

情況分析：

1. 如果 $1-\theta > 0$ (即 $\theta < 1$)： 效用函數是凸的 (convex)，$c(t)^{1-\theta}$ 隨 $c(t)$ 增加而增加。

   • 如果 $\pi - n > 0$ (即 $\pi > n$)： 指數項 $e^{-(\pi-n) t}$ 趨於零。如果 $c(t)$ 增長速度不是太快，積分可能收斂。
   • 如果 $\pi - n < 0$ (即 $\pi < n$)： 指數項 $e^{-(\pi-n) t}$ 趨於無窮大。如果 $c(t)$ 增長，則 $c(t)^{1-\theta}$ 也增長（因 $1-\theta>0$），總體被積函數很可能趨於無窮大。
   • 如果 $\pi - n = 0$ (即 $\pi = n$)： 指數項為 1。被積函數變為 $c(t)^{1-\theta}$。如果 $1-\theta > 0$，則 $c(t)$ 增長會導致 $c(t)^{1-\theta}$ 增長。

2. 如果 $1-\theta < 0$ (即 $\theta > 1$)： 效用函數是凹的 (concave)，$c(t)^{1-\theta}$ 隨 $c(t)$ 增加而減少。

   • 如果 $\pi - n > 0$ (即 $\pi > n$)： 指數項 $e^{-(\pi-n) t}$ 趨於零。由於 $c(t)^{1-\theta}$ 隨 $c(t)$ 增加而減少，即使 $c(t)$ 增長，被積函數的衰減速度也可能足夠快，使積分收斂。
   • 如果 $\pi - n < 0$ (即 $\pi < n$)： 指數項 $e^{-(\pi-n) t}$ 趨於無窮大。但是，由於 $1-\theta < 0$， $c(t)^{1-\theta}$ 隨 $c(t)$ 增加而減少。如果 $c(t)$ 的增長速度不是非常快，指數項的增長可能被 $c(t)^{1-\theta}$ 的衰減所抵消，使得積分收斂。
   • 如果 $\pi - n = 0$ (即 $\pi = n$)： 指數項為 1。被積函數為 $c(t)^{1-\theta}$。由於 $1-\theta < 0$， $c(t)^{1-\theta}$ 隨 $c(t)$ 增加而減少。如果 $c(t)$ 增長，則 $c(t)^{1-\theta}$ 趨於零，積分收斂。

標準的 Ramsey 模型要求：
在標準的 Ramsey 模型中，社會效用函數是有限的，並且通常假設存在一個穩態。為了保證效用函數的有限性，通常要求：

• 時間偏好率 $\pi$ 必須大於人口增長率 $n$。即 $\pi > n$。
• 同時，為了使效用函數 $U(c)$ 本身有意義，並且在經濟學上合理，我們通常假設 $\theta > 0$。

本題要求在 Ramsey 模型中，給定假設後，求解穩態時的每人資本存量。

核心觀念：
穩態 (Steady State) 是指經濟體系中，人均資本存量、人均消費等關鍵變數不再隨時間變化的狀態。在 Ramsey 模型中，穩態的條件是人均資本存量變動率為零，即 $\dot{k} = 0$。

模型設定：

• 效用函數：$U(c) = \frac{c^{1-\theta}}{1-\theta}$
• 生產函數：$y = f(k) = k^\theta$，其中 $0 < \theta < 1$ (假設邊際產出遞減)。
• 人口增長率：$n > 0$
• 時間偏好率：$\pi$ (假設 $\pi > n$)
• 折舊率：0
• 資本存量微分方程：$\dot{k} = f(k) - c - nk$

穩態條件：
在穩態時，人均資本存量 $k$ 的變化率為零，即 $\dot{k} = 0$。
$f(k^*) - c^* - nk^* = 0$
$k^{*\theta} - c^* - nk^* = 0$
$c^* = k^{*\theta} - nk^*$

Ramsey 模型的動態約束 (Euler Equation)：
社會規劃者追求效用最大化，其決策必須滿足 Euler 方程。對於 CRRA 效用函數，Euler 方程為：
$\frac{\dot{c}}{c} = \frac{1}{\theta} (r - \rho)$
其中 $r$ 是資本的淨報酬率 (即邊際生產力)，$\rho$ 是時間偏好率。
在沒有折舊且生產函數為 $f(k)=k^\theta$ 的情況下，資本的邊際生產力為 $MPK = \frac{df(k)}{dk} = \theta k^{\theta-1}$。
由於沒有折舊，資本的淨報酬率 $r$ 就是 $MPK$。
$r = \theta k^{\theta-1}$
社會規劃者的時間偏好率是 $\pi$ (題目中用 $\pi$ 表示)。
所以 Euler 方程為：
$\frac{\dot{c}}{c} = \frac{1}{\theta} (\theta k^{\theta-1} - \pi)$
$\frac{\dot{c}}{c} = k^{\theta-1} - \frac{\pi}{\theta}$

穩態下的 Euler 方程：
在穩態時，消費 $c$ 是常數，所以 $\dot{c} = 0$。
$\frac{\dot{c}}{c} = 0$
因此，穩態下的 Euler 方程為：
$k^{*\theta-1} - \frac{\pi}{\theta} = 0$
$k^{*\theta-1} = \frac{\pi}{\theta}$

求解穩態資本存量 $k^*$：
從上式，我們可以解出 $k^*$：
$k^* = \left(\frac{\pi}{\theta}\right)^{\frac{1}{\theta-1}}$
$k^* = \left(\frac{\theta}{\pi}\right)^{\frac{1}{1-\theta}}$

驗證穩態消費 $c^*$：
我們也需要確保穩態消費 $c^*$ 是非負的。
$c^* = k^{*\theta} - nk^*$
將 $k^*$ 代入：
$c^* = \left(\left(\frac{\theta}{\pi}\right)^{\frac{1}{1-\theta}}\right)^\theta - n \left(\frac{\theta}{\pi}\right)^{\frac{1}{1-\theta}}$
$c^* = \left(\frac{\theta}{\pi}\right)^{\frac{\theta}{1-\theta}} - n \left(\frac{\theta}{\pi}\right)^{\frac{1}{1-\theta}}$

本題考查 IS-LM-BP 模型在固定匯率制下，擴張性財政政策對經濟的影響。

核心觀念：
IS-LM-BP 模型是分析開放經濟體系中，商品市場 (IS)、貨幣市場 (LM) 和國際收支 (BP) 之間相互作用的框架。固定匯率制下，央行需要干預外匯市場以維持匯率穩定。

模型設定：

• IS 曲線： 商品市場均衡。 $Y = C(Y-T) + I(r) + G + NX(e)$。
• LM 曲線： 貨幣市場均衡。 $M/P = L(r, Y)$。
• BP 曲線： 國際收支均衡。 $NX(e) + K(r) = 0$ (考慮資本移動)。
  • $NX$ 是淨出口，對匯率 $e$ (本國貨幣對外幣的匯率，固定匯率下是常數) 和國民所得 $Y$ 依賴。
  • $K$ 是資本淨流入，對利率 $r$ 依賴。
• 固定匯率制： 央行承諾維持某個固定的匯率水平 $e_0$。
• 相對資本移動 (Relative Capital Mobility)： BP 曲線比 LM 曲線平坦。這意味著，在較小的利率差異下，資本移動的規模足以顯著影響國際收支。 BP 曲線的斜率為 $dY/dr$。
  • LM 曲線斜率：$dY/dr = -L_r / L_Y > 0$。
  • BP 曲線斜率 (考慮資本移動)：$dY/dr = -K_r / NX_Y$。
  • BP 曲線平坦表示 $|-K_r / NX_Y|$ 較小，即 $K_r$ 很大（資本對利率敏感）或 $NX_Y$ 很小（淨出口對所得不敏感）。

擴張性財政政策：
政府增加支出 $G$ 或減少稅收 $T$。這會使 IS 曲線右移。

影響分析：

1. 初始均衡： 經濟體在 $E_0$ 點達到 IS、LM 和 BP 曲線的交點，對應的國民所得為 $Y_0$，利率為 $r_0$。

2. IS 曲線右移： 擴張性財政政策導致 IS 曲線向右移動到 $IS'$。

   • 在原利率 $r_0$ 下，經濟體會移動到 $IS'$ 和 LM 曲線的交點 $E_1$。
   • 在 $E_1$ 點，國民所得 $Y$ 增加到 $Y_1$，利率 $r$ 上升到 $r_1$。

本題考查 IS-LM-BP 模型在浮動匯率制下，擴張性貨幣政策對經濟的影響。

核心觀念：
IS-LM-BP 模型在浮動匯率制下的分析，強調匯率變動在調節國際收支和影響總需求中的作用。

模型設定：

• IS 曲線： 商品市場均衡。 $Y = C(Y-T) + I(r) + G + NX(e)$。
• LM 曲線： 貨幣市場均衡。 $M/P = L(r, Y)$。
• BP 曲線： 國際收支均衡。 $NX(e) + K(r) = 0$ (考慮資本移動)。
• 浮動匯率制： 央行不干預外匯市場，匯率由市場供求決定。
• 相對資本不移動 (Relative Capital Immobility)： BP 曲線比 LM 曲線陡峭。這意味著，利率的較大變動才會引起足夠的資本移動來抵消淨出口的變化，以維持國際收支平衡。 BP 曲線的斜率 $|-K_r / NX_Y|$ 較大。

擴張性貨幣政策：
央行增加貨幣供給 $M$。這會使 LM 曲線右移。

影響分析：

1. 初始均衡： 經濟體在 $E_0$ 點達到 IS、LM 和 BP 曲線的交點，對應的國民所得為 $Y_0$，利率為 $r_0$。

2. LM 曲線右移： 擴張性貨幣政策導致 LM 曲線向右移動到 $LM'$。

   • 在原利率 $r_0$ 下，經濟體會移動到 $IS$ 和 $LM'$ 曲線的交點 $E_1$。
   • 在 $E_1$ 點，國民所得 $Y$ 增加到 $Y_1$，利率 $r$ 下降到 $r_1$。

3. 利率下降與國際收支壓力：

   • 利率從 $r_0$ 下降到 $r_1$。
   • 由於利率下降，資本淨流入 $K(r)$ 減少 (或資本淨流出增加)。
   • 同時，國內所得 $Y$ 增加，導致淨出口 $NX(e)$ 減少。
   • 在新的點 $E_1$，國際收支將出現赤字（BP 曲線位於 $E_1$ 的下方，表示 $NX + K < 0$）。

4. 浮動匯率下的調整：

   • 國際收支赤字意味著外匯市場上對本國貨幣的供給大於需求，這會導致本國貨幣貶值。
   • 在浮動匯率制下，匯率 $e$ 會自動調整，本幣貶值。

5. 匯率貶值對 IS 曲線的影響：

   • 匯率貶值 $e$ 意味著本國貨幣在外幣計價下變得更便宜，從而增加了本國的淨出口 $NX(e)$ (假設 BP 曲線的 $NX$ 部分對 $e$ 是正相關的)。
   • 淨出口的增加會使 IS 曲線向右移動到 $IS'$。