113 年 國立臺北大學金融與合作經營學系碩士班《經濟學》

本題主要在探討課徵碳稅如何影響企業的減碳行為，以及其在經濟學上的圖形分析。

核心觀念：外部性、課稅、資源配置。

詳解：
課徵碳稅是一種將外部成本內部化的政策工具。企業在生產過程中，若排放溫室氣體（如二氧化碳），會對環境造成負面外部性，進而產生社會成本。然而，企業在決策時，通常只考慮其私人成本與私人收益，而忽略了外部成本。

1. 課徵碳稅的機制：
   政府對每單位碳排放量課徵一個固定稅額（碳稅），此舉提高了企業排放溫室氣體的成本。企業為了降低總生產成本，會面臨兩難：

   • 支付碳稅：繼續排放，但需負擔額外的稅金。
   • 減少碳排放：透過技術改良、使用低碳能源、提高能源效率等方式來減少排放，以節省碳稅支出。

2. 圖形分析（以單一廠商或產業為例）：
   我們可以利用圖形來分析這個過程。假設縱軸為成本（或價格），橫軸為碳排放量。

   • 邊際成本曲線 (MC)： 代表廠商生產與排放的邊際成本。在未課稅前，廠商的邊際排放成本為零。
   • 邊際外部成本曲線 (MEC)： 代表每單位碳排放對社會造成的額外成本。此曲線通常向上傾斜，表示排放越多，對社會的傷害越大。
   • 社會邊際成本曲線 (MSC)： $MSC = MC + MEC$。
   • 邊際減排成本曲線 (MDRC)： 代表廠商每減少一單位碳排放所節省的成本。

本題主要探討總量管制與交易制度（Cap-and-Trade）如何達成減碳目標，並進行圖形分析。

核心觀念：總量管制、市場機制、交易、效率。

詳解：
限額與交易制度（Cap-and-Trade, CAT）是一種結合總量管制與市場機制的環境政策工具。其核心精神是設定一個總體的碳排放總量上限（Cap），並將允許排放的權利（配額）分配給受管制者。受管制者可以在市場上交易這些配額，以達成減碳目標。

1. 制度運作機制：

   • 設定總量上限 (Cap)： 政府首先決定整個經濟體或特定產業的總碳排放總量上限。這個上限是固定的，代表了政府希望達到的減碳目標。
   • 分配配額 (Allowance)： 政府將總量上限下的排放配額分配給各個受管制者（如企業）。配額的分配方式可以是免費分配（如歷史排放量）或拍賣。
   • 交易市場： 擁有配額的企業可以在市場上將其多餘的配額出售給需要更多配額的企業。反之，配額不足的企業則需從市場上購買配額。
   • 減排誘因： 企業的邊際減排成本（MDRC）決定了其在市場上的購買或出售行為。
     • 若企業的邊際減排成本低於市場價格，則該企業會選擇減少排放並出售配額。
     • 若企業的邊際減排成本高於市場價格，則該企業會選擇購買配額，而非自行減排。

2. 圖形分析：
   我們可以利用圖形來分析此制度的運作。假設縱軸為價格（配額價格或邊際減排成本），橫軸為碳排放量。

   • 總量上限 (Cap)： 繪製一條垂直線，代表總體允許的最大排放量 $Q_{cap}$。

本題要求比較課徵碳稅（Carbon Tax）與總量管制與交易（Cap-and-Trade, CAT）兩種減碳政策工具，從碳排放結果、價格確定性及成本效率等方面進行分析。

核心觀念：環境政策工具比較、價格管制 vs. 數量管制、效率。

詳解：
課徵碳稅和限額與交易制度都是為了應對溫室氣體排放的負外部性，但它們的運作機制和效果有所不同。

1. 碳排放結果的差異：

• 課徵碳稅： 碳稅制度設定了一個確定的「價格」（稅率 $t$）。企業會根據這個價格來決定其排放量。在廠商行為改變和技術進步下，實際總碳排放量是不確定的。如果廠商對價格的反應（邊際減排反應）比預期強，實際排放量可能低於預期；反之，則可能高於預期。
• 限額與交易制度： 此制度設定了一個確定的「數量」（總排放上限 $Q_{cap}$）。市場上的配額交易價格會根據供需自動調整，以確保總排放量正好等於 $Q_{cap}$。因此，碳排放結果是確定的。

2. 碳稅稅率與配額市場價格的差異：

• 課徵碳稅： 政府設定碳稅稅率 $t$。這個稅率是政策的決定因素。
• 限額與交易制度： 配額的市場價格 $P^*$ 是由市場供需決定的，是政策的結果。

3. 圖形分析比較：
我們可以用同一張圖來比較兩者。橫軸為碳排放量，縱軸為價格（碳稅或配額價格）。

• 總體邊際減排成本曲線 (Aggregated MDRC)： 假設這條曲線代表了經濟體中所有廠商減少碳排放的邊際成本，是向上傾斜的。
• 課徵碳稅： 政府設定碳稅率為 $t$。廠商會選擇使其邊際減排成本等於 $t$ 的排放量。如果預期廠商的邊際減排反應是 $Q_{tax}$，那麼總排放量就是 $Q_{tax}$。
• 限額與交易制度： 政府設定總排放上限為 $Q_{cap}$。市場會形成一個價格 $P^*$，使得總排放量恰好等於 $Q_{cap}$。

圖示說明：

• 繪製一條向上傾斜的總體邊際減排成本曲線 (Aggregated MDRC)。
• 碳稅： 繪製一條水平線代表碳稅率 $t$。與 MDRC 的交點決定了廠商的邊際減排成本，進而決定了總排放量 $Q_{tax}$。
• 限額與交易： 繪製一條垂直線代表總排放上限 $Q_{cap}$。與 MDRC 的交點決定了市場配額價格 $P^*$，同時也確定了總排放量為 $Q_{cap}$。

本題為一個標準的純交換經濟模型，要求計算兩位擁有不同偏好（Cobb-Douglas 效用函數）的代理人在給定初始財賦下，尋找其最適消費組合。

核心觀念：Cobb-Douglas 效用函數、預算限制式、最適化、勞斯法則 (Lindahl-Bowley Rule) 或拉格朗日乘數法。

詳解：
在此純交換經濟中，有兩位代理人 a 和 b，兩種財貨 1 和 2。
初始財賦為：
代理人 a：$e_a = [1, 0]$ (擁有 1 單位的財貨 1，0 單位的財貨 2)
代理人 b：$e_b = [0, 1]$ (擁有 0 單位的財貨 1，1 單位的財貨 2)

兩位代理人的效用函數分別為：
代理人 a：$u_a(x_{a1}, x_{a2}) = x_{a1}^{\alpha} x_{a2}^{1-\alpha}$
代理人 b：$u_b(x_{b1}, x_{b2}) = x_{b1}^{\beta} x_{b2}^{1-\beta}$
其中 $\alpha, \beta \in (0, 1)$。

設財貨 1 的價格為 $p_1$，財貨 2 的價格為 $p_2$。

1. 尋找代理人 a 的最適解：
代理人 a 的目標是最大化其效用 $u_a(x_{a1}, x_{a2})$，同時滿足其預算限制式。
代理人 a 的總財富價值為其初始財賦的價值：$W_a = p_1 \cdot e_{a1} + p_2 \cdot e_{a2} = p_1 \cdot 1 + p_2 \cdot 0 = p_1$。
因此，代理人 a 的預算限制式為：$p_1 x_{a1} + p_2 x_{a2} = W_a = p_1$。

最大化問題：
$\max_{x_{a1}, x_{a2}} u_a(x_{a1}, x_{a2}) = x_{a1}^{\alpha} x_{a2}^{1-\alpha}$
s.t. $p_1 x_{a1} + p_2 x_{a2} = p_1$

對於 Cobb-Douglas 效用函數，其邊際效用為：
$MU_{a1} = \frac{\partial u_a}{\partial x_{a1}} = \alpha x_{a1}^{\alpha-1} x_{a2}^{1-\alpha}$
$MU_{a2} = \frac{\partial u_a}{\partial x_{a2}} = (1-\alpha) x_{a1}^{\alpha} x_{a2}^{-\alpha}$

最適化條件是邊際效用比等於價格比（MRS = Price Ratio）：
$\frac{MU_{a1}}{MU_{a2}} = \frac{\alpha x_{a1}^{\alpha-1} x_{a2}^{1-\alpha}}{(1-\alpha) x_{a1}^{\alpha} x_{a2}^{-\alpha}} = \frac{\alpha}{1-\alpha} \frac{x_{a2}}{x_{a1}}$
所以，$\frac{\alpha}{1-\alpha} \frac{x_{a2}}{x_{a1}} = \frac{p_1}{p_2}$

整理得到：$p_1 x_{a1} = \frac{\alpha}{1-\alpha} p_2 x_{a2}$。
這表示在最適點，花費在財貨 1 上的支出是花費在財貨 2 上的支出的 $\frac{\alpha}{1-\alpha}$ 倍。

或者，更常見的寫法是：
$\frac{\alpha}{1-\alpha} \frac{x_{a2}}{x_{a1}} = \frac{p_1}{p_2} \implies p_2 x_{a2} = \frac{1-\alpha}{\alpha} p_1 x_{a1}$。
這表示花費在財貨 1 上的支出比例為 $\alpha$，花費在財貨 2 上的支出比例為 $1-\alpha$。

本題要求在純交換經濟模型中，利用市場均衡條件，推導出兩種財貨價格之間的關係。

核心觀念：市場均衡、總體供需、古諾法則 (Walras's Law)。

詳解：
在一個純交換經濟中，市場均衡發生在所有市場同時達到均衡時。這裡有兩個市場：財貨 1 的市場和財貨 2 的市場。市場均衡的條件是，總供給等於總需求。

我們已經從第一小題求得了兩位代理人的最適需求函數。現在我們需要計算總體經濟對這兩種財貨的需求。

總體需求：

• 財貨 1 的總需求 $X_1^D = x_{a1}^* + x_{b1}^*$
• 財貨 2 的總需求 $X_2^D = x_{a2}^* + x_{b2}^*$

總體供給：
總體供給來自於所有代理人的初始財賦。

• 財貨 1 的總供給 $X_1^S = e_{a1} + e_{b1} = 1 + 0 = 1$
• 財貨 2 的總供給 $X_2^S = e_{a2} + e_{b2} = 0 + 1 = 1$

市場均衡條件：

• 財貨 1 市場均衡：$X_1^D = X_1^S$
• 財貨 2 市場均衡：$X_2^D = X_2^S$

根據瓦拉斯法則 (Walras's Law)，如果一個市場達到均衡，且總價值為零，則另一個市場也必然達到均衡。在這裡，我們可以利用任一市場的均衡條件來推導價格關係。我們將同時檢驗兩個市場的均衡。

代入第一小題求得的最適消費：
$x_{a1}^* = \alpha$
$x_{a2}^* = \frac{p_1 (1-\alpha)}{p_2}$
$x_{b1}^* = \frac{\beta p_2}{p_1}$
$x_{b2}^* = 1-\beta$

財貨 1 市場均衡：
$X_1^D = x_{a1}^* + x_{b1}^* = \alpha + \frac{\beta p_2}{p_1}$
$X_1^S = 1$
均衡條件：$\alpha + \frac{\beta p_2}{p_1} = 1$

我們可以從這個式子推導出 $p_1$ 和 $p_2$ 的關係：
$\frac{\beta p_2}{p_1} = 1 - \alpha$
$\beta p_2 = p_1 (1 - \alpha)$
$\frac{p_1}{p_2} = \frac{\beta}{1 - \alpha}$

財貨 2 市場均衡：
$X_2^D = x_{a2}^* + x_{b2}^* = \frac{p_1 (1-\alpha)}{p_2} + (1-\beta)$
$X_2^S = 1$
均衡條件：$\frac{p_1 (1-\alpha)}{p_2} + (1-\beta) = 1$

本題為一個標準的索洛成長模型 (Solow Growth Model) 問題，要求在給定生產函數、折舊率、儲蓄率和人口成長率下，計算穩態時的每人產出和每人資本。

核心觀念：索洛成長模型、穩態 (Steady State)、人均生產函數、人均資本累積方程式。

詳解：
索洛成長模型描述了一個經濟體如何透過儲蓄、資本累積、勞動力成長和技術進步來實現經濟成長。在此問題中，沒有技術進步，只有資本累積、折舊和人口成長。

模型設定：

• 人均生產函數（intensive form）：$f(k) = k^{0.3}$，其中 $k$ 是每人資本 ($k = K/L$)，$f(k)$ 是每人產出 ($y = Y/L$)。
• 折舊率：$\delta = 0.10$ (10%)
• 儲蓄率：$s = 0.20$ (20%)
• 人口成長率：$n = 0.05$ (5%)

人均資本累積方程式為：
$\Delta k = s f(k) - (\delta + n) k$
其中 $\Delta k$ 代表每人資本的變化。

穩態 (Steady State) 是指每人資本 $k$ 不變的狀態，即 $\Delta k = 0$。
因此，在穩態時，我們有：
$s f(k^*) = (\delta + n) k^*$

其中 $k^*$ 是穩態時的人均資本。

將給定參數代入穩態條件：
$0.20 \cdot (k^*)^{0.3} = (0.10 + 0.05) k^*$
$0.20 \cdot (k^*)^{0.3} = 0.15 k^*$

現在我們需要解出 $k^*$：
將等式兩邊同除以 $(k^*)^{0.3}$ （假設 $k^* > 0$）：
$0.20 = 0.15 (k^*)^{1 - 0.3}$
$0.20 = 0.15 (k^*)^{0.7}$

核心觀念

本題考查競爭市場下的要素價格決定，以及穩態成長路徑（steady-state growth path）上的工資與利率。

在生產者完全競爭、規模報酬固定的條件下：

• 工資等於勞動的邊際產量：

  $w_t=F_L(K_t,A_tL_t)$

• 資本的租金等於資本的邊際產量：

  $R_t=F_K(K_t,A_tL_t)$

若資本會折舊，資本淨報酬率為：

$r_t=F_K(K_t,A_tL_t)-\delta$

其中：

• $w_t$：實質工資
• $R_t$：資本毛報酬率
• $r_t$：資本淨利率
• $\delta$：折舊率
• $A_t$：勞動生產力或技術水準

題目未提供生產函數、折舊率、人口成長率與技術成長率，因此以下採用標準的新古典成長模型，並以 Cobb-Douglas 生產函數說明。

解題方法

假設總生產函數為：

$Y_t=K_t^\alpha(A_tL_t)^{1-\alpha},\qquad 0<\alpha<1$

令每單位有效勞動的資本為：

$k_t=\frac{K_t}{A_tL_t}$

則每單位有效勞動的生產函數為：

$y_t=f(k_t)=k_t^\alpha$

在完全競爭下，廠商選擇資本與勞動投入，使各生產要素的報酬等於其邊際產量。

一、工資率

勞動邊際產量為：

$$w_t = \frac{\partial Y_t}{\partial L_t} = (1-\alpha)K_t^\alpha(A_tL_t)^{-\alpha}A_t$$

整理得：

$$w_t=(1-\alpha)A_t\left(\frac{K_t}{A_tL_t}\right)^\alpha$$

因此：

$$\boxed{w_t=(1-\alpha)A_t k_t^\alpha}$$

在穩態成長路徑上，$k_t$ 維持固定於穩態值 $k^*$，因此：

$$\boxed{w_t=(1-\alpha)A_t(k^*)^\alpha}$$

若技術水準以固定速率 $g$ 成長，則工資也以相同速率成長；若沒有技術進步，即 $A_t$ 固定，工資率則為固定值：

$$\boxed{w^*=(1-\alpha)(k^*)^\alpha}$$

二、利率

資本邊際產量為：

$$R_t = \frac{\partial Y_t}{\partial K_t} = \alpha K_t^{\alpha-1}(A_tL_t)^{1-\alpha}$$

整理得：

$$R_t=\alpha\left(\frac{K_t}{A_tL_t}\right)^{\alpha-1}$$

所以資本毛報酬率為：

$$\boxed{R_t=\alpha(k_t)^{\alpha-1}}$$

若考慮資本折舊，資本淨利率為：

$$\boxed{r_t=\alpha(k_t)^{\alpha-1}-\delta}$$

在穩態成長路徑上：

$$\boxed{r^*=\alpha(k^*)^{\alpha-1}-\delta}$$

由於 $k^*$ 固定，且技術進步不會改變資本的邊際產量，故穩態成長路徑上的利率維持固定。

穩態值的決定

本題要求計算為了使經濟體達到黃金法則穩態 (Golden Rule Steady State)，額外需要的資本量。

核心觀念：黃金法則穩態、人均消費最大化、穩態資本與黃金法則穩態資本的比較。

詳解：
黃金法則穩態是指在所有可能的穩態中，使得人均消費 ($c$) 最大化的穩態。
在索洛成長模型中，人均消費 $c$ 等於人均產出 $y$ 減去人均投資 $i$ (即每人資本的淨增加量)。
在穩態時，人均資本 $k$ 不變，所以人均投資 $i$ 等於每人資本的折舊和人口成長所需的部分。
$c = y - i$
在穩態時，$\Delta k = 0$，所以 $s f(k) = (\delta + n) k$。
人均消費 $c = f(k) - (\delta + n) k$。

黃金法則穩態的條件是最大化 $c$ 對於 $k$ 的函數。
$\frac{dc}{dk} = 0$
$\frac{d}{dk} [f(k) - (\delta + n) k] = 0$
$f'(k) - (\delta + n) = 0$
$f'(k) = \delta + n$

這表示，在黃金法則穩態下，資本的邊際產出 ($MPK$) 等於折舊率與人口成長率之和。
我們已經知道，在競爭市場中，利率 $r = MPK$。所以，黃金法則穩態的條件是 $r = \delta + n$。

從第二小題，我們計算了當前穩態的利率 $r = 0.225$。
同時，我們知道 $\delta = 0.10$ 且 $n = 0.05$，所以 $\delta + n = 0.10 + 0.05 = 0.15$。

比較當前穩態的利率與黃金法則的要求：
當前穩態利率 $r = 0.225$。
黃金法則穩態條件 $\delta + n = 0.15$。
由於 $r > \delta + n$ ($0.225 > 0.15$)，這表示當前的穩態資本量 $k^*$ 小於黃金法則穩態的資本量 $k_{golden}$。

我們需要找到黃金法則穩態的資本量 $k_{golden}$。
$f'(k_{golden}) = \delta + n$
$0.3 (k_{golden})^{-0.7} = 0.15$
$(k_{golden})^{-0.7} = \frac{0.15}{0.3} = 0.5 = \frac{1}{2}$
$(k_{golden})^{0.7} = 2$
$k_{golden} = 2^{\frac{1}{0.7}} = 2^{\frac{10}{7}}$

計算 $k_{golden}$ 的數值：
$k_{golden} \approx 2^{1.4286} \approx 2.6918$

我們從第一小題得知，當前穩態的人均資本為 $k^* = (\frac{4}{3})^{\frac{10}{7}} \approx 1.502$。
黃金法則穩態的人均資本為 $k_{golden} = 2^{\frac{10}{7}} \approx 2.6918$。

所需額外資本的計算：
外星恩人提供額外的資本，是為了將經濟體從當前的穩態 $k^*$ 轉移到黃金法則穩態 $k_{golden}$。
這裡的「額外資本」是指為了達到黃金法則穩態，在穩態時所需要的總資本量，減去當前穩態時所擁有的總資本量。
人均資本的差額為 $\Delta k_{per\_capita} = k_{golden} - k^*$。

$\Delta k_{per\_capita} \approx 2.6918 - 1.502 \approx 1.1898$