113 年 國立臺北大學金融與合作經營學系碩士班《財務管理》

此題為選擇題，主要考驗對 Black-Scholes-Merton (BSM) 選擇權評價模型各項參數影響的理解，以及對標準常態分布函數的認識。

【核心觀念】
Black-Scholes-Merton (BSM) 模型是評價歐式選擇權的標準模型，其數學式包含股價、執行價格、時間、利率、波動性等參數。理解這些參數如何影響選擇權價格，是財管的基礎。

【詳解】
本題為 BSM 模型相關問題。模型公式為：
$c_t = S_t N(d_1) - X e^{-r(T-t)} N(d_2)$
其中：
$d_1 = \frac{\ln(\frac{S_t}{X}) + (r + \frac{\sigma^2}{2})(T-t)}{\sigma\sqrt{T-t}}$
$d_2 = \frac{\ln(\frac{S_t}{X}) + (r - \frac{\sigma^2}{2})(T-t)}{\sigma\sqrt{T-t}}$

(1) 為何 $X$ 要乘 $e^{-r(T-t)}$，而 $S_t$ 不用乘 $e^{-r(T-t)}$?

• 核心概念： 選擇權的評價涉及將未來的現金流量折現至現在。
• 解析：
  • $S_t$ 代表標的資產在時間 $t$ 的現值。由於我們是在時間 $t$ 評估選擇權，而 $S_t$ 本身就是時間 $t$ 的現值，所以不需要再進行折現。
  • $X$ 代表執行價格，是我們在未來時間 $T$ 必須支付或收取的金額。為了將這個未來支付或收取金額折算到時間 $t$ 的現值，我們需要使用無風險利率 $r$ 和剩餘時間 $(T-t)$ 來進行折現。折現因子為 $e^{-r(T-t)}$。
  • 因此，$S_t N(d_1)$ 代表在時間 $t$ 購買股票的預期成本（考慮到 $N(d_1)$ 的機率加權），而 $X e^{-r(T-t)} N(d_2)$ 代表在時間 $t$ 支付執行價格的預期現值。
• 答案： $S_t$ 是當前股價的現值，無需折現；$X e^{-r(T-t)}$ 是未來執行價格 $X$ 在時間 $t$ 的現值，需要折現。

(2) $N(0) = ?$

• 核心概念： $N(x)$ 是標準常態分布的累積分布函數 (CDF)。
• 解析： 標準常態分布的平均值為 0。累積分布函數在平均值處的值為 0.5。
• 答案： $N(0) = 0.5$

(3) 若 $\sigma$ 越高，則 $c_t$ 越高或越低或不變或不一定?

• 核心概念： 波動性 ($\sigma$) 影響選擇權的價值。
• 解析：
  • 波動性越高，代表標的資產價格變動的幅度越大，不確定性越高。
  • 對於買權 (call option) 而言，價格上漲的空間是無限的，而價格下跌的空間則有下限（至少為 0）。因此，較高的波動性增加了價格大幅上漲的可能性，同時並未顯著增加價格下跌的風險（因為損失有限）。
  • 從 BSM 模型公式來看，$\sigma$ 影響 $d_1$ 和 $d_2$。當 $\sigma$ 增加時，由於 $d_1$ 的分母 $\sigma\sqrt{T-t}$ 變小，而分子中的 $(r + \frac{\sigma^2}{2})(T-t)$ 變大，使得 $d_1$ 增加。

此題為綜合應用題，主要考驗考生計算常見財務比率的能力，以及理解資產負債表、損益表及補充資料的應用。題目特別強調，跨報表的比率計算，資產負債表科目需使用平均值。

【核心觀念】
財務比率分析是企業財務管理的重要工具，用來評估公司的獲利能力、償債能力、營運效率及市場價值。計算時需注意分子、分母的定義，以及跨報表科目平均值的運用。

【詳解】
首先，我們需要計算各項平均值，特別是資產負債表中的項目，因為很多比率需要用到。
平均值計算 (單位: 百萬元)

• 平均流動資產 = $(73,216 + 58,062) / 2 = 65,639$
• 平均存貨 = $(41,385 + 30,872) / 2 = 36,128.5$
• 平均應收票據、帳款及短期支借 = $(16,227 + 14,356) / 2 = 15,291.5$ (此值也已在補充資料中提供)
• 平均資產 = $(93,534 + 77,199) / 2 = 85,366.5$
• 平均流動負債 = $(47,222 + 40,450) / 2 = 43,836$
• 平均負債 = $(57,634 + 47,546) / 2 = 52,590$
• 平均股東權益 = $(35,899 + 29,653) / 2 = 32,776$

各小題計算：

(1) 流動比率 (%)

• 定義： 流動資產 / 流動負債
• 計算： 平均流動資產 / 平均流動負債 = $65,639 / 43,836 \approx 1.4975$
• 答案： 149.75%

(2) 營運資金 (百萬元)

• 定義： 流動資產 - 流動負債
• 計算： 由於營運資金是特定時點的指標，通常使用期末數據。題目並未指定使用平均數，但若要求跨報表則需平均。在此我們先用期末數據，若有問題再改用平均數。
  • 111 年：$73,216 - 47,222 = 25,994$
  • 110 年：$58,062 - 40,450 = 17,612$
  • 若題目要求使用平均數 (雖然營運資金通常不用平均值計算，但考量到題目強調跨報表平均原則，我們也計算一次)：
    • 平均營運資金 = 平均流動資產 - 平均流動負債 = $65,639 - 43,836 = 21,803$
  • 一般情況下，營運資金用期末值較常見。但題目強調「若財務比率的分子與分母的會計科目屬於不同財務報表,其中屬於資產負債表的科目要用兩年的平均數」。營運資金是資產負債表科目，且分子分母都來自資產負債表，若要一致性，建議使用平均數。
• 答案： 21,803 百萬元 (使用平均數)

(3) 利息保障倍數 (倍)

• 定義： 稅前淨利 (EBIT) / 利息費用。EBIT = 稅前淨利 + 利息費用。
• 計算：
  • 稅前淨利 = 8,738 百萬元
  • 利息費用 = 427 百萬元
  • EBIT = $8,738 + 427 = 9,165$ 百萬元
  • 利息保障倍數 = $9,165 / 427 \approx 21.4637$
• 答案： 21.46 倍

(4) 長期資金適合度 (%)

• 定義： (股東權益 + 長期負債) / (固定資產淨額 + 長期投資 + 無形與其他資產)。這衡量長期資產由長期資金（股東權益和長期負債）支應的程度。
• 計算：
  • 長期資金 = 平均股東權益 + 平均長期負債 + 平均其他負債 (其他負債通常也視為長期負債，若無特別說明)
    • 平均股東權益 = 32,776
    • 平均長期負債 = $(6,148 + 3,163) / 2 = 4,655.5$

第 4 題 詳解（利率交換 / Interest Rate Swap 之比較優勢分析）

核心觀念說明： 這題考的是「利率交換（swap）背後的比較優勢理論」。兩家公司在不同市場（固定 vs. 浮動）的籌資成本結構不同，造成一方在某市場有絕對優勢，另一方則在另一市場有相對（比較）優勢。當兩家公司的「目標債務型態」恰好與各自比較優勢相反時，便可透過交換讓雙方都比直接在目標市場籌資更劃算；整個交換所創造的總價值等於「固定市場利差 − 浮動市場利差」。中介（金融機構甲）在兩筆交易之間抽取一截價差作為服務費，因此各方利潤之和不為零，而等於該總價值。以下先算總價值，再依圖中約定分配給三方。

---

一、先建立成本與利差結構

利率	A 公司	B 公司	利差（B−A）
固定	7%	9%	$9\%-7\%=200\text{ bps}$
浮動	LIBOR+25	LIBOR+75	$75-25=50\text{ bps}$

• A 在固定、浮動兩個市場成本都較低 → 絕對優勢在 A。
• 但 B 在浮動市場的「劣勢」只有 50 bps，遠小於其在固定市場的劣勢 200 bps → B 在浮動市場有比較優勢，A 在固定市場有比較優勢。
• 整體交換可創造的總獲利（總相對優勢）為：

$\text{Total gain} = (\text{固定利差}) - (\text{浮動利差}) = 200 - 50 = 150\text{ bps}$

這 150 bps 將依圖中約定切給 A、B、甲三方。

---

二、依圖計算各方「交換後的有效成本」

A 公司（在固定市場借 7%，需浮動債務）：
付固定 7%，付甲 LIBOR+60 bps，收甲 8.15%。
$\text{A 有效成本} = 7\% + (\text{LIBOR}+0.60\%) - 8.15\% = \text{LIBOR} - 0.55\% = \text{LIBOR} - 55\text{ bps}$

B 公司（在浮動市場借 LIBOR+75 bps，需固定債務）：
付浮動 LIBOR+75 bps，付甲 8.25%，收甲 LIBOR+50 bps。

此題為年金計算題，主要考驗考生對未來現金流量現值 (PV)、未來值 (FV) 及年金現值的應用能力。

【核心觀念】

1. 永續年金 (Growing Annuity)： 計算未來一系列按固定比率成長的現金流量現值。
2. 未來值 (Future Value)： 計算一連串固定儲蓄的未來總額。
3. 年金現值 (Present Value of Annuity)： 計算一筆總儲蓄在未來 20 年內平均分配的每年支付額。

【詳解】

基本資訊：

• Mike 現在 40 歲。
• 明年 (41 歲) 薪資 = $85,000。
• 薪資年成長率 = 5%。
• 退休年齡 = 50 歲。
• 工作年數 = 50 - 40 = 10 年（從 41 歲到 50 歲）。
• 服務年限 = 10 年 (從 41 歲到 50 歲，共 10 次薪資支付)。
• 退休年齡為 50 歲，意味著他將在 50 歲時收到最後一筆薪資。
• 他將工作到 50 歲，所以他將在 41 歲、42 歲、...、50 歲這 10 年收到薪資。

(1) If the discount rate is 7%, what is the PV of these future salary payments? (4分)

• 概念： 計算成長型年金的現值 (PV of Growing Annuity)。
• 公式： $PV = C \times \left[ \frac{1 - (\frac{1+g}{1+r})^n}{r-g} \right]$
  • $C$ = 第一期現金流量 (明年的薪資) = $85,000。
  • $g$ = 年金成長率 = 5% = 0.05。
  • $r$ = 折現率 = 7% = 0.07。
  • $n$ = 期數 (工作年數) = 10 年。
• 計算：
  • $PV = 85,000 \times \left[ \frac{1 - (\frac{1+0.05}{1+0.07})^{10}}{0.07-0.05} \right]$
  • $PV = 85,000 \times \left[ \frac{1 - (\frac{1.05}{1.07})^{10}}{0.02} \right]$
  • $PV = 85,000 \times \left[ \frac{1 - (0.981308)^{10}}{0.02} \right]$
  • $PV = 85,000 \times \left[ \frac{1 - 0.841099}{0.02} \right]$
  • $PV = 85,000 \times \left[ \frac{0.158901}{0.02} \right]$
  • $PV = 85,000 \times 7.94505$
  • $PV \approx 675,329.25$
• 答案： $675,329.25

(2) If Mike saves 5% of his salary each year and invests these savings at the interest rate of 4%, how much will he have saved by age 50? (4分)

• 概念： 計算成長型年金的未來值 (FV of Growing Annuity)。
• 計算儲蓄額：
  • 第一年儲蓄 (41 歲時) = $85,000 \times 5% = 4,250。

此題主要考驗考生對資本資產定價模型 (CAPM) 的理解，包括計算股票的 Beta 值以及預期報酬率。

【核心觀念】

1. Beta 值： 衡量股票相對於整體市場的系統性風險。
2. 預期報酬率： 利用 CAPM 模型計算股票的預期報酬率，即 $E(R_i) = R_f + \beta_i (E(R_m) - R_f)$。

【詳解】

(1) 請問兩檔股票的β值為何? (5分)

• 概念： Beta 值是股票預期報酬率對市場預期報酬率的敏感度。可以透過簡單迴歸分析或根據兩組數據點計算斜率來估計。
  • $\beta = \frac{Cov(R_i, R_m)}{Var(R_m)}$
  • 或者，可以看作是：$\beta = \frac{\Delta E(R_i)}{\Delta E(R_m)}$
• 積極型股票 (Aggressive Stock)：
  • 市場報酬率從 5% 變為 20%，變化量 $\Delta E(R_m) = 20\% - 5\% = 15\%$。
  • 積極型股票報酬率從 2% 變為 32%，變化量 $\Delta E(R_i) = 32\% - 2\% = 30\%$。
  • $\beta_{\text{積極}} = \frac{\Delta E(R_i)}{\Delta E(R_m)} = \frac{30\%}{15\%} = 2$。
• 防禦型股票 (Defensive Stock)：
  • 市場報酬率從 5% 變為 20%，變化量 $\Delta E(R_m) = 15\%$。
  • 防禦型股票報酬率從 3.5% 變為 14%，變化量 $\Delta E(R_i) = 14\% - 3.5\% = 10.5\%$。
  • $\beta_{\text{防禦}} = \frac{\Delta E(R_i)}{\Delta E(R_m)} = \frac{10.5\%}{15\%} = 0.7$。
• 答案：
  • 積極型股票的 $\beta$ 值為 2。
  • 防禦型股票的 $\beta$ 值為 0.7。

此題考驗考生對債券評價中「當期收益率」(Current Yield) 的理解與計算。

【核心觀念】
當期收益率 (Current Yield) 是指債券的年票面利息支付額除以其當前的市場價格。它反映了債券在當前市場價格下，每年能產生的利息收入佔價格的比例。

【詳解】
當期收益率的計算公式為：
$\text{Current Yield} = \frac{\text{Annual Coupon Payment}}{\text{Current Market Price of the Bond}}$

題目提供了以下資訊：

• 到期時間 (Maturity) = 7 年
• 面額 (Face Value) = $1,000
• 到期收益率 (Yield to Maturity, YTM) = 8%
• 票面利率 (Coupon Rate) = 9%
• 付息頻率：每年一次

首先，我們需要計算年票面利息支付額：
$\text{Annual Coupon Payment} = \text{Face Value} \times \text{Coupon Rate}$
$\text{Annual Coupon Payment} = \$1,000 \times 9\% = \$1,000 \times 0.09 = \$90$

接下來，我們需要計算債券的當前市場價格。債券的市場價格是其未來所有現金流量 (年票息和到期時的面額) 折現到現在的價值，折現率為到期收益率 (YTM)。

債券價格的計算公式為：
$P = \sum_{t=1}^{n} \frac{C}{(1+y)^t} + \frac{FV}{(1+y)^n}$
其中：

• $P$ = 債券價格
• $C$ = 年票息支付額 = $90
• $y$ = 到期收益率 (YTM) = 8% = 0.08
• $n$ = 到期年數 = 7 年
• $FV$ = 面額 =

核心觀念

1. 債券定價模型（Bond Valuation Model）：
   附息債券（Coupon Bond）的理論價格等於未來各期利息支付的年金現值加上到期面額的複利現值。公式如下：
   $P = C \times \left[ \frac{1 - (1 + y)^{-n}}{y} \right] + \frac{M}{(1 + y)^n}$
   其中：

   • $P$：債券價格（Bond Price）
   • $C$：每期票面利息（Coupon Payment，$C = M \times \text{票面利率}$）
   • $M$：債券到期面額（Face Value / Par Value）
   • $y$：投資人要求的到期殖利率（Yield to Maturity, YTM）
   • $n$：距到期年數（Years to Maturity）

2. 信用評等與違約風險溢酬（Credit Rating & Default Risk Premium）：
   信用評等反映發行機構的信用風險（違約機率）。當債券評等遭調降（由投資級最高階的 Aaa 降至投資級邊緣的 Baa），市場投資人要求的違約風險溢酬提高，導致殖利率（YTM）上升。

3. 殖利率與債券價格之反向關係：
   在其他條件不變下，債券殖利率與價格呈反向變動。當殖利率由 $5.45\%$ 上升至 $8.67\%$，債券價格必定下跌。

---

解題方法

步驟一：整理題幹基本參數

• 債券面額（$M$）：$1,000
• 票面利率（Coupon Rate）：$10\%$
• 每期年利息（$C$）：
  $C = \$1,000 \times 10\% = \$100$
• 剩餘到期年數（$n$）：$5\text{ 年}$
• 原始殖利率（Aaa 級）：$y_{\text{Aaa}} = 5.45\%$
• 調降後殖利率（Baa 級）：$y_{\text{Baa}} = 8.67\%$

---

步驟二：計算調降評等前（Aaa 級）之債券價格 $P_{\text{Aaa}}$

將 $y_{\text{Aaa}} = 5.45\%$ 代入定價公式：
$P_{\text{Aaa}} = 100 \times \left[ \frac{1 - (1 + 0.0545)^{-5}}{0.0545} \right] + \frac{1000}{(1 + 0.0545)^5}$

1. 計算複利現值因子：
   $(1.0545)^{-5} \approx 0.766946$
2. 計算年金現值因子（PVIFA）：
   $\frac{1 - 0.766946}{0.0545} \approx \frac{0.233054}{0.0545} \approx 4.276220$
3. 求出 $P_{\text{Aaa}}$：
   $P_{\text{Aaa}} = (100 \times 4.276220) + (1000 \times 0.766946) = 427.622 + 766.946 = \$1,194.57$

---

步驟三：計算調降評等後（Baa 級）之債券價格 $P_{\text{Baa}}$

將 $y_{\text{Baa}} = 8.67\%$ 代入定價公式：
$P_{\text{Baa}} = 100 \times \left[ \frac{1 - (1 + 0.0867)^{-5}}{0.0867} \right] + \frac{1000}{(1 + 0.0867)^5}$

1. 計算複利現值因子：
   $(1.0867)^{-5} \approx 0.660144$
2. 計算年金現值因子（PVIFA）：

此題考驗考生對效率市場假說 (Efficient Market Hypothesis, EMH) 的理解，包括其三個層級的定義以及相應的檢驗方法。

【核心觀念】
效率市場假說認為，在一個有效率的市場中，所有可獲得的資訊都已經反映在證券的價格中。資訊的獲取和利用速度及成本，決定了市場的效率程度。

【詳解】

效率市場假說 (Efficient Market Hypothesis, EMH) 的三個層級：

1. 弱式效率市場 (Weak-form Efficiency)：

   • 定義： 在弱式效率市場中，證券的所有過去價格和交易量資訊都已經完全反映在當前的證券價格中。這意味著，僅僅透過分析歷史價格走勢（技術分析）無法獲得超額報酬。
   • 檢驗方法：
     • 隨機遊走檢定 (Random Walk Tests)： 檢驗證券價格的變動是否遵循隨機遊走過程。常見方法包括：
       • 存檔檢定 (Runs Test)： 檢驗價格序列中出現連續上漲或下跌的趨勢是否隨機。
       • 自相關檢定 (Autocorrelation Test)： 計算價格序列的滯後項之間的相關性，若相關性趨近於零，則支持弱式效率。
       • 濾嘴規則檢定 (Filter Rule Tests)： 檢驗是否能透過濾嘴規則（例如，價格上漲 X% 則買進，下跌 Y% 則賣出）來獲得超額報酬。
       • 變異數比率檢定 (Variance Ratio Test)： 檢驗不同時間間隔的價格變動變異數之間的關係。

2. 半強式效率市場 (Semi-strong form Efficiency)：

   • 定義： 在半強式效率市場中，所有公開可獲得的資訊（包括歷史價格、公司財務報表、新聞公告、分析師報告、總體經濟數據等）都已經完全反映在證券價格中。這意味著，即使能夠快速獲取公開資訊，也無法透過公開資訊來持續獲得超額報酬。
   • 檢驗方法：
     • 事件研究法 (Event Studies)： 這是最主要的檢驗方法。透過觀察特定資訊事件（如財報公布、股利變動、併購公告、政策變動等）發生前後證券異常報酬的變化。