113 年國立臺灣大學財務金融研究所甲組《商用統計學》考古題與詳解

Question 1

Piske and Usagi made a big fortune by selling Line stickers. They are planning to invest
the money in the stock market. They are now studying the property of a certain stock
X. They have collected data of monthly returns of X in the past 8 months ( $r_x$ ) and the
corresponding market returns ( $r_m$ ) as well as the risk-free rates ( $r_f$ ).

Month	$r_x$ (%)	$r_m$ (%)	$r_f$ (%)
1	10	10	2
2	0	10	2
3	10	10	3
4	0	10	3
5	-10	-4	3
6	-20	-4	3
7	0	6	2
8	6	6	2

Piske is interested in the systematic risk of stock X and would like to estimate the
following regression:
$r_{xt} - r_{ft} = \beta_0 + \beta_1(r_{mt} - r_{ft}) + e_t \quad (1)$
Assume that $e_t \sim IID(0, \sigma^2)$ and that $E[e_t | r_{mt}, r_{ft}] = 0$ . Please help Piske estimate
the ordinary least square (OLS) estimates $\hat{\beta}_0^{OLS}$ and $\hat{\beta}_1^{OLS}$ .
a. $\hat{\beta}_0^{OLS} = -0.058, \hat{\beta}_1^{OLS} = 0.944$
b. $\hat{\beta}_0^{OLS} = -0.073, \hat{\beta}_1^{OLS} = 0.944$
c. $\hat{\beta}_0^{OLS} = -0.058, \hat{\beta}_1^{OLS} = 1.437$
d. $\hat{\beta}_0^{OLS} = -0.073, \hat{\beta}_1^{OLS} = 1.437$
e. $\hat{\beta}_0^{OLS} = -0.084, \hat{\beta}_1^{OLS} = 1.443$

Accepted Answer

核心觀念 本題考查資本資產定價模型 (CAPM) 的簡單線性迴歸估計，重點在於 1. 以超額報酬 $r{xt}-r{ft}$ 為因變數、$r{mt}-r{ft}$ 為自變數做 OLS 回歸。 2. OLS 估計式： $$ \hat\beta1=\frac{\sum{t}(xt-\bar x)(yt-\bar y)}{\sum{t}(xt-\bar x)^2},\qquad \hat\beta0=\bar y-\hat\beta1\bar x $$ 其中 $xt=r{mt}-r{ft}$，$yt=r{xt}-r{ft}$。 3. 需計算樣本均值、變異與共變，使用普通最小平方法 (OLS) 的閉式解。 --- 解題方法 1. 計算每期超額報酬 | 月 | $rx$ | $rm$ | $rf$ | $yt=r{xt}-r{ft}$ | $xt=r{mt}-r{ft}$ | |---|------|------|------|-------------------|-------------------| | 1 | 10 | 10 | 2 | $10-2=8$ | $10-2=8$ | | 2 | 0 | 10 | 2 | $0-2=-2$ | $10-2=8$ | | 3 | 10 | 10 | 3 | $10-3=7$ | $10-3=7$ | | 4 | 0 | 10 | 3 | $0-3=-3$| $10-3=7$ | | 5 | -10| -4 | 3 | $-10-3=-13$| $-4-3=-7$ | | 6 | -20| -4 | 3 | $-20-3=-23$| $-4-3=-7$ | | 7 | 0 | 6 | 2 | $0-2=-2$ | $6-2=4$ | | 8 | 6 | 6 | 2 | $6-2=4$ | $6-2=4$ | 2. 求樣本均值 $$ \bar x=\frac{1}{8}\sum{t=1}^{8}xt= \frac{8+8+7+7-7-7+4+4}{8} =\frac{24}{8}=3. $$ $$ \bar y=\frac{1}{8}\sum{t=1}^{8}yt= \frac{8-2+7-3-13-23-2+4}{8} =\frac{-24}{8}=-3. $$ 3. 計算共變與變異

Question 2

2. Usagi learned from his investment class that there should be no intercept in a Cap- ital Asset Pricing Model. Thus, he plans to perform the following regression using the Ordinary Least Square (OLS) method: $$r{zt} - r{ft} = \beta(r{mt} - r{ft}) + et \quad (2)$$ Which of the following statement(s) is (are) correct? I. $E[\hat{\beta}] 
eq E[et]$. II. $\sum et = 0$. III. $\sum (r{mt} - r{ft}) = 0$. IV. Model (2) should yield a higher centered-$R^2$ than model (1). a. I b. I and II. c. I and III. d. I, II, and III. e. I, II, and IV.

Accepted Answer

核心觀念 - CAPM 與截距：資本資產定價模型的理論形式為 $$E[r{zt}-r{ft}]=\beta\;E[r{mt}-r{ft}],$$ 其中截距（α）在理論上應為 0。 - OLS 無截距回歸：在樣本資料上以最小平方法（OLS）估計 $$yt =\beta xt + et,\qquad yt:=r{zt}-r{ft},\;xt:=r{mt}-r{ft}$$ 且 不設截距。 - OLS 的基本性質（無截距） 1. 正交條件：$\displaystyle \sum{t}xt et=0$（殘差與解釋變數正交）。 2. $\displaystyle E[et]=0$ 為模型假設（誤差項零均值）。 3. $\displaystyle \hat\beta$ 為無偏估計量：$E[\hat\beta]=\beta$（若模型正確且誤差同分佈）。 - centered‑$R^2$： $$\bar R^2=1-\frac{\sum (yt-\hat yt)^2}{\sum (yt-\bar y)^2}$$ 與是否加入截距無關；加入截距只是把 $\bar y$ 從 0 移到樣本均值，$ \bar R^2$ 只衡量 變異量的解釋程度。 --- 解題方法 逐一檢視四個敘述的真偽： 1. I. $E[\hat{\beta}] 
eq E[et]$ - $E[et]=0$（誤差零均值）。 - $E[\hat{\beta}]=\beta$（無偏），除非 $\beta=0$，否則 $E[\hat{\beta}]
eq0$。 - 因此一般情形下 $E[\hat{\beta}] 
eq E[et]$ 為 真。 2. II. $\displaystyle\sum et = 0$ - 無截距的 OLS 保證 $\sum xt et=0$，但 不保證 $\sum et=0$。 - 若 $\displaystyle\sum xt =0$ 才會同時得到 $\sum et=0$，此條件在實務樣本中不一定成立。 - 故此敘述 假。

Question 3

3. Piske and Usagi are interested in assessing the goodness-of-fit of the Ordinary Least Squares (OLS) estimations for the two models above. Let $R1^2$ represent the centered- $R^2$ for the first model, and $R2^2$ represent the centered-$R^2$ for the second model. In ad- dition, let $(\hat{r}{zt} - \hat{r}{ft})1$ denote the predicted value of the first model, and $(\hat{r}{zt} - \hat{r}{ft})2$ denote the predicted value of the second model. Lastly, let $ho1$ denote the sample correlation coefficient between $(\hat{r}{zt} - \hat{r}{ft})1$ and $(r{zt} - r{ft})$, and $ho2$ denote the sam- ple correlation coefficient between $(\hat{r}{zt} - \hat{r}{ft})2$ and $(r{zt} - r{ft})$. Which of the following statements is correct? a. $ho1^2 = R1^2 = R2^2$ b. $ho1^2 = R1^2 
eq R2^2$ c. $ho1^…

Accepted Answer

題目設定（第 1、2 題的兩個模型） - 模型 (1)：$r{xt}-r{ft}=\beta0+\beta1(r{mt}-r{ft})+et$（有截距） - 模型 (2)：$r{xt}-r{ft}=\beta(r{mt}-r{ft})+et$（無截距） 兩個模型的被解釋變數 $yt$ 與解釋變數 $xt=r{mt}-r{ft}$ 都相同，只差在有沒有截距。（題幹第 2、3 題的 $r{zt}$ 即 $r{xt}$。） 核心觀念 1. 相關係數不受線性轉換影響（係數為正時連正負號都不變）：$\operatorname{corr}(a+bx,\ y)=\pm\operatorname{corr}(x,y)$，平方後完全相同。 2. 有截距的 OLS：centered $R^2$ 等於「配適值與 $y$ 的相關係數平方」，也等於簡單迴歸的 $r{xy}^2$。 3. 無截距的 OLS：殘差和不一定為 0，centered $R^2=1-\dfrac{\sum\hat et^2}{\sum(yt-\bar y)^2}$ 不再等於相關係數平方，甚至可能是負的。 推導 - 模型 (1) 的配適值 $\hat y^{(1)}=\hat\beta0+\hat\beta1x$，是 $x$ 的線性函數 ⇒ $\rho1^2=r{xy}^2$。

Question 4

4. Let's come back to model (1). Assume that $E[et | r{mt}, r{ft}] = 0$, but the error term ($et$) follows the distribution below: $$et = \phi e{t-1} + \epsilont, \quad |\phi| < 1$$ $$\epsilont \sim IID(0, \sigma^2)$$ Which of the following statement is correct? a. $\hat{\beta}1^{OLS}$ is biased. b. $	ext{var}(et) = \frac{\sigma^2}{1-\phi^2}$ c. $	ext{cov}(et, e{t-1}) = 	ext{cov}(et, e{t-2}) = 0$ d. $\hat{\beta}0^{OLS}$ and $\hat{\beta}1^{OLS}$ will no longer be BUE but just BLUE. e. None of the above choices (a)-(d).

Accepted Answer

核心觀念 - 模型 (1) 為簡單線性迴歸 $yt=\beta0+\beta1xt+et$，其中 $et$ 為誤差項。 - 條件期望 $E[et\mid r{mt},r{ft}]=0$ 意味著 $xt$（此處可視為 $r{mt},r{ft}$ 的函數）與誤差項不相關，滿足外生性。 - 誤差的 AR(1) 結構 $$et=\phi e{t-1}+\epsilont,\qquad |\phi|<1,\qquad \epsilont\stackrel{iid}{\sim}(0,\sigma^2)$$ 為平穩的自迴歸過程，其二階矩可利用 AR(1) 的穩態性直接求得。 - 估計量的性質 - 無偏性：只要 $E[et\mid X]=0$（外生性）即保證 OLS 估計量無偏，與誤差是否序列相關無關。 - 有效性：Gauss‑Markov 定理要求誤差 不具自相關 才能保證 OLS 為 BLUE（最佳線性無偏估計量）。若有自相關，OLS 仍是無偏的，但不再具有效率（不再是 BLUE，也不一定是 BUE）。 解題方法 1. 先驗證 誤差的平穩二階矩： - 取變異的恆等式 $$\operatorname{Var}(et)=\operatorname{Var}(\phi e{t-1}+\epsilont)=\phi^2\operatorname{Var}(e{t-1})+\sigma^2$$ - 因為平穩，$\operatorname{Var}(et)=\operatorname{Var}(e{t-1})=V$，故 $$V=\phi^2V+\sigma^2\;\Rightarrow\;V=\frac{\sigma^2}{1-\phi^2}.$$ 2. 求 自共變： $$ \operatorname{Cov}(et,e{t-1})=E[et e{t-1}] =E[(\phi e{t-1}+\epsilont)e{t-1}] =\phi\,E[e{t-1}^2]+E[\epsilont e{t-1}] =\phi V+0=\phi\,\frac{\sigma^2}{1-\phi^2}
eq0. $$ 同理 $$ \operatorname{Cov}(et,e{t-2}) =E[(\phi e{t-1}+\epsilont)e{t-2}] =\phi\,\operatorname{Cov}(e{t-1},e{t-2}) =\phi^2V
eq0. $$

Question 5

5. T is a random variable with the following probability density function: $$f(t) = \lambda e^{-\lambda t}, \quad 	ext{for } t 0$$ where $\lambda 0$. The expected value of T is $E(T) = \frac{1}{\lambda}$. A sample consisting of n independent realizations of T ($\{t1, t2, ..., tn\}$) was collected. Which of the following statement is correct? a. $\hat{\lambda}{MLE} = \frac{1}{n} \sum{i=1}^n ti$ b. $\hat{\lambda}{MLE}$ is an unbiased estimator. c. $\hat{\lambda}{MLE}$ is a consistent estimator. d. $\hat{\lambda}{MLE}$ is unbiased and consistent.

Accepted Answer

本題考驗對指數分佈的最大概似估計量 (MLE) 的計算、期望值、一致性等性質的理解。

首先，我們需要求出參數 $\lambda$ 的最大概似估計量 (MLE)。

1. 建立概似函數 (Likelihood Function)：
對於獨立的樣本 $\{t_1, t_2, ..., t_n\}$ ，T 的聯合機率密度函數為：
$L(\lambda | t_1, ..., t_n) = \prod_{i=1}^n f(t_i | \lambda) = \prod_{i=1}^n \lambda e^{-\lambda t_i}$
$L(\lambda) = \lambda^n e^{-\lambda \sum_{i=1}^n t_i}$

2. 建立對數概似函數 (Log-Likelihood Function)：
$\ln L(\lambda) = \ln (\lambda^n e^{-\lambda \sum t_i}) = n \ln \lambda - \lambda \sum t_i$

3. 求對數概似函數對 $\lambda$ 的一階導函數，並令其等於 0：
$\frac{\partial \ln L(\lambda)}{\partial \lambda} = \frac{n}{\lambda} - \sum t_i$
令 $\frac{\partial \ln L(\lambda)}{\partial \lambda} = 0$ ：
$\frac{n}{\lambda} - \sum t_i = 0$
$\frac{n}{\lambda} = \sum t_i$
$\hat{\lambda}_{MLE} = \frac{n}{\sum t_i}$

4. 檢驗二階導函數以確認為最大值：
$\frac{\partial^2 \ln L(\lambda)}{\partial \lambda^2} = -\frac{n}{\lambda^2}$
由於 $\lambda > 0$ ，所以 $\frac{\partial^2 \ln L(\lambda)}{\partial \lambda^2} < 0$ ，確認為最大值。

分析選項：

a. $\hat{\lambda}_{MLE} = \frac{1}{n} \sum_{i=1}^n t_i$
根據我們的計算， $\hat{\lambda}_{MLE} = \frac{n}{\sum t_i}$ 。
而 $\frac{1}{n} \sum t_i$ 是樣本均值 $\bar{t}$ 。
所以， $\hat{\lambda}_{MLE} = \frac{n}{n\bar{t}} = \frac{1}{\bar{t}}$ 。
選項 a 錯誤。

b. $\hat{\lambda}_{MLE}$ is an unbiased estimator.
我們需要計算 $\hat{\lambda}_{MLE} = \frac{n}{\sum t_i}$ 的期望值。
令 $S = \sum_{i=1}^n t_i$ 。由於 $t_i$ 是獨立同指數分佈的隨機變數，其期望值為 $E[t_i] = \frac{1}{\lambda}$ ，變異數為 $\text{var}(t_i) = \frac{1}{\lambda^2}$ 。
$S$ 是 $n$ 個獨立同分佈的指數隨機變數之和。 $S$ 服從 Gamma 分佈，參數為 $n$ 和 $\lambda$ 。
$S \sim \text{Gamma}(n, \lambda)$ ，其機率密度函數為 $f_S(s) = \frac{\lambda^n s^{n-1} e^{-\lambda s}}{\Gamma(n)}$ ，其中 $\Gamma(n) = (n-1)!$ 。
$E[S] = n \times E[t_i] = n \times \frac{1}{\lambda} = \frac{n}{\lambda}$ 。
$E[\hat{\lambda}_{MLE}] = E[\frac{n}{S}]$ 。
對於 Gamma 分佈的隨機變數 $S$ ，其倒數的期望值 $E[\frac{1}{S}]$ 通常不等於 $\frac{1}{E[S]}$ 。

Question 6

6. Lisa and Gaspard are interested in the NTU Master program in Finance and col- lect the salary information of their recent alumni. To investigate potential gender discrimination in the finance industry in Taiwan, they group the observations by gender and estimate the statistics of their annual salary (in thousand NTD). Denote the population mean salary of men as $\mu{men}$ and women as $\mu{women}$. Assume that the samples of men and women are distributed independently. Please help Lisa and Gaspard to conduct hypotheses testing using the sample information below. | | sample average salary ($\bar{Y}$) | sample standard deviation ($SY$) | n | |---|---|---|---| | Men | $1,200$ | $250$ | 20 | | Women | $900$ | $300$ | 15 | Which of the following statement is correct? a. To examine potential…

Accepted Answer

核心觀念 本題評量以下三個核心統計觀念： 1. 假設檢定的基本定義：虛無假說（Null Hypothesis, $H0$）代表「無差異、無效果或現狀」，對立假說（Alternative Hypothesis, $H1$ 或 $HA$）代表「研究者欲證實的差異或效果」。 2. 單一常態母體平均數的 $t$ 檢定（One-Sample $t$-test）：在母體標準差未知且為小樣本時，檢定母體平均數 $\mu = \mu0$ 的檢定統計量為： $$t = \frac{\bar{Y} - \mu0}{\frac{S}{\sqrt{n}}} \sim t(n-1)$$ 3. 獨立雙樣本之平均數差檢定（Two-Sample $t$-test）：檢定兩獨立母體平均數是否相等（$H0: \mu1 - \mu2 = 0$），無論是否假設母體等變異，皆利用樣本平均數之差值除以其標準誤建構 $t$ 統計量。 --- 解題方法與公式推導 題目給定樣本統計量： - 男性（Men, 設為組別 1）：$\bar{Y}1 = 1{,}200$，$S1 = 250$，$n1 = 20$ - 女性（Women, 設為組別 2）：$\bar{Y}2 = 900$，$S2 = 300$，$n2 = 15$ 1. 男性單母體平均數檢定（檢定 $\mu{men} = $\$$1{,}000$） 檢定假說：$H0: \mu{men} = 1{,}000 \quad 	ext{vs.} \quad HA: \mu{men} 
eq 1{,}000$ 男性樣本之平均數標準誤（Standard Error）： $$SE(\bar{Y}1) = \frac{S1}{\sqrt{n1}} = \frac{250}{\sqrt{20}} = \frac{250}{4.4721} \approx 55.9017$$ 計算 $t$ 統計量： $$t = \frac{\bar{Y}1 - 1{,}000}{SE(\bar{Y}1)} = \frac{1{,}200 - 1{,}000}{55.9017} = \frac{200}{55.9017} \approx 3.578$$ 2. 女性單母體平均數檢定（檢定 $\mu{women} = $\$$1{,}000$） 檢定假說：$H0: \mu{women} = 1{,}000 \quad 	ext{vs.} \quad HA: \mu{women} 
eq 1{,}000$ 女性樣本之平均數標準誤： $$SE(\bar{Y}2) = \frac{S2}{\sqrt{n2}} = \frac{300}{\sqrt{15}} = \frac{300}{3.8730} \approx 77.4597$$ 計算 $t$ 統計量： $$t = \frac{\bar{Y}…

Question 7

7. There are machines I, II, and III in a certain factory all producing the same prod- uct. Of their production, machines I, II, and III produce 1%, 2% and 3% defective products respectively. Of the total production in the factory, machine I produces 30%, machine II produces 30%, and machine III produces 40%. If one product is selected at random from the total product produced in a day, which of the following is true? a. The probability that it is defective is 2% b. If the selected product is defective, the conditional probability that it was pro- duced by machine I is . c. If the selected product is defective, the conditional probability that it was pro- duced by machine II is . d. If the selected product is defective, the conditional probability that it was pro- duced by machine III is .…

Accepted Answer

核心觀念 本題測驗的是全機率公式與 Bayes 定理的應用。 - 全機率公式：$P(D)=\sum{i}P(Mi)P(D\mid Mi)$，其中 $D$ 為「產品不良」事件，$Mi$ 為「由第 $i$ 台機器生產」事件。 - Bayes 定理：$P(Mi\mid D)=\dfrac{P(Mi)P(D\mid Mi)}{P(D)}$，用於求在已知產品不良的條件下，各機器的產出機率。 解題方法 1. 先列出機器的產出比例與不良率 $$ \begin{aligned} P(M1)&=0.30,\quad P(D\mid M1)=0.01,\ P(M2)&=0.30,\quad P(D\mid M2)=0.02,\ P(M3)&=0.40,\quad P(D\mid M3)=0.03. \end{aligned} $$ 2. 計算整體不良率 $P(D)$（全機率公式） $$ P(D)=0.30\cdot0.01+0.30\cdot0.02+0.40\cdot0.03 =0.003+0.006+0.012 =0.021=2.1\%. $$ 3. 依 Bayes 定理求各機器在「產品不良」條件下的貢獻比例

Question 8

8. Bharadwaj, Løken, and Neilson (2013, AER) are interested in the effects of early life health interventions and provide the following figures. It is widely known that the birth weight of an infant is negatively associated with the mortality rate and positively associated with future health condition. The researchers found a natu- ral experiment in both Chile and Norway that the governments require hospitals to provide additional care for infants born less than 1,500 grams. Below are the days stayed in the hospital, mortality rates, and the math performance of the infants when they turn to first to eighth grade across their birth weights. Which of the following statement is incorrect? 🖼️【此處有附圖，請對照原卷】 The image contains three scatter plots: 1. "Days in hospital (= 32 weeks)" vs. "Birth we…

Accepted Answer

核心觀念 本題考查「迴歸不連續設計」（Regression Discontinuity Design, RDD）。 令出生體重為 $W$，門檻值為 $$ c=1500	ext{ 克} $$ 出生體重低於 $1500$ 克的嬰兒依法接受額外醫療照護，因此處置變數可表示為 $$ D=\mathbf{1}(W<1500) $$ RDD 的核心不是觀察出生體重與結果變數的單純斜率，而是比較門檻值左右兩側、出生體重非常接近 $1500$ 克的嬰兒，其結果是否出現「跳躍」。 若低於門檻者接受額外照護，局部處置效果為 $$ 	au{	ext{RDD}} = \lim{w	o1500^-}E(Y\mid W=w) - \lim{w	o1500^+}E(Y\mid W=w) $$ 其中左極限代表出生體重略低於 $1500$ 克，右極限代表略高於 $1500$ 克。 --- 解題方法 觀察三張圖在 $1500$ 克處的左右兩側： 1. 住院天數：門檻左側高於右側，表示低於 $1500$ 克者接受額外照護後，住院時間較長。 2. 嬰兒死亡率：出生體重與死亡率大致呈負相關，但研究重點是 $1500$ 克處是否有不連續跳躍。 3. 未來數學成績：門檻左側的數學表現高於右側，表示額外早期照護可能改善日後學習表現。 因此，判斷選項時應區分： - 「斜率」描述出生體重與結果變數的連續關係。 - 「不連續跳躍」才是 RDD 用來辨識因果效果的關鍵。 --- 選項分析 (a) 正確。 圖一顯示，在 $1500$ 克附近，門檻左側的住院天數高於門檻右側。因此，出生體重略低於 $1500$ 克的嬰兒，住院時間較長。 這符合額外醫療照護的制度安排：低於門檻者接受較密集的照護，住院天數因而增加。 --- (b) 錯誤。

Question 9

9. Consider the following model: $$Yt = \gamma Y{t-1} + ut$$ $$ut = \phi u{t-1} + \epsilont$$ $$\epsilont \sim IID(0, \sigma^2)$$ It is known that $|\gamma| < 1$ and $|\phi| < 1$. We also have a reasonably large T number of observations. Now, you are planning to run an Ordinary Least Square (OLS) regression of {$Yt$} on its lag term {$Y{t-1}$}: $$Yt = \alpha + \beta Y{t-1} + et$$ Which of the following statements is correct? a. $\hat{\alpha}^{OLS}$ is an unbiased estimator for $\gamma$. b. $\hat{\beta}^{OLS}$ is biased since there is no intercept in the data generating process for $Yt$. c. $\hat{\beta}^{OLS}$ is biased because $ut$ is not stationary. d. $	ext{cov}(Y{t-1}, ut) = \frac{\phi \sigma^2}{(1-\phi^2)(1-\gamma \phi)}$ e. None of the above choices (a)-(d).

Accepted Answer

核心觀念 本題涉及 AR(1) 內生變數模型 與 OLS 估計的偏誤判斷。 - $Yt=\gamma Y{t-1}+ut$ 為一階自迴歸 (AR) 結構，係數 $\gamma$ 為 穩定（$|\gamma|<1$）。 - 誤差 $ut$ 本身亦遵循 AR(1)：$ut=\phi u{t-1}+\varepsilont$，且 $|\phi|<1$，因此 $ut$ 是 嚴格平穩（零均值、有限變異、恆定自共變）。 - 觀測 $Yt$ 與其滯後 $Y{t-1}$ 之 OLS 回歸： $$Yt=\alpha+\beta Y{t-1}+et\quad(et\equiv ut).$$ 判斷 OLS 估計量 $\hat\alpha,\hat\beta$ 是否無偏、以及 $Y{t-1}$與 $ut$ 的共變結構。 解題方法 1. 檢視 $ut$ 的平穩性：$ut$ 為 AR(1) 且 $|\phi|<1$，其自共變 $\operatorname{Var}(ut)=\sigma^2/(1-\phi^2)$，故 $ut$ 為平穩。 2. 計算 $\operatorname{cov}(Y{t-1},ut)$ - 先寫出 $ut$ 的 MA 表示： $$ut=\sum{k=0}^{\infty}\phi^{k}\varepsilon{t-k}.$$ - 再將 $Y{t-1}$ 以 $u$ 的遞迴代入： $$ Y{t-1}=\sum{j=0}^{\infty}\gamma^{j}u{t-1-j} =\sum{j=0}^{\infty}\gamma^{j}\sum{m=0}^{\infty}\phi^{m}\varepsilon{t-1-j-m}. $$ - 兩式共變只在同一個 $\varepsilon$ 之項相乘時非零，條件為 $k=1+j+m$（$k$ 為 $ut$ 中 $\varepsilon{t-k}$ 的指標）。 - 因此

Question 10

10. Suppose that a data generating process is as the following: $$Yt = a + b Xt + \epsilont$$ However, $Xt$ cannot be directly observed. There are two observable proxies for $Xt$: $$X{t1} = Xt + u{t1}$$ $$X{t2} = Xt + u{t2}$$ We know that $\epsilont \sim N(0, \sigma\epsilon^2)$, $Xt \sim N(\muX, \sigmaX^2)$, $u{t1} \sim N(0, \sigma{u1}^2)$, and $u{t2} \sim N(0, \sigma{u2}^2)$. $u{t1}$ and $u{t2}$ are also uncorrelated to $Xt$, $Yt$, $\epsilont$, and each other. We now construct two additional regressors: $$X{t3} = \frac{1}{4} X{t1} + \frac{1}{4} X{t2}$$ $$X{t4} = \frac{1}{4} X{t1} + \frac{1}{2} X{t2}$$ For $n = 1,2,3, 	ext{ or } 4$, denote $\hat{\beta}n$ as the OLS coefficient when we regress $Yt$ on $X{tn}$. For a negative $b$, which of the following has the smallest value? a. $\hat{\bet…

Accepted Answer

核心觀念 - 測量誤差的衰減 (attenuation) 效果：在單變數 OLS 回歸 $$Yt = a + bXt +\varepsilont ,\qquad \varepsilont\perp Xt$$ 若使用含有測量誤差的代理變數 $Wt$ 代替真實 $Xt$，OLS 係數 $\hat\beta$ 為 $$\hat\beta = b\frac{\operatorname{Cov}(Xt,Wt)}{\operatorname{Var}(Wt)} ,$$ 其中 $\displaystyle \frac{\operatorname{Cov}(Xt,Wt)}{\operatorname{Var}(Wt)}\in(0,1)$ 稱為 衰減因子。當真實係數 $b<0$ 時，衰減因子越大，$\hat\beta$ 越負（值較小）；衰減因子越小，$\hat\beta$ 越接近 0（值較大）。 - 兩個獨立測量誤差的線性組合：若 $$ Wt = \alpha1 X{t1} + \alpha2 X{t2},\qquad X{t1}=Xt+u{t1},\; X{t2}=Xt+u{t2}, $$ 且 $u{t1},u{t2}$ 與 $Xt$ 完全不相關，則 $$ \operatorname{Cov}(Xt,Wt)= (\alpha1+\alpha2)\sigmaX^2 ,\qquad \operatorname{Var}(Wt)= (\alpha1+\alpha2)^2\sigmaX^2+ \alpha1^{2}\sigma{u1}^2+\alpha2^{2}\sigma{u2}^2 . $$ 解題方法 1. 先寫出每個代理變數的期望、變異與協方差。 2. 依照 OLS 公式 $\displaystyle \hat\betan=b\frac{\operatorname{Cov}(Yt,X{tn})}{\operatorname{Var}(X{tn})}=b\frac{\operatorname{Cov}(bXt+\varepsilont,X{tn})}{\operatorname{Var}(X{tn})}=b\frac{b\,\operatorname{Cov}(Xt,X{tn})}{\operatorname{Var}(X{tn})}$ 簡化為 $$\hat\betan = b\frac{\operatorname{Cov}(Xt,X{tn})}{\operatorname{Var}(X{tn})},$$ 因為 $\varepsilont$ 與所有 $X{tn}$ 不相關。 3. 把每個 $X{tn}$ 用 $Xt$、$u{t1}$、$u{t2}$ 表示，代入上式得到四個 衰減因子，分別記為 $f1,\dots,f4$。 4. 比較 $fn$ 的大小。因 $b<0$，$\hat…

Question 11

11. Let {$Yt$}${t=1}^n$ be a sequence of independent and $N(0, 1)$-distributed random variables. Denote $\bar{\mu}n := n^{-1}\sum{t=1}^n Yt^2$. By Chebyshev's inequality, we obtain the result: $$P(0.5 \leq \mun \leq 1.5) \geq \alpha,$$ for some $\alpha \in (0, 1)$. Which of the following is right when $n = 100$? (a) $\alpha = 0.88$ (b) $\alpha = 0.90$ (c) $\alpha = 0.92$ (d) $\alpha = 0.94$ (e) None of the above choices (a)-(d).

Accepted Answer

本題考驗對 Chebyshev 不等式在樣本變異數估計上的應用。

首先，我們需要了解 $Y_t$ 的性質以及 $\bar{\mu}_n$ 的含義。
$Y_t \sim N(0, 1)$ 獨立同分佈。
$E[Y_t] = 0$
$\text{Var}(Y_t) = E[Y_t^2] - (E[Y_t])^2 = E[Y_t^2] - 0^2 = E[Y_t^2]$ 。
由於 $\text{Var}(Y_t) = 1$ ，所以 $E[Y_t^2] = 1$ 。

$\bar{\mu}_n = n^{-1} \sum_{t=1}^n Y_t^2$ 。
這是一個樣本均值，用於估計 $E[Y_t^2]$ 。
根據勞氏大數法則 (Law of Large Numbers)，當 $n \to \infty$ 時， $\bar{\mu}_n \xrightarrow{p} E[Y_t^2] = 1$ 。

我們需要使用 Chebyshev 不等式來建立 $P(0.5 \leq \mu_n \leq 1.5) \geq \alpha$ 的結果。
Chebyshev 不等式的一般形式是：對於任意隨機變數 $X$ 和任意 $k>0$ ，
$P(|X - E[X]| \geq k) \leq \frac{\text{Var}(X)}{k^2}$ 。
或者， $P(|X - E[X]| < k) \geq 1 - \frac{\text{Var}(X)}{k^2}$ 。

在這裡，我們關注的是 $\bar{\mu}_n$ 。
$E[\bar{\mu}_n] = E[n^{-1}\sum Y_t^2] = n^{-1}\sum E[Y_t^2] = n^{-1} \sum_{t=1}^n 1 = n^{-1} \times n = 1$ 。
$\text{Var}(\bar{\mu}_n) = \text{Var}(n^{-1}\sum Y_t^2) = n^{-2} \sum \text{Var}(Y_t^2)$ (由於 $Y_t$ 獨立)。
由於 $Y_t \sim N(0, 1)$ ，其平方 $Y_t^2$ 服從自由度為 1 的卡方分佈 ( $\chi^2(1)$ )。
卡方分佈 $\chi^2(k)$ 的期望值是 $k$ ，變異數是 $2k$ 。
所以， $E[Y_t^2] = 1$ ， $\text{Var}(Y_t^2) = 2 \times 1 = 2$ 。
因此， $\text{Var}(\bar{\mu}_n) = n^{-2} \sum_{t=1}^n 2 = n^{-2} \times n \times 2 = \frac{2}{n}$ 。

現在，我們應用 Chebyshev 不等式到 $\bar{\mu}_n$ 。
我們想找到 $P(0.5 \leq \bar{\mu}_n \leq 1.5)$ 。
這可以寫成 $P(|\bar{\mu}_n - 1| \leq 0.5)$ 。
我們需要將不等式 $P(|\bar{\mu}_n - 1| \leq 0.5)$ 與 Chebyshev 不等式 $P(|\bar{\mu}_n - E[\bar{\mu}_n]| < k) \geq 1 - \frac{\text{Var}(\bar{\mu}_n)}{k^2}$ 進行比較。
在這裡， $E[\bar{\mu}_n] = 1$ 。
我們有 $k=0.5$ 。

Question 12

12. Let {$Yt$}${t=1}^n$ be a sequence of independent and $\chi^2(1)$-distributed random variables. Consider a linear regression: $$Yt = \beta + et,$$ where $\beta$ is a parameter, and $et$ is the error term with $E[et] = 0$. Let $\hat{\beta}$ be the least squares estimator of $\beta$. Which of the following is right? (a) $E[\hat{\beta}] = 1$ and $	ext{var}(\hat{\beta}) = \frac{2}{n}$ (b) $E[\hat{\beta}] = \frac{1}{2}$ and $	ext{var}(\hat{\beta}) = \frac{1}{n}$ (c) $E[\hat{\beta}] = 1$ and $	ext{var}(\hat{\beta}) = \frac{1}{n}$ (d) $E[\hat{\beta}] = \frac{1}{2}$ and $	ext{var}(\hat{\beta}) = \frac{2}{n}$ (e) None of the above choices (a)-(d).

Accepted Answer

本題考驗對簡單線性迴歸中 OLS 估計量期望值和變異數的計算，以及對 $\chi^2$ 分佈性質的理解。

首先，我們分析給定的模型和隨機變數。
模型： $Y_t = \beta + e_t$ 。
$Y_t$ 是一個 $\chi^2(1)$ 分佈的隨機變數。
$E[e_t] = 0$ 。
$\hat{\beta}$ 是 $\beta$ 的最小平方法 (OLS) 估計量。

對於模型 $Y_t = \beta + e_t$ ，這是一個只有截距項的迴歸模型，自變數是 1 (一個常數)。
OLS 估計量 $\hat{\beta}$ 的公式是：
$\hat{\beta} = \frac{\sum_{t=1}^n (1) (Y_t - \bar{Y})}{\sum_{t=1}^n (1)^2} = \frac{\sum Y_t - n\bar{Y}}{n} = \frac{n\bar{Y} - n\bar{Y}}{n} = 0$ 。
這顯然是錯的。OLS 估計量是針對斜率係數。
這裡的模型 $Y_t = \beta + e_t$ 實際上是將 $\beta$ 作為截距項來估計。
如果我們將自變數視為 $X_t = 1$ (一個常數向量)，模型為 $Y_t = \beta X_t + e_t$ (這裡 $X_t=1$ )。
那麼 OLS 估計量是 $\hat{\beta} = \frac{\sum X_t Y_t}{\sum X_t^2} = \frac{\sum 1 \cdot Y_t}{\sum 1^2} = \frac{\sum Y_t}{n} = \bar{Y}$ 。
所以， $\hat{\beta} = \bar{Y}$ 。

現在我們需要計算 $\hat{\beta} = \bar{Y}$ 的期望值和變異數。
$Y_t \sim \chi^2(1)$ 。
$\chi^2(k)$ 分佈的期望值是 $k$ ，變異數是 $2k$ 。
所以，對於 $\chi^2(1)$ 分佈：
$E[Y_t] = 1$
$\text{Var}(Y_t) = 2$

Question 13

13. Let {$(Y{1i}, Y{2i})$}${i=1}^n$ be a sequence of IID random vectors with the distribution: $$\begin{bmatrix} Y{1i} \ Y{2i} \end{bmatrix} \sim N \left( \begin{bmatrix} 7 \ 28 \end{bmatrix}, \begin{bmatrix} 1 & 0.25 \ 0.25 & 0.5 \end{bmatrix} ight)$$ Denote $\bar{Y}1 = n^{-1} \sum{i=1}^n Y{1i}$ and $\bar{Y}2 = n^{-1} \sum{i=1}^n Y{2i}$. Which of the following is right when $n = 50$? (a) $	ext{var}[\bar{Y}1 - \bar{Y}2] = 0.015$ (b) $	ext{var}[\bar{Y}1 - \bar{Y}2] = 0.020$ (c) $	ext{var}[\bar{Y}1 - \bar{Y}2] = 0.025$ (d) $	ext{var}[\bar{Y}1 - \bar{Y}2] = 0.030$ (e) None of the above choices (a)-(d).

Accepted Answer

這題的核心觀念在於「二元常態分佈的線性組合變異數計算」以及「樣本平均數的變異數性質」。考生必須熟練掌握變異數的運算規則，特別是當兩個隨機變數不獨立（存在共變數）時，如何處理 $	ext{Var}(X - Y)$ 的展開式；同時要理解從母體變異數推導至樣本平均數變異數時，需要除以樣本數 $n$ 的關鍵步驟。這題並非單純代入公式，而是測試對共變數在加減運算中符號變化（$-2	ext{Cov}$）的敏感度，以及對樣本平均數收斂速度的直覺。 完整解題過程 第一步：整理母體參數 根據題目給定，隨機向量 $\begin{bmatrix} Y{1i} \ Y{2i} \end{bmatrix}$ 服從二元常態分佈： $$ \begin{bmatrix} Y{1i} \ Y{2i} \end{bmatrix} \sim N \left( \begin{bmatrix} 7 \ 28 \end{bmatrix}, \begin{bmatrix} 1 & 0.25 \ 0.25 & 0.5 \end{bmatrix} ight) $$ 我們可以從共變異數矩陣（Covariance Matrix）中讀出以下母體參數： 1. $Y{1i}$ 的變異數：$	ext{Var}(Y{1i}) = \sigma1^2 = 1$ 2. $Y{2i}$ 的變異數：$	ext{Var}(Y{2i}) = \sigma2^2 = 0.5$ 3. $Y{1i}$ 與 $Y{2i}$ 的共變數：$	ext{Cov}(Y{1i}, Y{2i}) = \sigma{12} = 0.25$ 注意：題目說明樣本是 IID（獨立同分佈），意味著不同下標 $i 
eq j$ 之間的觀測值相互獨立，但同一組內的 $Y{1i}$ 與 $Y{2i}$ 存在相關性（因為共變數不為 0）。 第二步：分析目標統計量的變異數結構 題目要求計算 $	ext{Var}[\bar{Y}1 - \bar{Y}2]$，其中 $\bar{Y}1$ 和 $\bar{Y}2$ 分別為樣本平均數： $$ \bar{Y}1 = \frac{1}{n}\sum{i=1}^n Y{1i}, \quad \bar{Y}2 = \frac{1}{n}\sum{i=1}^n Y{2i} $$ 首先，我們利用變異數的線性組合性質展開 $	ext{Var}[\bar{Y}1 - \bar{Y}2]$。對於任意兩個隨機變數 $A$ 和 $B$，變異數的差公式為： $$ 	ext{Var}(A - B) = 	ext{Var}(A) + 	ext{Var}(B) - 2	ext{Cov}(A, B) $$ 將 $A = \bar{Y}1$ 和 $B = \bar{Y}2$ 代入，得到： $$ 	ext{Var}[\bar{Y}…

Question 14

14. Let $\{Yi\}{i=1}^n$ be a sequence of independent and $N(0, 1)$-distributed random variables. Denote $Xn := \frac{1}{n1} \sum{i=1}^{n1} Yi + \frac{1}{n-n1} \sum{i=n1+1}^n Yi$, for some $n1 \le n$. Let $Mn(t)$ be the moment generating function of $Xn$ with $t$ denoting a real number. Which of the following is right? (A) $\ln Mn(t) = \frac{t^2}{4}\left(\frac{n}{n1(n-n1)}\right)$ (B) $\ln Mn(t) = \frac{t^2}{2}\left(\frac{n}{n1(n-n1)}\right)$ (C) $\ln Mn(t) = t^2\left(\frac{n}{n1(n-n1)}\right)$ (D) $\ln Mn(t) = 2t^2\left(\frac{n}{n1(n-n1)}\right)$ (E) None of the above choices (a)-(d).

Accepted Answer

核心觀念 本題考兩個觀念：獨立隨機變數線性組合的變異數，以及常態隨機變數的動差母函數。若 $X\sim N(0,\sigma^2)$，則 $$ MX(t)=\exp\left(\frac{\sigma^2t^2}{2}\right), \qquad \ln MX(t)=\frac{\sigma^2t^2}{2}. $$ 解題方法 依原卷圖，第 14 題給定互相獨立且服從 $N(0,1)$ 的 $Yi$，並將 $Xn$ 定義為前 $n1$ 個變數的平均，加上其餘 $n-n1$ 個變數的平均。由於分母 $n-n1$ 不可為零，題目中的定義須有 $1\le n1<n$。 兩組使用的 $Yi$ 彼此獨立，因此兩個平均數也獨立。每個 $Yi$ 的變異數為 $1$，所以 $$ \operatorname{Var}(Xn) = \operatorname{Var}\left(\frac{1}{n1}\sum{i=1}^{n1}Yi\right) + \operatorname{Var}\left(\frac{1}{n-n1}\sum{i=n1+1}^{n}Yi\right). $$ 分別計算兩項： $$ \operatorname{Var}\left(\frac{1}{n1}\sum{i=1}^{n1}Yi\right) = \frac{1}{n1^2}\cdot n1 = \frac{1}{n1}, $$

Question 15

15. Let $\{Yi\}{i=1}^n$ be a sequence of independent and $N(0, 1)$-distributed random variables. Consider the following variable: $$Xi := \begin{cases} Y1, & i = 1, \ Yi - \alpha Y{i-1}, & i 1, \end{cases}$$ for some $\alpha \in (0, 1)$, and denote the statistic $Zn := \frac{1}{n} \sum{i=1}^n Xi$. Which of the following is right? (A) $\mathbb{E}[Zn^2] = \frac{1}{n^2}(1 + (1-\alpha)^2(n-1))$ (B) $\mathbb{E}[Zn^2] = \frac{1}{n^2}(1 + 2\alpha^2 + (1-\alpha)^2(n-1))$ (C) $\mathbb{E}[Zn^2] = \frac{1}{n^2}(1 + (1-\alpha)^2(n-1) + 2\alpha(n-1)^2)$ (D) $\mathbb{E}[Zn^2] = \frac{1}{n^2}(1 + 2(1-\alpha)(n-1) + (1-\alpha)^2(n-1)^2)$ (E) None of the above choices (a)-(d).

Accepted Answer

核心觀念 本題考的是隨機變數線性組合的變異數，以及零均值隨機變數的二階動差。因為每個 $Yi$ 相互獨立且服從 $N(0,1)$，所以 $\mathbb{E}[Yi]=0$、$\operatorname{Var}(Yi)=1$，不同 $Yi$ 之間的共變異數為 $0$。因此，若 $Zn$ 的平均數為 $0$，則 $\mathbb{E}[Zn^2]=\operatorname{Var}(Zn)$。 解題方法 依原卷圖，$X1=Y1$，而 $i1$ 時 $Xi=Yi-\alpha Y{i-1}$；統計量為 $Zn=\frac{1}{n}\sum{i=1}^n Xi$，且 $\alpha\in(0,1)$。將所有 $Xi$ 相加，整理各個 $Yi$ 的係數： $$ \sum{i=1}^n Xi =Y1+\sum{i=2}^n(Yi-\alpha Y{i-1}) =(1-\alpha)\sum{i=1}^{n-1}Yi+Yn. $$ 因此， $$ Zn=\frac{1}{n}\left((1-\alpha)\sum{i=1}^{n-1}Yi+Yn\right). $$ 各 $Yi$ 的平均數都是 $0$，所以 $\mathbb{E}[Zn]=0$，進而 $\mathbb{E}[Zn^2]=\operatorname{Var}(Zn)$。利用獨立性計算變異數：

Question 16

16. Let $\{Yi\}{i=1}^n$ be a sequence of independent and $U(0, 1)$-distributed random variables with $\sigma^2 := \mathrm{var}[Yi]$, $\bar{Y} := n^{-1} \sum{i=1}^n Yi$ and $\hat{\sigma}^2 := n^{-1} \sum{i=1}^n (Yi - \bar{Y})^2$. By a suitable large-sample method, it can be shown that $\sqrt{n}(\hat{\sigma}^2 - \sigma^2)$ has the limiting distribution $N(0, v)$, as $n 	o \infty$, for some $v 0$. Which of the following is right? (A) $v = \frac{1}{360}$ (B) $v = \frac{1}{280}$ (C) $v = \frac{1}{240}$ (D) $v = \frac{1}{180}$ (E) None of the above choices (a)-(d).

Accepted Answer

核心觀念 本題考的是樣本變異數的漸近分布。由中央極限定理，若估計量可寫成 $n$ 個獨立同分布隨機變數之函數的平均，就能求出其漸近變異數；使用樣本平均估計母體平均數所帶來的修正，也要一併確認。 解題方法 從原卷頁圖可讀到：$Yi$ 相互獨立且服從 $U(0,1)$，樣本變異數定義為 $\hat{\sigma}^2=n^{-1}\sum{i=1}^n(Yi-\bar Y)^2$，題目詢問 $\sqrt n(\hat{\sigma}^2-\sigma^2)$ 的漸近變異數 $v$。由均勻分布可得母體平均數 $\mu=\frac12$、母體變異數 $\sigma^2=\frac1{12}$。 先將樣本變異數改寫成以母體平均數為中心的形式： $$ \hat{\sigma}^2 = \frac1n\sum{i=1}^n(Yi-\mu)^2-(\bar Y-\mu)^2. $$ 由於 $\bar Y-\mu=Op(n^{-1/2})$，因此 $\sqrt n(\bar Y-\mu)^2=Op(n^{-1/2})	o 0$。所以在乘上 $\sqrt n$ 後，第二項不影響極限分布；漸近變異數為 $(Yi-\mu)^2$ 的變異數： $$ v = \operatorname{Var}\!\left((Yi-\mu)^2ight) = \mathbb E[(Yi-\mu)^4]-\left(\mathbb E[(Yi-\mu)^2]ight)^2. $$

Question 17

17. Let $\{(ei, Xi')\}$ be a sequence of independent and $N(0, I{k+1})$-distributed random vectors for some $k := \dim(Xi) 1$. Assume that $Yi$ is a random variable generated by the formula: $$Yi = Xi' Xi + ei.$$ Let $h(Xi)$ be an arbitrary transformation of $Xi$ such that $\mathbb{E}[(Yi - h(Xi))^2]$ is defined, and $h^(Xi)$ be the optimal choice of $h(Xi)$ which minimizes $\mathbb{E}[(Yi - h(Xi))^2]$. Which of the following is right? (A) $\mathrm{var}[h^(Xi)] = k$ (B) $\mathrm{var}[h^(Xi)] = 3k$ (C) $\mathrm{var}[h^(Xi)] = 6k$ (D) $\mathrm{var}[h^(Xi)] = 9k$ (E) None of the above choices (a)-(d).

Accepted Answer

核心觀念 以平方誤差衡量預測時，最佳的 $h(Xi)$ 是條件期望： $$ h^(Xi)=\mathbb{E}[Yi\mid Xi]. $$ 題目給的 $(ei,Xi')$ 服從 $N(0,I{k+1})$，因此 $ei$ 與 $Xi$ 相互獨立，且各分量皆為標準常態。題目要算的是最佳預測值 $h^(Xi)$ 的變異數。 解題方法 依原卷第 17 題，$Yi=Xi'Xi+ei$，其中 $Xi$ 是 $k$ 維向量，$k1$；選項列出 $k、3k、6k、9k$，以及「以上皆非」。因為 $\mathbb{E}[ei\mid Xi]=0$，所以 $$ h^(Xi) =\mathbb{E}[Yi\mid Xi] =\mathbb{E}[Xi'Xi+ei\mid Xi] =Xi'Xi. $$ 令 $Xi=(X{i1},\ldots,X{ik})'$，則 $Xi'Xi=\sum{j=1}^k X{ij}^2$。各分量獨立且服從標準常態，因此 $\operatorname{Var}(X{ij}^2)=3-1=2$。利用獨立性： $$ \operatorname{Var}[h^(Xi)] =\operatorname{Var}\left(\sum{j=1}^k X{ij}^2\right) =\sum{j=1}^k\operatorname{Var}(X{ij}^2) =2k. $$

變數	表示式	$\operatorname{Cov}(X_t,X_{tn})$	$\operatorname{Var}(X_{tn})$	衰減因子 $f_n$
$X_{t1}$	$X_t+u_{t1}$	$s$	$s+v_1$	$\displaystyle f_1=\frac{s}{s+v_1}$
$X_{t2}$	$X_t+u_{t2}$	$s$	$s+v_2$	$\displaystyle f_2=\frac{s}{s+v_2}$

113 年國立臺灣大學財務金融研究所甲組《商用統計學》

第 1 題

第 2 題

第 3 題

第 4 題

第 5 題

第 6 題

核心觀念

解題方法與公式推導

1. 男性單母體平均數檢定（檢定 $\mu_{men} =$ $ $1{,}000$ ）

2. 女性單母體平均數檢定（檢定 $\mu_{women} =$ $ $1{,}000$ ）

3. 雙母體平均數差異檢定（檢定性別薪資差異）

第 7 題

第 8 題

第 9 題

第 10 題

第 11 題

第 12 題

第 13 題

完整解題過程

第 14 題

第 15 題

第 16 題

第 17 題

其他考古題

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